---
title: "المعادلات التفاضلية"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/26-differential-equations
---

# الفصل 26 — المعادلات التفاضلية

تربط [المعادلة التفاضلية](#def-g12-diffeq-ode) [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) بمشتقاتها. وتعبّر الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد عن قوانينها بهذه الصورة: فمعدل تبرّد جسم، وتفكك نواة مشعّة، ونمو مجموعة سكانية، كلها عبارات عن $y'$. ويحل هذا الفصل حلًا كاملًا المعادلات الخطية من المرتبة الأولى ذات المعاملات الثابتة.

## 26.1 المعادلة $y' = ay$

**تعريف 26.1 (المعادلة التفاضلية).**

*المعادلة التفاضلية* هي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) مجهولها [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $y$، وتتضمن $y$ ومشتقاتها. و *الحل* على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ هو [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) قابلة للاشتقاق تحقق [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) عند كل نقطة من $I$.

**مبرهنة 26.2 (حلول y′=ayy' = ayy′=ay).**

ليكن $a \in \R$. حلول [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ على $\R$ هي بالضبط الدوال

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

ومن أجل كل زوج $(x_0, y_0)$ يوجد حل وحيد حيث $y(x_0) = y_0$.

**برهان.** كل [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $y = C\eu^{ax}$ تحقق $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$. وبالعكس، لتكن $y$ أي حل ولنضع $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$. عندئذٍ

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

إذن $z$ ثابتة، ولتكن $C$، ويكون $y(x) = C\eu^{ax}$. والشرط الابتدائي $y(x_0) = y_0$ يفرض $C = y_0 \eu^{-a x_0}$، على نحو وحيد. ∎

**ملاحظة 26.3.**

وهكذا *تتميز* [الدالة الأسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#thm-g12-exp-existence) بأبسط المعادلات التفاضلية على الإطلاق: نمو يتناسب مع الحجم. ولهذا تظهر في كل مكان من الطبيعة.

![تفرض المعادلة y' = y ميلًا عند كل نقطة من المستوي (القطع الرمادية). والحلول C x — وهنا C = 1 (بالأزرق) و C = 0.3 (بالأحمر) و C = -0.5 (بالبرتقالي) — هي بالضبط المنحنيات التي تتبع حقل الميول هذا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*تفرض [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ ميلًا عند كل نقطة من المستوي (القطع الرمادية). والحلول $C\eu^{x}$ — وهنا $C = 1$ (بالأزرق) و $C = 0.3$ (بالأحمر) و $C = -0.5$ (بالبرتقالي) — هي بالضبط المنحنيات التي تتبع حقل الميول هذا.*

**مثال 26.4 (التفكك الإشعاعي).**

تحقق كمية مشعّة العلاقة $N' = -\lambda N$ حيث $\lambda > 0$، إذن $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$؛ وانظر [المثال 23.9](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#ex-g12-exp-halflife) من أجل نصف العمر.

## 26.2 المعادلة $y' = ay + b$

**مبرهنة 26.5 (حلول y′=ay+by' = ay + by′=ay+b).**

ليكن $a \neq 0$ و $b \in \R$. حلول [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = ay + b$ على $\R$ هي بالضبط الدوال

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

[والدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) الثابتة $y_p = -\frac ba$ هي *الحل التوازني*. ومن أجل كل $(x_0, y_0)$ يوجد حل وحيد حيث $y(x_0) = y_0$؛ وإذا كان $a < 0$، آل كل حل إلى التوازن $-\frac ba$ لما $x \to +\infty$.

**برهان.** المقدار الثابت $y_p = -\frac{b}{a}$ يحقق $y_p' = 0 = a y_p + b$. والآن تكون $y$ حلًا إذا وفقط إذا كان

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

أي إذا وفقط إذا كانت $z = y - y_p$ حلًا [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $z' = az$. وحسب [المبرهنة 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous)، $z = C\eu^{ax}$، ومنه الصيغة والوجود والوحدانية. وإذا كان $a < 0$، فإن $\eu^{ax} \to 0$ لما $x \to +\infty$، إذن $y(x) \to -\frac ba$. ∎

**طريقة 26.6 (حل y′=ay+by' = ay + by′=ay+b مع شرط ابتدائي).**

1. أوجد الحل التوازني $y_p = -\frac{b}{a}$ (بحل $y' = 0$ ).
2. اكتب الحل العام $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
3. حدّد $C$ من الشرط الابتدائي.
4. تحقق من السلوك بعيد [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) في مواجهة الحدس الفيزيائي (فهل يتقارب الحل إلى التوازن؟).

