---
title: "المتجهات"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 6
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/6-vectors
---

# الفصل 6 — المتجهات

تشفّر [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) انتقالًا: اتجاهًا وطولًا، أيًّا كانت نقطة الانطلاق. وتعطي المتجهات براهين نظيفة لوقائع هندسية، وتردّها، متى دخلت [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الصورة، إلى حسابات صغيرة. وستكون أداة أساسية في [الفصل 7](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/7-equations-of-lines-and-linear-systems#ch-g10-lines)، ثم لاحقًا من أجل الجداء السلّمي في [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/16-the-scalar-product-in-the-plane#ch-g11-scal).

## 6.1 الانسحابات والمتجهات

**تعريف 6.1 (المتجهة).**

إذا أُعطيت نقطتان $A$ و $B$، فإن *المتجهة* $\vect{AB}$ تمثّل الانتقال من $A$ إلى $B$: ولها *اتجاه* (اتجاه المستقيم $(AB)$، مع جهة السير عليه، من $A$ نحو $B$) و *طول* (المسافة $AB$، ويُكتب أيضًا $\norm{\vect{AB}}$). وتكون متجهتان *متساويتين* إذا شفّرتا الانتقال نفسه: فالكتابة $\vect{AB} = \vect{CD}$ تعني أن تطبيق الانتقالين على أي نقطة يعطي النتيجة نفسها.

**قضية 6.2 (المتجهات المتساوية ومتوازيات الأضلاع).**

تتحقق $\vect{AB} = \vect{CD}$ بالضبط عندما يكون $ABDC$ (بهذا [الترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)!) متوازي أضلاع، وقد يكون مفلطحًا — أي، بصورة مكافئة، عندما يكون للقطعتين $[AD]$ و $[BC]$ [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) نفسه.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![متجهتان متساويتان AB = CD: الاتجاه نفسه، والجهة نفسها، والطول نفسه. والرباعي ABDC متوازي أضلاع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-999585eecc93.svg)

*متجهتان متساويتان $\vect{AB} = \vect{CD}$: الاتجاه نفسه، والجهة نفسها، والطول نفسه. والرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع.*

**ترميز 6.3.**

كثيرًا ما تُسمّى [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) بحرف واحد، $\vec u$ أو $\vec v$، عندما لا تهم النقطتان الطرفيتان. و*[المتجهة](#def-g10-vectors-vector) المعدومة* $\vec 0 = \vect{AA}$ هي الانتقال الذي لا يحرّك شيئًا. و*مقابل* [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ هو $\vect{BA}$: الطول نفسه والجهة المعاكسة. ونكتب $\vect{BA} = -\vect{AB}$.

## 6.2 جمع المتجهات

**تعريف 6.4 (مجموع متجهتين).**

*المجموع* $\vec u + \vec v$ هو الانتقال الناتج عن إنجاز $\vec u$ ثم $\vec v$.

**مبرهنة 6.5 (علاقة شال).**

من أجل أي ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$:

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.
$$

**برهان.** الانتقال من $A$ إلى $B$، ثم من $B$ إلى $C$، انتقال ينقل $A$ إلى $C$: أي أنه الانتقال الذي تشفّره $\vect{AC}$. ∎

**ملاحظة 6.6 (قاعدة متوازي الأضلاع).**

لجمع متجهتين مرسومتين من النقطة نفسها، $\vect{AB} + \vect{AC}$، أتمّ متوازي الأضلاع $ABDC$: [فالمجموع](#def-g10-vectors-sum) هو القطر $\vect{AD}$. وفعلًا $\vect{AC} = \vect{BD}$، إذن $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ حسب علاقة شال.

