---
title: "الدوال المثلثية"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions
---

# الفصل 24 — الدوال المثلثية

تحوّل الدالتان $\cos$ و $\sin$ هندسة الدائرة إلى تحليل. وإذ تُعرَّفان بلفّ المستقيم الحقيقي حول دائرة الوحدة، فهما النموذج الأصلي للدوال الدورية، ومشتقتاهما تجعلانهما حلَّين [لمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) التذبذبات $y'' = -y$.

## 24.1 دائرة الوحدة

**تعريف 24.1 (جيب التمام والجيب).**

لتكن $\mathcal{C}$ الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها مبدأ [نظام متعامد ومتجانس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system). وأرفق بكل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $t$ النقطة $M(t)$ التي نبلغها بلفّ طول $\abs{t}$ على $\mathcal{C}$ انطلاقًا من النقطة $I(1,0)$، في الاتجاه المباشر إذا كان $t \geq 0$ وفي الاتجاه المعاكس فيما عدا ذلك. عندئذٍ *يكون $\cos t$ و $\sin t$ إحداثيَي $M(t)$*:

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

وبما أن محيط الدائرة $2\pi$، لا تتغير النقطة $M(t)$ عندما يزيد $t$ بمقدار $2\pi$؛ وبما أن $M(t)$ تقع على دائرة الوحدة:

**قضية 24.2 (المتطابقات الأساسية).**

من أجل كل $t \in \R$ وكل $k \in \Z$:

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**برهان.** المتطابقة الأولى هي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) دائرة الوحدة؛ وأما الأخريات فتعبّر عن تناظرات الدائرة: فالنقطة $M(-t)$ هي نظيرة $M(t)$ بالنسبة إلى المحور $x$، و $M(\pi - t)$ بالنسبة إلى المحور $y$، و $M(\frac\pi2 - t)$ بالنسبة إلى المستقيم $y = x$. ∎

والقيم الواجب حفظها عن ظهر قلب:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**قضية 24.3 (صيغ الجمع).**

من أجل كل $a, b \in \R$:

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

وخاصة $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ و $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**برهان.** المتجهتان $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ و $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ متجهتان واحديتان تصنعان زاوية $a - b$؛ وجداؤهما السلّمي يساوي $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ ([بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)) و $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (بالهندسة) معًا، وهذه هي الصيغة الثالثة. وتعويض $-b$ محل $b$ يعطي الأولى؛ وتنتج صيغتا [الجيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) باستعمال $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$. أما صيغتا الضعف فهما الحالة $b = a$ مقرونة بالمتطابقة $\cos^2 + \sin^2 = 1$. ∎

## 24.2 الدراسة التحليلية

**مبرهنة مساعدة 24.4 (النهاية الأساسية).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{و}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**برهان.** من أجل $0 < t < \frac{\pi}{2}$، قارن ثلاث مساحات في دائرة الوحدة: المثلث $OIM(t)$، والقطاع الدائري $OIM(t)$، والمثلث القائم ذي القاعدة $OI$ والارتفاع $\tan t$:

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![المساحات الثلاث المتداخلة: المثلث OIM (بالأزرق، ومساحته t/2)، والقطاع الدائري (المحدود بالقوس الأحمر، ومساحته t/2)، والمثلث القائم ذو الارتفاع t (بالبرتقالي، ومساحته t/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*المساحات الثلاث المتداخلة: المثلث $OIM$ (بالأزرق، ومساحته $\frac{\sin t}{2}$)، والقطاع الدائري (المحدود بالقوس الأحمر، ومساحته $\frac{t}{2}$)، والمثلث القائم ذو الارتفاع $\tan t$ (بالبرتقالي، ومساحته $\frac{\tan t}{2}$).*

المتراجحة الأولى تعطي $\frac{\sin t}{t} \leq 1$؛ والثانية تعطي $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$. ولما $t \to 0^+$، يكون $\cos t \to 1$ ([بالاتصال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity))، وتعطي مبرهنة الحصر $\frac{\sin t}{t} \to 1$؛ وتمدّد [الزوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) ذلك إلى $t \to 0$. وأما النهاية الثانية،

