---
title: "المتغيرات العشوائية والتوزيع الثنائي"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/33-random-variables-and-the-binomial-distribution
---

# الفصل 33 — المتغيرات العشوائية والتوزيع الثنائي

يرفق [المتغير العشوائي](#def-g12-randvar-rv) عددًا بكل إمكانية من إمكانيات تجربة: ربحًا، أو عددًا، أو مدة. وأمله الرياضي هو [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) القيم التي ينتجها على [المدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) الطويل، [وتباينه](#def-g12-randvar-exp) يقيس تبددها. ونجم هذا الفصل هو [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial)، الذي يعدّ النجاحات في تجارب مستقلة مكرَّرة. وقد لُقيت المتغيرات العشوائية [والتوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial) أول مرة في الفصول [18](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#ch-g11-prob) و[19](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/19-the-binomial-distribution#ch-g11-binom)؛ ويراجعهما هذا الفصل و يعمّقهما، وأدوات التوافيق في [الفصل 27](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/27-combinatorics-and-counting#ch-g12-comb) صارت الآن متاحة.

## 33.1 المتغيرات العشوائية المتقطعة

**تعريف 33.1 (المتغير العشوائي وتوزيعه).**

*المتغير العشوائي* على مجموعة إمكانيات منتهية $\Omega$ هو [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/11-functions-and-variations#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$. و *توزيعه* (أو قانونه) هو معطى قيمه الممكنة $x_1, \dots, x_k$ والاحتمالات

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

**تعريف 33.2 (الأمل الرياضي والتباين والانحراف المعياري).**

*الأمل الرياضي* للمتغير $X$ هو

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

و*تباينه* و*انحرافه المعياري* هما

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**قضية 33.3 (صيغة كونيغ–هويغنز).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$.

**برهان.** اكتب $m = \E(X)$ وانشر:

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**قضية 33.4 (التحويل التآلفي).**

من أجل $a, b \in \R$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**برهان.** الأولى إعادة [ترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) للمجموع المعرِّف. وأما الثانية، فإن $aX + b$ ينحرف عن متوسطه بمقدار $a(X - \E(X))$، والتربيع يضرب في $a^2$. ∎

**مثال 33.5 (الألعاب العادلة).**

لعبة تكلّف $2$ أورو؛ يُرمى فيها حجر نرد، ويقبض اللاعب القيمة الظاهرة إن كانت $5$ على الأقل، ولا شيء فيما عدا ذلك. ويأخذ الربح $G$ القيم $-2$ ([باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\frac46$) و $3$ ($\frac16$) و $4$ ($\frac16$):

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

فيخسر اللاعب وسطيًا $17$ سنتًا في كل لعبة: أي إن اللعبة غير مواتية (كما هو حال معظم الألعاب الحقيقية).

## 33.2 تجارب برنولي والتوزيع الثنائي

**تعريف 33.6 (توزيع برنولي).**

*تجربة برنولي* هي تجربة لها إمكانيتان، *النجاح* ([باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p$) و*الفشل* (حيث $q = 1 - p$). ويتبع مؤشر النجاح $X$ ($X = 1$ عند النجاح و $0$ عند الفشل) *[توزيع](#def-g12-randvar-rv) برنولي* $\mathcal B(p)$:

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(وفعلًا $\E(X) = p$ و $\E(X^2) = p$، وتعطي صيغة كونيغ–هويغنز أن $\V(X) = p - p^2$.)

**تعريف 33.7 (التوزيع الثنائي).**

كرّر [تجربة برنولي](#def-g12-randvar-bernoulli) $n$ مرة على نحو مستقل، وليكن $X$ العدد الكلي للنجاحات. عندئذٍ يكون [توزيع](#def-g12-randvar-rv) $X$ هو *التوزيع الثنائي* $\mathcal B(n, p)$.

![ثلاث تجارب برنولي: بالضبط 32 = 3 من المسارات 23 تعطي نجاحين (بالأحمر)، كل منها باحتمال p2(1-p)، إذن (X = 2) = 3p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-c70f3b626032.svg)

*ثلاث تجارب برنولي: بالضبط $\binom{3}{2} = 3$ من المسارات $2^3$ تعطي نجاحين (بالأحمر)، كل منها [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$، إذن $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$.*

**مبرهنة 33.8.**

إذا كان $X \sim \mathcal B(n, p)$، فإنه من أجل $0 \leq k \leq n$:

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

و

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**برهان.** [لمتتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence) محدَّدة من النتائج فيها $k$ نجاحًا و $n-k$ فشلًا [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p^k(1-p)^{n-k}$ [بالاستقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep)؛ وعدد هذه المتتاليات هو عدد طرائق وضع النجاحات $k$ بين التجارب $n$، أي $\binom nk$ ([الفصل 27](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/27-combinatorics-and-counting#ch-g12-comb)). وبالجمع على المتتاليات نجد الصيغة — وتؤكد مبرهنة ثنائي الحد أن $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$.