والاستراتيجية نفسها — *حل خاص + الحل العام [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) المتجانسة* — تمتد إلى $y' = ay + f(x)$: انظر [القضية 26.8](#prop-g12-diffeq-general).

**مثال 26.7 (قانون نيوتن في التبرّد).**

فنجان قهوة عند $80\,^\circ$C يقف في غرفة عند $20\,^\circ$C. وينص قانون نيوتن على أن درجة الحرارة $T$ تحقق $T' = -k(T - 20)$ من أجل $k > 0$ ما، *أي* $T' = -kT + 20k$. والتوازن هو $20$، و $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$: فتبرد القهوة بسرعة أسية إلى درجة حرارة الغرفة.

![مهما كانت درجة حرارتها الابتدائية، تتقارب كل حلول T' = -k(T - 20) تقاربًا أسيًا إلى التوازن T = 20.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-a8b55e6847b6.svg)

*مهما كانت درجة حرارتها الابتدائية، [تتقارب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) كل حلول $T' = -k(T - 20)$ تقاربًا أسيًا إلى التوازن $T = 20$.*

## 26.3 المعادلة $y' = ay + f(x)$

**قضية 26.8 (بنية مجموعة الحلول).**

لتكن $f$ [متصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $I$ وليكن $y_p$ حلًا خاصًا واحدًا [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation)

$$
y' = ay + f(x)
$$

على $I$. عندئذٍ تكون الحلول على $I$ هي بالضبط الدوال $y = C\eu^{ax} + y_p$، حيث $C \in \R$.

**برهان.** كما في [المبرهنة 26.5](#thm-g12-diffeq-affine): تكون $y$ حلًا إذا وفقط إذا كانت $z = y - y_p$ تحقق $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$، أي إذا وفقط إذا كانت $z = C\eu^{ax}$. ∎

**طريقة 26.9 (تخمين حل خاص).**

ابحث عن حل خاص *من شكل $f$ نفسه*:

- إذا كانت $f$ كثير حدود درجته $n$ : فجرّب كثير حدود درجته $n$ ؛
- $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ حيث $k \neq a$ : فجرّب $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ؛
- $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (حالة الرنين): فجرّب $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

ثم عوّض في [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) وطابق المعاملات.

**مثال 26.10.**

حل $y' = 2y + 4x$. جرّب $y_p = \alpha x + \beta$: فإن $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ من أجل كل $x$ يفرض $2\alpha + 4 = 0$ و $\alpha = 2\beta$، إذن $\alpha = -2$ و $\beta = -1$. والحل العام: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$.

## 26.4 تمارين

**تمرين 26.1 ★.**

حل على $\R$: (أ) $y' = 3y$ حيث $y(0) = 2$؛ (ب) $2y' + y = 0$ حيث $y(0) = -1$؛ (ج) $y' = -y + 5$ حيث $y(0) = 0$.

**حل التمرين 26.1.**

*(أ)* $y = C\eu^{3x}$؛ و $y(0) = 2$ يعطي $y = 2\eu^{3x}$.

*(ب)* $y' = -\frac12 y$، إذن $y = C\eu^{-x/2}$؛ و $y(0) = -1$ يعطي $y = -\eu^{-x/2}$.

*(ج)* التوازن $y_p = 5$؛ و $y = C\eu^{-x} + 5$؛ و $y(0) = 0$ يعطي $C = -5$: $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$.

**تمرين 26.2 ★.**

تنمو مجموعة بكتيرية بمعدل يتناسب مع حجمها، فتتضاعف كل $3$ ساعات. اكتب [المعادلة التفاضلية](#def-g12-diffeq-ode) التي يحققها التعداد $N(t)$ وحدّد ثابت التناسب.

**حل التمرين 26.2.**

$N' = kN$، إذن $N(t) = N_0 \eu^{kt}$. والتضاعف في $3$ ساعات يعني $\eu^{3k} = 2$، *أي*

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.
$$

**تمرين 26.3 ★.**

تحقق من أن $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ حل [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = y + \eu^x$، و أعطِ كل الحلول على $\R$.

**حل التمرين 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$: إذن $y_p$ حل خاص (وهذه هي حالة الرنين في [الطريقة 26.9](#met-g12-diffeq-particular)). وحسب [القضية 26.8](#prop-g12-diffeq-general)، تكون الحلول $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$، حيث $C \in \R$.