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**مبرهنة 24.5 (مشتقتا الجيب وجيب التمام).**

الدالتان $\sin$ و $\cos$ قابلتان للاشتقاق على $\R$، مع

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

وبوجه أعم، $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ و $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

**برهان.** حسب صيغ الجمع،

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

باستعمال [المبرهنة المساعدة 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx). والحساب من أجل $\cos$ مطابق، وتنتج الصورة العامة من قاعدة السلسلة. ∎

**قضية 24.6 (التغيرات).**

على $\intcc{0}{\pi}$، تتناقص $\cos$ من $1$ إلى $-1$. وعلى $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$، تتزايد $\sin$ من $-1$ إلى $1$. والدالتان دوريتان دورهما $2\pi$ ومجموعة قيمهما $\intcc{-1}{1}$؛ و $\cos$ [زوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity)، و $\sin$ [فردية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity).

**برهان.** على $\intoo{0}{\pi}$، $(\cos)' = -\sin < 0$ لأن [ترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) النقطة $M(t)$ موجب هناك؛ وبالمثل $(\sin)' = \cos > 0$ على $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$. وتأتي الدورية [والزوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) من [القضية 24.2](#prop-g12-trigo-identities). ∎

![منحنيا (بالأزرق) و (بالأحمر).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*منحنيا $\cos$ (بالأزرق) و $\sin$ (بالأحمر).*

**طريقة 24.7 (حل cos⁡x=a\cos x = acosx=a و sin⁡x=a\sin x = asinx=a).**

من أجل $a \in \intcc{-1}{1}$، أوجد حلًا خاصًا $\alpha$ (من جدول القيم أو بآلة حاسبة). عندئذٍ تكون كل الحلول:

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ أو } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ أو } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

وأما المتراجحات، فحدّد أقواس الحلول على دائرة الوحدة واقرأ الفترات داخل دور واحد.

**مثال 24.8.**

حل $\cos x = \frac12$ في $\intoc{-\pi}{\pi}$: حل خاص هو $\frac\pi3$، إذن الحلول هي $x = \frac\pi3$ و $x = -\frac\pi3$. وفي $\R$ كلها: $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$، حيث $k \in \Z$.

## 24.3 تمارين

**تمرين 24.1 ★.**

احسب $\cos\frac{2\pi}{3}$ و $\sin\frac{5\pi}{6}$ و $\cos\frac{7\pi}{4}$ و $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ باستعمال متطابقات [القضية 24.2](#prop-g12-trigo-identities).

**حل التمرين 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**تمرين 24.2 ★.**

اشتق $f(x) = \sin^2 x$ و $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ و $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

**حل التمرين 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (بقاعدة السلسلة).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (بقاعدتي السلسلة والجداء).

بقاعدة خارج القسمة:

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**تمرين 24.3 ★.**

حل في $\intoc{-\pi}{\pi}$، ثم في $\R$:

$$
\text{(أ) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(ب) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**حل التمرين 24.3.**

*(أ)* حل خاص [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ هو $\frac\pi3$. والحلول العامة: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ أو $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. وفي $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$.

*(ب)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ يعطي $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$، إذن $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$. وفي $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$.

**تمرين 24.4 ★★.**

باستعمال صيغ الجمع، احسب القيمة المضبوطة للمقدارين $\cos\frac{\pi}{12}$ و $\sin\frac{\pi}{12}$. (إرشاد: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.)

**حل التمرين 24.4.**

مع $a = \frac\pi3$ و $b = \frac\pi4$:

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**تمرين 24.5 ★★.**

حل في $\intcc{0}{2\pi}$ المتراجحة $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$. (إرشاد: حلّل التربيعية في $\sin x$ إلى عوامل.)

**حل التمرين 24.5.**

ضع $s = \sin x$: فيكون $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ إذا وفقط إذا كان $s \leq -\frac12$ أو $s = 1$.

و $\sin x = 1$ يعطي $x = \frac\pi2$. وأما $\sin x \leq -\frac12$: فعلى دائرة الوحدة، هو القوس الواقع تحت المستقيم الأفقي $y = -\frac12$، وهو في $\intcc{0}{2\pi}$ يساوي $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$. ومنه

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**تمرين 24.6 ★★.**

احسب النهايات

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**حل التمرين 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (بالتركيب مع $u = 3x \to 0$).