وأما [الأمل الرياضي](#def-g12-randvar-exp)، فباستعمال $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([التمرين 27.7](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/27-combinatorics-and-counting#exo-g12-comb-7)):

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

ويُبرهن على صيغة [التباين](#def-g12-randvar-exp) بالمثل بواسطة المتطابقة $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$، مما يعطي $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$، ومنه $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$. (وأما البرهان البنيوي — وهو [تباين](#def-g12-randvar-exp) مجموع متغيرات مستقلة — فيأتي مع [المبرهنة 34.4](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/34-sums-of-random-variables-and-the-law-of-large-numbers#thm-g12-sums-variance).) ∎

![التوزيع B(20, 0.3): المتوسط np = 6، والانحراف المعياري √npq 2.05.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*[التوزيع](#def-g12-randvar-rv) $\mathcal B(20, 0.3)$: [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) $np = 6$، [والانحراف المعياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sqrt{npq} \approx 2.05$.*

**طريقة 33.9 (التعرف على وضعية ثنائية).**

تحقق من المكونات الثلاثة قبل أن تكتب $X \sim \mathcal B(n,p)$: *عدد ثابت* $n$ من التجارب؛ و*إمكانيتان* في كل تجربة [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) النجاح *نفسه* $p$؛ و*[استقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep)* التجارب (بالمعاينة *مع* الإرجاع، أو من مجتمع كبير). ثم استعمل

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

من أجل “نجاح واحد على الأقل”، وآلة حاسبة أو جداول تراكمية من أجل $\P(X \leq k)$ العامة.

**مثال 33.10.**

كم مرة يجب أن يُرمى حجر نرد ليكون [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) الحصول على ستة $99\%$ على الأقل؟ مع $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$: $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ يعني $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$، *أي* $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$: أي ابتداءً من $n = 26$ رمية.

## 33.3 تمارين

**تمرين 33.1 ★.**

[متغير عشوائي](#def-g12-randvar-rv) $X$ يأخذ القيم $-1, 0, 2, 5$ بالاحتمالات $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$. احسب $\E(X)$ و $\V(X)$ و $\sigma(X)$.

**حل التمرين 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$. و $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$، إذن بصيغة كونيغ–هويغنز $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ و $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$.

**تمرين 33.2 ★.**

اختبار متعدد الخيارات فيه $10$ أسئلة، لكل منها $4$ خيارات، واحد منها صحيح. ويجيب تلميذ عشوائيًا بانتظام وعلى نحو مستقل. وليكن $X$ عدد الأجوبة الصحيحة.

1. أعطِ [توزيع](#def-g12-randvar-rv) $X$ و $\E(X)$ و $\sigma(X)$ .
2. احسب $\P(X = 0)$ و $\P(X = 5)$ و $\P(X \geq 1)$ .

**حل التمرين 33.2.**

*1.* الأسئلة $10$ تجارب برنولي مستقلة حيث $p = \frac14$: $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$، و $\E(X) = 2.5$، و $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$.

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$؛

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**تمرين 33.3 ★.**

تؤمّن شركة تأمين $n = 400$ زبونًا؛ ويقدّم كل منهم مطالبة خلال السنة [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $p = 0.05$، على نحو مستقل. وليكن $X$ عدد المطالبات. حدّد [توزيع](#def-g12-randvar-rv) $X$ واحسب أمله الرياضي و انحرافه المعياري.