**تمرين 26.4 ★★.**

حل $y' = -2y + \eu^{x}$ حيث $y(0) = 1$. (إرشاد: ابحث عن حل خاص من الشكل $\beta\,\eu^{x}$.)

**حل التمرين 26.4.**

جرّب $y_p = \beta\eu^x$: فإن $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ يعطي $3\beta = 1$، إذن $y_p = \frac13\eu^x$. والحل العام $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$؛ والشرط $y(0) = 1$ يعطي $C = \frac23$:

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**تمرين 26.5 ★★.**

يتفكك الكربون 14 بنصف عمر قدره $5730$ سنة. وتحوي [عينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) أثرية $60\%$ من كربون 14 الذي في كائن حي. قدّر عمرها.

**حل التمرين 26.5.**

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ مع $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ ([المثال 23.9](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#ex-g12-exp-halflife)). ونحل $\eu^{-\lambda t} = 0.6$:

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ سنة}.
$$

**تمرين 26.6 ★★.**

خزان يحوي $100$ L من الماء النقي. ويدخله محلول ملحي فيه $0.2$ kg من الملح في كل لتر بمعدل $5$ L/min، ويخرج المزيج (المحفوظ متجانسًا) بالمعدل نفسه. وليكن $m(t)$ كتلة الملح في الخزان عند اللحظة $t$ (بالدقائق).

1. برّر أن $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
2. حل، وحدّد نهاية $m(t)$ لما $t \to +\infty$ . وفسّر.

**حل التمرين 26.6.**

*1.* يدخل الملح بمعدل $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. ويحمل التدفق الخارج تركيزًا $\frac{m}{100}$ kg/L بمعدل $5$ L/min، *أي* $\frac{m}{20}$ kg/min. ومنه $m' = 1 - \frac{m}{20}$.

*2.* التوازن $m_p = 20$؛ و $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$، و $m(0) = 0$ يعطي $C = -20$:

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

وعلى [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) الطويل يساوي تركيز الخزان تركيز المحلول الداخل: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

**تمرين 26.7 ★★.**

قافزة بالمظلة كتلتها $80$ kg تسقط تحت تأثير الثقالة ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) ومقاومة الهواء المتناسبة مع السرعة، بحيث تحقق سرعتها $v' = g - \frac{k}{m}v$ حيث $k = 16$ kg/s.

1. حل [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) حيث $v(0) = 0$ .
2. احسب *السرعة الحدية* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ ، ثم الزمن اللازم لبلوغ $95\%$ منها.

**حل التمرين 26.7.**

*1.* $v' = g - \frac{k}{m} v$ مع $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$. والتوازن $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s؛ و $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$، و $v(0) = 0$ يعطي

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* السرعة الحدية $49$ m/s ($\approx 176$ km/h). ونريد $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$، *أي* $\eu^{-0.2t} = 0.05$:

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.
$$

**تمرين 26.8 ★★★.**

*([المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) اللوجستية.)* تحقق مجموعة سكانية $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (منسوبةً إلى التعداد الأقصى) العلاقة

$$
y' = y(1 - y).
$$

1. ليكن $z = \dfrac{1}{y}$ . بيّن أن $z$ تحقق [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الخطية $z' = -z + 1$ .
2. حل بالنسبة إلى $z$ ، ثم بالنسبة إلى $y$ ، حيث $y(0) = \frac{1}{10}$ .
3. بيّن أن $y(t) \to 1$ لما $t \to +\infty$ وارسم تقريبيًا شكل [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الحل.

**حل التمرين 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ يعطي $z' = -\frac{y'}{y^2}
= -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$.

*2.* التوازن $z_p = 1$، إذن $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$. ومن $y(0) = \frac{1}{10}$، يكون $z(0) = 10$، إذن $C = 9$ و

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* لما $t \to +\infty$، يكون $9\eu^{-t} \to 0$ و $y(t) \to 1$. [والمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) هو [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) اللوجستي الكلاسيكي على شكل S (*السيني*): نمو بطيء في البداية ($y$ صغير و $y' \approx y$)، وأسرع نمو عند $y = \frac12$ (حيث يكون $y' = y(1-y)$ أعظميًا)، ثم إشباع نحو سعة [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $1$.

