---
title: "المصفوفات والبيانات"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 30
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/30-matrices-and-graphs
---

# الفصل 30 — المصفوفات والبيانات

[المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) جدول مستطيلي من الأعداد، يُجمع ويُضرب بقواعد مصمَّمة بحيث يمثّل جبر المصفوفات تركيب التحويلات الخطية. وتحل المصفوفات الجمل الخطية، وتقود المتتاليات التراجعية المقترنة، وتعدّ المسالك في الشبكات — وهي الرياضيات وراء محركات البحث وخوارزميات أقصر مسار.

## 30.1 جبر المصفوفات

**تعريف 30.1 (المصفوفة).**

*المصفوفة ذات القياس $m \times n$* جدول من [الأعداد الحقيقية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) فيه $m$ سطرًا و $n$ عمودًا: $A = (a_{ij})$، حيث $a_{ij}$ هو المدخل في السطر $i$ والعمود $j$. وتُجمع مصفوفتان لهما القياس نفسه مدخلًا مدخلًا، و $\lambda A = (\lambda a_{ij})$.

**تعريف 30.2 (جداء المصفوفات).**

لتكن $A$ ذات القياس $m \times n$ ولتكن $B$ ذات القياس $n \times p$. الجداء $AB$ هو [المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) ذات القياس $m \times p$ التي مدخلها $(i,j)$ هو

$$
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$

(وهي قاعدة “السطر $i$ من $A$ مضروبًا في العمود $j$ من $B$”).

**مثال 30.3.**

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$، بينما $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$: *فضرب المصفوفات ليس تبديليًا*.

**قضية 30.4 (قواعد جبر المصفوفات).**

كلما جعلت القياسات الجداءات ذات معنى:

$$
(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,
$$

و*[مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) الوحدة* $I_n$ (وفيها الواحدات على القطر والأصفار في ما عداه) تحقق $I_m A = A I_n = A$ من أجل $A$ ذات القياس $m \times n$.

**برهان.** كلها تحققات مدخلًا مدخلًا انطلاقًا من [التعريف 30.2](#def-g12-matrix-product)؛ وأما التجميعية، وهي الوحيدة غير التافهة، فترجع إلى تبادل مجموعين منتهيين: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj}
= \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right)
= \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$. ∎

**تعريف 30.5 (المقلوب).**

تكون [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) مربعة $A$ من القياس $n$ *قابلة للقلب* إذا وُجدت [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) $B$ حيث $AB = BA = I_n$؛ وتكون $B$ عندئذٍ وحيدة، وتُكتب $A^{-1}$.

**قضية 30.6 (مقلوب مصفوفة 2×22\times22×2).**

لتكن $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ وليكن $\det A = ad - bc$ (وهو *المحدد*). عندئذٍ تكون $A$ [قابلة للقلب](#def-g12-matrix-inverse) إذا وفقط إذا كان $\det A \neq 0$، ويكون عندئذٍ

$$
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.
$$

**برهان.** يعطي حساب مباشر $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$؛ فإذا كان $ad - bc \neq 0$، فاقسم. وبالعكس، إذا كان $ad - bc = 0$، كان عمودا $A$ متناسبين، وكذلك عمودا $AB$ من أجل أي $B$؛ لكن عمودَي $I_2$ ليسا متناسبين، إذن لا يمكن لأي $B$ أن تحقق $AB = I_2$. ∎

**طريقة 30.7 (الجمل الخطية).**

الجملة $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ هي [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) المصفوفية $AX = Y$ حيث $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ و $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$. وإذا كان $\det A \neq 0$، فحلها الوحيد هو $X = A^{-1}Y$. ويعالج الشكلانية نفسها $n$ [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) ذات $n$ مجهولًا.

## 30.2 قوى المصفوفات والمتتاليات التراجعية

**تعريف 30.8.**

من أجل [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) مربعة $A$ و $k \in \N$، $A^k = A \times \dots \times A$ ($k$ عاملًا)، مع $A^0 = I$.

**طريقة 30.9 (الحالتان القطرية-زائد-عديمة القوة والقابلة للقطرنة).**

طريقتان معياريتان لحساب $A^k$:

- إذا كان $A = \lambda I + N$ حيث $N^2 = 0$ ، فإن مبرهنة ثنائي الحد (وهي صالحة هنا لأن $I$ و $N$ متبادلتان) تنطوي إلى حدين: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ .
- وإذا وُجدت $P$ [قابلة للقلب](#def-g12-matrix-inverse) حيث $A = PDP^{-1}$ و $D$ قطرية، فإن $A^k = P D^k P^{-1}$ ، وتُحسب $D^k$ مدخلًا مدخلًا. (وإيجاد $P$ كهذه بصورة منهجية هو نظرية *القطرنة* ، المطوَّرة في الجامعة؛ وفي هذا المستوى تُعطى $P$ .)