**حل التمرين 33.3.**

تجارب متماثلة مستقلة: $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$، إذن $\E(X) = 20$ مطالبة و

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**تمرين 33.4 ★★.**

في لعبة [المثال 33.5](#ex-g12-randvar-game)، يريد المنظّم لعبة عادلة ($\E(G) = 0$) بتغيير سعر الدخول $c$. أوجد $c$. واحسب [تباين](#def-g12-randvar-exp) الربح في هذه النسخة العادلة؛ فهل “العادل” هو نفسه “الخالي من الخطر”؟

**حل التمرين 33.4.**

المبلغ المقبوض $P$ يحقق $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$، إذن السعر العادل هو $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ أورو. والربح العادل $G = P - \frac{11}6$ يأخذ القيم $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ بالاحتمالات $\frac46, \frac16, \frac16$:

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

فللعبة العادلة ربح *وسطي* معدوم لكن نتائجها تظل تتذبذب: فالعادل ليس خاليًا من الخطر.

**تمرين 33.5 ★★.**

لاعبة كرة سلة تسجّل الرميات الحرة [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.7$. وترمي $8$ مرات (والرميات مستقلة). احسب [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) أن تسجّل: $6$ بالضبط؛ و $6$ على الأقل؛ ومرة واحدة على الأقل. وما العدد الأرجح من التسجيلات؟

**حل التمرين 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$.

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. والمنوال: $(n+1)p = 6.3$، إذن القيمة الأرجح هي $k^* = 6$ ([التمرين 33.7](#exo-g12-randvar-7)).

**تمرين 33.6 ★★.**

تعرف شركة طيران أن كل مسافر حجز يحضر [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.9$، على نحو مستقل. ولرحلة $100$ مقعد وتبيع الشركة $104$ تذكرة. عبّر، باستعمال [توزيع ثنائي](#def-g12-randvar-binomial)، عن [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) أن يحضر مسافرون أكثر من المقاعد، وقدّر ذلك عدديًا باستعمال آلة حاسبة (وأعطِ العبارة المضبوطة).

**حل التمرين 33.6.**

عدد المسافرين الحاضرين هو $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$؛ و يكون الحجز زائدًا عندما $X \geq 101$:

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

فبيع تذاكر أكثر من المقاعد بنسبة $4\%$ يسبّب [حادثة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#def-g11-prob-model) في نحو $0.6\%$ فقط من الرحلات — وهذا هو اقتصاد الحجز الزائد.

**تمرين 33.7 ★★.**

ليكن $X \sim \mathcal B(n, p)$. بيّن أن

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

واستنتج أن [التوزيع](#def-g12-randvar-rv) يتزايد حتى $k^* = \floor{(n+1)p}$ ويتناقص بعدها (وهو *منوال* [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial)).

**حل التمرين 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

باستعمال $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$. وهذه النسبة $\geq 1$ إذا وفقط إذا كان $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$ إذا وفقط إذا كان $np - k p \geq k - kp + 1 - p$ إذا وفقط إذا كان $k \leq (n+1)p - 1$. إذن تتزايد الاحتمالات تمامًا ما دام $k + 1 \leq (n+1)p$ وتتناقص بعدها: [فالقيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) تُبلَغ عند $k^* = \floor{(n+1)p}$ (وتتقاسمها مع $k^* - 1$ عندما يكون $(n+1)p$ عددًا صحيحًا).

**تمرين 33.8 ★★★.**

*(سان بطرسبورغ مروَّضةً.)* تُرمى قطعة نقد غير مغشوشة حتى تظهر الصورة، لكن $10$ مرات على الأكثر. وليكن $N$ عدد الرميات المستعملة، و يقبض اللاعب $2^N$ أورو إذا ظهرت الصورة، و $0$ فيما عدا ذلك.

1. أعطِ [توزيع](#def-g12-randvar-rv) $N$ مقصورًا على الإمكانيات الرابحة: $\P(\text{أول صورة عند الرمية } k) = 2^{-k}$ من أجل $1 \leq k \leq 10$ ، وتحقق من [الاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) الكلي للربح.
2. احسب المدفوع المأمول. وماذا سيصير لولا سقف الرميات $10$ ؟

**حل التمرين 33.8.**

*1.* أول صورة عند الرمية $k$ يعني $k-1$ ظهرًا ثم صورة: [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$، من أجل $1 \leq k \leq 10$. [والاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) الكلي للربح $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (فلا تُخسر اللعبة إلا عند عشرة أظهر [متتالية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/20-sequences#def-g12-seq-sequence)).

*2.* المدفوع المأمول:

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ أورو}.
$$

ولولا السقف، لتباعد المجموع $\sum_{k\geq1} 1$: فيكون المدفوع المأمول لانهائيًا، مع أن اللعبة تدفع دائمًا [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) مبلغًا صغيرًا — وهي *مفارقة سان بطرسبورغ* الشهيرة، التي تبيّن أن [الأمل الرياضي](#def-g12-randvar-exp) وحده لا يقيس قيمة لعبة.

