--- title: "الأعداد العقدية" book: "رياضيات المرحلة الثانوية" subject: math language: ar chapter: 28 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/28-complex-numbers --- # الفصل 28 — الأعداد العقدية ليس [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $x^2 = -1$ حل حقيقي. وتوسيع $\R$ بعدد جديد واحد $\iu$ مربعه $-1$ ينتج حقل $\C$ للأعداد العقدية، الذي يكون فيه حلول من أجل *كل* [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) كثيرة حدود — والذي يشفّر حسابه هندسة المستوي: فتصير الانسحابات والدورانات والتحاكيات جمعًا وضربًا. ## 28.1 الصورة الجبرية **تعريف 28.1 (الأعداد العقدية).** مجموعة *الأعداد العقدية* هي $$ \C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}, $$ حيث $\iu$ رمز يخضع للقاعدة الوحيدة $\iu^2 = -1$؛ ويُجرى الجمع والضرب كما يُجريان على كثيرات الحدود الحقيقية في $\iu$، مع ردّ $\iu^2$ إلى $-1$. والعددان الحقيقيان $a$ و $b$ هما *الجزء الحقيقي* $\Rea(z)$ و*الجزء التخيلي* $\Ima(z)$ للعدد $z = a + \iu b$؛ وهذه العبارة هي *الصورة الجبرية* للعدد $z$، وهي وحيدة: $a + \iu b = a' + \iu b'$ إذا وفقط إذا كان $a = a'$ و $b = b'$. **مثال 28.2.** $(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$. **تعريف 28.3 (المرافق).** *مرافق* العدد $z = a + \iu b$ هو $\conj{z} = a - \iu b$. **قضية 28.4 (خواص الترافق).** من أجل كل $z, w \in \C$: $$ \conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z), $$ و $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ من أجل $z = a + \iu b$. وفوق ذلك يكون $z \in \R$ إذا وفقط إذا كان $z = \conj z$. **برهان.** كلها حسابات مباشرة انطلاقًا من الصور الجبرية؛ فمثلًا $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$. ∎ **طريقة 28.5 (قسمة الأعداد العقدية).** لكتابة خارج قسمة على [الصورة الجبرية](#def-g12-complex-def)، اضرب البسط والمقام في [مرافق](#def-g12-complex-conjugate) المقام: $$ \frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu . $$ ومنه فلكل [عدد عقدي](#def-g12-complex-def) غير معدوم مقلوب: أي إن $\C$ *حقل*. ## 28.2 المستوي العقدي والمقياس والعمدة **تعريف 28.6 (اللاحقة والمقياس).** في المستوي المزوَّد [بإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) متعامدة ومتجانسة، تكون النقطة $M(a, b)$ *صورة* العدد $z = a + \iu b$، ويكون $z$ هو *لاحقة* النقطة $M$. و *مقياس* العدد $z$ هو المسافة من $M$ إلى المبدأ: $$ \abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}. $$ ![النقطة M(a,b) ذات اللاحقة z: فالمقياس z هو الطول OM، والمرافق z هو نظير z بالنسبة إلى المحور الحقيقي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-0baf1f3783e3.svg) *النقطة $M(a,b)$ ذات [اللاحقة](#def-g12-complex-modulus) $z$: [فالمقياس](#def-g12-complex-modulus) $\abs z$ هو الطول $OM$، [والمرافق](#def-g12-complex-conjugate) $\conj z$ هو نظير $z$ بالنسبة إلى المحور الحقيقي.* **قضية 28.7 (خواص المقياس).** من أجل $z, w \in \C$: $$ \abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z, \qquad \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(متراجحة المثلث)}. $$ وفوق ذلك، $\abs{z_B - z_A}$ هو المسافة بين النقطتين ذواتي اللاحقتين $z_A$ و $z_B$. **برهان.** $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ يعطي الأولى؛ والثانية والثالثة مماثلتان. وأما متراجحة المثلث: $$ \abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2, $$ باستعمال $\Rea(u) \leq \abs u$. وأما عبارة المسافة فهي صيغة فيثاغورس مطبَّقة على [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $z_B - z_A$. ∎ **تعريف 28.8 (العمدة والصورتان المثلثية والأسية).** ليكن $z \neq 0$. *عمدة* العدد $z$، وتُكتب $\Arg(z)$، هي أي قياس $\theta$ للزاوية من المحور الحقيقي الموجب إلى نصف المستقيم $OM$؛ وهي معرَّفة إلى غاية $2k\pi$. وبكتابة $r = \abs z$، $$ z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(الصورة المثلثية)}. $$ وبإدخال الترميز $$ \eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta, $$ يصير هذا هو *الصورة الأسية* $z = r\,\eu^{\iu\theta}$. ![الصورة الأسية: يتحدّد z ببعده r عن المبدأ وبالزاوية من المحور الحقيقي الموجب.