---
title: "الدوال المرجعية"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 4
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions
---

# الفصل 4 — الدوال المرجعية

تظهر حفنة من الدوال البسيطة — التآلفية، والمربع، والمقلوب، والجذر التربيعي، والتكعيب — في كل مكان، وحدها أو مركّبة. ومعرفة منحنياتها وتغيراتها عن ظهر قلب تحوّل مسائل كثيرة إلى رسم سريع. يدرس هذا الفصل كلًّا منها على حدة ويبرهن على تغيراتها بتقنية المقارنة في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#ch-g10-functions).

## 4.1 الدوال التآلفية

**تعريف 4.1 (الدالة التآلفية).**

*الدالة التآلفية* هي [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) على الصورة

$$
f(x) = mx + p,
$$

حيث $m$ و $p$ عددان حقيقيان ثابتان. ومنحنيها مستقيم: العدد $m$ هو *الميل* والعدد $p$ هو *الترتيب عند المبدأ* (فالمستقيم يقطع المحور الشاقولي في $(0, p)$). وعندما $p = 0$ تكون [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) *خطية*: فالكتابة $f(x) = mx$ تعبّر عن التناسب.

**قضية 4.2 (الميل والتغيرات).**

لتكن $f(x) = mx + p$.

1. من أجل أي دخلين مختلفين $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ( [فالميل](#def-g10-reffunc-affine) هو تغير الخرج لكل وحدة تغير في الدخل).
2. إذا كان $m > 0$ ، فإن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\R$ ؛ وإذا كان $m < 0$ ، فهي [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا؛ وإذا كان $m = 0$ ، فهي ثابتة.

**برهان.** 1. احسب $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$، ثم اقسم على $v - u \neq 0$.

2. إذا كان $u < v$، فإن $f(v) - f(u) = m(v-u)$ له إشارة $m$، لأن $v - u > 0$: فإذا كان $m$ موجبًا كان $f(u) < f(v)$ ([متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations))، وإذا كان $m$ سالبًا كان $f(u) > f(v)$ ([متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations)). ∎

![دالتان تآلفيتان: متزايدة من أجل m = 1/2 > 0، ومتناقصة من أجل m = -1 < 0. والانتقال وحدة واحدة نحو اليمين يغيّر y بمقدار m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-9e20879f061b.svg)

*دالتان تآلفيتان: [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) من أجل $m = \frac12 > 0$، [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) من أجل $m = -1 < 0$. والانتقال وحدة واحدة نحو اليمين يغيّر $y$ بمقدار $m$.*

**مثال 4.3.**

أوجد [الدالة التآلفية](#def-g10-reffunc-affine) التي يمر منحنيها بالنقطتين $A(1, 3)$ و $B(4, 9)$. [الميل](#def-g10-reffunc-affine) هو

$$
m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .
$$

عندئذٍ $f(x) = 2x + p$، ويعطي $f(1) = 3$ أن $2 + p = 3$، إذن $p = 1$: أي $f(x) = 2x + 1$. تحقق بالنقطة $B$: $f(4) = 9$.

## 4.2 دالة المربع

**قضية 4.4 (دالة المربع).**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2$، المعرَّفة على $\R$:

1. [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ [ومتزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ ، وقيمتها الصغرى $0$ عند $x = 0$ ؛
2. تحقق $f(-x) = f(x)$ من أجل كل $x$ : ومنحنيها، وهو *قطع مكافئ* ، متناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي.

**برهان.** 1. ليكن $0 \leq u < v$. عندئذٍ

$$
f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,
$$

لأن $v - u > 0$ و $v + u > 0$: إذن $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$. وإذا كان $u < v \leq 0$، فإن $v - u > 0$ لكن $v + u < 0$، إذن $f(v) - f(u) < 0$: [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا. وأخيرًا $x^2 \geq 0 = f(0)$ من أجل كل $x$.

