---
title: "الدالة الأسية واللوغاريتم"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 23
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm
---

# الفصل 23 — الدالة الأسية واللوغاريتم

[الدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) هي [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الوحيدة المساوية لمشتقتها والتي تأخذ القيمة $1$ عند $0$. وهي تحوّل المجاميع إلى جداءات؛ أما مقلوبها، [اللوغاريتم النيبيري](#def-g12-exp-ln)، فيحوّل الجداءات إلى مجاميع. وهما معًا يصفان كل ظاهرة يتناسب معدل تغيرها مع حجمها: التفكك الإشعاعي، ونمو السكان، والفائدة المركبة.

## 23.1 الدالة الأسية

**مبرهنة 23.1 (الوجود والوحدانية).**

توجد [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) وحيدة قابلة للاشتقاق $f \colon \R \to \R$ بحيث

$$
f' = f \qquad\text{و}\qquad f(0) = 1 .
$$

وتُسمّى *الدالة الأسية* وتُكتب $\exp$، أو $x \mapsto \eu^x$.

**برهان الوحدانية.** أولًا، [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) كهذه لا تنعدم أبدًا. وفعلًا، لتكن $g(x) = f(x)f(-x)$؛ عندئذٍ

$$
g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,
$$

إذن $g$ ثابتة تساوي $g(0) = 1$: أي إنه من أجل كل $x$، $f(x)f(-x) = 1$، وخاصة $f(x) \neq 0$.

والآن لتكن $f_1, f_2$ حلَّين ولتكن $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (وهذا مشروع لأن $f_2$ لا تنعدم أبدًا). عندئذٍ

$$
h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,
$$

إذن $h$ ثابتة تساوي $h(0) = 1$، *أي* $f_1 = f_2$.

أما *الوجود* فمقبول في هذا المستوى (ويمكن الحصول عليه بواسطة [متتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) [التمرين 20.10](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#exo-g12-seq-10)، أو بوصفه مقلوب [اللوغاريتم](#def-g12-exp-ln) المبني بالتكامل في [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/25-integration#ch-g12-integ)). ∎

**قضية 23.2 (المعادلة الدالية).**

من أجل كل $x, y \in \R$ وكل $n \in \Z$:

$$
\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad
\eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad
\eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad
\bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.
$$

وفوق ذلك $\eu^x > 0$ من أجل كل $x$.

**برهان.** ثبّت $y$ واعتبر $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$. فبسطها ومقامها، بوصفهما دالتين في $x$، حلّان [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $f' = f$ إلى غاية الثابت $\exp(y)$؛ واشتقاق $\varphi$ مباشرة (بقاعدة خارج القسمة) يعطي $\varphi' = 0$، إذن $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$، وهذا يبرهن على المتطابقة الأولى. وأخذ $y = -x$ يعطي الثانية (مع القيمة $\eu^0 = 1$)، ومنها تنتج الثالثة. أما الرابعة فتراجع انطلاقًا من الأولى من أجل $n \geq 0$، ويُمدَّد إلى $n < 0$ بالثانية.

وأما الموجبية: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ و $\eu^x \neq 0$ (كما بُيّن في [المبرهنة 23.1](#thm-g12-exp-existence))، إذن $\eu^x > 0$. ∎

**قضية 23.3 (التغيرات والنهايات).**

[الدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا [ومحدبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-convex)، و

$$
\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .
$$

**برهان.** $(\exp)' = \exp > 0$ يعطي التزايد التام؛ و $(\exp)'' = \exp > 0$ يعطي [التحدب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-convex). وبالتحدب، $\eu^x \geq 1 + x$ (وهو [المماس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-tangent) عند $0$، انظر [المثال 22.15](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#ex-g12-deriv-ineq))، إذن $\eu^x \to +\infty$ لما $x \to +\infty$ بالمقارنة. ثم $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ لما $x \to -\infty$. ∎

![الدالة الأسية: متزايدة تمامًا، ومحدبة، مع _-∈fty x = 0. وهي فوق مماسها عند 0: x ≥ 1 + x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-4d7aa83a2aa6.svg)

*[الدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence): [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا، [ومحدبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-convex)، مع $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$. وهي فوق مماسها عند $0$: $\eu^x \geq 1 + x$.*

**مبرهنة 23.4 (مقارنة النمو).**

من أجل كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$،

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty,
\qquad
\lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .
$$

وبالكلمات: تتغلب [الدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) على كل قوة للمتغير $x$.