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-b5b1d1679901.svg) *[الصورة الأسية](#def-g12-complex-argument): يتحدّد $z$ ببعده $r$ عن المبدأ وبالزاوية $\theta$ من المحور الحقيقي الموجب.* **مبرهنة 28.9.** من أجل كل $\theta, \theta' \in \R$: $$ \eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 . $$ ومنه، من أجل $z = r\eu^{\iu\theta}$ و $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ غير معدومين: $$ zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} : $$ *فالمقاييس تُضرب، والعمد تُجمع.* **برهان.** المتطابقة الأولى *هي* زوج صيغتي الجمع ([القضية 24.3](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#prop-g12-trigo-addition)): $$ (\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta'). $$ وتنتج البقية بحساب مباشر. ∎ **نتيجة 28.10 (صيغة دي موافر).** من أجل $\theta \in \R$ و $n \in \Z$: $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$. **برهان.** بالتراجع على $n \geq 0$ باستعمال [المبرهنة 28.9](#thm-g12-complex-expform)؛ ثم مدّد إلى $n < 0$ بأخذ المقلوبات. ∎ **طريقة 28.11 (الانتقال بين الصور).** من الجبرية إلى الأسية: احسب $r = \abs z$، ثم أوجد $\theta$ حيث $\cos\theta = \frac ar$ و $\sin\theta = \frac br$ (وحدّد الربع الصحيح قبل استدعاء قوس [جيب التمام](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#def-g12-trigo-cossin)). ومن الأسية إلى الجبرية: انشر $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$. واستعمل [الصورة الجبرية](#def-g12-complex-def) من أجل المجاميع، و [الصورة الأسية](#def-g12-complex-argument) من أجل الجداءات والقوى وخوارج القسمة. **مثال 28.12.** $z = 1 + \iu$: $\abs z = \sqrt2$ و $\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$، إذن $\theta = \frac\pi4$ و $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$. ومنه $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$. ## 28.3 معادلات الدرجة الثانية وجذور الوحدة **مبرهنة 28.13 (المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية).** ليكن $a, b, c \in \R$ و $a \neq 0$ و $\Delta = b^2 - 4ac$. [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $az^2 + bz + c = 0$ حلول في $\C$: $$ \begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{حلان حقيقيان}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{حل مضاعف}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{حلان مترافقان}). \end{aligned} $$ **برهان.** أكمل المربع: $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right)$. فإذا كان $\Delta < 0$، فإن $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$، ويُحلَّل فرق المربعين كالعادة. ∎ **تعريف 28.14 (جذور الوحدة).** من أجل $n \geq 1$، *جذور الوحدة من الرتبة $n$* هي حلول [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$. **مبرهنة 28.15.** [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$ بالضبط $n$ حلًا: $$ \omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 . $$ وصورها هي رؤوس مضلع منتظم ذي $n$ ضلعًا مرسوم داخل دائرة الوحدة، ومجموعها $0$ من أجل $n \geq 2$. **برهان.** كل عدد $\omega_k$ يحقق $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$، وهي متمايزة مثنى مثنى لأن عمدها تقع في $\intco{0}{2\pi}$. وبالعكس، إذا كان $z^n = 1$ فإن $\abs z^n = 1$، إذن $\abs z = 1$ (لأنه حقيقي موجب) و $z = \eu^{\iu\theta}$ حيث $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$، *أي* $\theta = \frac{2k\pi}{n}$؛ وردّ $k$ بالباقي حسب $n$ يوقعنا بين الأعداد $\omega_k$. والرؤوس متباعدة بالتساوي بزاوية $\frac{2\pi}{n}$: أي مضلع منتظم ذو $n$ ضلعًا. وأخيرًا، مع $\omega = \omega_1$، يكون $\omega \neq 1$ ويعطي المجموع الهندسي $$ \sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere $$ ∎ ![جذور الوحدة الخماسية، = 2 π/5: وهي رؤوس مخمَّس منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-613555d80b0f.svg) *[جذور الوحدة](#def-g12-complex-rootsofunity) الخماسية، $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: وهي رؤوس مخمَّس منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة ([التمرين 28.10](#exo-g12-complex-10)).