![رسمان للمجموع: رأسًا إلى ذيل (علاقة شال، إلى اليسار) و قاعدة متوازي الأضلاع (إلى اليمين).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3ca1613ca043.svg)

![رسمان للمجموع: رأسًا إلى ذيل (علاقة شال، إلى اليسار) و قاعدة متوازي الأضلاع (إلى اليمين).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3828ee349c85.svg)

*رسمان للمجموع: رأسًا إلى ذيل (علاقة شال، إلى اليسار) و قاعدة متوازي الأضلاع (إلى اليمين).*

**مثال 6.7 (التبسيط بعلاقة شال).**

بسّط $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$: تسلسل الانتقالات يعطي $\vect{MQ}$. وبسّط $\vect{AB} - \vect{AC}$: أعد كتابة الفرق مجموعًا مع [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) المقابلة،

$$
\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA}
= \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.
$$

## 6.3 ضرب متجهة في عدد

**تعريف 6.8 (الضرب في عدد).**

لتكن $\vec u$ [متجهة](#def-g10-vectors-vector) غير معدومة وليكن $k$ عددًا حقيقيًا. [للمتجهة](#def-g10-vectors-vector) $k\vec u$ اتجاه $\vec u$ نفسه، وطولها $\abs{k} \times \norm{\vec u}$، وجهتها جهة $\vec u$ إذا كان $k > 0$، والجهة المعاكسة إذا كان $k < 0$. ومن أجل $k = 0$، $0\vec u = \vec 0$.

**تعريف 6.9 (الاستقامية).**

تكون المتجهتان $\vec u$ و $\vec v$ *مستقيميتين* إذا كان لهما الاتجاه نفسه، أي إذا كانت $\vec v = k \vec u$ من أجل [عدد حقيقي](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-sets) $k$ ما (أو كانت إحداهما $\vec 0$).

**ملاحظة 6.10.**

الاستقامية هي لغة المتجهات للتوازي والاستقامة:

- يكون المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ متوازيين بالضبط عندما تكون $\vect{AB}$ و $\vect{CD}$ [مستقيميتين](#def-g10-vectors-collinear) ؛
- وتكون النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة بالضبط عندما تكون $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ [مستقيميتين](#def-g10-vectors-collinear) .

## 6.4 إحداثيات المتجهات

**تعريف 6.11 (إحداثيات متجهة).**

في [نظام إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)، *[إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system)* [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ هي العددان اللذان يصفان الانتقال:

$$
\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).
$$

[فالمتجهة](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ تنقل كل نقطة $a$ وحدة أفقيًا و $b$ وحدة شاقوليًا.

**قضية 6.12 (الحساب بالإحداثيات).**

لتكن $\vec u\,(a, b)$ و $\vec v\,(c, d)$، وليكن $k \in \R$.

1. تتحقق $\vec u = \vec v$ بالضبط عندما $a = c$ و $b = d$ ؛
2. [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\vec u + \vec v$ هي $(a + c,\ b + d)$ ؛
3. [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $k\vec u$ هي $(ka,\ kb)$ ؛
4. $\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (في [نظام متعامد ومتجانس](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ).

**برهان.** تعيد النقاط 1–3 صياغة ما تفعله الانتقالات، إحداثيًا إحداثيًا: فمثلًا إنجاز $\vec u$ ثم $\vec v$ ينقل نقطة أفقيًا بمقدار $a$ ثم $c$، أي بمقدار $a + c$ إجمالًا. أما النقطة 4 فهي صيغة المسافة في [المبرهنة 5.4](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#thm-g10-coordgeom-distance) مطبقة على قطعة تمثّل $\vec u$. ∎

**مبرهنة 6.13 (محك الاستقامية).**

تكون المتجهتان $\vec u\,(a, b)$ و $\vec v\,(c, d)$ [مستقيميتين](#def-g10-vectors-collinear) إذا وفقط إذا

$$
ad - bc = 0 .
$$

**برهان.** إذا كانت $\vec v = k\vec u$، فإن $c = ka$ و $d = kb$، إذن $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$. ويصح الشيء نفسه إذا كانت $\vec u = k \vec v$ أو إذا كانت إحدى المتجهتين معدومة.