**برهان.** من أجل $n = 1$: بتطبيق $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ عند $t = x/2$،

$$
\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x}
\geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .
$$

ومن أجل $n$ عام، اكتب

$$
\frac{\eu^x}{x^n}
= \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty
$$

بحكم الحالة $n=1$ والتركيب. وتنتج النهاية عند $-\infty$ بالتعويض $x \mapsto -x$: $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$. ∎

![الدالة الأسية (بالأزرق) تتغلب في النهاية على كل قوة: فهي تتجاوز x2 (بالأحمر) باكرًا و x3 (بالبرتقالي) عند x 4.54.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-2bf938e48637.svg)

*[الدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) (بالأزرق) تتغلب في النهاية على كل قوة: فهي تتجاوز $x^2$ (بالأحمر) باكرًا و $x^3$ (بالبرتقالي) عند $x \approx 4.54$.*

## 23.2 اللوغاريتم النيبيري

**تعريف 23.5 (اللوغاريتم النيبيري).**

[الدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) [متصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) [ومتزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا من $\R$ على $\intoo{0}{+\infty}$؛ فبمبرهنة التقابل ([المبرهنة 21.15](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#thm-g12-limcont-bijection))، يكون [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = y$ حل وحيد من أجل كل $y > 0$. وهذا الحل هو *اللوغاريتم النيبيري* للعدد $y$، ويُكتب $\ln y$. وهكذا

$$
\text{من أجل } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .
$$

وخاصة $\ln 1 = 0$ و $\ln \eu = 1$ و $\eu^{\ln y} = y$ و $\ln(\eu^x) = x$.

![منحنيا و متناظران أحدهما مع الآخر بالنسبة إلى المستقيم y = x: فالنقطة (x, x) تنعكس إلى ( x, x).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-a625fce5956d.svg)

*منحنيا $\exp$ و $\ln$ متناظران أحدهما مع الآخر بالنسبة إلى المستقيم $y = x$: فالنقطة $(x, \eu^x)$ تنعكس إلى $(\eu^x, x)$.*

**قضية 23.6 (الخواص الجبرية).**

من أجل كل $a, b > 0$ وكل $n \in \Z$:

$$
\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad
\ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad
\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad
\ln(a^n) = n \ln a, \quad
\ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .
$$

**برهان.** $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$، وبأخذ $\ln$ للطرفين نحصل على المتطابقة الأولى. وتنتج الأخريات بالآلية نفسها من المتطابقات الموافقة في [القضية 23.2](#prop-g12-exp-funceq). ∎

**قضية 23.7 (الخواص التحليلية).**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\ln$ قابلة للاشتقاق على $\intoo{0}{+\infty}$ ولها

$$
(\ln x)' = \frac{1}{x},
$$

وهي [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا [ومقعرة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-convex)، و $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ و $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$. وفوق ذلك، من أجل كل [عدد صحيح](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $n \geq 1$،

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad
\lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .
$$

**برهان.** قابلية اشتقاق [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) المقلوبة مقبولة في هذا المستوى؛ وبقبولها، اشتق المتطابقة $\eu^{\ln x} = x$ بقاعدة السلسلة: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$، إذن $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$، ومنه التزايد التام، و $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$، ومنه التقعر. أما النهايتان عند $0^+$ و $+\infty$ فتعكسان نهايتي $\exp$ عبر التقابل. وأما [مقارنة النمو](#thm-g12-exp-growth)، فعوّض $x = \eu^{t}$: $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ لما $t \to +\infty$ حسب [المبرهنة 23.4](#thm-g12-exp-growth)، وبالمثل من أجل النهايات الأخرى مع $x = \eu^{-t}$، مما يعطي $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$. ∎

**طريقة 23.8 (حل المعادلات بالدالتين exp⁡\expexp و ln⁡\lnln).**

كلتا الدالتين [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا، فيمكن تطبيقهما على طرفي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) أو متراجحة (أو حذفهما منهما) دون تغيير الاتجاه:

$$
\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad
\eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,
$$

وبالمثل من أجل $\ln$ على المقادير الموجبة. و*تحقق دائمًا من مجموعات التعريف أولًا* ([فالدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\ln$ تقتضي وسائط موجبة). وأما المعادلات من الشكل $a^x = b$ حيث $a>0$ و $a \neq 1$، فأعد كتابتها $a^x = \eu^{x\ln a}$ ثم حل $x = \frac{\ln b}{\ln a}$.