**تمرين 26.9 ★★★.**

لتكن $y$ حلًا [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $y' = ay + b$ وليكن $u_n = y(n)$ من أجل $n \in \N$. بيّن أن $(u_n)$ تحقق علاقة تراجعية [حسابية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) [هندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) $u_{n+1} = q u_n + r$، وعبّر عن $q$ و $r$ بدلالة $a$ و $b$. وما الذي يوافقه الشرط $\abs{q} < 1$ بالنسبة إلى [المعادلة التفاضلية](#def-g12-diffeq-ode)؟

**حل التمرين 26.9.**

حسب [المبرهنة 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)، $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$. ومنه

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

مع $q = \eu^{a}$ و $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$. والشرط $\abs q < 1$ يعني $\eu^a < 1$، *أي* $a < 0$: وهو بالضبط الشرط الذي [تتقارب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-limit) تحته حلول [المعادلة التفاضلية](#def-g12-diffeq-ode) إلى التوازن $-\frac ba$ — وفعلًا فإن [النقطة الثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) للعلاقة التراجعية هي $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$.

## 26.5 مسألة: الساعة التي داخل الأشياء

**مسألة 26.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الكربون 14 يؤرّخ الكهوف، وقانون نيوتن في التبرّد يوقّت جريمة، ومعادلة صغيرة واحدة ترتدي أربعة أثواب

[المعادلة التفاضلية](#def-g12-diffeq-ode) قانون تغيّر؛ وحلّها يحوّل القانون إلى *ساعة*. [والمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الصغيرة نفسها $y' = ay + b$ ([المبرهنة 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)) تدقّ داخل الفحم ما قبل التاريخي، والقهوة المتبرّدة، وقطرات المطر الساقطة، و المحاليل الوريدية في المستشفى — وقراءة تلك الساعات هي شغل هذه المسألة: فهي تؤرّخ رسوم لاسكو، وتحدّد ساعة وفاة، وتدقّق فرضياتها كما يفعل عالِم جيد.

**الجزء الأول — التمكّن.**

1. حل $y' = 3y$ حيث $y(0) = 2$ ؛ ثم $y' = -2y + 6$ حيث $y(0) = 0$ ( [الطريقة 26.6](#met-g12-diffeq-solve) ).
2. أعد استخراج حيلة الوحدانية وراء [المبرهنة 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) : إذا كان $y' = ay$ ، فاحسب [مشتقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-derivative) $y(t)\,\eu^{-at}$ واستنتج أن *كل* حل هو $C\eu^{at}$ .
3. من أجل $y' = -2y + 6$ : أوجد الحل التوازني، ثم صِف مصير كل حل آخر لما $t \to +\infty$ . (وهي النقط الثابتة لعلاقات [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#pb-g11-seq-1) التراجعية، وقد صارت [متصلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/21-limits-and-continuity#def-g12-limcont-continuity) .)
4. من أجل قانون التفكك $y' = -\frac{y}{\tau}$ : بيّن أن نصف العمر هو $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
5. ارسم تقريبيًا (أو صِف) عائلة حلول $y' = -2y + 6$ : فماذا تفعل الحلول التي تبدأ فوق $3$ ؟ وتحت $3$ ؟ وعند $3$ ؟

**الجزء الثاني — الكربون 14.** تحافظ الأنسجة الحية على نسبة ثابتة من الكربون 14 المشعّ؛ وعند الموت يتوقف الاستهلاك ويتفكك المخزون: $N' = -\lambda N$، ونصف العمر $5\,730$ سنة.

6. احسب $\lambda$ (في السنة).
7. عظمة تحتفظ بنسبة $20\,\%$ من نسبة الحي: فكم عمرها؟
8. يحتفظ فحم من كهوف لاسكو المرسومة بنحو $15\,\%$ : فأرّخ الرسوم.
9. رجل الجليد أوتزي، الذي وُجد في نهر جليدي في الألب، بلغ قياسه نحو $53\,\%$ : فأرّخه (ويقول علماء الآثار نحو $5\,300$ سنة — فكيف كان أداؤك؟).
10. لماذا لا يستطيع الكربون 14 تأريخ الديناصورات؟ احسب الجزء الباقي بعد عشرة أنصاف أعمار، وصُغ الجزء بعد $65$ مليون سنة على صورة قوة للعدد $2$ ، ثم اختم.
11. حدود الخطأ: إذا لم تكن نسبة أوتزي $53\,\%$ معلومة إلا بدقة $\pm 1\,\%$ ، فاحسب مجال العمر. فأي دقة في المخبر تشتري أي دقة في التأريخ؟

**الجزء الثالث — تبرّد نيوتن، وجريمة.** جسم درجة حرارته $T$ في محيط درجة حرارته ثابتة $T_a$ يبرد وفق $T' = -k\,(T - T_a)$.