**مثال 30.10 (متتاليتان مقترنتان).**

لتكن $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ و $v_{n+1} = u_n + 3v_n$. وبوضع $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ و $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$، نجد $X_{n+1} = AX_n$، إذن $X_n = A^n X_0$. والمتتاليتان المساعدتان $s_n = u_n + v_n$ و $d_n = u_n - v_n$ تحققان $s_{n+1} = 4s_n$ و $d_{n+1} = 2d_n$، إذن $s_n = 4^n s_0$ و $d_n = 2^n d_0$ و

$$
u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad
v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.
$$

(ووراء الكواليس: $(1,1)$ و $(1,-1)$ اتجاها متجهتين ذاتيتين [للمصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) $A$.)

## 30.3 البيانات والمسالك

**تعريف 30.11 (البيان ومصفوفة الجوار).**

يتكوّن *البيان* من رؤوس $1, 2, \dots, n$ وحواف تصل أزواجًا معينة من الرؤوس (أزواجًا مرتبة في حالة البيان *الموجَّه*). و*مصفوفة جواره* هي [المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) $M$ ذات القياس $n \times n$ حيث $m_{ij} = 1$ إذا وُجدت حافة من $i$ إلى $j$، و $0$ فيما عدا ذلك. و*المسلك* ذو الطول $k$ من $i$ إلى $j$ هو [متتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) من $k$ حافة متعاقبة تقود من $i$ إلى $j$.

![M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix بيان موجَّه ومصفوفة جواره (): m_ij = 1 بالضبط عندما توجد حافة من i إلى j.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-783722c7530e.svg)

*$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ [بيان](#def-g12-matrix-graph) موجَّه [ومصفوفة جواره](#def-g12-matrix-graph) ([التمرين 30.6](#exo-g12-matrix-6)): $m_{ij} = 1$ بالضبط عندما توجد حافة من $i$ إلى $j$.*

**مبرهنة 30.12 (عدّ المسالك).**

عدد المسالك ذات الطول $k$ من الرأس $i$ إلى الرأس $j$ هو المدخل $(i,j)$ في $M^k$.

**برهان.** بالتراجع على $k$. ومن أجل $k = 1$ هذا هو تعريف $M$. ولنفترض الادعاء من أجل $k$. فالمسلك ذو الطول $k+1$ من $i$ إلى $j$ هو مسلك طوله $k$ من $i$ إلى رأس ما $l$، متبوعًا بحافة من $l$ إلى $j$؛ وبمبدأي الجمع والضرب، يكون عددها

$$
\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}.
\qedhere
$$

∎

**مثال 30.13.**

من أجل [بيان](#def-g12-matrix-graph) المثلث ($3$ رؤوس، وكل الأزواج موصولة)، $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ و $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$: فمن كل رأس يوجد $2$ من المسالك ذات الطول $2$ عائدة إليه (عبر أي من الجارين) و $1$ إلى كل رأس آخر.

## 30.4 تمارين

**تمرين 30.1 ★.**

لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. احسب $A + B$ و $AB$ و $BA$ و $A^2$.

**حل التمرين 30.1.**

$$
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad
AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad
BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
$$

ولاحظ أن $AB \neq BA$.

**تمرين 30.2 ★.**

حدّد هل المصفوفات التالية [قابلة للقلب](#def-g12-matrix-inverse)، واحسب مقلوباتها حيث توجد:

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad
B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
$$

**حل التمرين 30.2.**

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. و $\det B = 12 - 12 = 0$: إذن $B$ ليست [قابلة للقلب](#def-g12-matrix-inverse).

**تمرين 30.3 ★.**

حل بقلب [المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) الجملة $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$

**حل التمرين 30.3.**

الجملة هي $AX = Y$ حيث $A$ كما في [التمرين 30.2](#exo-g12-matrix-2) و $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$:

$$
X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}:
\qquad x = -7,\ y = 3 .
$$

**تمرين 30.4 ★★.**

لتكن $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ حيث $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

1. تحقق من أن $N^2 = 0$ ومن أن $I$ و $N$ متبادلتان.
2. استنتج $A^k$ من أجل كل $k \in \N$ وتحقق من الصيغة من أجل $k=2$ بحساب مباشر.