* **مثال 28.16.** [جذور الوحدة](#def-g12-complex-rootsofunity) التكعيبية هي $1$ و $j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ و $\conj j = j^2$، وهي تحقق $1 + j + j^2 = 0$. ## 28.4 الأعداد العقدية وهندسة المستوي **قضية 28.17 (القاموس الهندسي).** لتكن $A, B, C, D$ نقطًا لواحقها $a, b, c, d$ (حيث $a \neq b$ و $c \neq d$). 1. الانسحاب [بالمتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) ذات [اللاحقة](#def-g12-complex-modulus) $t$ هو $z \mapsto z + t$ . 2. الدوران الذي مركزه $\omega$ (لاحقةً) وزاويته $\theta$ هو $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ . 3. التحاكي الذي مركزه $\omega$ ونسبته $k \in \R^*$ هو $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ . 4. للعدد $\dfrac{d - c}{b - a}$ [المقياس](#def-g12-complex-modulus) $\dfrac{CD}{AB}$ وعمدته الزاوية بين المتجهتين $\vect{AB}$ و $\vect{CD}$ . وخاصة، يكون $AB \perp CD$ إذا وفقط إذا كان $\frac{d-c}{b-a}$ تخيليًا صرفًا، وتكون $A, B, C$ على استقامة واحدة (حيث $C \ne A$ و $C\ne B$ ) إذا وفقط إذا كان $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ . **برهان.** تعيد (1) و (3) صياغة الصيغ [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system). وأما (2)، فالتطبيق $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ يضرب المقاييس في $1$ ويضيف $\theta$ إلى العمد: فهو الدوران بزاوية $\theta$ حول المبدأ؛ والاقتران بالانسحاب الذي يرسل $\omega$ إلى $0$ يعطي المركز العام. وأما (4)، فمقاييس خوارج القسمة وعمدها تُطرح ([المبرهنة 28.9](#thm-g12-complex-expform)). ∎ ## 28.5 تمارين **تمرين 28.1 ★.** اكتب على [الصورة الجبرية](#def-g12-complex-def): $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$، $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$، $\iu^{2027}$. **حل التمرين 28.1.** $(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$. $\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$. $\iu^{2027}$: بما أن $\iu^4 = 1$ و $2027 = 4 \times 506 + 3$، فإن $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$. **تمرين 28.2 ★.** حل في $\C$: (أ) $z^2 - 4z + 13 = 0$؛ (ب) $z^2 + z + 1 = 0$. وتحقق في كل حالة من أن الحلين مترافقان واحسب جداءهما. **حل التمرين 28.2.** *(أ)* $\Delta = 16 - 52 = -36$: $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$. وهما زوج مترافق؛ وجداؤهما $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$. *(ب)* $\Delta = 1 - 4 = -3$: $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (وهما جذرا الوحدة التكعيبيان $j$ و $\conj j$)؛ وجداؤهما $= \frac{1 + 3}{4} = 1$. **تمرين 28.3 ★.** ضع على [الصورة الأسية](#def-g12-complex-argument): $z_1 = -1 + \iu$ و $z_2 = \sqrt3 - \iu$، ثم احسب $\dfrac{z_1}{z_2}$ على [الصورة الأسية](#def-g12-complex-argument) ثم الجبرية. واستنتج القيمة المضبوطة للمقدار $\cos\dfrac{11\pi}{12}$. **حل التمرين 28.3.** $\abs{z_1} = \sqrt2$، [والعمدة](#def-g12-complex-argument) $\frac{3\pi}{4}$ (الربع الثاني): $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$. و $\abs{z_2} = 2$، [والعمدة](#def-g12-complex-argument) $-\frac\pi6$: $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$. ومنه $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}. $$ وجبريًا، $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}. $$ وبمطابقة الأجزاء الحقيقية: $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$، إذن $$ \cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}. $$ **تمرين 28.4 ★★.** صِف هندسيًا مجموعة النقط $M$ ذات [اللاحقة](#def-g12-complex-modulus) $z$ التي تحقق: (أ) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$؛ (ب) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$؛ (ج) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ تخيلي صرف. **حل التمرين 28.4.