وبالعكس، لنفترض أن $ad - bc = 0$ مع $\vec u \neq \vec 0$، وليكن مثلًا $a \neq 0$ (والحالة $b \neq 0$ مماثلة). ضع $k = \frac{c}{a}$؛ عندئذٍ $c = ka$، وتعطي $ad = bc = b(ka)$، بعد القسمة على $a \neq 0$، أن $d = kb$. إذن $\vec v = k\vec u$. ∎

**مثال 6.14.**

هل المتجهتان $\vec u\,(3, -2)$ و $\vec v\,(-6, 4)$ مستقيميتان؟ احسب $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$: نعم، وفعلًا $\vec v = -2\vec u$. أما من أجل $\vec u\,(3, -2)$ و $\vec w\,(1, 5)$: $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$: فليستا [مستقيميتين](#def-g10-vectors-collinear).

**طريقة 6.15 (الاستقامة والتوازي).**

للبرهان على أن ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة:

1. احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ ؛
2. تحقق من المحك $ad - bc = 0$ في [المبرهنة 6.13](#thm-g10-vectors-det) ؛
3. استنتج: [المتجهتان مستقيميتان](#def-g10-vectors-collinear) وتشتركان في النقطة $A$ ، إذن النقط الثلاث على استقامة واحدة.

والحساب نفسه مع $\vect{AB}$ و $\vect{CD}$ يبرهن على أن المستقيمين $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان.

**مثال 6.16.**

لتكن $A(1, 2)$ و $B(3, 5)$ و $C(7, 11)$. عندئذٍ $\vect{AB}\,(2, 3)$ و $\vect{AC}\,(6, 9)$، و $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$: إذن النقط على استقامة واحدة (وفي الواقع $\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

![نقط على استقامة واحدة: المتجهة AC مضاعف سلّمي للمتجهة AB.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-1e83277b8c55.svg)

*نقط على استقامة واحدة: [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AC}$ مضاعف سلّمي [للمتجهة](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$.*

## 6.5 تمارين

**تمرين 6.1 ★.**

بسّط مستعملًا علاقة شال:

$$
\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad
\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad
\vect{AC} - \vect{BC}, \qquad
\vect{AB} + \vect{CA}.
$$

**حل التمرين 6.1.**

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (شال).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$.

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$.

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$.

**تمرين 6.2 ★.**

لتكن $A(2, 1)$ و $B(5, 3)$ و $C(-1, 4)$. احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\vect{AB}$ و $\vect{BC}$ و $\vect{AC}$، وتحقق على [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) من أن $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

**حل التمرين 6.2.**

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$؛ $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$؛ $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$. تحقق: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$، إحداثيًا إحداثيًا.

**تمرين 6.3 ★.**

لتكن $\vec u\,(2, -3)$ و $\vec v\,(-1, 4)$. أعطِ [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $\vec u + \vec v$ و $3\vec u$ و $2\vec u - \vec v$، واحسب $\norm{\vec u}$.

**حل التمرين 6.3.**

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$.

$3\vec u = (6, -9)$.

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$.

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

**تمرين 6.4 ★.**

في كل حالة، قل هل $\vec u$ و $\vec v$ مستقيميتان:

$$
\text{(أ) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9);
\qquad
\text{(ب) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10);
\qquad
\text{(ج) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).
$$

**حل التمرين 6.4.**

(أ) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$: مستقيميتان ($\vec v = \frac32 \vec u$).

(ب) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$: مستقيميتان ($\vec v = -2\vec u$).

(ج) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$: ليستا [مستقيميتين](#def-g10-vectors-collinear).

**تمرين 6.5 ★.**

لتكن $A(0, 2)$ و $B(4, 0)$ و $C(6, 3)$. أوجد [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) النقطة $D$ التي تجعل $ABCD$ متوازي أضلاع، أي التي تحقق $\vect{AB} = \vect{DC}$.

**حل التمرين 6.5.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$، و $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$. ويعطي الشرط $\vect{AB} = \vect{DC}$ أن $6 - x_D = 4$ و $3 - y_D = -2$، إذن $D(2, 5)$.

**تمرين 6.6 ★★.**

لتكن $A(-2, 1)$ و $B(1, 3)$ و $C(4, -1)$.

1. احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) النقطة $M$ التي تحقق $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
2. ما نوع الرباعي $ABMC$ ؟ برّر.

**حل التمرين 6.6.**

*1.* $\vect{AB}\,(3, 2)$ و $\vect{AC}\,(6, -2)$، إذن $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ و $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$.