2. لدينا $(-x)^2 = x^2$؛ إذن النقطتان $(x, x^2)$ و $(-x, x^2)$، وهما صورتان متناظرتان بالنسبة إلى المحور الشاقولي، تقعان معًا على [المنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph). ∎

**ملاحظة 4.5 (المربعات والترتيب).**

بما أن [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المربع تتناقص على الجهة السالبة، فإن التربيع *يقلب* ترتيب الأعداد السالبة: $-3 < -2$ لكن $9 > 4$. لا تربّع طرفي متراجحة أبدًا دون التحقق من الإشارات.

## 4.3 دالة المقلوب

**قضية 4.6 (دالة المقلوب).**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $f(x) = \dfrac1x$، المعرَّفة من أجل $x \neq 0$:

1. [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoo{-\infty}{0}$ [ومتناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoo{0}{+\infty}$ ؛
2. تحقق $f(-x) = -f(x)$ : ومنحنيها، وهو *قطع زائد* ، متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

**برهان.** 1. ليكن $0 < u < v$. عندئذٍ

$$
f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,
$$

لأن $u - v < 0$ و $uv > 0$: إذن [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoo{0}{+\infty}$. وعلى $\intoo{-\infty}{0}$ يكون للخارج نفسه $u - v < 0$ و $uv > 0$ من جديد (جداء عددين سالبين)، إذن $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) هناك أيضًا.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$. ∎

**ملاحظة 4.7.**

انتبه: [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $\frac1x$ *ليست* [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على مجموعة تعريفها كلها. فمن $u = -1$ إلى $v = 1$ تقفز القيمة من $-1$ صعودًا إلى $1$. ويجب دراسة الفرعين على حدة.

![القطع المكافئ y = x2 (المتناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي) والقطع الزائد y = 1x (فرعان متناظران بالنسبة إلى المبدأ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-c9fe377b98a0.svg)

![القطع المكافئ y = x2 (المتناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي) والقطع الزائد y = 1x (فرعان متناظران بالنسبة إلى المبدأ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-7be6853a2a0e.svg)

*القطع المكافئ $y = x^2$ (المتناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي) والقطع الزائد $y = \frac1x$ (فرعان متناظران بالنسبة إلى المبدأ).*

## 4.4 الجذر التربيعي والتكعيب

**قضية 4.8 (دالة الجذر التربيعي).**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $f(x) = \sqrt{x}$، المعرَّفة على $\intco{0}{+\infty}$، [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا.

**برهان.** ليكن $0 \leq u < v$. اضرب واقسم على *المرافق*:

$$
\sqrt v - \sqrt u
= \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u}
= \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,
$$

لأن $v - u > 0$ و $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (ولاحظ أن $v > 0$، إذن $\sqrt v > 0$). ∎

**قضية 4.9 (دالة التكعيب).**

[الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) $f(x) = x^3$، المعرَّفة على $\R$، [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا، ومنحنيها متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![الجذر التربيعي (المعرَّف من أجل x ≥ 0 فقط) والتكعيب، وكلاهما متزايد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-ec6a3c7fb7bc.svg)

![الجذر التربيعي (المعرَّف من أجل x ≥ 0 فقط) والتكعيب، وكلاهما متزايد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-5d553e336fa1.svg)

*الجذر التربيعي (المعرَّف من أجل $x \geq 0$ فقط) والتكعيب، وكلاهما متزايد.*

**قضية 4.10 (مقارنة xxx و x2x^2x2 و x\sqrt xx​).**

من أجل $0 < x < 1$: $x^2 < x < \sqrt x$. ومن أجل $x > 1$: $\sqrt x < x < x^2$. وعند $x = 0$ و $x = 1$ تتساوى القيم الثلاث.