** *(أ)* $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ يعني أن $M$ على البعد نفسه من $A(2, 0)$ ومن $B(0, -1)$: أي *محور القطعة* $[AB]$. *(ب)* البعد $3$ عن النقطة $(1,1)$: أي *الدائرة* التي مركزها $1 + \iu$ ونصف قطرها $3$. *(ج)* حسب [القضية 28.17](#prop-g12-complex-geometry)(4)، كون $\frac{z-1}{z+1}$ تخيليًا صرفًا يعني أن المتجهتين من $A(1,0)$ إلى $M$ ومن $B(-1,0)$ إلى $M$ متعامدتان: أي إن $M$ ترى القطعة $[AB]$ تحت زاوية قائمة. والمجموعة هي *الدائرة ذات القطر $[AB]$* (أي دائرة الوحدة) *محذوفًا منها النقطتان $A$ و $B$* نفساهما. **تمرين 28.5 ★★.** باستعمال صيغة دي موافر ومبرهنة ثنائي الحد، عبّر عن $\cos 3\theta$ بكثير حدود في $\cos\theta$، وعن $\sin 3\theta$ بدلالة $\sin\theta$. **حل التمرين 28.5.** بصيغة دي موافر: $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$. وبالنشر بمبرهنة ثنائي الحد مع $c = \cos\theta$ و $s = \sin\theta$: $$ (c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3). $$ وبمطابقة الأجزاء واستعمال $s^2 = 1 - c^2$ و $c^2 = 1 - s^2$: $$ \cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta . $$ **تمرين 28.6 ★★.** *(التخطيط.)* باستعمال $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$، خطّط $\cos^3\theta$ (أي اكتبه تركيبًا من المقادير $\cos k\theta$)، واستنتج $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$. **حل التمرين 28.6.** $$ \cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}. $$ ومنه $$ \int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}. $$ (وهذا متسق مع $W_3 = \frac23$ في [التمرين 25.9](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/25-integration#exo-g12-integ-9)، لأن $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ بحكم التناظر $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$.) **تمرين 28.7 ★★.** لتكن $A$ و $B$ ذواتي اللاحقتين $a = 1 + \iu$ و $b = 3 + 2\iu$. حدّد النقطتين $C$ اللتين تجعلان المثلث $ABC$ متساوي الأضلاع، بوصفهما صورتي $B$ بالدورانين اللذين مركزهما $A$ وزاويتاهما $\pm\frac{\pi}{3}$. **حل التمرين 28.7.** $c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ مع $b - a = 2 + \iu$ و $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$: $$ \eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right), $$ إذن $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$، وبالمثل مع الزاوية $-\frac\pi3$: $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$. **تمرين 28.8 ★★★.** حل $z^4 = -4$ في $\C$ وارسم الحلول. وحلّل $z^4 + 4$ إلى كثيري حدود تربيعيين بمعاملات حقيقية. **حل التمرين 28.8.** $-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$، إذن تكون حلول $z^4 = -4$ هي $$ z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3, $$ *أي* $1 + \iu$ و $-1 + \iu$ و $-1 - \iu$ و $1 - \iu$: وهي رؤوس مربع نصف قطر دائرته المحيطة $\sqrt 2$. وبتجميع الجذور المترافقة، $$ z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2). $$ **تمرين 28.9 ★★★.** من أجل $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ و $n \in \N$، احسب $$ S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta $$ بجمع [المتتالية الهندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ وأخذ الأجزاء الحقيقية. (والجواب: $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}$.) **حل التمرين 28.9.** مع $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$: $$ \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}, $$ باستعمال $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ (وهو *تحليل نصف الزاوية*). وبأخذ الأجزاء الحقيقية: $$ S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}. $$ **تمرين 28.10 ★★★.** ليكن $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$. 1. برّر أن $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ . 2. ليكن $u = \omega + \omega^4$ و $v = \omega^2 + \omega^3$ . بيّن أن $u + v = -1$ و $uv = -1$ ، واستنتج أن $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ . 3. اختم بأن $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ . **حل التمرين 28.10.** *1.* $\omega$ [جذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) للوحدة من الرتبة $5$ مخالف للعدد $1$، إذن ينعدم مجموع الجذور الخمسة كلها ([المبرهنة 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity))، وهذا يُقرأ $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$. *2.* $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ حسب النقطة 1. وأما الجداء، فباستعمال $\omega^5 = 1$: $$ uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 . $$ إذن $u, v$ جذرا [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $X^2 + X - 1 = 0$: $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$. والآن $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (لأن $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$)، إذن $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$. *3.* $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$. ## 28.6 مسألة: المخمَّس في مرآة الوحدة **مسألة 28.1.** مسألة نهاية الأسبوع — جذور الوحدة الخماسية تحسب $\cos 72^\circ$ بالضبط، والنسبة الذهبية توقّع النتيجة، والضرب يتبيّن أنه دوران كان إقليدس يستطيع إنشاء المخمَّس المنتظم، لكن سبب *استسلامه* للمسطرة والفرجار — بينما لا تستسلم الزاوية المتواضعة $20^\circ$ — بقي خفيًا ألفي سنة. وهو مختبئ في هذا الفصل: [فجذور الوحدة](#def-g12-complex-rootsofunity) الخماسية الخمسة ([المبرهنة 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)) مجموعها صفر، وذلك السطر الواحد من الجبر يعصر $\cos 72^\circ$ من [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) تربيعية — جذور تربيعية فقط، ومنه فهو قابل للإنشاء، وموقَّع، بالطبع، بالنسبة الذهبية. وحول هذه الجوهرة: التمكّن، وطريق دي موافر المختصر إلى المثلثات، والضرب مكشوف القناع بوصفه هندسة. **الجزء الأول — التمكّن.** 1. احسب $(2 + \iu)(3 - \iu)$ ، $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ ( [الطريقة 28.5](#met-g12-complex-division) )، و $\abs{3 + 4\iu}$ . 2. ضع على [الصورة الأسية](#def-g12-complex-argument) : $1 + \iu$ ؛ $-2$ ؛ $1 - \iu\sqrt3$ . 3. احسب $(1 + \iu)^8$ باستعمال [الصورة الأسية](#def-g12-complex-argument) . 4. حل $z^2 = \iu$ ، ثم $z^2 - 2z + 5 = 0$ ( [المبرهنة 28.13](#thm-g12-complex-quadratic) ). 5. القاموس الهندسي ( [القضية 28.17](#prop-g12-complex-geometry) ): صِف التطبيق $z \mapsto \iu z$ ، والمجموعة $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ . **الجزء الثاني — خمسة جذور، ومخمَّس واحد.** ليكن $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ ولنعتبر $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$. 6. تحقق من أن هذه هي بالضبط حلول $z^5 = 1$ ، وصِف الشكل الذي ترسمه في المستوي. 7. برهن على أن مجموعها صفر. ( [بمتتالية هندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#def-g11-seq-geometric) — أو بضرب المجموع في $1 - \omega$ .) 8. خذ الأجزاء الحقيقية واستنتج $$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$$ 9. ضع $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ واستعمل صيغة الزاوية المضاعفة للمقدار $\cos\frac{4\pi}{5}$ لتحويل السؤال 8 إلى [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) تربيعية في $c$؛ ثم حلّها و اختم بأن $$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$$ 10. تحقق عدديًا، ثم دع النسبة الذهبية توقّع عملها: بيّن أن $c = \frac{1}{2\varphi}$ حيث $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ( [المسألة 2.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#pb-g10-algebra-1) ) — وصُغ الصدى الهندسي الشهير: ففي مخمَّس منتظم، يكون القطر $\varphi$ ضعف الضلع. **الجزء الثالث — طرق دي موافر المختصرة.** 11. حكم الإنشاء: لا يحتاج $\cos 72^\circ$ إلا إلى جذور تربيعية (السؤال 9)، إذن المخمَّس قابل للإنشاء بالمسطرة والفرجار؛ أما $\cos 20^\circ$ فيحقق تكعيبية لا تُكسر ( [المسألة 24.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#pb-g12-trigo-1) )، إذن لا يمكن تثليث الزاوية $60^\circ$ . صُغ المحك الناشئ (الجذور التربيعية قابلة للبناء، والتكعيبية لا)، ونظريته الكاملة — غاوس في التاسعة عشرة، والمضلع ذو السبعة عشر ضلعًا — تعيش في الكتب الجامعية. 