وباستعمال $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$:

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

وبالتعويض $u = \frac1x \to 0^+$: $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$.

**تمرين 24.7 ★★.**

ادرس [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ على $\intcc{0}{2\pi}$: التغيرات و القيم الحدية. وبيّن أن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) على $\R$ مع أن $f'$ تنعدم عند عدد لانهائي من النقط.

**حل التمرين 24.7.**

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ من أجل كل $x$، مع المساواة بالضبط عندما يكون $\sin x = 1$، *أي* $x = \frac\pi2 + 2k\pi$. وعلى $\intcc{0}{2\pi}$، تتزايد $f$ من $f(0) = 1$ إلى $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (وصفر $f'$ عند $\frac{\pi}{2}$ معزول، فالتزايد تام حتى)؛ [والقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $1$ عند $0$، والعظمى $2\pi + 1$ عند $2\pi$. وعلى $\R$، يكون $f' \geq 0$ في كل مكان مع أصفار معزولة فقط، إذن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-monotonic) (تمامًا) حسب [المبرهنة 22.7](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#thm-g12-deriv-variations)، مع أن $f'$ تنعدم عند كل $\frac\pi2 + 2k\pi$.

**تمرين 24.8 ★★★.**

لتكن $f(x) = A\cos x + B \sin x$ مع $(A,B) \neq (0,0)$.

1. بيّن أنه يمكن كتابة $f$ على الصورة $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ حيث $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ ومع $\varphi$ مناسب.
2. استنتج القيمتين العظمى والصغرى [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $f$ ، ثم حل $\cos x + \sin x = 1$ في $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

**حل التمرين 24.8.**

*1.* ليكن $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$. فالنقطة $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ تقع على دائرة الوحدة، إذن يوجد $\varphi$ حيث $\cos\varphi = \frac AR$ و $\sin\varphi = \frac BR$. عندئذٍ

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* وبما أن مجموعة قيم $\cos$ هي $\intcc{-1}{1}$، فللدالة $f$ [قيمة عظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $R$ و [قيمة صغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) $-R$. ومن أجل $\cos x + \sin x$: يكون $A = B = 1$ و $R = \sqrt2$ و $\varphi = \frac\pi4$، فتصير [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$، *أي* $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$، مما يعطي $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$: وفي $\intoc{-\pi}{\pi}$، $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$.

**تمرين 24.9 ★★★.**

بيّن أن $\sin$ و $\cos$ تحققان كلتاهما [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) التفاضلية $y'' = -y$. وبالعكس، لتكن $y$ حلًا [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y'' = -y$ حيث $y(0) = a$ و $y'(0) = b$؛ بيّن أن $y = a\cos + b\sin$. (إرشاد: اعتبر $g = (y - a\cos - b\sin)$ و“الطاقة” $E = g^2 + (g')^2$.)

**حل التمرين 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ و $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$: فكلتاهما تحقق $y'' = -y$.

ولتكن $g = y - a\cos - b\sin$. عندئذٍ $g'' = -g$ (بخطية الاشتقاق)، و $g(0) = y(0) - a = 0$ و $g'(0) = y'(0) - b = 0$. ضع $E = g^2 + (g')^2$. عندئذٍ

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

إذن $E$ ثابتة تساوي $E(0) = 0$. ومجموع مربعين ينعدم تطابقيًا يفرض $g = 0$، ومنه $y = a\cos + b\sin$.

## 24.4 مسألة: سرّ النواس

**مسألة 24.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — نهاية هندسية واحدة تشغّل مشتقتَي الجيب وجيب التمام، ومنهما ينبع كل التذبذب: النوابض، والنواسات، والضربات، والمتر الذي كاد يكون

كل ساعة دقّت يومًا، وكل وتر رنّ يومًا، يطيع الرياضيات نفسها: قوة إرجاع تتناسب مع الإزاحة، ومنه [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$، ومنها جيوب التمام. وفي [أساس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-arithmetic) ذلك كله تجلس نهاية تبدو بريئة، $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — وُعِد بها في الكتاب السابق، واستعملتها [المبرهنة 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives)، ويُبرهن عليها هنا برسم. وتتسلق هذه المسألة من تلك النهاية إلى تأرجح نواس طوله متر واحد، وتفسّر لماذا لم يُعرَّف المتر بها إلا بشعرة.