**مثال 23.9.**

تتفكك [عينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) مشعّة وفق العلاقة $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$. ويحقق *نصف عمرها* $T$ العلاقة $N(T) = N_0/2$، *أي* $\eu^{-\lambda T} = \frac12$، إذن $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$: فنصف العمر لا يتعلق بالكمية الابتدائية.

## 23.3 تمارين

**تمرين 23.1 ★.**

بسّط $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ و $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$.

**حل التمرين 23.1.**

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$.

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)
= 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$.

**تمرين 23.2 ★.**

حل في $\R$:

$$
\text{(أ) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0;
\qquad
\text{(ب) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .
$$

**حل التمرين 23.2.**

*(أ)* ضع $X = \eu^x > 0$: فإن $X^2 - 3X + 2 = 0$ يعطي $X = 1$ أو $X = 2$، وكلاهما موجب، إذن $x = 0$ أو $x = \ln 2$.

*(ب)* [مجموعة التعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function): $x - 1 > 0$ و $x + 2 > 0$، إذن $x > 1$. وتصير [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$، ومنه $(x-1)(x+2) = 4$، *أي* $x^2 + x - 6 = 0$، إذن $x = 2$ أو $x = -3$. ولا يقع في [مجموعة التعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) إلا $x = 2$: فيكون $S = \{2\}$.

**تمرين 23.3 ★.**

احسب النهايات:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad
\lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).
$$

**حل التمرين 23.3.**

اقسم على $\eu^x$: $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$، باستعمال $x^2 \eu^{-x} \to 0$ ([المبرهنة 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ حسب [القضية 23.7](#prop-g12-exp-lnanalytic) (الحالة $n = 2$).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$.

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ لأن $\frac{\ln x}{x} \to 0$.

**تمرين 23.4 ★★.**

ادرس [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = x\,\eu^{-x}$ على $\R$: التغيرات، والنهايات، [والقيمة الحدية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-extremum)؛ وبيّن أن لمنحناها [نقطة انعطاف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-inflection) وأعطِ إحداثياتها.

**حل التمرين 23.4.**

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$، وإشارتها إشارة $1 - x$: فتتزايد $f$ على $\intoc{-\infty}{1}$، وتتناقص على $\intco{1}{+\infty}$، مع [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) شاملة $f(1) = \eu^{-1}$.

والنهايات: لما $x \to +\infty$، $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ ([المبرهنة 23.4](#thm-g12-exp-growth))؛ ولما $x \to -\infty$، يكون $x \to -\infty$ و $\eu^{-x} \to +\infty$، إذن $f(x) \to -\infty$.

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$، وهي تغيّر إشارتها عند $x = 2$: [فنقطة الانعطاف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-inflection) عند $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$.

**تمرين 23.5 ★★.**

بيّن أنه من أجل كل $x > -1$، $\ln(1 + x) \leq x$، مع المساواة عند $x = 0$ فقط. واستنتج أنه من أجل كل $n \geq 1$،

$$
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .
$$

**حل التمرين 23.5.**

لتكن $g(x) = x - \ln(1+x)$ على $\intoo{-1}{+\infty}$. عندئذٍ $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$، وهي سالبة على $\intoo{-1}{0}$ و موجبة على $\intoo{0}{+\infty}$: فتبلغ $g$ قيمتها الصغرى $g(0) = 0$، إذن $g \geq 0$ مع المساواة عند $0$ فقط. ومنه $\ln(1+x) \leq x$.

طبّق ذلك مع $x = \frac1n$: $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$، إذن $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$. وطبّقه مع $x = -\frac{1}{n+1} > -1$: $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$، إذن $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ و $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$.

**تمرين 23.6 ★★.**

يُستثمر رأس مال $C_0$ بمعدل سنوي قدره $3\%$، والفائدة تُركَّب كل سنة.

1. عبّر عن رأس المال $C_n$ بعد $n$ سنة.
2. بعد كم سنة يتضاعف رأس المال؟ أعطِ الجواب المضبوط باستعمال $\ln$ ، ثم قيمة عددية.
3. قارن [بالتقريب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) “ $70$ مقسومًا على المعدل بالنسبة المئوية” الذي يستعمله المصرفيون.

**حل التمرين 23.6.**

*1.* كل سنة تضرب رأس المال في $1.03$: $C_n = C_0 (1.03)^n$.