12. حل $z^4 = -4$ [بالصورة الأسية](#def-g12-complex-argument) واستعد تحليل [التمرين 28.8](#exo-g12-complex-8) $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ بمزاوجة الجذور المترافقة. 13. انشر $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ بمبرهنة ثنائي الحد وبصيغة دي موافر، واستخرج $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ من جديد في ثلاثة أسطر — وقارن بطريق صيغ الجمع في [المسألة 24.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/24-trigonometric-functions#pb-g12-trigo-1) . 14. تحقق تحققًا مزدوجًا بواسطة [التمرين 28.9](#exo-g12-complex-9) : من أجل $\theta = \frac{2\pi}{5}$ و $n = 4$ ، ماذا يساوي المجموع $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ ، و لماذا يتسق ذلك مع السؤال 8؟ 15. احسب جذور $8\iu$ التكعيبية الثلاثة على [الصورة الجبرية](#def-g12-complex-def) . **الجزء الرابع — الضرب هندسة.** 16. صِف وصفًا كاملًا التطبيق $z \mapsto (1 + \iu)z$ : فبأي زاوية يدير المستوي، وبأي معامل يكبّره، وماذا يفعل بمربع الوحدة؟ 17. برهن على $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ بواسطة المرافقات ( [القضية 28.7](#prop-g12-complex-modulus) )، ثم احسب $(1+\iu)^n$ من أجل $n = 1, 2, 3, 4$ وصِف اللولب الذي ترسمه القوى. 18. العدد $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : بيّن أن $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ ، وتحقق على المثلث $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ من المحك الكلاسيكي: $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ يصح من أجل (توجيه واحد من) مثلث متساوي الأضلاع $abc$ . 19. المبرهنة الأساسية في الجبر (وهي مقبولة: دالمبير–غاوس): كل كثير حدود يتحلّل تحللًا كاملًا على $\C$ . استنتج النتيجة الواقعية — أن كل كثير حدود حقيقي يتحلّل إلى قطع خطية وتربيعية حقيقية — وأشر إلى السؤال 12 مثالًا عليها. 20. الخاتمة — صورة $\C$ ، جملة واحدة لكل بند: الأعداد تصير نقطًا؛ والضرب يصير دورانًا وتكبيرًا؛ [وجذور الوحدة](#def-g12-complex-rootsofunity) تصير مضلعات منتظمة؛ ودي موافر يحوّل القوى إلى متطابقات مثلثية؛ والانغلاق الجبري يضمن ألا تحتاج أي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) إلى عالم أكبر. والخاتمة الصغرى: أي عددين شهيرين التقيا في السؤال 10؟ **حل المسألة 28.1.** **1.** $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu$. $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu$. $\abs{3 + 4\iu} = 5$. **2.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$؛ $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$؛ $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$. **3.** $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$. **4.** $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$: $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$. و $\Delta = 4 - 20 = -16$: أي $z = 1 \pm 2\iu$. **5.** $z \mapsto \iu z$: دوران بربع دورة حول المبدأ. و $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$: الدائرة التي مركزها $1 + \iu$ ونصف قطرها $2$. **6.** $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$، والنقط الخمس $\eu^{2\iu k\pi/5}$ متمايزة: فهي حلول $z^5 = 1$ الخمسة كلها. وهي تجلس على دائرة الوحدة بزوايا متساوية قدرها $72^\circ$: أي مخمَّس منتظم أحد رؤوسه عند $1$. **7.** $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ يحقق $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$، و $\omega \neq 1$: إذن $S = 0$. (فنقطة توازن المخمَّس هي مركزه.) **8.** $\omega^4 = \overline\omega$ و $\omega^3 = \overline{\omega^2}$: وبمزاوجة المترافقات، يُقرأ [الجزء الحقيقي](#def-g12-complex-def) من المجموع $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$. **9.** $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$، إذن $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$، أي $4c^2 + 2c - 1 = 0$: $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ (وهو [الجذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) الموجب، لأن $72^\circ$ زاوية حادة): $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$. **10.