--- title: "الهندسة التحليلية" book: "رياضيات المرحلة الثانوية" subject: math language: ar chapter: 5 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry --- # الفصل 5 — الهندسة التحليلية كانت فكرة ديكارت الكبرى أن يصف النقط بأزواج من الأعداد، فيحوّل مسائل الهندسة إلى حسابات. وبصيغتين اثنتين فقط — صيغة [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) وصيغة المسافة — يمكن البرهان على أن مثلثًا متساوي الساقين، أو أن رباعيًا متوازي أضلاع، أو أن ثلاث نقط على استقامة واحدة، دون رسم أي مستقيم مساعد. ## 5.1 الإحداثيات في المستوي **تعريف 5.1 (نظام الإحداثيات).** يتألف *نظام الإحداثيات* في المستوي من مبدأ $O$ ومحورين مدرّجين يمران به: المحور الأفقي $x$ والمحور الشاقولي $y$. وعندئذٍ يكون لكل نقطة $M$ زوج وحيد من *الإحداثيات* $(x, y)$: هما *فاصلتها* $x$ و*ترتيبها* $y$. ويكون النظام *متعامدًا ومتجانسًا* إذا كان المحوران متعامدين ويحملان وحدة الطول نفسها. وكل الأنظمة في هذا الفصل متعامدة ومتجانسة. ![تُحدَّد كل نقطة من المستوي بعددين: الفاصلة أولًا (أفقيًا)، ثم الترتيب (شاقوليًا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-9451968d4277.svg) *تُحدَّد كل نقطة من المستوي بعددين: [الفاصلة](#def-g10-coordgeom-system) أولًا (أفقيًا)، ثم [الترتيب](#def-g10-coordgeom-system) (شاقوليًا).* ## 5.2 منتصف قطعة **قضية 5.2 (صيغة المنتصف).** لتكن $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$. [إحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) *منتصف* القطعة $[AB]$، وليكن $I$، هي $$ I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right). $$ **برهان.** لننظر في [الإحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) الأفقية. عند الانتقال من $A$ إلى $B$، تتغير [الفاصلة](#def-g10-coordgeom-system) بمقدار $x_B - x_A$؛ إذن [فاصلة](#def-g10-coordgeom-system) النقطة الواقعة في [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) الطريق هي $$ x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2}, $$ أي متوسط الفاصلتين. وينطبق الحساب نفسه على التراتيب. ∎ **مثال 5.3.** من أجل $A(-1, 4)$ و $B(5, -2)$، يكون [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ $$ I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1). $$ وتعمل الصيغة في الاتجاه المعاكس أيضًا: إذا كانت $A(-1, 4)$ [والمنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I(2, 1)$، فإن $B$ تحقق $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ و $\frac{4 + y_B}{2} = 1$، إذن $x_B = 5$ و $y_B = -2$: أي أن النقطة $B$ هي *نظيرة* $A$ بالنسبة إلى $I$. ## 5.3 المسافة بين نقطتين **مبرهنة 5.4 (صيغة المسافة).** في [نظام متعامد ومتجانس](#def-g10-coordgeom-system)، المسافة بين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ هي $$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. $$ **برهان.** لتكن $C$ النقطة $(x_B, y_A)$: لها ارتفاع $A$ نفسه [وفاصلة](#def-g10-coordgeom-system) $B$ نفسها، إذن للمثلث $ACB$ زاوية قائمة في $C$. وضلعا القائمة أفقي وشاقولي، وطولاهما $AC = \abs{x_B - x_A}$ و $CB = \abs{y_B - y_A}$. وحسب مبرهنة فيثاغورس، $$ AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2, $$ وبأخذ الجذر التربيعي (والطرفان غير سالبين) نحصل على الصيغة. ∎ ![صيغة المسافة هي مبرهنة فيثاغورس مطبقة على المثلث القائم ACB المبني على ضلع أفقي وضلع شاقولي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-235b7a1fe84f.svg) *صيغة المسافة هي مبرهنة فيثاغورس مطبقة على المثلث القائم $ACB$ المبني على ضلع أفقي وضلع شاقولي.* **مثال 5.5.** من أجل $A(1, 1)$ و $B(5, 3)$: $$ AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 . $$ وتُترك المسافات عادةً على صورتها المضبوطة (بجذر تربيعي)؛ ولا نقرّب إلا في النهاية إذا لزم جواب عشري. **ملاحظة 5.6.