*2.* حسب قاعدة متوازي الأضلاع، تعني $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ أن $ABMC$ متوازي أضلاع (فالنقطة $M$ هي الرأس الرابع المقابل للرأس $A$). ويمكن التحقق: $\vect{AB}\,(3,2)$ و $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) =
(3, 2)$ متساويتان.

**تمرين 6.7 ★★.**

لتكن $A(1, -1)$ و $B(4, 1)$ و $C(10, 5)$. هل النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة؟ والسؤال نفسه من أجل $A(0, 3)$ و $B(2, 2)$ و $C(8, -1)$.

**حل التمرين 6.7.**

الثلاثي الأول: $\vect{AB}\,(3, 2)$ و $\vect{AC}\,(9, 6)$؛ $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$: على استقامة واحدة ($\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

الثلاثي الثاني: $\vect{AB}\,(2, -1)$ و $\vect{AC}\,(8, -4)$؛ $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$: على استقامة واحدة أيضًا ($\vect{AC} = 4\vect{AB}$).

**تمرين 6.8 ★★.**

لتكن $A(1, 2)$ و $B(5, 4)$ و $C(6, 1)$ و $D(2, -1)$. بيّن أن $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان، ثم أن $ABCD$ متوازي أضلاع. وأي تحقق يستلزم الآخر؟

**حل التمرين 6.8.**

$\vect{AB}\,(4, 2)$ و $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$: فالمتجهتان *متساويتان*، إذن $ABCD$ متوازي أضلاع، وبوجه خاص $(AB) \parallel (CD)$. وخاصية متوازي الأضلاع هي الأقوى: فهي تستلزم التوازي (استقامية المتجهتين)، لا العكس.

**تمرين 6.9 ★★.**

ليكن $ABC$ مثلثًا، ولتكن $I$ النقطة المعرَّفة بالعلاقة $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$. مع $A(0,0)$ و $B(6, 3)$ و $C(2, 5)$ (حتى تبقى الحسابات بسيطة):

1. احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $I$ ؛
2. لتكن $J$ بحيث $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ؛ احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $J$ ؛
3. بيّن أن $(IJ)$ يوازي $(AC)$ .

**حل التمرين 6.9.**

*1.* $\vect{AB}\,(6, 3)$، إذن $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ و $I(4, 2)$.

*2.* $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$، إذن $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ و $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3},
\frac{11}{3}\right)$.

*3.* $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) =
\left(\frac23, \frac53\right)$ و $\vect{AC}\,(2, 5)$. ومحك الاستقامية:

$$
\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :
$$

[فالمتجهتان مستقيميتان](#def-g10-vectors-collinear)، إذن $(IJ)$ يوازي $(AC)$. (فكلٌّ من $I$ و $J$ يقع على ثلث الطريق من الضلع نحو $B$: أي أن المثلث الصغير $IBJ$ تصغير للمثلث $ABC$.)

**تمرين 6.10 ★★★.**

ليكن $ABCD$ رباعيًا كيفيًا، ولتكن $I$ و $J$ و $K$ و $L$ منتصفات $[AB]$ و $[BC]$ و $[CD]$ و $[DA]$. مستعملًا [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $A(x_A, y_A)$ وغيرها، بيّن أن $\vect{IJ} = \vect{LK}$، واستنتج أن منتصفات أضلاع *أي* رباعي تشكّل متوازي أضلاع.

**حل التمرين 6.10.**

المنتصفات هي

$$
I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad
J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad
K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad
L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).
$$

والإحداثي الأول للمتجهتين:

$$
x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
\qquad
x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
$$

والحساب نفسه ينجح من أجل الإحداثي الثاني. إذن $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (وكلاهما يساوي $\frac12\vect{AC}$)، فيكون $IJKL$ متوازي أضلاع، أيًّا كان شكل الرباعي $ABCD$.