12. حل [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) (بالتعويض $z = T - T_a$): $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. قهوة تُصبّ عند $90\,^\circ$ C في غرفة عند $20\,^\circ$ C تقيس $70\,^\circ$ C بعد $5$ دقائق. حدّد $k$ ، ثم زمن الانتظار حتى تصير قابلة للشرب عند $55\,^\circ$ C.
14. مسألة الحليب: لشرب أدفأ قهوة ممكنة خلال عشر دقائق، أينبغي وضع الحليب البارد الآن أم في اللحظة الأخيرة؟ أجب [بالمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) (فماذا تفعل إضافة الحليب بالفجوة $T - T_a$ ، وكيف تقود الفجوة الفقد؟).
15. الطب الشرعي: يُعثر على جثة عند [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) الليل عند $30\,^\circ$ C في غرفة عند $20\,^\circ$ C؛ وبعد ساعة تقيس $28\,^\circ$ C. وبافتراض $37\,^\circ$ C عند لحظة الوفاة، استعد $k$ من القياسين، ثم احسب ساعة الوفاة.
16. دقّق ساعة الطبيب الشرعي: سمِّ ثلاثة انتهاكات واقعية لفرضيات النموذج، وسمِّ الجهة التي يحرف نحوها كل منها ساعة الوفاة المقدَّرة.

**الجزء الرابع — أربعة أثواب [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) S.**

17. [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) اللوجستية في [التمرين 26.8](#exo-g12-diffeq-8) ، $y' = y(1 - y)$ حيث $y(0) = 0.1$ : باستعمال تعويض التمرين، استخرج $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ ، ثم أوجد لحظة [نقطة الانعطاف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#def-g12-deriv-inflection) $y = \frac12$ — وهو تاريخ عالِم الأوبئة في [المسألة 22.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/22-differentiation-and-convexity#pb-g12-deriv-1) ، وقد صار قابلًا للحساب.
18. قطرة مطر تطيع $v' = 10 - \frac v2$ (الثقالة ناقص قوة السحب)، حيث $v(0) = 0$ . أوجد السرعة الحدية، ثم حل لإيجاد $v(t)$ ، ثم احسب متى تبلغ القطرة $95\,\%$ من السرعة الحدية.
19. محلول وريدي في مستشفى يسلّم دواءً بمعدل ثابت بينما يطرحه الجسم تناسبيًا: $c' = 4 - 0.5c$ حيث $c(0) = 0$ . أوجد التركيز المستقر والزمن اللازم لبلوغ نصفه. وصُغ في جملة واحدة التوازي مع علاقات القرض التراجعية في [التمرين 26.9](#exo-g12-diffeq-9) .
20. الخاتمة — [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) واحدة، وأربعة أثواب: التفكك، والتبرّد، والسقوط، والجرعات، وكلها $y' = ay + b$ بإشارات وأسماء مختلفة. اسرد حلقة النمذجة التي شغّلتها هذه المسألة أربع مرات (قانون $\to$ [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\to$ حل $\to$ معايرة $\to$ تنبؤ $\to$ تدقيق)، وسمِّ الظاهرة التي تحتاج إلى $y''$ — وأي مسألة لقيتها من قبل.

**حل المسألة 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$. ومن أجل الثانية: التوازن $3$، إذن $y = 3 + C\eu^{-2t}$ مع $y(0) = 0$: أي $C = -3$: $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$.

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} -
ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$: فالجداء مقدار ثابت $C$، إذن $y = C\eu^{at}$ — فلا حل يفلت.

**3.** التوازن: $y \equiv 3$. وكل حل آخر هو $3 + C\eu^{-2t}$ حيث $C \neq 0$: فتموت [الدالة الأسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/23-exponential-and-logarithm#thm-g12-exp-existence) وينزلق الحل إلى $3$ — وهي [نقطة ثابتة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#pb-g10-functions-1) مستقرة، التوأم المتصل للنقط الثابتة التراجعية في [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#pb-g11-seq-1).

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ ينتصف عندما يكون $\eu^{-t/\tau} = \frac12$: أي $t = \tau\ln 2$.

**5.** كل الحلول انسحابات شاقولية للتفكك نحو $3$: فالتي تبدأ فوقه تهبط إلى $3$، والتي تبدأ تحته ترتفع إلى $3$، والحل الثابت $3$ يقف ساكنًا — إنه قِمع حول التوازن.

**6.** $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times
10^{-4}$ في السنة.

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$: $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ سنة.