**برهان.** لنفترض أن $0 < x < 1$. بضرب $x < 1$ في $x > 0$ نجد $x^2 < x$. ثم إن $x < \sqrt x$: فبما أن الطرفين موجبان والتربيع متزايد على الأعداد الموجبة، فإن هذه المتراجحة تكافئ $x^2 < x$، وقد برهنّا عليها للتوّ. ومن أجل $x > 1$، يعطي ضرب $x > 1$ في $x$ أن $x^2 > x$، وتنتج $\sqrt x < x$ بحجة التربيع نفسها. ∎

![تتقاطع المنحنيات الثلاثة في (0,0) و (1,1) ويتبادل ترتيبها هناك: فبين 0 و 1 يكون x2 الأصغر و √ x الأكبر؛ وبعد 1 ينقلب الترتيب.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-2f2ec319808a.svg)

*تتقاطع المنحنيات الثلاثة في $(0,0)$ و $(1,1)$ ويتبادل ترتيبها هناك: فبين $0$ و $1$ يكون $x^2$ الأصغر و $\sqrt x$ الأكبر؛ وبعد $1$ ينقلب الترتيب.*

**طريقة 4.11 (مقارنة الصور).**

لمقارنة $f(a)$ و $f(b)$ من أجل [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) مرجعية $f$:

1. ضع $a$ و $b$ على [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) تُعرف عليها تغيرات $f$ ؛
2. إذا كانت $f$ [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) هناك، فالصور مرتبة كترتيب الدخلين؛ وإذا كانت [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) ، انقلب الترتيب؛
3. وإذا لم يكن $a$ و $b$ في [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) الرتابة نفسها، فعالج الإشارات أولًا (مثلًا في حالة المربع: دخل سالب ودخل موجب).

**مثال 4.12.**

قارن $\dfrac{1}{2.3}$ و $\dfrac{1}{2.4}$: الدخلان كلاهما في $\intoo{0}{+\infty}$، حيث تتناقص [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المقلوب، و $2.3 < 2.4$، إذن $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$. وقارن $(-1.2)^2$ و $(-1.5)^2$: على $\intoc{-\infty}{0}$ يتناقص المربع، و $-1.5 < -1.2$، إذن $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — وفعلًا $2.25 > 1.44$.

## 4.5 تمارين

**تمرين 4.1 ★.**

أعطِ لكل [دالة تآلفية](#def-g10-reffunc-affine) ميلها وترتيبها عند المبدأ، وقل هل هي [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) أم [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations):

$$
f(x) = 3x - 2, \qquad
g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad
h(x) = 7, \qquad
k(x) = -x .
$$

**حل التمرين 4.1.**

$f$: [الميل](#def-g10-reffunc-affine) $3$، [والترتيب عند المبدأ](#def-g10-reffunc-affine) $-2$، [متزايدة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations). $g$: [الميل](#def-g10-reffunc-affine) $-\frac12$، [والترتيب عند المبدأ](#def-g10-reffunc-affine) $4$، [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations). $h$: [الميل](#def-g10-reffunc-affine) $0$، [والترتيب عند المبدأ](#def-g10-reffunc-affine) $7$، ثابتة. $k$: [الميل](#def-g10-reffunc-affine) $-1$، [والترتيب عند المبدأ](#def-g10-reffunc-affine) $0$، [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) (وخطية).

**تمرين 4.2 ★.**

أوجد [الدالة التآلفية](#def-g10-reffunc-affine) التي يمر منحنيها بالنقطتين $(2, 1)$ و $(5, 10)$؛ ثم تلك التي يمر منحنيها بالنقطتين $(-1, 4)$ و $(3, -4)$.

**حل التمرين 4.2.**

بالنقطتين $(2,1)$ و $(5,10)$: [الميل](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$؛ ثم $1 = 3 \times 2 + p$ يعطي $p = -5$: أي $f(x) = 3x - 5$.

وبالنقطتين $(-1,4)$ و $(3,-4)$: [الميل](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} =
\frac{-8}{4} = -2$؛ ثم $4 = -2 \times (-1) + p$ يعطي $p = 2$: أي $f(x) = -2x + 2$.

**تمرين 4.3 ★.**

قارن دون آلة حاسبة:

$$
(3.1)^2 \text{ و } (3.2)^2; \qquad
(-2.7)^2 \text{ و } (-2.8)^2; \qquad
\frac{1}{5.1} \text{ و } \frac{1}{5.2}; \qquad
\sqrt{17} \text{ و } \sqrt{15}.
$$

**حل التمرين 4.3.**

$(3.1)^2 < (3.2)^2$: فالمربع متزايد على الأعداد الموجبة.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$: فالمربع متناقص على الأعداد السالبة و $-2.8 < -2.7$.