**الجزء الأول — النهاية الأساسية.**

1. أحمِ نفسك عدديًا: احسب $\frac{\sin x}{x}$ من أجل $x = 0.1$ و $x = 0.01$ ( [بالراديان](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-radian) !).
2. الحصر، على دائرة الوحدة مع $0 < x < \frac\pi2$ : عبّر بالهندسة الابتدائية عن مساحات (أ) المثلث ذي الرؤوس $O$ و $A(1,0)$ ونقطة الدائرة $M(\cos x, \sin x)$ ؛ (ب) القطاع الدائري $OAM$ ؛ (ج) المثلث القائم $OAT$ حيث $T(1, \tan x)$ .
3. استنتج من حصر المساحات $\sin x < x < \tan x$ ، ثم $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ، ثم اختم بمبرهنة الحصر أن $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ( [والزوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity) تعالج $x < 0$ ).
4. استنتج $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (بالضرب في المرافق).
5. فسّر لماذا تكون هذه النهاية محرّك [المبرهنة 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) (ما هو $\sin'(0)$ ؟)، ولماذا تسدّ أيضًا دينًا قديمًا: بأي معنى تكون *الراديانات* وحدة الزوايا الوحيدة التي تصح من أجلها $\sin' = \cos$ بلا ثابت؟

**الجزء الثاني — الحركة التوافقية.**

6. تحقق بقاعدة السلسلة من أن $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ تحقق $y'' = -\omega^2 y$ .
7. كتلة على نابض تطيع $y'' = -4y$ ، حيث $y(0) = 3$ و $y'(0) = 8$ . وبقبول (انطلاقًا من [التمرين 24.9](#exo-g12-trigo-9) ) أن كل الحلول هي $A\cos 2t + B\sin 2t$ ، حدّد $A$ و $B$ .
8. أعد كتابة الحل على الصورة $R\cos(2t - \varphi)$ ( [التمرين 24.8](#exo-g12-trigo-8) ): وأعطِ السعة $R$ ، و الدور، والطور $\varphi$ (بثلاثة أرقام عشرية).
9. في أي لحظة تمر الكتلة أول مرة بوضع التوازن $y = 0$ ؟
10. النواس: كرة على خيط طوله $L$ تطيع *بالضبط* $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ — وهي غير قابلة للحل بالدوال الابتدائية. ومن أجل التأرجحات الصغيرة، عوّض $\theta$ محل $\sin\theta$ (والجزء الأول يبرّر ذلك!) واستنتج الدور $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . احسب $T$ من أجل $L = 1$ m (حيث $g = 9.81$ ): وهو اكتشاف غاليليو الشهير — فعلى أي مقدار *لا* تتعلق الصيغة؟
11. نواس الثانية: أي طول يعطي $T = 2$ s بالضبط؟ لقد ترددت أكاديمية العلوم الفرنسية سنة 1791 بين هذا الطول وبين جزء من عشرة ملايين من ربع خط الزوال لتعريف *المتر* — فبكم مليمترًا يختلف المرشحان؟

**الجزء الثالث — صيغ الجمع في العمل.**

12. بيّن بصيغ الجمع ( [القضية 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ) أن $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ و $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : فالاشتقاق الدائري ربع دورة — وتحقق من الاتساق مع [المبرهنة 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) .
13. استخرج متطابقة تحويل الجداء إلى مجموع $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) +  \cos(a + b)\right)$ والتخطيط $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (وسيشكرك فصل التكامل).
14. الضربات: استخرج $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}  \cos\frac{p - q}{2}$ ، وطبّقها على شوكتين رنانتين عند $440$ و $444$ Hz: فأي نغمة تسمعها الأذن، وكم نبضة في الثانية؟ (وهكذا تُدوزَن الأوركسترات.)
15. استخرج متطابقة الزاوية الثلاثية $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (بكتابة $3x = 2x + x$ ). وبوضع $x = 20^\circ$ ، أي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) تكعيبية يجب أن يحققها $\cos 20^\circ$ ؟ (وكون هذه التكعيبية غير قابلة للحل بالجذور التربيعية وحدها هو بالضبط سبب هزيمة تثليث الزاوية للمسطرة والفرجار طوال ألفي سنة — والحكاية الكاملة محكية في الكتب الجامعية.)
16. تيار متناوب مقداره $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . أعد كتابته على الصورة $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : فما التيار الأعظمي والطور؟