## 33.4 مسألة: الرحلة ذات الحجز الزائد

**مسألة 33.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — شركات الطيران تبيع مقاعد أكثر مما تملك، والمصانع تقبل دفعات بالكاد فحصتها، و التوزيع الثنائي يحكّم بينهما

شركة طيران فيها $100$ مقعد تبيع بسرور $105$ تذكرة: فنحو $10\,\%$ من المسافرين لا يحضرون أبدًا، والمقاعد الفارغة لا تكسب شيئًا. فإلى أي حد تستطيع الشركة أن تدفع قبل أن يأكل المسافرون المُنزَلون الربح؟ يجيب [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial) ([المبرهنة 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) بدقة الرقم العشري — و الآلة نفسها تفحص دفعات المصانع، وتسعّر اليانصيبات، و تبقي المؤمّنين قادرين على الدفع. قرارات تحت التكرار: هذه هي وظيفة [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial) اليومية.

**الجزء الأول — التمكّن.**

1. أعطِ جدول [التوزيع](#def-g12-randvar-rv) الكامل لعدد $X$ من الأوجه الستة في ثلاث رميات لحجر نرد.
2. احسب $\E(X)$ و $V(X)$ ( [التعريف 33.2](#def-g12-randvar-exp) ).
3. كشك يتقاضى $1$ أورو مقابل ثلاث رميات ويدفع $2$ أورو عن كل ستة تظهر. احسب الربح المأمول: فهل اللعبة عادلة؟
4. تدرَّب على قائمة التحقق ( [الطريقة 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ): هل عدد القلوب في $5$ أوراق تُسحب *بدون* إرجاع ثنائي؟ وماذا لو كان مع الإرجاع؟ برّر.
5. من أجل $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : أعطِ $\E(X)$ و $\sigma(X)$ ، ثم $\E(S)$ و $\sigma(S)$ من أجل النتيجة $S = 5X - 10$ ( [القضية 33.4](#prop-g12-randvar-affine) ).

**الجزء الثاني — الرحلة ذات الحجز الزائد.** المقاعد: $100$. والتذاكر المبيعة: $105$. ويحضر كل حامل تذكرة [باحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) $0.9$، على نحو مستقل؛ وليكن $X$ عدد الحاضرين.

6. النمذجة: برّر $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ بقائمة التحقق — واعترف بأضعف نقطة في النموذج (فهل عدم الحضور مستقل فعلًا؟ فكّر في المجموعات والعواصف).
7. احسب $\E(X)$ و $\sigma(X)$ .
8. يحدث الإنزال عندما يكون $X \geq 101$ : اكتب $\P(X \geq 101)$ مجموعًا صريحًا من خمسة حدود ثنائية.
9. قدّر المجموع (بآلة حاسبة): فما نسبة الرحلات التي ترى مسافرًا مُنزَلًا واحدًا على الأقل؟
10. المال: تجلب التذاكر الخمس الزائدة $5 \times 200 = 1\,000$ أورو؛ ويكلّف كل مسافر مُنزَل $800$ أورو تعويضًا. احسب العدد المأمول للمسافرين المُنزَلين، $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ ، والتعويض المأمول، ثم الحكم على السياسة.
11. التصميم: يتسامح المنظّم مع $\P(\text{الإنزال}) < 5\,\%$ . وباختبار $n = 105, 106, 107, \dots$ تذكرة، أوجد أكبر $n$ مسموح به.
12. اختصار الجرس: من أجل $n = 105$ ، احسب [الدرجة المعيارية](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#pb-g11-stat-1) لعتبة الإنزال، $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ ، وقارن التقدير الخام “نحو $2\sigma$ ، أي نحو $2$ – $3\,\%$ في الذيل الأعلى” بجوابك المضبوط. ( [والمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) وراء هذا الاختصار هو نجم الفصول التالية.)

**الجزء الثالث — بوابة المصنع.** تُقبل دفعة من القطع إذا احتوت [عينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) من $20$ قطعة على قطعة معيبة واحدة على الأكثر.