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$: فالمقلوب متناقص على الأعداد الموجبة.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$: فالجذر التربيعي متزايد.

**تمرين 4.4 ★.**

مستعملًا [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المربع، حل $x^2 = 16$، ثم $x^2 \leq 16$، ثم $x^2 > 9$.

**حل التمرين 4.4.**

$x^2 = 16$: حلان، $x = 4$ و $x = -4$ (فالمستقيم الأفقي $y = 16$ يقطع القطع المكافئ مرتين).

$x^2 \leq 16$: القطع المكافئ تحت المستقيم بين نقطتي [التقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion): $x \in \intcc{-4}{4}$.

$x^2 > 9$: القطع المكافئ فوق $y = 9$ تمامًا خارج $\intcc{-3}{3}$: $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$.

**تمرين 4.5 ★.**

ليكن $x \in \intoo{0}{1}$. رتّب الأعداد $x$ و $x^2$ و $x^3$ و $\sqrt x$ من الأصغر إلى الأكبر، وتحقق من جوابك من أجل $x = 0.25$.

**حل التمرين 4.5.**

من أجل $0 < x < 1$: يعطي ضرب $x < 1$ في $x$ مرارًا أن $x^3 < x^2 < x$، وتعطي [القضية 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) أن $x < \sqrt x$، إذن

$$
x^3 < x^2 < x < \sqrt x .
$$

تحقق من أجل $x = 0.25$: $x^3 = 0.015625$ و $x^2 = 0.0625$ و $x = 0.25$ و $\sqrt x = 0.5$.

**تمرين 4.6 ★★.**

حل بيانيًا ثم جبريًا: $\dfrac1x = 2$، ثم $\dfrac1x < 2$ من أجل $x > 0$. وما الذي يتغير إذا سمحنا أيضًا بالقيم $x < 0$؟

**حل التمرين 4.6.**

[للمعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $\frac1x = 2$ حل وحيد $x = \frac12$ (فالقطع الزائد يلتقي المستقيم الأفقي $y = 2$ مرة واحدة، على الفرع الموجب).

ومن أجل $x > 0$: $\frac1x < 2$. وبالضرب في $x > 0$: $1 < 2x$، إذن $x > \frac12$: مجموعة الحلول $\intoo{\frac12}{+\infty}$.

وإذا سُمح بالقيم $x < 0$: فكل عدد سالب $x$ يحقق $\frac1x < 0 < 2$، إذن مجموعة الحلول الكاملة هي $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$.

**تمرين 4.7 ★★.**

علمًا أن [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المربع تتناقص على $\intoc{-\infty}{0}$ وتتزايد على $\intco{0}{+\infty}$، احصر $x^2$ عندما:

$$
\text{(أ) } x \in \intcc{2}{5};
\qquad
\text{(ب) } x \in \intcc{-3}{-1};
\qquad
\text{(ج) } x \in \intcc{-2}{3}.
$$

(وفي الحالة (ج) انتبه: [فالقيمة الصغرى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) للمقدار $x^2$ ليست عند طرف.)

**حل التمرين 4.7.**

(أ) على $\intcc{2}{5}$، كل الدخول موجبة والتربيع متزايد: $4 \leq x^2 \leq 25$.

(ب) على $\intcc{-3}{-1}$، التربيع متناقص: فأكبر مربع يأتي من $-3$: $1 \leq x^2 \leq 9$.

(ج) على $\intcc{-2}{3}$، تحوي [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) العدد $0$، حيث يبلغ المربع قيمته الصغرى $0$؛ [والقيمة العظمى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-extrema) هي الأكبر بين $(-2)^2 = 4$ و $3^2 = 9$. إذن $0 \leq x^2 \leq 9$.

**تمرين 4.8 ★★.**

تتقاضى شركة سيارات أجرة رسمًا ثابتًا قدره $4$ زائد $1.5$ لكل كيلومتر؛ وتتقاضى أخرى $2$ لكل كيلومتر دون رسم. نمذج كل سعر [بدالة تآلفية](#def-g10-reffunc-affine) للمسافة $x$، وارسم المستقيمين، وأوجد ابتداءً من أي مسافة تكون الشركة الأولى أرخص.