*2.* $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$: فيتضاعف رأس المال بعد $24$ سنة.

*3.* $\frac{70}{3} \approx 23.3$، وهو قريب من القيمة المضبوطة $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$. وتنجح القاعدة لأن $\ln(1 + r) \approx r$ من أجل $r$ صغير، إذن $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$.

**تمرين 23.7 ★★.**

حل المتراجحة $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$، ثم المتراجحة $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$.

**حل التمرين 23.7.**

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ ([فالدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا): $S = \intoo{1}{+\infty}$.

[ومجموعة تعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المتراجحة الثانية: $x^2 - 1 > 0$ و $x + 5 > 0$، *أي* $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$. وعلى هذه المجموعة، وبما أن $\ln$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا،

$$
\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0
\iff x \in \intcc{-2}{3}.
$$

وبالتقاطع مع [مجموعة التعريف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function): $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$.

**تمرين 23.8 ★★★.**

لتكن $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ من أجل $x > 0$.

1. ادرس تغيرات $f$ على $\intoo{0}{+\infty}$ وأعطِ قيمتها الصغرى.
2. من أجل أي قيم للعدد $k$ يكون عدد حلول [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ في $\intoo{0}{+\infty}$ مساويًا $0$ أو $1$ أو $2$ ؟

**حل التمرين 23.8.**

*1.* $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$، وهي سالبة على $\intoo{0}{1}$ وموجبة على $\intoo{1}{+\infty}$: [فالقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \eu$. والنهايات: $f \to +\infty$ عند $0^+$ (البسط $\to 1$، والمقام $\to 0^+$) وعند $+\infty$ ([المبرهنة 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

*2.* من أجل $x > 0$، $\eu^x = kx \iff f(x) = k$. ومن [جدول التغيرات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-table) ($+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$، [متصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) [ورتيبة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) تمامًا على كل جهة): لا حل من أجل $k < \eu$؛ وحل واحد بالضبط ($x = 1$) من أجل $k = \eu$؛ وحلان بالضبط من أجل $k > \eu$ (أحدهما في $\intoo{0}{1}$ والآخر في $\intoo{1}{+\infty}$، بمبرهنة التقابل على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)).

**تمرين 23.9 ★★★.**

من أجل $n \geq 1$، لتكن $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$.

1. باستعمال [التمرين 23.5](#exo-g12-exp-5) ، بيّن أن $(u_n)$ [محدودة من الأعلى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-bounded) بالعدد $\eu$ .
2. بيّن أن $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ ، ثم استنتج أن $u_n \to \eu$ . (إرشاد: تعرّف على معدل تغير [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\ln$ عند $1$ .)

**حل التمرين 23.9.**

*1.* مباشرة من المتراجحة الأولى في [التمرين 23.5](#exo-g12-exp-5): $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$.

*2.* اكتب

$$
\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right)
= \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},
$$

وهو معدل تغير [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\ln$ عند النقطة $1$ بزيادة $h = \frac1n \to 0$. وبما أن $\ln$ قابلة للاشتقاق عند $1$ ومشتقتها $1$، فإن $\ln u_n \to 1$. وباتصال $\exp$ ([القضية 21.12](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#prop-g12-limcont-seqcont))، $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$.

## 23.4 مسألة: اللوغاريتم يروّض العالم

**مسألة 23.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — أزمنة التضاعف وقاعدة 72، وسلالم الزلازل والأحماض والبيانو، والثابت $\eu$ يترك بصماته في كل مكان

كل ما ينمو بمعدل *نسبة مئوية* ثابت ينمو نموًا أسيًا — المدخرات، والبكتيريا، والأوبئة — وكل ما يمتد على قوى للعدد عشرة أكثر من أن تُدرَك — طاقات الزلازل، والحموضات، وشدّات الصوت — يروّضه [اللوغاريتم](#def-g12-exp-ln). وتحسب هذه المسألة أزمنة التضاعف وتكشف قناع قاعدة المصرفيين 72، وتقرأ سلالم العالم اللوغاريتمية، وتجمع البصمات التي يتركها العدد $\eu$ في كل مسرح جريمة ([القضية 23.2](#prop-g12-exp-funceq) و [المبرهنة 23.4](#thm-g12-exp-growth) و [الطريقة 23.8](#met-g12-exp-equations)).