** لا يهم [ترتيب](#def-g10-coordgeom-system) النقطتين: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$. لكن لا تنسَ التربيع! فالمسافة *ليست* $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$. ## 5.4 استعمال الصيغتين في الهندسة **طريقة 5.7 (طبيعة مثلث).** إذا أُعطيت ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ بإحداثياتها: 1. احسب مربعات الأطوال الثلاثة $AB^2$ و $AC^2$ و $BC^2$ بصيغة المسافة (فالاحتفاظ بالمربعات يجنّبك الجذور)؛ 2. إذا تساوى مربعا طولين $\Rightarrow$ فالمثلث *متساوي الساقين* ؛ 3. وإذا كان أكبر مربعات الأطوال مساويًا لمجموع الآخرين، فالمثلث *قائم الزاوية* في الرأس المقابل للضلع الأطول، حسب عكس مبرهنة فيثاغورس. **مثال 5.8.** لتكن $A(0, 1)$ و $B(4, 3)$ و $C(2, -3)$. عندئذٍ $$ \begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*} $$ أولًا، $AB^2 = AC^2$، إذن $AB = AC$: فالمثلث متساوي الساقين في $A$. وعلاوة على ذلك $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$، إذن يكون المثلث كذلك قائم الزاوية في $A$ حسب عكس مبرهنة فيثاغورس. **طريقة 5.9 (التعرّف على متوازي الأضلاع).** يكون الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع بالضبط عندما يكون لقطريه $[AC]$ و $[BD]$ [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) نفسه. إذن: احسب المنتصفين بصيغة [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) وقارن بينهما. **مثال 5.10.** لتكن $A(-1, 0)$ و $B(2, 2)$ و $C(5, 1)$ و $D(2, -1)$. [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AC]$ هو $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$؛ [ومنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BD]$ هو $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$. وهما متطابقان، إذن $ABCD$ متوازي أضلاع. ![الرباعي ABCD متوازي أضلاع لأن لقطريه المنتصف نفسه I(2, 1/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-4496c905f6f2.svg) *الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع لأن لقطريه [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) نفسه $I(2, \frac12)$.* ## 5.5 تمارين **تمرين 5.1 ★.** لتكن $A(2, 5)$ و $B(-4, 1)$. احسب [إحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ والمسافة $AB$. **حل التمرين 5.1.** [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint): $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$. المسافة: $$ AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. $$ **تمرين 5.2 ★.** لتكن $A(3, -2)$ و $I(1, 2)$. أوجد [إحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) النقطة $B$ التي تجعل $I$ [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$. **حل التمرين 5.2.** كون $I$ [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ يعني $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ و $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$، إذن $x_B = -1$ و $y_B = 6$: أي $B(-1, 6)$. **تمرين 5.3 ★.** أي النقط $P(4, 1)$ و $Q(-3, 2)$ و $R(0, -5)$ أقرب إلى المبدأ $O(0,0)$؟ أجب بمسافات مضبوطة. **حل التمرين 5.3.** $OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$؛ $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$؛ $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$. وبما أن $13 < 17 < 25$، والجذر التربيعي متزايد، فإن $Q$ هي الأقرب إلى المبدأ. **تمرين 5.4 ★.** علّم النقط $A(1, 2)$ و $B(5, 4)$ و $C(7, 0)$ على ورق مرسوم، ثم بيّن بالحساب أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين. وهل هو قائم الزاوية؟ **حل التمرين 5.4.** مربعات الأطوال: $$ \begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*} $$ نجد $AB = BC$: فالمثلث متساوي الساقين في $B$. وعلاوة على ذلك $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$: فحسب عكس مبرهنة فيثاغورس يكون قائم الزاوية في $B$ أيضًا. **تمرين 5.5 ★★.