**الجزء الرابع — العالم المتذبذب.**

17. الأدوار: ما (أصغر) دور [للدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $\sin^2 t$ (استعمل السؤال 13)؟ وما دور $\sin(2t) + \sin(3t)$ ؟
18. النواس الحقيقي يُخمَّد: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . صِف الحركة، واحسب قيمة الغلاف عند $t = 10$ (فيظهر صديق قديم، [المسألة 23.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#pb-g12-exp-1) )، وسمِّ الفصل الذي تُحل فيه المعادلات ذات الحلول كهذه.
19. لماذا تحكم الجيوب وجيوب التمام كل اهتزاز؟ أعطِ قاموس الفيزياء إلى الرياضيات في جملتين (قوة إرجاع تتناسب مع الإزاحة $\rightarrow$ أي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\rightarrow$ أي حلول)، وقل ماذا يسهم به [التمرين 24.9](#exo-g12-trigo-9) في هذا الادعاء.
20. الخاتمة: قوس الفصل في أربع خطوات — نهاية [هندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) واحدة، ومشتقتان، [ومعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) تفاضلية واحدة، وكل التذبذب. وأما النجمة الأمينة: فمن أجل التأرجحات الواسعة يتضمن دور النواس الحقيقي تكاملًا إهليلجيًا، يُحسب بسرعة البرق بواسطة … [المتوسط الحسابي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) الهندسي عند غاوس، تحلية [المسألة 20.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#pb-g12-seq-1) . فخيوط السلسلة تعقد نفسها بنفسها.

**حل المسألة 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ و $0.99998\ldots$: أي زحفًا نحو $1$.

**2.** المثلث $OAM$: القاعدة $1$ والارتفاع $\sin x$: فمساحته $\frac{\sin x}{2}$. والقطاع $OAM$: وهو جزء $\frac{x}{2\pi}$ من قرص الوحدة: فمساحته $\frac x2$. والمثلث $OAT$: القاعدة $1$ والارتفاع $\tan x$: فمساحته $\frac{\tan x}{2}$.

**3.** المثلث يجلس داخل القطاع الجالس داخل المثلث الكبير: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$، أي $\sin x < x < \tan x$. ومن $\sin x < x$: $\frac{\sin x}{x} < 1$؛ ومن $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$، بالضرب في $\frac{\cos x}{x} > 0$: $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. ولما $x \to 0^+$، يكون $\cos x \to 1$: فبالحصر، $\frac{\sin x}{x} \to 1$؛ و $\frac{\sin x}{x}$ [زوجية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-parity)، إذن النهاية من الجهتين هي $1$.

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} =
\frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} =
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x}
\to 1 \times \frac12$.

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} =
1$: فاشتقاق [الجيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) [وجيب التمام](#def-g12-trigo-cossin) كله ينبع من هذه النهاية الواحدة. ولو قيست الزوايا بالدرجات، لكانت النهاية $\frac{\pi}{180}$، ولجرّت كل [مشتقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) ذلك الثابت: فالراديانات هي بالضبط الوحدة التي تجعل تحليل التذبذب نظيفًا.

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$، و $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$.

**7.** $\omega = 2$. و $y(0) = A = 3$؛ و $y'(0) = 2B = 8$: إذن $B = 4$: $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$.

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$؛ والدور $\frac{2\pi}{2} = \pi$؛ والطور $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$: $y = 5\cos(2t - 0.927)$.