13. إذا كان معدل العيب الحقيقي $2\,\%$ (وهي دفعة نزيهة)، فاحسب [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) القبول.
14. وإذا كان المعدل $10\,\%$ (وهي دفعة رديئة)، فاحسبه من جديد.
15. سمِّ خطري الإجراء (الدفعة النزيهة المرفوضة؛ والدفعة الرديئة المقبولة)، واقرأ قيمتيهما من السؤالين 13–14، وقل ما التغيير الوحيد الذي يحسّن كليهما معًا — وبأي ثمن.
16. وراء التحسين: بيّن أن *[تواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series)* العيب الملاحَظ $\frac Xn$ في [عينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) حجمها $n$ له [انحراف معياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ، ثم اختم بكيفية تحسّن الدقة مع حجم [العينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) (وهو صديق قديم: $\frac{1}{\sqrt n}$ الذي رأيناه من قبل).

**الجزء الرابع — الألعاب واليانصيبات والاحتياطيات.**

17. لعبة سان بطرسبورغ المسقوفة في [التمرين 33.8](#exo-g12-randvar-8) مدفوعها المأمول $10$ أورو. قارنها في فقرة واحدة بالمفارقة غير المسقوفة التي لقيناها في [المسألة 18.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#pb-g11-prob-1) : فما الذي يروّضه السقف بالضبط، وما السعر العادل الآن؟
18. يانصيب خيري يبيع $200$ تذكرة بسعر $2$ أورو؛ و الجوائز: سلة قيمتها $100$ أورو وسلتان قيمة كل منهما $50$ أورو. احسب الربح المأمول للتذكرة وهامش اليانصيب؛ وقارنه بهامش بيت الروليت الأوروبي البالغ $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . فلماذا يفلت اليانصيب بفعلته؟
19. مؤمّن يحمل $1\,000$ عقد مستقل: [احتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) المطالبة $0.01$ لكل منها، وحجم المطالبة $10\,000$ أورو، و القسط $130$ أورو. احسب الربح السنوي المأمول *و* [الانحراف المعياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) لمجموع المطالبات. وقارن العددين: فما الذي تفرضه المقارنة على المؤمّنين الحقيقيين أن يحتفظوا به؟
20. الخاتمة — [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial) حكمًا للقرارات: قائمة التعرف؛ والبوصلة $\E \pm \sigma$ ؛ واحتمالات الذيول ثمنًا للخطر؛ والتحذيران القائمان ( [الاستقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) ادعاء نمذجة، وأن الذيول النادرة، لا المتوسطات، هي التي تسبّب الخراب). جملة واحدة لكل بند، مع الإشارة: قانون الأعداد الكبيرة [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الجرس، في الفصول التالية، يكملان كتاب قواعد الحكم.

**حل المسألة 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$: $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$، $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$، $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$، $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$.

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$؛ $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$.

**3.** المدفوع المأمول $2\,\E(X) = 1$ أورو في مواجهة رهان قدره $1$ أورو: فالربح $0$ — أي عادلة تمامًا (وهو أمر نادر).

**4.** بلا إرجاع تكون السحبات مرتبطة (إذ تتعلق حظوظ الورقة الثانية بالأولى): إذن ليس ثنائيًا — فخانة [الاستقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) في قائمة التحقق تسقط. وأما مع الإرجاع: فعدد ثابت $n = 5$، [واحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) ثابت $p = \frac14$، وسحبات مستقلة: إذن ثنائي.

**5.** $\E(X) = 6$ و $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx
2.05$. و $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$؛ و $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$.

**6.** عدد ثابت $n = 105$ من التجارب (وهي التذاكر)، وكل منها حضور أو عدم حضور [بالاحتمال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-distribution) نفسه $p = 0.9$، مفترضًا فيها [الاستقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep): إذن ثنائي. وأما الاعتراف: فالأسر تفوّت الرحلات *معًا* والعواصف تفرّغ طائرات بكاملها — [فالاستقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) هو قفزة إيمان النموذج، وحالات عدم الحضور المترابطة تجعل الذيول أسمن مما يعد به [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial).

**7.** $\E(X) = 94.5$؛ و $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} =
\sqrt{9.45} \approx 3.07$.

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$.

**9.** $\approx 0.0167$: أي نحو رحلة واحدة من ستين تُنزل أحدًا أصلًا.

**10.** $\E(\text{المُنزَلين}) \approx 0.023$ مسافر في الرحلة الواحدة: فالتعويض المأمول $\approx 19$ أورو — في مواجهة $1\,000$ أورو من الدخل الإضافي. فالحجز الزائد بخمس تذاكر مربح بصورة ساحقة؛ ولهذا تفعله كل شركة طيران.