** لتكن $A(-2, 1)$ و $B(1, 3)$ و $C(4, 1)$ و $D(1, -1)$. 1. بيّن أن $ABCD$ متوازي أضلاع. 2. احسب $AB$ و $BC$ . هل $ABCD$ معيّن (كل أضلاعه متساوية)؟ 3. احسب $AC$ و $BD$ . هل $ABCD$ مستطيل (قطراه متساويان)؟ **حل التمرين 5.5.** *1.* [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AC]$: $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$؛ [ومنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BD]$: $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$. [والمنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) نفسه: إذن $ABCD$ متوازي أضلاع. *2.* $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ و $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$: إذن $AB \neq BC$، وليس معيّنًا. *3.* $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ و $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$: إذن $AC \neq BD$، وليس مستطيلًا. إذن $ABCD$ متوازي أضلاع عادي. **تمرين 5.6 ★★.** الدائرة التي مركزها $\Omega(2, 1)$ ونصف قطرها $5$ هي مجموعة كل النقط التي تبعد $5$ عن $\Omega$. أي النقط $A(5, 5)$ و $B(-1, -3)$ و $C(6, 2)$ تقع على هذه الدائرة؟ وأيها داخلها؟ وأيها خارجها؟ **حل التمرين 5.6.** احسب مربعات المسافات إلى $\Omega(2,1)$ وقارنها بالمقدار $5^2 = 25$: $$ \Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 . $$ النقطتان $A$ و $B$ على الدائرة؛ و $C$ داخلها ($17 < 25$). **تمرين 5.7 ★★.** لتكن $A(1, 1)$ و $B(7, 5)$. أوجد كل نقط $M(x, 0)$ من المحور $x$ المتساوية البعد عن $A$ و $B$. (اكتب $MA^2 = MB^2$ وحل بالنسبة إلى $x$.) **حل التمرين 5.7.** $MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ و $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$. وبوضع $MA^2 = MB^2$: $$ x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 . $$ فالنقطة الوحيدة هي $M(6, 0)$. **تمرين 5.8 ★★.** لتكن $A(0, 3)$ و $B(4, 1)$. 1. احسب [إحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ ، وليكن $I$ . 2. بيّن أن $M(2, 2) = I$ ، ثم تحقق بحساب $MA$ و $MB$ من أن $M$ متساوية البعد عن $A$ و $B$ . 3. أوجد نقطة ثانية، على المحور $y$ ، متساوية البعد عن $A$ و $B$ . **حل التمرين 5.8.** *1.* $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$. *2.* النقطة $M(2,2)$ هي فعلًا $I$. و $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ و $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$: [فالمنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) متساوي البعد عن الطرفين، كما هو متوقع. *3.* نبحث عن $N(0, y)$ تحقق $NA^2 = NB^2$: $$ (3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8, $$ إذن $y = -2$: أي النقطة $N(0, -2)$. **تمرين 5.9 ★★.** أُعطيت النقط $A(-1, -1)$ و $B(3, 1)$ و $C(11, 5)$. احسب $AB$ و $BC$ و $AC$، واستنتج أن $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة. (تكون ثلاث نقط على استقامة واحدة بالضبط عندما تكون أكبر المسافات الثلاث مساويةً لمجموع الأخريين.) **حل التمرين 5.9.** $$ \begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*} $$ عندئذٍ $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$: فمتراجحة المثلث صارت مساواة، إذن تقع $B$ على القطعة $[AC]$ — أي أن النقط الثلاث على استقامة واحدة. **تمرين 5.10 ★★★.** لتكن $A(a, 0)$ و $B(0, b)$ حيث $a, b > 0$، وليكن $I$ [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$. بيّن بالحساب أن $OI = IA = IB$، حيث $O$ هو المبدأ. (وهذا يبرهن على مبرهنة كلاسيكية: في مثلث قائم، يكون [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) الوتر متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة.) **حل التمرين 5.10.