**حل التمرين 30.4.**

*1.* $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$، و $I$ تتبادل مع كل [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix).

*2.* وبما أن الحدين متبادلان، تنطبق مبرهنة ثنائي الحد وتنعدم كل الحدود التي تحوي $N^2$:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.
$$

وللتحقق من أجل $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2
= \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$، وتعطي الصيغة $2^2 = 4$ و $2 \times 2 = 4$. ✓

**تمرين 30.5 ★★.**

لتكن $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ولتكن $F_n$ [متتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) فيبوناتشي ($F_0 = 0$ و $F_1 = 1$ و $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$). بيّن بالتراجع أنه من أجل $n \geq 1$،

$$
A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},
$$

واستنتج المتطابقة $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$. (إرشاد: المحددات تُضرب: $\det(MN) = \det M \det N$، ويمكنك التحقق من ذلك من أجل المصفوفات $2\times2$.)

**حل التمرين 30.5.**

*بالتراجع.* من أجل $n = 1$: $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$. ولنفترض الصيغة من أجل $n$؛ عندئذٍ

$$
A^{n+1} = A^n A
= \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.
$$

*والمتطابقة.* من أجل المصفوفات $2\times2$، يبيّن [النشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) أن $\det(MN) = \det M \det N$؛ ومنه $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$، و $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$. (وهذه هي *متطابقة كاسيني*.)

**تمرين 30.6 ★★.**

[بيان](#def-g12-matrix-graph) موجَّه على الرؤوس $\{1, 2, 3\}$ له الحواف $1\to2$ و $2\to3$ و $3\to1$ و $1\to3$.

1. اكتب [مصفوفة الجوار](#def-g12-matrix-graph) $M$ واحسب $M^2$ و $M^3$ .
2. كم مسلكًا طوله $3$ يذهب من $1$ إلى $1$ ؟ اسردها.

**حل التمرين 30.6.**

*1.* [بترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الرؤوس $1, 2, 3$:

$$
M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad
M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad
M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.
$$

*2.* $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$: أي مسلك مغلق واحد بالضبط طوله $3$ عند الرأس $1$، وهو $1 \to 2 \to 3 \to 1$. (فالمسلك $1 \to 3 \to 1$ طوله $2$ فقط، و $1 \to 3$ ثم $3\to1$ ثم $1\to3$ ينتهي عند $3$.)

**تمرين 30.7 ★★.**

شركة لتشارك السيارات تنقل مركبات بين مدينتين $A$ و $B$. وفي كل أسبوع، تبقى $80\%$ من السيارات في $A$ في $A$ وتنتقل $20\%$ إلى $B$؛ وتنتقل $30\%$ من السيارات في $B$ إلى $A$ وتبقى $70\%$. وليكن $a_n, b_n$ نسبتي الأسطول في كل مدينة.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-8ee5ea63de42.svg)

1. اكتب $X_{n+1} = MX_n$ حيث $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ وحدّد $M$ .
2. أوجد نسبتي التوازن (بحل $MX = X$ مع $a + b = 1$ ).
3. بيّن أن $c_n = a_n - 0.6$ تحقق $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ ، ثم اختم بأن [توزيع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) الأسطول يتقارب إلى التوازن.

**حل التمرين 30.7.**

*1.* $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$ و $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$: $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$.

*2.* $MX = X$ يعطي $0.8a + 0.3b = a$، *أي* $0.3b = 0.2a$، إذن $b = \frac23 a$؛ ومع $a + b = 1$: $a = 0.6$ و $b = 0.4$.

*3.* باستعمال $b_n = 1 - a_n$: $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$، إذن

$$
c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .
$$

ومنه $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$: أي $a_n \to 0.6$ و $b_n \to 0.4$، مهما كان [التوزيع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) الابتدائي.

**تمرين 30.8 ★★★.**

لتكن $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ و $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

1. احسب $P^{-1}$ ، ثم $D = P^{-1}AP$ ، وتحقق من أن $D$ قطرية.
2. استنتج صيغة مغلقة للمقدار $A^n$ وقارن بالنتيجة في [المثال 30.10](#ex-g12-matrix-coupled) .