**الجزء الأول — التمكّن.**

1. حل: $\eu^{2x} = 5$ ؛ $\ln(3x - 1) = 2$ ؛ $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (وهي تربيعية متنكرة).
2. بسّط: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ؛ $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ؛ $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
3. برهن على المتراجحة الأم: $\eu^x \geq 1 + x$ من أجل كل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $x$ (ادرس $f(x) = \eu^x - 1 - x$ )، ثم استنتج $\ln(1 + u) \leq u$ من أجل $u > -1$ .
4. احسب $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ ، و $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ ( [المبرهنة 23.4](#thm-g12-exp-growth) )، و $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (تعرّف على [مشتقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) ).
5. ادرس $f(x) = x \ln x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ : التغيرات، [والقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) ، والنهاية عند $0^+$ (وهي مقبولة: $x \ln x \to 0$ ). وهذه [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الصغيرة تقيس المعلومة والإنتروبيا عبر الكتب الجامعية.

**الجزء الثاني — أزمنة التضاعف وقاعدة 72.**

6. تنمو مدخرات بمعدل $3\,\%$ في السنة. حل $1.03^n = 2$ : فكم من الوقت يلزم لتضاعف رأس المال؟
7. يقدّر المصرفيون زمن التضاعف بالمقدار $\frac{72}{\text{المعدل }\%}$ . اختبر القاعدة عند $3\,\%$ و $6\,\%$ و $9\,\%$ في مواجهة القيمة المضبوطة $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ ، ثم فسّرها: فمن أجل $r$ صغير، $\ln(1 + r) \approx r$ (ومتراجحة السؤال 3 نصف الحكاية)، إذن يكون الثابت المضبوط هو $100 \ln 2 \approx 69.3$ — فلماذا يفضّل المصرفيون $72$ ؟
8. تنقسم بكتيريا كل $20$ دقيقة: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ بالدقائق). أعد كتابتها على الصورة $\eu^{\lambda t}$ ، ثم احسب $p$ بعد $24$ ساعة. فماذا يثبت الجواب (أكثر من $10^{21}$ ) عن النموذج — وما الذي يوقف المستعمرات الحقيقية؟
9. يغادر الكافيين الجسم بنصف عمر يقارب $5$ ساعات. فبعد قهوة قدرها $100$ mg عند 15:00، كم يبقى عند 23:00؟ وفي أي ساعة ينزل تحت $10$ mg؟ (فللأرق [لوغاريتم](#def-g12-exp-ln) .)
10. أورو واحد بفائدة سنوية قدرها $100\,\%$ : احسب رأس المال في آخر السنة عند التركيب السنوي والشهري واليومي، وأعطِ السقف الذي برهن [التمرين 23.9](#exo-g12-exp-9) على أنه لا يُكسر. فأي ثابت شهير هو نهاية الجشع الخالص؟
11. لماذا يرسم العلماء $\ln(\text{الحالات})$ في مواجهة الزمن خلال الطور المبكر لوباء؟ وماذا يكشف الخط المستقيم على ذلك الرسم، وماذا يقيس ميله؟

**الجزء الثالث — سلالم العالم اللوغاريتمية.** (اكتب $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$.)

12. مستوى الصوت بالديسيبل: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . و تقيس محادثة $60$ dB، ويقيس حفل روك $120$ dB: فبأي معامل تختلف شدّتا الصوت؟
13. ترتفع درجات الزلازل بمقدار $1$ عندما تُضرب السعة الزلزالية في $10$ ، وتتناسب الطاقة المحرَّرة مع السعة $^{3/2}$ . قارن زلزالًا درجته $5$ بآخر درجته $7$ : نسبة السعتين، ثم نسبة الطاقتين.
14. الكيمياء: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . عصير الليمون درجة حموضته $2$ ، والحليب $6.5$ : فما نسبة تركيزَي الحمض فيهما؟
15. الموسيقى: كل أوكتاف يضاعف [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) . فمن أخفض لا في البيانو ( $27.5$ Hz) إلى أعلى دو فيه ( $4\,186$ Hz)، كم أوكتافًا تمتد لوحة المفاتيح؟ ولماذا تفضّل حواسنا — السمع والبصر والإحساس بالزلازل — السلالم اللوغاريتمية؟ (جملة واحدة.)
16. المسطرة الحاسبة، آلة المهندسين الحاسبة طوال $350$ سنة: عصوان مدرَّجان بحيث يتناسب *الطول* حتى العلامة $x$ مع $\ln x$ . فسّر كيف يضرب انزلاق عصا على الأخرى الأعداد، وسمِّ المتطابقة من [القضية 23.6](#prop-g12-exp-lnalg) التي تقوم بالعمل.