**حل التمرين 4.8.**

الشركة الأولى: $f(x) = 1.5x + 4$؛ والثانية: $g(x) = 2x$. وتكون الأولى أرخص عندما

$$
1.5x + 4 < 2x
\ \Longleftrightarrow\
4 < 0.5x
\ \Longleftrightarrow\
x > 8 .
$$

فبعد $8$ كم تكون الشركة الأولى أرخص؛ وعند $8$ كم بالضبط تتقاضيان $16$.

**تمرين 4.9 ★★.**

بيّن أنه من أجل كل $a, b \geq 0$: $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. (إرشاد: الطرفان غير سالبين، فقارن مربعيهما.) ومتى تتحقق المساواة؟

**حل التمرين 4.9.**

الطرفان غير سالبين، إذن تكافئ المتراجحة تلك التي بين مربعيهما:

$$
\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b
\qquad\text{و}\qquad
\left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .
$$

وبما أن $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$، فإن المربع الثاني لا يقل عن الأول، وهذا يبرهن على $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. وتتحقق المساواة بالضبط عندما $\sqrt a \sqrt b = 0$، أي عندما $a = 0$ أو $b = 0$.

**تمرين 4.10 ★★★.**

لتكن $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$، معرَّفة من أجل $x \neq 1$.

1. بيّن أن $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ من أجل كل $x \neq 1$ .
2. استنتج تغيرات $f$ على $\intoo{1}{+\infty}$ من تغيرات [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المقلوب.

**حل التمرين 4.10.**

*1.* وحّد مقامي الطرف الأيمن:

$$
2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}
= f(x).
$$

*2.* على $\intoo{1}{+\infty}$، عندما يتزايد $x$، يتزايد $x - 1$ ويبقى موجبًا، إذن يتناقص $\frac{3}{x-1}$ ([دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المقلوب مضروبة في الثابت الموجب $3$)، إذن يتناقص $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$: أي أن $f$ [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) تمامًا على $\intoo{1}{+\infty}$.

## 4.6 مسألة: قوانين الطبيعة تنطق بالدوال المرجعية

**مسألة 4.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — مسافات الكبح تنمو مثل $v^2$، والروافع تخضع للقانون $1/d$، والكواكب تتبع $a^{3/2}$: قراءة الفيزياء بالدوال المرجعية

افتح كتاب فيزياء تجد المنحنيات القليلة نفسها في كل صفحة: القطع المكافئ، والقطع الزائد، [ومنحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) الجذر. تكتب الطبيعة قوانينها بدوال هذا الفصل المرجعية — ومعرفة أشكالها ([القضية 4.4](#prop-g10-reffunc-square) و [القضية 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse) و [القضية 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) و [القضية 4.9](#prop-g10-reffunc-cube)) تكفي لكبح سيارة، ولموازنة رافعة، ولضبط توقيت الكواكب. والخاتمة الكبرى هي قانون كبلر الثالث، مقروءًا مباشرة من معطيات المجموعة الشمسية.

**الجزء الأول — قانون الكبح التربيعي.** قاعدة تقريبية لمسافة كبح سيارة على طريق جاف: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ مترًا، عند السرعة $v$ كم/سا.

1. احسب مسافات الكبح عند $30$ و $50$ و $90$ و $130$ كم/سا.
2. بكم يضاعف تضعيفُ السرعة مسافةَ الكبح؟ فسّر ذلك انطلاقًا من تحجيم [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المربع، وتحقق منه على $50 \to 100$ كم/سا.
3. الطب الشرعي: علامات انزلاق تقيس $50$ م. بأي سرعة تدين العبارةُ السائقَ (إلى أقرب كم/سا)؟ وأي [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) مرجعية أجابت — وعلى أي مجموعة تكون القراءة وحيدة ( [القضية 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) )؟
4. قارن المسافة الإضافية الناتجة عن زيادة كم/سا *واحد* ، عند السرعة المنخفضة وعند السرعة العالية: احسب $d(31) - d(30)$ و $d(91) - d(90)$ . أي خاصية من خواص القطع المكافئ ( [القضية 4.4](#prop-g10-reffunc-square) ) يوضّحها الجوابان؟
5. يضيف التوقف الحقيقي زمن رد الفعل — نحو ثانية واحدة، تقطع السيارة خلالها $0.28v$ مترًا: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . احسب $D(50)$ و $D(130)$ . أي الحدّين — التآلفي أم التربيعي — يهيمن عند سرعة المدينة، وأيهما على الطريق السريع؟