**حل التمرين 30.8.**

*1.* $\det P = -2$، إذن $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$. ثم

$$
AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad
D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

*2.* من $A = PDP^{-1}$، يعطي تراجع مباشر $A^n = PD^nP^{-1}$ حيث $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$، إذن

$$
A^n = P D^n P^{-1}
= \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot
\frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\
4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.
$$

وتطبيق $A^n$ على $X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ يعيد بالضبط صيغ [المثال 30.10](#ex-g12-matrix-coupled).

## 30.5 مسألة: المصفوفة التي تعرف فيبوناتشي (و الطقس)

**مسألة 30.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — مصفوفة $2 \times 2$ واحدة تحمل فيبوناتشي كلها، ومصفوفة ماركوف تتنبأ بطقس المدى الطويل، ومتجهة ذاتية تساوي مليار دولار

[المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) آلة تأكل حالة وتعيد الحالة التالية — ومنه فإن *قواها* تحمل مستقبلات كاملة. وتفتتح هذه المسألة [بالمصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) المدهشة التي تسرد قواها أعداد فيبوناتشي (وتبرهن على متطابقاتها في سطر واحد لكل منها)، ثم تشغّل الطقس سلسلةَ ماركوف حتى حالته المستقرة، و تختم [بالمتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) الذاتية التي بُني عليها محرك بحث ([المبرهنة 30.12](#thm-g12-matrix-walks) و [الطريقة 30.9](#met-g12-matrix-powers)).

**الجزء الأول — التمكّن.**

1. مع $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ : احسب $AB$ و $BA$ . فما الحكم على التبديلية؟
2. اقلب $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ ( [القضية 30.6](#prop-g12-matrix-inverse2x2) ) واستعمل المقلوب لحل $2x + y = 4$ و $5x + 3y = 7$ .
3. لتكن $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : احسب $N^2$ ، واستنتج $(I + N)^n = I + nN$ من أجل كل $n$ .
4. [بيان](#def-g12-matrix-graph) المثلث (ثلاثة رؤوس، وكل الأزواج موصولة): اكتب [مصفوفة جواره](#def-g12-matrix-graph) $A$ ، واحسب $A^3$ ، وفسّر مدخلات القطر ( [المبرهنة 30.12](#thm-g12-matrix-walks) ).
5. من أجل $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12  \end{pmatrix}$ : أعطِ $D^n$ وسلوكها لما $n \to \infty$ .

**الجزء الثاني — [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) فيبوناتشي.** لتكن $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ولتكن $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ أعداد فيبوناتشي في [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/13-sequences-a-first-course#pb-g11-seq-1).

6. احسب $F^2$ و $F^3$ و $F^4$ وخمّن الصورة العامة [للمصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) $F^n$ بدلالة أعداد فيبوناتشي.
7. برهن على التخمين $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}  \end{pmatrix}$ بالتراجع.
8. خذ محددي الطرفين ( [فمحدد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) الجداء هو جداء المحددين — وتحقق من ذلك من أجل المصفوفات $2 \times 2$ إن لم تره من قبل): واستنتج *متطابقة كاسيني* $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ — وهي محرّك المربع المتلاشي، مبرهَنًا عليه في سطر واحد.
9. انطلاقًا من $F^{m+n} = F^m F^n$، اقرأ المدخلين في أعلى اليمين واستخرج *صيغة الجمع* $$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$$ وتحقق منها من أجل $m = n = 3$.
10. استنتج من صيغة الجمع (بالتراجع على $k$ ) أن $F_n$ [يقسم](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/29-arithmetic#def-g12-arith-divides) $F_{kn}$ ، وتحقق من ذلك على $F_3 \mid F_6$ و $F_3 \mid F_9$ .
11. لحساب $F_{100}$ ، لا يلزم ضرب $100$ [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) : فربّع تكرارًا ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) ثم ركّب. فكم ضربًا مصفوفيًا يكفي، وأي حيلة ضرب قديمة من الكتاب السابق هي هذه، وقد رُقّيت إلى المصفوفات؟