** [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ هو $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$. عندئذٍ $$ OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, $$ و $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ كذلك. فمربعات المسافات الثلاثة متساوية، إذن $OI = IA = IB$: أي أن [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) وتر المثلث القائم $OAB$ متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة (وهو مركز دائرته المحيطة). ## 5.6 مسألة: جسر ديكارت — معادلات الدوائر وكيف تعرف أين أنت **مسألة 5.1.** مسألة نهاية الأسبوع — الدائرة تصير معادلة، والمبرهنات القديمة تصير حسابات، وثلاث منارات تحدّد نقطة: التموضع بالمسافات جبريًا سنة 1637 بنى رينيه ديكارت جسرًا بين قارتين: فصار كل [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) هندسي *[معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation)*، وصار كل سؤال هندسي حسابًا. تعبر هذه المسألة الجسر في الاتجاهين — فتشتق [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الدائرة من صيغة المسافة ([المبرهنة 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance))، وتعيد برهان المبرهنات الكلاسيكية في ثلاثة أسطر من الجبر، وتنتهي حيث يحمل الجسر أكبر حركة اليوم: حساب موضع من إشارات المسافة، وهو قلب التموضع العالمي مستويًا. **الجزء الأول — الدائرة تنال [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation).** 1. تقع النقطة $M(x, y)$ على الدائرة التي مركزها $\Omega(2, 1)$ ونصف قطرها $5$ بالضبط عندما $\Omega M = 5$. ربّع هذا الشرط لتحصل على [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) الدائرة: $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$$ 2. اختبر الانتماء: أي النقط $A(5, 5)$ و $B(6, 4)$ و $D(4, 4)$ تقع على الدائرة، وأيها داخلها، وأيها خارجها؟ 3. دائرة متنكرة: أتمّ المربعات ([المسألة 2.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#pb-g10-algebra-1)) في $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ وأعطِ مركزها ونصف قطرها. 4. افعل الشيء نفسه مع $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . ماذا تكشف الصورة المكتملة؟ وبيّن المحك: متى تصف $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ دائرة، أم نقطة وحيدة، أم لا شيء البتة؟ 5. قاطع دائرة السؤال 3 بالمستقيم الأفقي $y = 3$ : عوّض وحل. كم نقطة تحصل عليها، وما الاسم الهندسي لمستقيم كهذا؟ **الجزء الثاني — مبرهنات قديمة في ثلاثة أسطر.** 6. مبرهنة الدائرة في الكتاب السابق (زاوية قائمة في كل نصف دائرة)، معادًا برهانها جبريًا: ليكن $A(-r, 0)$ و $B(r, 0)$ طرفي قطر ولتكن $M(x, y)$ نقطة كيفية من الدائرة $x^2 + y^2 = r^2$ . احسب $MA^2 + MB^2$ واختم بعكس مبرهنة فيثاغورس أن الزاوية $\widehat{AMB}$ قائمة. 7. مبرهنة المتوسط: من أجل $A(-a, 0)$ و $B(a, 0)$ (فيكون [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ هو المبدأ $I$)، بيّن أنه من أجل كل نقطة $M(x, y)$: $$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$$ 8. استنتج المحل الهندسي للنقط $M$ التي تحقق $MA^2 + MB^2 = 26$ عندما $AB = 6$ : أي [منحنى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/3-functions#def-g10-functions-graph) ، وأي مركز، وأي نصف قطر؟ 9. محل هندسي آخر: $A(0,0)$ و $B(3,0)$ ؛ أوجد كل النقط التي تحقق $MA = 2\,MB$ . (ربّع، وانشر، وأتمّ المربعات: تظهر دائرة شهيرة — عرفها أبولونيوس دون [إحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) .) 10. في جملة أو جملتين: ماذا يغيّر جسر ديكارت في *كيفية* برهان المبرهنات؟ قارن السؤال 6 ببرهان المستطيل في مبرهنة الدائرة في الكتاب السابق (زاوية قائمة في كل نصف دائرة). **الجزء الثالث — ثلاث منارات تجدك.** موضعك $M(x, y)$ مجهول. تقيس المنارة $P(0, 0)$ بعدك فتجده $5$؛ وتقيسه المنارة $Q(6, 0)$ فتجده $5$ أيضًا. 11. اكتب معادلتي الدائرتين، واطرح إحداهما من الأخرى، وراقب المربعات تتلاشى: أي [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) بسيطة تبقى؟ اجمعها مع إحدى الدائرتين لتجد الموضعين *المرشحين* . 12. تقيس منارة ثالثة $R(0, 8)$ بعدك فتجده $5$ . احسب بعدها عن كل مرشح وقرّر أين أنت. 13. فسّر لماذا يعطي طرح معادلتي دائرتين *دائمًا* [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) مستقيم (أي الحدود تتلاشى؟)، وما ذلك المستقيم هندسيًا عندما تتقاطع الدائرتان في نقطتين. 14. يعمل التموضع بالأقمار الصناعية فعليًا في الفضاء وبساعات غير مضبوطة: فيعطي كل قمر (عبر زمن انتقال الإشارة) مسافةً واحدة، أي كرة واحدة. كم مجهولًا لدى المستقبِل (الموضع *وخطأ ساعته* هو)، ولماذا يصغي التموضع العالمي إذن إلى *أربعة* أقمار على الأقل؟ 15. الدقة: لنفترض أن بعد المنارة $P$ هو في الحقيقة $5.1$ بدل $5$ (مع بقاء كل شيء آخر). أعد طرح السؤال 11 لتجد $x$ الجديد، وقدّر كم انتقل التقدير. (قارن بأفكار ميزانية الخطأ في [المسألة 1.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#pb-g10-numbers-1) .) **الجزء الرابع — عدة المساح.** 16. أقصر طريق إلى الماء: مخيّم في $A(1, 5)$ ، وحظيرة في $B(7, 3)$ ، ونهر مستقيم على المحور $y = 0$ . للانتقال من $A$ إلى النهر ثم إلى $B$ بأقل مشي: اعكس $B$ بالنسبة إلى النهر إلى $B'$ ، وأوجد أين تقطع القطعة $[AB']$ النهر. أعطِ نقطة القطع والطول الكلي الأصغري. (والفكرة هي تمرين ارتداد البلياردو في الكتاب السابق، وقد صارت الآن قابلة للحساب تمامًا.) 17. أكّد الأصغرية على منافس: احسب الطريق الكلي عبر $Q(3, 0)$ وتحقق من أنه يخسر أمام جوابك. 18. صنّف الرباعي $A(1,1)$ و $B(4,2)$ و $C(5,5)$ و $D(2,4)$ تصنيفًا كاملًا: متوازي أضلاع؟ معيّن؟ مستطيل؟ مربع؟ ( [الطريقة 5.9](#met-g10-coordgeom-parallelogram) و [الطريقة 5.7](#met-g10-coordgeom-triangle) — وقارن القطرين أيضًا.) 19. من أجل $A(-1, 2)$ و $B(3, 4)$ و $C(6, 0)$ ، أوجد $D$ بحيث يكون $ABCD$ متوازي أضلاع (حيلة [منتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) القطر في مسألة نهاية الأسبوع عن أنصاف الدورات في الكتاب السابق، بالصيغ الآن). 20. الخاتمة: ثلاث أدوات — صيغة [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) ، وصيغة المسافة، وطرح معادلتي دائرتين. سمِّ لكل منها نوع السؤال الذي حسمته في هذه المسألة، وبيّن ما يضيفه الفصلان التاليان إلى العدة (الاتجاهات والميول: المتجهات ومعادلات المستقيمات). **حل المسألة 5.1.** **1.** $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ حسب صيغة المسافة ([المبرهنة 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)) — والتربيع غير مؤذٍ، لأن الطرفين موجبان. **2.** $A$: $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$: على الدائرة. $B$: $16 + 9 = 25$: عليها أيضًا. $D$: $4 + 9 = 13 < 25$: داخلها. **3.** $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ و $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$، إذن تُكتب [المعادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$: المركز $(3, -2)$ ونصف القطر $5$. **4.** $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$: ومجموع مربعين ليس سالبًا أبدًا — فلا نقطة تحققها: المجموعة خالية. وبوجه عام، تصف $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ دائرة نصف قطرها $\sqrt c$ إذا كان $c > 0$، والنقطة الوحيدة $(h, k)$ إذا كان $c = 0$، وتصف المجموعة الخالية إذا كان $c < 0$. **5.** من أجل $y = 3$: $(x - 3)^2 + 25 = 25$، إذن $(x - 3)^2 = 0$: أي النقطة الوحيدة $(3, 3)$. نقطة تماس واحدة: فالمستقيم *مماس* للدائرة. **6.** $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (باستعمال $x^2 + y^2 = r^2$). وبما أن $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$، فإن المثلث $AMB$ يحقق $MA^2 + MB^2 = AB^2$: أي أنه قائم الزاوية في $M$ (عكس مبرهنة فيثاغورس) — ثلاثة أسطر، كما وُعد. **7.** $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$، و $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$. إذن المتطابقة مبرهنة. **8.