**الجزء الرابع — بصمات $\eu$.**

17. انطلاقًا من [التمرين 23.8](#exo-g12-exp-8) : [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ (حيث $x > 0$ ) عدد حلول يساوي $0$ أو $1$ أو $2$ بحسب موضع $k$ بالنسبة إلى عتبة. أعد صياغة النتيجة — وتحقق من الواقعة [الهندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) وراءها: المستقيم $y = \eu x$ هو بالضبط [المماس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-tangent) [للدالة الأسية](#thm-g12-exp-existence) المار بالمبدأ.
18. ثابت الفوز الضائع: مع $n$ تذكرة يانصيب [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) فوز كل منها $\frac1n$ ، $\P(\text{لا فوز}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . احسب نهايته بواسطة $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (باستعمال النهاية المعيارية $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ )، ثم وفّق بينه و العدد الغامض $0.368$ في [المسألة 19.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/19-the-binomial-distribution#pb-g11-binom-1) .
19. قاعدة $37\,\%$ : لاختيار الأفضل من بين $n$ مرشحًا تُجرى مقابلاتهم [بترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) عشوائي (بلا رجوع)، ترفض الاستراتيجية المثلى أول $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ منهم ثم تأخذ أول مرشح أفضل من كل السابقين — فتنجح [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) يقارب $\frac1\eu$ . فمن أين يأتي المقداران $\frac1\eu$ في السؤالين 18 و 19 — صُغ الآلية المشتركة (أحداث كثيرة مستقلة ضئيلة [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) )، واحسب $\frac1\eu$ بثلاثة أرقام عشرية.
20. الخاتمة — صورة $\eu$ : سقف التركيب (السؤال 10)؛ [والأساس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) الذي [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) مماسه عند $0$ يساوي $1$ بالضبط (السؤالان 3 و 4)؛ والنمو الذي لا يلحقه كثير حدود (السؤال 4)؛ وثابت الفوز الضائع والتوقف الأمثل (السؤالان 18–19)؛ ومقلوبه $\ln$ ، الذي يحوّل الجداءات إلى مجاميع (السؤال 16) والعقود إلى بوصات (الجزء الثالث). جملة واحدة لكل بند.

**حل المسألة 23.1.**

**1.** $x = \frac{\ln 5}{2}$. $3x - 1 = \eu^2$: $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$. ومع $u = \eu^x$: $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$: أي $x = 0$ أو $x = \ln 2$.

**2.** $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$؛ $3 + \frac12 = \frac72$؛ $\frac52$.

**3.** $f'(x) = \eu^x - 1$: سالبة قبل $0$ وموجبة بعدها: [فالقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 0$، إذن $f \geq 0$ في كل مكان: $\eu^x \geq 1 + x$. وبالتعويض $x = \ln(1 + u)$: $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$، أي $\ln(1 + u) \leq u$.

**4.** $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ و $\frac{\ln x}{x} \to 0$: فالدوال الأسية تسحق القوى، والقوى تسحق اللوغاريتمات. و $\frac{\eu^x - 1}{x} =
\frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$.

**5.** $f'(x) = \ln x + 1$: تنعدم عند $\eu^{-1}$، وهي سالبة قبله وموجبة بعده: [فالقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$؛ و $x \ln x \to 0$ عند $0^+$: [فالمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) يغادر المبدأ، وينخفض إلى $-\frac1\eu$، ثم يتسلق مبتعدًا.

**6.** $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ سنة.

**7.** المضبوط: $23.4$ و $11.9$ و $8.0$ سنة؛ وقاعدة 72: $24$ و $12$ و $8$. وبما أن $\ln(1+r) \approx r$، فإن $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$، أي $\frac{69.3}{\text{المعدل}\%}$؛ ويقرّب المصرفيون إلى $72$ لأنه يقبل القسمة قسمة جميلة على $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — فالحساب الذهني يتغلب على رقم عشري من الدقة.