**الجزء الثاني — قطوع الحياة اليومية الزائدة.**

6. تتوازن الرافعة عندما تتساوى القوة $\times$ المسافة على الجهتين. يجلس طفل كتلته $60$ كغ على بعد $2$ م من المحور؛ والقوة الموازِنة على بعد $d$ في الجهة الأخرى هي $F(d) = \frac{120}{d}$ (بما يعادل الكيلوغرامات). احسب $F(0.5)$ و $F(1)$ و $F(3)$ .
7. ماذا تقول تغيرات [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المقلوب ( [القضية 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse) ) عن الروافع — ولماذا يختبئ افتخار أرخميدس (“أعطوني موطئ قدم أحرّك لكم الأرض”) في ذيل القطع الزائد؟ وما الذي يمنع $d = 0$ ؟
8. يخفت الصوت والضوء مع *مربع* المسافة: على بعد $1$ م من مصباح تكون الشدة $100$ وحدة؛ أعطِها على بعد $2$ و $3$ و $10$ م. فسّر الأس $2$ بكرة: على أي مساحة انتشر الضوء على بعد $d$ (مسألة شاهدة قبر أرخميدس في الكتاب السابق)؟
9. تكلّف حافلة الرحلة المدرسية $600$ يورو، تُقسم بالتساوي على $n$ مشاركًا. اجدول التكلفة على الرأس من أجل $n = 10, 20, 30$ ، وأوجد كم مشاركًا ينزل بها إلى $25$ يورو أو أقل، وبيّن ما يعد به شكل القطع الزائد — وما يرفضه — عندما ينمو $n$ .
10. يكلّف إنتاج $x$ ملصقًا $2x + 3$ يورو (منها $3$ يورو تجهيز). بيّن أن التكلفة *المتوسطة* للملصق الواحد هي $a(x) = 2 + \frac3x$ ، وصف تغيراتها، وفسّر مقاربها الأفقي اقتصاديًا. (قارن بجبر [التمرين 4.10](#exo-g10-reffunc-10) .)

**الجزء الثالث — انسجام كبلر.** لكل كوكب، ليكن $a$ بعده المتوسط عن الشمس (بالوحدات الفلكية، الأرض $= 1$) وليكن $T$ دوره (بالسنوات). المعطيات: المريخ $a = 1.52$، $T = 1.88$؛ المشتري $a = 5.20$، $T = 11.86$؛ زحل $a = 9.54$، $T = 29.4$.

11. احسب $a^3$ و $T^2$ من أجل الأرض والمريخ والمشتري. ما الذي لاحظه كبلر سنة 1618؟
12. صُغ القانون على صورة [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) : $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . اختبره على زحل.
13. تنبؤان: كويكب يدور على $a = 4$ وحدة فلكية — أوجد دوره (تخرج الأعداد صحيحة)؛ ومذنّب يعود كل $27$ سنة — أوجد بعده المتوسط (ابحث عن مكعب كامل).
14. أي ثلاث دوال مرجعية يضفرها القانون معًا؟ وما قاعدة تحجيمه: عندما يُضرب $a$ في $4$ ، ماذا يحدث للدور $T$ ؟ (تحقق بالكويكب قياسًا على الأرض.)
15. قرأ كبلر هذا القانون في معطيات تيخو براهي قبل سبعين سنة من تفسير جاذبية نيوتن له. في جملة واحدة: ماذا تقول هذه الواقعة عن قوة التعرّف على [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) مرجعية في جدول أعداد؟