**11.** من جدول احتمالات الذيول: $n = 105$: $1.7\,\%$؛ و $n = 106$: $4.0\,\%$؛ و $n = 107$: $8.1\,\%$. فأكبر بيع ممتثل هو $n = 106$ تذكرة.

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$: فالعتبة تقع على بعد انحرافين معياريين فوق [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean)، وقاعدة [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الجرس التقريبية (“الذيل الأعلى $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$”) تحطّ قريبًا من القيمة المضبوطة $1.7\,\%$ — [فالمنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الأملس الذي يظلّل [التوزيع الثنائي](#def-g12-randvar-binomial) هو بطل الفصول القادمة.

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19}
\approx 0.94$: فالدفعة النزيهة تمر في $94\,\%$ من الحالات.

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19}
\approx 0.39$: فالدفعة الرديئة ما زالت تتسلل في $39\,\%$ من الحالات.

**15.** خطر المنتج: دفعة جيدة مرفوضة ($\approx 6\,\%$)؛ وخطر المستهلك: دفعة رديئة مقبولة ($\approx 39\,\%$). [وعينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample) أكبر (مع عتبة قبول متناسبة) تقلّص كليهما — بثمن مزيد من الفحص: فللجودة خط ميزانية.

**16.** $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$: [فالانحراف المعياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. ربّع حجم [العينة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling#def-g10-proba-sample)، ينتصف الضجيج: وهو قانون $\frac{1}{\sqrt n}$ في مجالات التذبذب التي رأيناها من قبل، مبرهَنًا عليه الآن.

**17.** يحدّ السقف المدفوع عند $2^{10} = 1024$ أورو، فتسهم كل جولة من الجولات العشر بمقدار $1$ أورو بالضبط من [الأمل الرياضي](#def-g12-randvar-exp): أي $\E = 10$. أما [الأمل الرياضي](#def-g12-randvar-exp) اللانهائي للعبة غير المسقوفة فقد جاء كله من مدفوعات نادرة ندرة فلكية وضخمة ضخامة فلكية؛ والسقف يعترف بأن لا مصرف يدفع $2^{50}$ أورو. وسعر تذكرة عادل للعبة المسقوفة: $10$ أورو — وفجأةً لا مفارقة عند أحد.

**18.** الجائزة المأمولة للتذكرة الواحدة: $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ أورو في مواجهة تذكرة سعرها $2$ أورو: فالهامش $50\,\%$ — أي ثمانية عشر ضعف هامش الروليت البالغ $2.7\,\%$. ويفلت اليانصيب بفعلته لأن لاعبيه يتبرعون عن علم: و“الخسارة” هي المقصد.

**19.** المطالبات المأمولة: $1\,000 \times 0.01 \times
10\,000 = 100\,000$؛ والأقساط $130\,000$: فالربح المأمول $30\,000$ أورو. [والانحراف المعياري](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/17-descriptive-statistics#def-g11-stat-variance) لمجموع المطالبات: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99}
\approx 31\,500$ أورو — فسنة سيئة عادية واحدة تلتهم الربح المأمول كله. ومن هنا الاحتياطيات الرأسمالية، وإعادة التأمين، والمحافظ الأكبر بكثير من ألف عقد: فالمؤمّنون يعيشون على قانون الأعداد الكبيرة ويحتفظون باحتياطيات في مواجهة بطئه.

**20.** قائمة التحقق أولًا — عدد ثابت $n$، و $p$ نفسه، و [استقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) *مدَّعى* — وإلا فلا [توزيع ثنائي](#def-g12-randvar-binomial) أصلًا. ثم أبحر بالبوصلة $\E \pm \sigma$: فالمتوسطات تحدّد الموضع، والانحرافات تحذّر. ثم سعّر الذيول: فالإنزال، والدفعات الرديئة، والسنوات المدمّرة كلها تعيش وراء $2\sigma$. والتحذيران: [الاستقلال](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/32-conditional-probability-and-independence#def-g12-condprob-indep) وعد النمذجة لا وعد العالم؛ [والأمل الرياضي](#def-g12-randvar-exp) يتجاهل بالضبط ما يدمّرك. وأما صفحات كتاب القواعد الناقصة — بأي سرعة تستقر التواترات، وأي شكل تأخذه التذبذبات — فهي الفصلان التاليان.