**الجزء الثالث — آلة الطقس.** في مدينة ما: بعد يوم مشمس، يكون التالي مشمسًا [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.8$؛ وبعد يوم ممطر، يكون مشمسًا [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.4$. رمّز [توزيع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) اليوم بعمود $\binom{p_{\text{شمس}}}{p_{\text{مطر}}}$ والتطور بالعلاقة

$$
M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.
$$

12. تحقق من أن مجموع كل عمود من $M$ يساوي $1$ ، وقل لماذا يجب أن تملك أي آلة طقس هذه الخاصية.
13. اليوم مشمس. احسب التنبؤ من أجل الغد و من أجل بعد الغد.
14. أوجد *الحالة المستقرة* : أي [التوزيع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) $v$ الذي يحقق $Mv = v$ (ومجموع مدخلاته $1$ ). فما نسبة الأيام المشمسة على [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) الطويل؟
15. انطلق من يوم ممطر، $\binom01$ ، وطبّق $M$ أربع مرات، متتبعًا المسافة إلى الحالة المستقرة عند كل خطوة. فبأي معامل تنكمش الفجوة في كل خطوة — وأي نوع من التقارب هذا؟
16. [ترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الصفحات مصغَّرًا: ثلاث صفحات، بالوصلات $A \to B$ و $A \to C$ و $B \to C$ و $C \to A$ . ويتبع متصفح عشوائي وصلة خارجة مختارة عشوائيًا بانتظام. اكتب [مصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) الانتقال، وأوجد الحالة المستقرة، ثم رتّب الصفحات.
17. فسّر [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) : لماذا تنال $C$ درجة عالية مثل $A$ مع أنها تتلقى وصلات من صفحات أقل — فماذا تقيس الحالة المستقرة فعلًا؟ (ويضيف [ترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الصفحات الحقيقي معامل تخميد من أجل الطرق المسدودة والقفزات؛ أما فكرة [المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) الذاتية فهي هذه بالضبط.)

**الجزء الرابع — أرباح القطرنة.**

18. مقداران مقترنان يطيعان $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ و $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ ، أي [المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) $A$ في [التمرين 30.8](#exo-g12-matrix-8) . وباستعمال قطرنة ذلك التمرين ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ )، أعطِ الصيغة المغلقة للمقدار $u_n$ عندما $u_0 = 1$ و $v_0 = 0$ ، وتحقق منها في مواجهة الحساب المباشر من أجل $n = 1, 2, 3$ .
19. في جملة أو جملتين: ماذا *تفعل* القطرنة بجملة مقترنة — وبأي معنى تكون الحالة المستقرة لسلسلة ماركوف في السؤال 14 حكاية [متجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) ذاتية أيضًا؟
20. الخاتمة — أوجه [المصفوفة](#def-g12-matrix-matrix) الثلاثة في نهاية هذا الأسبوع: مسك الدفاتر (الجمل والمقلوبات)، والتوافيق (المسالك والوصلات معدودةً بالقوى)، والتطور (فيبوناتشي، والطقس، والشبكة — مستقبلات تُقرأ من الاتجاهات الذاتية). جملة واحدة لكل وجه، مع الإشارة إلى الأمام: الجبر الخطي في الكتب الجامعية يجعل كل وجه من هذه الأوجه نظرية.

**حل المسألة 30.1.**

**1.** $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ و $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$: فضرب المصفوفات ليس تبديليًا — إذ تبادل $B$ الأعمدة عند الضرب من اليمين، والسطور عند الضرب من اليسار.

**2.** [المحدد](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-det) $6 - 5 = 1$: فالمقلوب $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$. وبتطبيقه على $\binom{4}{7}$: $x = 12 - 7 = 5$ و $y = -20 + 14 = -6$.

**3.** $N^2 = 0$. عندئذٍ $(I + N)^n = I + nN$ بالتراجع: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$.

**4.** $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0
\end{pmatrix}$، ومدخلات قطر $A^3$ تساوي $2$: فمن كل رأس، يوجد بالضبط مسلكان مغلقان طولهما $3$ (وهما المثلث مسلوكًا في اتجاه عقارب الساعة أو عكسه) — أي مبرهنة العدّ في العمل.

**5.** $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n}
\end{pmatrix}$: فاتجاه ينفجر والآخر يموت — فالمصائر القطرية متتاليات [هندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) مستقلة.

**6.** $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ و $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ و $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$: ففيبوناتشي في كل مكان؛ والتخمين كما صيغ.

**7.** إذا كان $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &
F_{n-1}\end{pmatrix}$، فإن

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix} :
$$

وهي الوراثة؛ وأما الحالة الابتدائية $n = 1$ فهي $F$ نفسها، باستعمال الاصطلاح $F_0 = 0$ (الذي يمدّد العلاقة التراجعية إلى الوراء).

**8.** $\det F = -1$، إذن $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$؛ ومباشرةً $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$: أي كاسيني، في سطر واحد. (وقاعدة جداء المحددات من أجل المصفوفات $2 \times 2$ نشرٌ لطيف في خمس دقائق.)