**الجزء الرابع — السلحفاة والأرنب.**

16. رتّب $\sqrt x$ و $x$ و $x^2$ على $\intoo{0}{1}$ وعلى $\intoo{1}{+\infty}$ ( [القضية 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) )، وتحقق من الترتيبين عند $x = 0.25$ وعند $x = 4$ .
17. حل $\sqrt x > x$ حلًّا كاملًا (من أجل $x \geq 0$ ، ربّع بحذر واختم بجدول إشارة).
18. أدخل التكعيب: رتّب $x$ و $x^2$ و $x^3$ عند $x = 0.5$ وعند $x = 2$ ، وأوجد كل النقط التي يتقاطع عندها المربع والتكعيب.
19. تدفع خطتا ادخار، بعد $t$ سنة، $100\sqrt t$ يورو (الخطة أ) أو $10 t^2$ يورو (الخطة ب). بيّن أن ب تتجاوز أ عندما $t^3 = 100$ ، وأعطِ لحظة التجاوز بالشهر. وما المغزى بشأن الجذور في مواجهة القوى على المدى الطويل؟
20. الخاتمة: من أجل كل قانون في هذه المسألة — الكبح ( $v^2$ )، والرافعة ( $1/d$ )، والمصباح ( $1/d^2$ )، وكبلر ( $a^{3/2}$ )، والخطة أ ( $\sqrt t$ ) — قل في جملة قصيرة أي ملمح من ملامح منحنيه المرجعي يحمل المعنى الفيزيائي (الصعود المتزايد الانحدار، والمقارب الشاقولي، والكرة المنتشرة، وأس التحجيم، والنمو المتسطّح). والخلاصة: الدوال المرجعية هي الأبجدية؛ والطبيعة تكتب بها.

**حل المسألة 4.1.**

**1.** $d(30) = 3^2 = 9$ م؛ $d(50) = 25$ م؛ $d(90) =
81$ م؛ $d(130) = 169$ م.

**2.** تضعيف $v$ يضاعف $\frac v{10}$ ويضرب مربعه في $4$: $d(100) = 100$ م $= 4 \times d(50)$. ضعف السرعة، أربعة أضعاف المسافة — وهو تحجيم [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المربع.

**3.** $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ يعطي $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$، إذن $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ كم/سا. الجذر التربيعي هو الذي أجاب؛ والقراءة وحيدة لأن السرعات موجبة، ولأن [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المربع تتسلق تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ ([القضية 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt): [سابقة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) موجبة واحدة).

**4.** $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ م، بينما $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ م: فالزيادة نفسها $+1$ كم/سا تكلّف ثلاثة أضعاف المسافة عند السرعة العالية. فالقطع المكافئ لا يرتفع فحسب، بل *يزداد انحدارًا* — فمعدل تسلقه ينمو مع $x$.

**5.** $D(50) = 14 + 25 = 39$ م؛ $D(130) = 36.4 + 169 =
205.4$ م. ففي المدينة يكون الحد التآلفي (رد الفعل) هو النصيب الأكبر؛ أما على الطريق السريع فيسحقه الحد التربيعي — فالتآلفي ينمو بثبات، والمربعات تنطلق هاربة.

**6.** $F(0.5) = 240$ و $F(1) = 120$ و $F(3) = 40$.

**7.** [دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المقلوب [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations): فكلما ابتعدنا عن المحور صغرت القوة اللازمة — ومع ذراع رافعة طويلة بما يكفي ($d$ ضخم)، توازن أي قوة، مهما صغرت، أي حمل: فافتخار أرخميدس يعيش في ذيل القطع الزائد، الذي يقترب من $0$ دون بلوغه. أما $d = 0$ فهو القيمة الممنوعة: لا ذراع، فلا رافعة — إنه المقارب الشاقولي.

**8.** $\frac{100}{4} = 25$ على بعد $2$ م، و $\frac{100}{9} \approx 11$ على بعد $3$ م، و $1$ على بعد $10$ م. فعلى بعد $d$ يكون الضوء قد انتشر على كرة مساحتها $4\pi d^2$ (مسألة شاهدة قبر أرخميدس في الكتاب السابق): الطاقة نفسها مقسومة على مساحة تنمو مثل $d^2$ — ومن هنا يأتي *مربع* المسافة في المقام.