## 6.6 مسألة: جبر الأسهم

**مسألة 6.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تمارين شال، ومركز الثقل معادًا برهانه في سطرين، والقوى في توازن: ما المتجهات في الحقيقة

برهن الكتاب السابق على أن متوسطات المثلث تلتقي عند ثلثي طولها — بمتوازي أضلاع بارع مخبّأ داخل المثلث (مسألة نهاية الأسبوع عن مركز الثقل في الكتاب السابق). وتعيد المتجهات برهانه في سطرين، وتعطي التلاقي مجانًا. وذلك ما يخدمه هذا الجبر الجديد: فالمبرهنات تصير حسابات بالأسهم. تمرّن هذه المسألة على الحساب (وعلى شال قبل كل شيء)، وتقدّم البرهان ذا السطرين، وتوسّع فارينيون ([التمرين 6.10](#exo-g10-vectors-10))، وتنتهي حيث وُلدت المتجهات: عند القوى والسرعات.

**الجزء الأول — تمارين شال.**

1. بسّط مستعملًا علاقة شال ( [المبرهنة 6.5](#thm-g10-vectors-chasles) ): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ؛ $\vect{MA} - \vect{MB}$ ؛ $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
2. حيلة المبدأ: بيّن أنه من أجل *أي* نقطة $O$ ، $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
3. برهن على التوصيفين التاليين [لمنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$، وليكن $I$: $$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0  \qquad\text{و}\qquad  \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right)  \ \text{من أجل أي } O .$$
4. مستعملًا $\vect{AB} = \vect{DC}$ ، أعد إيجاد الرأس الرابع $D$ لمتوازي الأضلاع $ABCD$ حيث $A(-1, 2)$ و $B(3, 4)$ و $C(6, 0)$ — وقارن بجواب حيلة [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) في [المسألة 5.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#pb-g10-coordgeom-1) .
5. إضافة [متجهة](#def-g10-vectors-vector) ثابتة $\vec u$ إلى كل نقطة من المستوي تنجز أي تحويل — ذاك الذي اكتُشف بمرآتين في مسألة نهاية الأسبوع عن المرآتين في الكتاب السابق وبنصفي دورة في مسألة نهاية الأسبوع عن أنصاف الدورات في الكتاب السابق؟ احسب صورة $(1, 2)$ بالتحويل $\vec u = (3, -1)$ .

**الجزء الثاني — مركز الثقل، برهان ثالث.** نعرّف النقطة $G$ من المثلث $ABC$ بالشرط الأنيق

$$
\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .
$$

6. مستعملًا حيلة المبدأ، بيّن أن هذا الشرط يحدد $G$ تحديدًا وحيدًا: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}\right)$ من أجل أي $O$ — إذن [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) $G$ هي *متوسطات* [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الرؤوس (وقد رأت ذلك مسألة نهاية الأسبوع عن مركز الثقل في الكتاب السابق عدديًا).
7. برهن على $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ ، ثم، بكتابة $K$ [لمنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[BC]$ ، على $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ . واستنتج: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — أي مبرهنة الثلثين، معادًا برهانها.
8. لماذا يمر المتوسطان من $B$ ومن $C$ بالنقطة $G$ *نفسها* دون أي حساب إضافي؟ قارن بين البراهين الثلاثة المتاحة لهذه المبرهنة — متوازي الأضلاع المخبّأ في الكتاب السابق، [والإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ، والمتجهات — في جملة واحدة لكل منها.
9. تحقق عددي: $A(1, 1)$ و $B(5, 2)$ و $C(3, 6)$ . احسب $G$ ، ثم $K$ ، ثم تحقق من $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ بمحك الاستقامية ( [المبرهنة 6.13](#thm-g10-vectors-det) ).
10. تقرأ الفيزياء $G$ نقطةَ توازن لثلاث كتل متساوية عند الرؤوس. ضاعف الكتلة عند $A$ (الكتل $2, 1, 1$ ): فتصير نقطة التوازن $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}}{4}$ . احسب $G'$ من أجل مثلث السؤال 9 وقارن موضعه بموضع $G$ .