** عدديًا $c \approx 0.30902$: وهذا يوافق الآلة الحاسبة. و $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (بجعل المقام ناطقًا): $c = \frac{1}{2\varphi}$. فالمخمَّس ذهبي من كل جهاته: إذ يقطع قطره ضلعه بالنسبة $\varphi$ — وهو التشابه الذاتي اللانهائي للنجمة الخماسية. **11.** الجذور التربيعية قابلة للإنشاء بالفرجار (بآلة نصف الدائرة [للمتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) الهندسي في الكتاب السابق)، إذن العدد المبني من الناطقة بالجذور التربيعية وحدها — مثل $\cos 72^\circ$ — قابل للإنشاء؛ أما الجذور التكعيبية فليست كذلك، و $\cos 20^\circ$ يحتاج إلى واحد منها: فالمخمَّس يستسلم، والتثليث يقاوم. ومحك غاوس يحسم كل مضلع منتظم — وقد جعله مضلعه ذو السبعة عشر ضلعًا في التاسعة عشرة يختار الرياضيات. **12.** $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$: فللجذور الرابعة [المقياس](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2$ والعمد $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$: أي الأعداد الأربعة $\pm 1 \pm \iu$. وبمزاوجة المترافقات: $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ و $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$: وهو تحليل [التمرين 28.8](#exo-g12-complex-8). **13.** $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta$؛ وبصيغة دي موافر يساوي هذا $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$. وبأخذ الأجزاء الحقيقية: $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — وتسلّم الأجزاء التخيلية $\sin 3\theta$ بلا مقابل. **14.** هو [الجزء الحقيقي](#def-g12-complex-def) من $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$: فالمجموع يساوي $0$ — أي بالضبط السؤال 8، منظورًا إليه عبر نواة [التمرين 28.9](#exo-g12-complex-9). **15.** $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$: فالجذور $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$؛ و $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$؛ و $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$. **16.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$: فالتطبيق يدير المستوي بزاوية $45^\circ$ ويكبّره بالمعامل $\sqrt2$. و يصير مربع الوحدة مربعًا مائلًا طول ضلعه $\sqrt2$ — مضاعف المساحة، مدارًا ثمن دورة. **17.** $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$: خذ الجذور التربيعية. وأما قوى $1 + \iu$: $1 + \iu$ و $2\iu$ و $-2 + 2\iu$ و $-4$: فكل منها أبعد بدورة قدرها $45^\circ$ وأطول بمعامل $\sqrt2$ — أي لولب خارج عبر المقاييس $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$ **18.** $\mathrm{j}$ [جذر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/10-quadratic-functions-and-equations#def-g11-quad-discriminant) ثالث للوحدة مخالف للعدد $1$، إذن (بحجة السؤال 7 مع $n = 3$) $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$. وأما المحك على المثلث المعياري: $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0$: فهو محقَّق، كما يقتضي المثلث المتساوي الأضلاع $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$. **19.** على $\C$، ينشطر كثير حدود حقيقي إلى عوامل خطية؛ وتأتي جذوره غير الحقيقية أزواجًا مترافقة (بمرافقة [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation))، ويُضرب كل زوج فيعطي تربيعية حقيقية $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$: ومنه التحليل الحقيقي إلى قطع من الدرجة $1$ والدرجة $2$ — وقد نفّذه السؤال 12 على $z^4 + 4$. **20.** نقط؛ ودوران وتكبير؛ ومضلعات منتظمة؛ ومتطابقات مثلثية [بالنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand)؛ وعالم مغلق يكون فيه لكل [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) درجتها $n$ جذورها $n$. والخاتمة الصغرى: في السؤال 10، صافح مخمَّس $\pi$ النسبة الذهبية — وهما أشهر ضيفَي إقليدس، وقد قُدّم أحدهما إلى الآخر أخيرًا بمجموع خمسة أسهم يساوي صفرًا.