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ أول مرة عندما يكون $2t - \varphi = \frac\pi2$: $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

**10.** مع $\sin\theta \approx \theta$: $\theta'' = -\frac gL \theta$: أي توافقية بالمقدار $\omega = \sqrt{\frac gL}$، ودورها $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. ومن أجل $L = 1$: $T \approx 2.006$ s. والدور لا يتعلق بالسعة (من أجل التأرجحات الصغيرة) — وهو تساوي الأزمنة عند غاليليو، وهي الواقعة التي تجعل ساعات النواس ممكنة.

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 =
\frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m: فنواس الثانية أقصر من متر خط الزوال بنحو $6$ mm. وقد اختارت الأكاديمية خط الزوال (لأن الثقالة تتغير من مكان إلى مكان، فتخون النواس)؛ ولو كان $g$ أكبر بشعرة، لكان مترنا يدقّ.

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$؛ $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$. إذن اشتقاق [الجيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) يعطي [الجيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/14-trigonometry-the-unit-circle#def-g11-trigo-cossin) منزاحًا ربع دورة (أي $\cos$)، ومرة أخرى ($-\sin$)، ومرة أخرى، فنعود إلى البيت في أربع خطوات: فالاشتقاق يدير الدائرة.

**13.** بجمع نشرَي $\cos(a \mp b)$: $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$. ومع $a = b = x$: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$، أي $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

**14.** مع $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ و $q$ نظيرتها، [بالنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) والجمع: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$. ومن أجل $440$ و $444$ Hz: نغمة عند $442$ Hz تُعدَّل شدتها بالمقدار $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — فتبلغ الشدة ذروتها $4$ مرات في الثانية (وهي [القيمة المطلقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-abs) للغلاف): أي أربع ضربات في الثانية، تتلاشى حين تتفق الشوكتان.

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x -
3\cos x$. وعند $x = 20^\circ$: $\cos 60^\circ = \frac12$، إذن يحقق $c = \cos 20^\circ$ [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — وهي تكعيبية لا حل لها بالجذور التربيعية: فإنشاء $20^\circ$، أي تثليث $60^\circ$، خارج قدرة المسطرة والفرجار.

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$؛ $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$: $\varphi = \frac\pi3$: $I(t) = 6\cos\left(100\pi t -
\frac\pi3\right)$: فالتيار الأعظمي $6$ أمبير، وتأخر الطور $60^\circ$.

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$: فالدور $\pi$. و $\sin 2t$ دورها $\pi$، و $\sin 3t$ دورها $\frac{2\pi}{3}$: فيتكرر المجموع بعد أصغر مضاعف مشترك، أي $2\pi$.

**18.** تذبذب دوره $1$ داخل الغلاف المنكمش $\pm\eu^{-t/10}$: فكل تأرجحة أدنى بنحو $10\,\%$. وعند $t = 10$ يكون الغلاف $\eu^{-1} \approx 0.368$ — أي ثابت [المسألة 23.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#pb-g12-exp-1) مرة أخرى. والمعادلات ذات الحلول المخمَّدة كهذه ($y'' + a y' + b y = 0$) تُحل في فصل المعادلات التفاضلية.

**19.** قوة تسحب راجعةً بالتناسب مع الإزاحة تعطي $y'' = -\omega^2 y$؛ ويبيّن [التمرين 24.9](#exo-g12-trigo-9) أن حلول تلك [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) هي *بالضبط* تراكيب $\cos$ و $\sin$ — فالوجود بالعرض، والوحدانية بالتمرين: فلا خيار للاهتزاز إلا أن يكون جيبيًا.

**20.** نهاية واحدة ($\frac{\sin x}{x} \to 1$، بحصر المساحات)، ومشتقتان ($\sin' = \cos$ و $\cos' = -\sin$)، [ومعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) واحدة ($y'' = -\omega^2 y$)، وعالم من الساعات والأوتار والتيارات والمدّ. وأما النجمة: فمن أجل التأرجحات الواسعة، $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot
\frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — [والمتوسط الحسابي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-mean) الهندسي في [المسألة 20.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#pb-g12-seq-1) يحسب التكامل الإهليلجي في حفنة تكرارات: فمذكّرة غاوس ونواس غاليليو على بعد صيغة واحدة.