**الجزء الثالث — الاستقامية في العمل.**

11. هل $\vec u(3, -2)$ و $\vec v(-6, 4)$ مستقيميتان؟ وماذا عن $\vec w(2, 5)$ و $\vec z(4, 9)$ ؟ قرّر بمحك المحدد.
12. هل النقط $A(1, 2)$ و $B(3, 5)$ و $C(7, 11)$ على استقامة واحدة؟
13. ما بعد فارينيون ( [التمرين 6.10](#exo-g10-vectors-10) ): في أي رباعي $ABCD$ ، يصل *المتوسطان الثنائيان* بين منتصفات الأضلاع المتقابلة ( $[IK]$ و $[JL]$ ). مستعملًا متجهات الموضع ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} +  \vect{OB})$ ، وغيرها)، بيّن أن للمتوسطين الثنائيين [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) نفسه، [ومتجهة](#def-g10-vectors-vector) موضعه $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} +  \vect{OD}\right)$ : أي مركز ثقل الرباعي.
14. طاليس في سطر واحد: $M$ و $N$ هما النقطتان المعرَّفتان بالعلاقتين $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ و $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . احسب $\vect{MN}$ بدلالة $\vect{BC}$ واستنتج التوازي والنسبة.
15. عمّم السؤال 14 على نسبة كيفية $k$ ، وبيّن في جملة واحدة كيف يستوعب حساب المتجهات مبرهنة المنتصفين ومبرهنة طاليس دفعة واحدة.

**الجزء الرابع — القوى والسرعات.**

16. يدفع تيار قاربًا بسرعة $3$ كم/سا نحو الشرق بينما يجدّف بسرعة $4$ كم/سا نحو الشمال. أعطِ [متجهة](#def-g10-vectors-vector) السرعة المحصلة وطويلتها، وصف المسار الفعلي. (يظهر ثلاثي قديم جدًّا.)
17. تؤثر ثلاث قوى في حلقة: $\vec u(2, 1)$ و $\vec v(-3, 2)$ و $\vec w(1, -3)$ . احسب المحصلة. ماذا تفعل الحلقة؟ ولماذا يكون مجموع الأسهم على أي مضلع *مغلق* مساويًا دائمًا $\vec 0$ (شال)؟
18. تؤثر قوتان $\vec u(4, -1)$ و $\vec v(-1, 3)$ في خطّاف. ما القوة الثالثة التي تبقيه في توازن؟
19. يعبر سابح نهرًا متجهًا مباشرة إلى الضفة المقابلة بسرعة $2$ م/ثا؛ ويجري التيار بسرعة $1.5$ م/ثا. أعطِ السرعة المحصلة وطويلتها. وعرض النهر $50$ م: كم يستغرق العبور، وكم ينزاح السابح مع التيار؟
20. الخاتمة: كائن واحد في ثلاثة أثواب — سهم انتقال، وزوج [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) ، وقوة أو سرعة. اذكر المبرهنات الكلاسيكية الثلاث التي أعادت هذه المسألة برهانها بجبر المتجهات، وسمِّ المقدار الهندسي الوحيد الذي لا تستطيع متجهات هذا الفصل قياسه — فالأداة التي تعالج ذلك تأتي مع الجداء السلّمي، في السنة المقبلة.

**حل المسألة 6.1.**

**1.** $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$؛ $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} =
\vect{BA}$؛ $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} +
\vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (بإعادة [ترتيب](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) [المجموع](#def-g10-vectors-sum) الثالث).

**2.** $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} =
\vect{AB}$ حسب شال.

**3.** تكون $I$ [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[AB]$ بالضبط عندما $\vect{IA} = -\vect{IB}$، أي $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$. عندئذٍ، من أجل أي $O$: $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$، إذن $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — والعكس صحيح.

**4.** $\vect{AB} = (4, 2)$، و $D$ تحقق $\vect{DC} = \vect{AB}$: $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — وهي $D$ نفسها في [المسألة 5.1](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#pb-g10-coordgeom-1)، لكن أسرع بسطر.

**5.** الانسحاب ذو [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ — وهو بالضبط التحويل الناتج عن مرآتين متوازيتين أو نصفي دورة. وصورة $(1, 2)$: هي $(4, 1)$.

**6.** [بنشر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/2-algebra-equations-and-inequalities#def-g10-algebra-expand) كل $\vect{GX}$ على صورة $\vect{GO} + \vect{OX}$: $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$، إذن $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$: فهي نقطة واحدة لا غير، إحداثياتها متوسطات [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) الرؤوس الثلاثة.