** $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ يعطي $MI^2 = 4$: أي الدائرة التي مركزها [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ ونصف قطرها $2$. **9.** $MA^2 = 4\,MB^2$: $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$، أي $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$، أو $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$: وبإتمام المربع، $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — أي الدائرة التي مركزها $(4, 0)$ و نصف قطرها $2$ (*دائرة أبولونيوس* ذات النسبة $2$). **10.** يحوّل الجسر الإنشاءات إلى حسابات: فلا مستطيل مساعد ولا مناقشة حالات — [نشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) واحد وتسقط المبرهنة. والثمن: أن الحسابات تحمل بصيرة هندسية أقل؛ فالبرهان الكلاسيكي يبيّن *لماذا*، والبرهان الجبري يبيّن *أن* — والرياضي المحترف يحتفظ بكليهما. **11.** $x^2 + y^2 = 25$ و $(x - 6)^2 + y^2 = 25$. وبالطرح: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$، أي $12x - 36 = 0$: فيكون $x = 3$. ثم $9 + y^2 = 25$: فيكون $y = \pm 4$. والمرشحان $(3, 4)$ و $(3, -4)$. **12.** من $(3, 4)$ إلى $R(0, 8)$: $\sqrt{9 + 16} = 5$ — مطابق. ومن $(3, -4)$: $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — خطأ. إذن أنت في $(3, 4)$. **13.** تحمل المعادلتان المقدار $x^2 + y^2$ نفسه (أو بمعاملات متساوية بعد [النشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand)): فالطرح يلغي المربعات ويترك [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) من الدرجة الأولى — أي مستقيمًا. وعندما تلتقي الدائرتان مرتين، يمر ذلك المستقيم بنقطتي اللقاء: إنه مستقيم الوتر المشترك. **14.** أربعة مجاهيل: [الإحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) الثلاثة زائد خطأ ساعة المستقبِل (وهي ساعة رخيصة تصححها الرياضيات). ويعطي كل قمر [معادلة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-equation) واحدة، فتعطي أربعة أقمار أربع معادلات لأربعة مجاهيل — وتحسّن الأقمار الإضافية الدقة. **15.** يعطي الطرح الآن $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$: أي أن خطأ $10$ سم في مسافة واحدة نقل التقدير نحو $8$ سم هنا. فالأخطاء تنتشر عبر كل صيغة — إنه تحذير حساب الفترات في [المسألة 1.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#pb-g10-numbers-1)، [بالإحداثيات](#def-g10-coordgeom-system) هذه المرة. **16.** النقطة $B' (7, -3)$. [وميل](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/4-reference-functions#def-g10-reffunc-affine) المستقيم $(AB')$ هو $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ ويقطع $y = 0$ في $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$: فاشرب عند $P(4.75,\ 0)$. والطول الأصغري: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. **17.** عبر $Q(3, 0)$: $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$. إذن يفوز المستقيم المنعكس. **18.** منتصفا القطرين: $[AC]$: $(3, 3)$؛ و $[BD]$: $(3, 3)$ — متساويان: فهو متوازي أضلاع. والأضلاع: $AB = \sqrt{10} = AD$: فهو معيّن. والقطران: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$: فليس مستطيلًا، وبالتالي ليس مربعًا. الحكم: معيّن، ولا شيء أكثر. **19.** $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$: عندئذٍ يتقاسم $[AC]$ و $[BD]$ [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac52, 1\right)$. **20.** صيغة [المنتصف](#prop-g10-coordgeom-midpoint): متوازيات الأضلاع والمراكز (السؤالان 18 و 19). صيغة المسافة: الدوائر، والمحال الهندسية، وطبائع المثلثات، وأقصر الطرق (الأسئلة 1–9 و 16). وطرح معادلتي دائرتين: المستقيم الذي يحدد الموضع (الأسئلة 11–15). وما ينقص العدة: جبر نظيف *للاتجاهات* — المتجهات — و*للميول* — معادلات المستقيمات والجمل: والفصلان التاليان يقدمان ذلك بالضبط.