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ سنة: فثيران لاسكو من أواخر العصر الجليدي.

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ سنة: أي ضمن عمر إنسان من قيمة علماء الآثار — فالساعة تعمل.

**10.** عشرة أنصاف أعمار تترك $2^{-10} \approx 0.1\,\%$: أي على حافة القياس. وبعد $65$ مليون سنة يكون الجزء $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$: فلا تبقى ذرة من المخزون الأصلي في أي أحفورة — وتُؤرَّخ الديناصورات بساعات أبطأ (البوتاسيوم–الأرغون وأمثاله).

**11.** $52\,\%$ تعطي $\approx 5\,405$ سنة، و $54\,\%$ تعطي $\approx 5\,095$: أي إن $\pm 1\,\%$ من الكيمياء تصير نحو $\pm 155$ سنة من التاريخ — فالدقة في المخبر دقة في لوحة المتحف.

**12.** $z = T - T_a$ تحقق $z' = -kz$: $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$، و $T = T_a + z$.

**13.** الفجوة الابتدائية $T_0 - T_a = 70$؛ وبعد خمس دقائق تكون الفجوة $70 - 20 = 50$، إذن $50 = 70\eu^{-5k}$: أي $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ في الدقيقة. وتصير قابلة للشرب عند: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$: $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ دقيقة.

**14.** معدل الفقد يتناسب مع الفجوة $T - T_a$: فالقهوة الحارقة تنزف الحرارة أسرع. وإضافة الحليب *الآن* تقلّص الفجوة فورًا، فيُفقد حرّ أقل خلال العشر دقائق؛ أما إضافته في النهاية فتترك القهوة تبرد بأقصى سرعة أولًا. فمن أجل أدفأ فنجان: الحليب أولًا. (والمضيفون العجولون يقلبون الترموديناميك.)

**15.** الفجوات عن المحيط: عند [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) الليل $10$، وبعد ساعة $8$: إذن $\eu^{-k} = 0.8$: $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ في الساعة. وعند الوفاة كانت الفجوة $17$؛ وقد تفككت إلى $10$ عند [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) الليل: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ ساعة. فساعة الوفاة: نحو $21{:}40$.

**16.** غرفة مدفَّأة أو ذات تيار هواء ($T_a$ غير ثابتة) تحرف الساعة في أي من الجهتين؛ والملابس أو كتلة الجسم تغيّر $k$ (وجداول الطبيب الشرعي تصحّح لذلك) — و $k$ الخاطئ يضرب [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) كلها بمعامل؛ وجثة نُقلت من مكان آخر تعيد ضبط $T_a$ في [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) التفكك، فتزيّف وفاة أبكر أو أمتأخر. [فالمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) أمينة؛ والفرضيات هي التي تحمل الخطر.

**17.** $z = \frac1y$ تطيع $z' = 1 - z$: $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (من $z(0) = 10$)، إذن $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$. والانعطاف عند $y = \frac12$: $9\eu^{-t} = 1$: $t = \ln 9 \approx 2.2$ — وهو تاريخ انقلاب الوباء، مباشرة من الصيغة.

**18.** السرعة الحدية: $v' = 0$ عند $v = 20$ m/s. والحل: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$. ثم $0.95$: $\eu^{-t/2} = 0.05$: $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — فقطرات المطر تبلغ سرعتها المستقرة في ثوانٍ، ولهذا لا يقتل المطر.

**19.** الحالة المستقرة: $c = 8$. ونصفها: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$: $\eu^{-t/2} = \frac12$: $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ ساعة. فالمحلول الوريدي هو التوأم المتصل للقرض: دخل ثابت، وخروج تناسبي — و [التمرين 26.9](#exo-g12-diffeq-9) يجعل القاموس مضبوطًا.

**20.** التفكك ($a < 0$ و $b = 0$)، والتبرّد ($y = T - T_a$)، والسقوط ($a < 0$ و $b > 0$: اقتراب من التوازن من تحت)، والجرعات (المثل نفسه، في وريد): [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) واحدة، وأربعة عوالم. والحلقة: صُغ قانون التغيّر؛ واكتب [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation)؛ وحلّ ([الطريقة 26.6](#met-g12-diffeq-solve))؛ وعاير الثوابت على القياسات؛ وتنبّأ؛ ثم دقّق الفرضيات (السؤال 16). وأما التذبذب فيحتاج إلى $y'' = -\omega^2 y$ — وقد لُقي وحُلّ و أُطلق متأرجحًا في [المسألة 24.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#pb-g12-trigo-1).