**7.** $\vect{AB} + \vect{AC} =
(\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$، ومنه $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$. وتعطي صيغة [المنتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) (السؤال 3، منظورًا إليها من $A$) $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$. وبالمقارنة: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — إذن تقع $G$ على المتوسط $[AK]$، على ثلثي الطريق من $A$.

**8.** يعامل الشرط المعرِّف النقط $A$ و $B$ و $C$ معاملة واحدة، إذن يضع الحساب نفسه انطلاقًا من $B$ أو من $C$ النقطةَ $G$ *نفسها* على ثلثي هذين المتوسطين: فالتلاقي لا يكلّف شيئًا. أما برهان متوازي الأضلاع فكان بارعًا لكنه خاص بالمسألة؛ [والإحداثيات](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#def-g10-coordgeom-system) تحسب لكنها تحجب؛ أما المتجهات فتُظهر التناظر وتجعل البرهان سطرين.

**9.** $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) =
(3, 3)$؛ $K(4, 4)$؛ و $\vect{AG} = (2, 2)$ و $\vect{AK} = (3, 3)$: المحدد $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$، إذن مستقيميتان، وفعلًا $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$.

**10.** $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 +
6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$: مشدودة من $G(3,3)$ نحو الرأس المضاعف $A(1,1)$، كما ينبغي لنقطة توازن.

**11.** $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$: مستقيميتان ($\vec v = -2\vec u$). و$2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$: ليستا [مستقيميتين](#def-g10-vectors-collinear).

**12.** $\vect{AB} = (2, 3)$ و $\vect{AC} = (6, 9)$: المحدد $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$: على استقامة واحدة.

**13.** $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ و $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$، إذن [متجهة](#def-g10-vectors-vector) موضع [منتصف](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/5-coordinate-geometry#prop-g10-coordgeom-midpoint) $[IK]$ هي $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} +
\vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — والحساب من أجل $[JL]$ يعطي [المتجهة](#def-g10-vectors-vector) نفسها تمامًا. فالمتوسطان الثنائيان (وكذلك، حسب فارينيون، قطرا متوازي الأضلاع $IJKL$) يتقاسمان هذا المركز: أي مركز ثقل الرباعي.

**14.** $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} =
\frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$: إذن $(MN) \parallel (BC)$ و $MN = \frac13 BC$.

**15.** من أجل $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ و $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$: $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — أي سطر واحد يحوي مبرهنة المنتصفين ($k = \frac12$) و مبرهنة طاليس (من أجل أي $k$): فالنسبة تمر عبر الطرح دون أن تُمسّ.

**16.** المحصلة $(3, 4)$، وطويلتها $\sqrt{9 + 16} = 5$ كم/سا: فالقارب يسير فعليًا نحو الشمال الشرقي مائلًا إلى الشمال، على وتر المثلث $3$–$4$–$5$.

**17.** $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$: فالحلقة تبقى في مكانها — إنه التوازن. وعلى مضلع مغلق $A_1 A_2 \dots A_n A_1$، تطوي علاقة شال [المجموع](#def-g10-vectors-sum) إلى $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$: فالدوران حول المضلع يعيدك إلى نقطة البداية.

**18.** $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) =
(-3, -2)$.

**19.** المحصلة $(1.5,\ 2)$، وطويلتها $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ م/ثا. والعبور: $50$ م بسرعة $2$ م/ثا عرضيًا: أي $25$ ثا؛ والانزياح: $1.5 \times 25 = 37.5$ م مع التيار.

**20.** أُعيد برهانه في نهاية الأسبوع هذه: مبرهنة ثلثي مركز الثقل (السؤال 7)، ومركز المتوسطين الثنائيين عند فارينيون (السؤال 13)، وطاليس والمنتصفان (السؤالان 14–15). أما ما تعجز عنه الأسهم حتى الآن فهو قياس *الزوايا* (ومن ثم الأطوال في اتجاهات كيفية) — والجداء السلّمي في السنة المقبلة هو الأداة الناقصة بالضبط.