**8.** $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$: أي $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ في الدقيقة. وبعد $24 \times 60 = 1440$ دقيقة: $2^{72} \approx 4.7 \times
10^{21}$ بكتيريا — أي أكثر من حبات الرمل على الأرض، من خلية واحدة في يوم واحد. والنموذج أمين ما دام الغذاء والمكان متوافرين: أما النمو الحقيقي فينحني إلى [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) S اللوجستي (وهو [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) عالِم الأوبئة في [المسألة 22.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#pb-g12-deriv-1)).

**9.** عند 23:00 (أي $8$ ساعات): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. وتحت $10$ mg: يعطي $2^{-t/5} < 0.1$ أن $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx
16.6$ h: أي نحو 7:40 من صباح اليوم التالي — فللإسبريسو عند الثالثة ذيل طويل.

**10.** سنويًا: $2$. وشهريًا: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$. ويوميًا: $\approx 2.715$. والسقف: $\eu = 2.71828\ldots$ ([التمرين 23.9](#exo-g12-exp-9)) — فبالتركيب المتصل، يتقارب الجشع.

**11.** إذا نمت الحالات نموًا أسيًا، $c(t) = c_0
\eu^{\lambda t}$، فإن $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$: أي مستقيم ميله $\lambda$ — وهو معدل النمو. والامتداد المستقيم على الرسم اللوغاريتمي *هو* الطور الأسي، وانحداره هو إيقاع الوباء.

**12.** $120 - 60 = 60$ dB يعني $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$: فالحفل أشد من المحادثة $10^6$ — أي مليون مرة.

**13.** السعة: $10^{7-5} = 100$. والطاقة: $100^{3/2} = 1000$: فدرجتان من المقياس تخفيان ثلاث رتب قدر في الطاقة.

**14.** $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$: فعصير الليمون أشد حموضة من الحليب ثلاثين ألف مرة — إذ يضغط مقياس الحموضة هوّات الكيمياء في سلّم [جيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin).

**15.** $\log_2\!\frac{4186}{27.5} =
\frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$: فالبيانو يمتد على ما يزيد قليلًا على سبعة أوكتافات. والحواس تستجيب إلى *نسب* المنبهات — فمضاعفة الشدة تُحسّ خطوة واحدة، مهما كان المستوى الابتدائي — إذن الإدراك مبني على سلّم لوغاريتمي، وكذلك الوحدات التي اخترعناها له.

**16.** وضع عصا العدد $a$ طرفًا إلى طرف مع موضع العدد $b$ يجمع الطولين $\ln a + \ln b$، و التدريجة الجالسة عند ذلك الطول الكلي تُقرأ $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$: فالمسطرة الحاسبة تحسب الجداءات بجمع اللوغاريتمات — إنها $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ([القضية 23.6](#prop-g12-exp-lnalg)) محفورة في خشب البقس.

**17.** [القيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\frac{\eu^x}{x}$ على $\intoo{0}{+\infty}$ هي $\eu$، عند $x = 1$: فلا حل من أجل $k < \eu$، وحل واحد بالضبط من أجل $k = \eu$، وحلان من أجل $k > \eu$. والتحقق [بالمماس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-tangent): عند $a = 1$ يكون [المماس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-tangent) [للمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) $\eu^x$ هو $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$: وهو يمر بالمبدأ — إنه مستقيم العتبة، الذي يلامس [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) عند $(1, \eu)$.

**18.** $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) =
\frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$، إذن $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$: أي $0.999^{1000} \approx 0.368$ في [المسألة 19.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/19-the-binomial-distribution#pb-g11-binom-1)، مفسَّرًا — فثابت الفوز الضائع في اليانصيب هو $\frac1\eu$.

**19.** كلاهما الشكل النهائي لعبارة “أحداث كثيرة مستقلة، كل منها في ذاته غير محتمل”: [فاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) ألا ينطلق *أي* من $n$ فرصة حجم كل منها $\frac1n$ يؤول إلى $\eu^{-1}$، وقاعدة السكرتيرة تضبط نافذة رفضها حتى يتركز النجاح عند ذلك الثابت نفسه. $\frac1\eu \approx 0.368$.

**20.** سقف التركيب؛ [والأساس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) الوحيد الذي [ميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) مماسه عند $0$ يساوي $1$ (ولهذا يحبه التحليل)؛ والنمو الذي يسبق كل قوة؛ والثابت الذي عنده تستقر حالات الفوز الضائع والتوقف الأمثل؛ [واللوغاريتم](#def-g12-exp-ln) — الضرب وقد صار جمعًا، [ومدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) العالم الأوسع وقد طُوي على مسطرة.