**9.** $60$ و $30$ و $20$ يورو للرأس من أجل $n = 10, 20,
30$. ومن أجل $\frac{600}{n} \leq 25$: $n \geq 24$ مشاركًا. فالقطع الزائد يعد بأنصبة أرخص كلما نما $n$ — ويرفض أن يبلغ $0$ أبدًا: فالحافلة لا تكون مجانية قط.

**10.** $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$: [متناقصة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-variations) على $\intoo{0}{+\infty}$ ([دالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) المقلوب منسحبة)، تقترب من المقارب $y = 2$. واقتصاديًا: توزيع اليورو الثلاثة الثابتة على ملصقات أكثر يدفع تكلفة الوحدة نزولًا نحو اليورو الاثنين اللذين لا يمكن ضغطهما، وهما ثمن المواد — إنها وفورات الحجم، مع أرضية صلبة.

**11.** الأرض: $a^3 = 1$ و $T^2 = 1$. المريخ: $1.52^3 \approx 3.51$ و $1.88^2 \approx 3.53$. المشتري: $5.20^3 \approx 140.6$ و $11.86^2 \approx 140.7$. وملاحظة كبلر: $T^2 = a^3$ من أجل كل كوكب — قانون واحد للسماء كلها.

**12.** $T = \sqrt{a^3}$: من أجل زحل $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ سنة، مقابل $29.4$ المرصودة: فالقانون يصدق إلى العشر.

**13.** الكويكب: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ سنة. المذنّب: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$، إذن $a = 9$ وحدة فلكية.

**14.** المربع ($T^2$)، والتكعيب ($a^3$)، والجذر التربيعي (لاستخراج $T$). والتحجيم: ضرب $a$ في $4$ يضرب $T$ في $4\sqrt4 = 8$ — كما يؤكد الكويكب (بعده أربعة أضعاف بعد الأرض، ودوره ثمانية أضعاف).

**15.** جدول أعداد، قُوبل بأشكال بضع دوال مرجعية، أعطى قانونًا للكون قبل سبعين سنة من معرفة أحد *لماذا* يصدق — فالتعرّف على [الدالة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-function) نصف العلم.

**16.** على $\intoo{0}{1}$: $x^2 < x < \sqrt x$؛ وعلى $\intoo{1}{+\infty}$: $\sqrt x < x < x^2$. والتحقق: عند $x = 0.25$: $0.0625 < 0.25 < 0.5$؛ وعند $x = 4$: $2 < 4 < 16$.

**17.** من أجل $x \geq 0$، الطرفان $\geq 0$، إذن $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff
x \in \intoo{0}{1}$.

**18.** عند $x = 0.5$: $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x =
0.5$. وعند $x = 2$: $2 < 4 < 8$: فينقلب الترتيب. وتقاطعا $x^2$ و $x^3$: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$: عند $x = 0$ و $x = 1$.

**19.** $10t^2 = 100\sqrt t$ يعطي $t^2 = 10\sqrt t$؛ وبالتربيع، $t^4 = 100t$، إذن $t^3 = 100$ و $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ سنة — أي نحو $4$ سنوات و $8$ أشهر. (وتدفع الخطتان عندئذٍ نحو $215$ يورو.) والمغزى: الجذور تعدو في البداية، والقوى تفوز في كل ماراثون.

**20.** الكبح: *ازدياد انحدار* القطع المكافئ هو خطر السرعة. الرافعة: *المقارب الشاقولي* عند $0$ والذيل الطويل هما ميزة الميكانيكي. المصباح: المقدار $d^2$ في *الكرة المنتشرة* يضبط الخفوت. كبلر: *الأس* $\frac32$ هو إيقاع المجموعة الشمسية. الخطة أ: *تسطّح* الجذر هو مصير المدّخر البطيء. خمسة منحنيات، خمسة قوانين: إنها أبجدية الطبيعة حقًّا.