**9.** أعلى يمين $F^m F^n$: $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$؛ وأعلى يمين $F^{m+n}$: هو $F_{m+n}$. ومن أجل $m = n = 3$: $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$.

**10.** من أجل $k = 1$: بديهي. وإذا كان $F_n \mid F_{kn}$، فإن صيغة الجمع مع $m = kn$: $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$: فالحدان مضاعفان للعدد $F_n$. إذن $F_n \mid F_{kn}$ من أجل كل $k$: وللتحقق $F_3 = 2$ [يقسم](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/29-arithmetic#def-g12-arith-divides) $F_6 = 8$ و $F_9 = 34$.

**11.** $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$: أي سبعة تربيعات ($F^2, F^4, \dots, F^{64}$) زائد تركيبين — تسعة ضروب بدل تسعة وتسعين. وهي حيلة جدول المضاعفة عند الكتبة المصريين القدماء، مرفوعةً من الأعداد إلى المصفوفات: اكتب $100$ بالثنائي، واضرب المضاعفات التي تحتاج إليها.

**12.** $0.8 + 0.2 = 1$ و $0.4 + 0.6 = 1$: فالغد لا بد أن يكون طقسًا *ما* — فكل عمود [توزيع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-rv) احتمالي كامل، ومنه فالاحتمالات محفوظة.

**13.** الغد: $\binom{0.8}{0.2}$. وبعد الغد: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$.

**14.** $Mv = v$ حيث $v = \binom{s}{r}$ و $s + r = 1$: فإن $0.8s + 0.4r = s$ يعطي $0.4r = 0.2s$، أي $s = 2r$: $v = \binom{2/3}{1/3}$. فعلى [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) الطويل، يومان من كل ثلاثة مشمسان — مهما كان شكل اليوم.

**15.** من $\binom01$: مركّبات الشمس $0.4$ و $0.56$ و $0.624$ و $0.6496$؛ والفجوات إلى $\frac23$: $0.267$ و $0.107$ و $0.043$ و $0.017$ — فكل خطوة تضرب الفجوة في $0.4$ بالضبط (وهي القيمة الذاتية الثانية للآلة): أي تقارب هندسي إلى الحالة المستقرة.

**16.** الأعمدة (من $A$ و $B$ و $C$): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\
\frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$. والحالة المستقرة: $v_A = v_C$ و $v_B = \frac{v_A}{2}$ و $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$؛ ومجموعها $1$: $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$. [والترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system): $A$ و $C$ متعادلتان في الأول، و $B$ أخيرة.

**17.** تتلقى $C$ *كل* حركة $B$ ونصف حركة $A$، وهي تصبّ كل شيء عائدًا إلى $A$: فالحالة المستقرة تقيس أين *يقضي* المتصفح وقته، لا كم وصلة تشير إليه — فوصلة واحدة من صفحة رائجة ترجح عدة وصلات من صفحات مهجورة. وذلك الترجيح التراجعي هو بالضبط الفكرة المؤسِّسة لغوغل؛ ويعالج التخميد مصائد العناكب والطرق المسدودة.

**18.** $A^n = P D^n P^{-1}$ يعطي $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ (و $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$). وللتحقق: $u_1 = 3$ و $u_2 = 10$ و $u_3 = 36$؛ ومباشرةً: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to
(36, 28)$: فهما متطابقان.

**19.** تغيّر القطرنة [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) إلى [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) تتفكك فيها الجملة المقترنة إلى متتاليات [هندسية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-arith-geom) مستقلة — فكل قيمة ذاتية تجري سباقها. والحالة المستقرة لسلسلة ماركوف هي [المتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) الذاتية للقيمة الذاتية $1$، ومعدل تقارب السؤال 15 هو القيمة الذاتية التالية: فآلة الطقس كانت حكاية ذاتية منذ البداية.

**20.** مسك الدفاتر: فالجملة [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) مصفوفية واحدة، تُحل بمقلوب واحد. والتوافيق: فقوى [مصفوفة الجوار](#def-g12-matrix-graph) تعدّ المسالك والوصلات والاتصالات. والتطور: فقوى الآلة تحمل الحالات إلى مصائرها، و الاتجاهات الذاتية (اتجاه فيبوناتشي الذهبي، والحالة المستقرة للطقس، [ومتجهة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/15-vectors-and-lines-in-the-plane#def-g11-vect-vector) [ترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الشبكة) هي المصائر. والجبر الخطي، في الكتب الجامعية، هو علم هذا بالضبط.