---
title: "الاحتمالات والمعاينة"
book: "رياضيات المرحلة الثانوية"
subject: math
language: ar
chapter: 9
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/9-probability-and-sampling
---

# الفصل 9 — الاحتمالات والمعاينة

يسند [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) أعدادًا إلى الصدفة. وانطلاقًا من تجارب ذات إمكانيات متساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) — النرد، والقطع النقدية، والورق — يبني هذا الفصل القواعد الأساسية لحساب احتمالات الحوادث، ويقدّم أشجار الاحتمالات من أجل التجارب ذات المرحلتين، وينتهي بالصلة بين الاحتمالات والتواترات المرصودة. وتستمر النظرية في [الفصل 18](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/18-probability-and-random-variables#ch-g11-prob).

## 9.1 التجارب العشوائية والحوادث

**تعريف 9.1 (الإمكانيات والحوادث).**

*التجربة العشوائية* تجربة لا يمكن التنبؤ بنتيجتها (كرمي حجر نرد). ومجموعة كل النتائج الممكنة هي *مجموعة الإمكانيات* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$؛ وعناصرها هي *الإمكانيات*. و*الحادثة* مجموعة من الإمكانيات؛ و *تتحقق* الحادثة عندما تنتمي نتيجة التجربة إليها.

**تعريف 9.2 (التوزيع الاحتمالي).**

إسناد عدد $p_i \geq 0$ إلى كل إمكانية $\omega_i$، مع $p_1 + \dots + p_n = 1$، يعرّف *احتمالًا*: فاحتمال $\P(A)$ [الحادثة](#def-g10-proba-events) $A$ هو مجموع الأعداد $p_i$ الموافقة للإمكانيات الموجودة في $A$. وبوجه خاص $\P(\Omega) = 1$، [والحادثة](#def-g10-proba-events) المستحيلة $\varnothing$ احتمالها $0$.

**قضية 9.3 (الإمكانيات المتساوية الاحتمال).**

إذا كانت الإمكانيات $n$ متساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) (أي $p_i = \frac1n$ لكل منها)، فإنه من أجل كل [حادثة](#def-g10-proba-events) $A$:

$$
\P(A) = \frac{\text{عدد إمكانيات } A}{n}
= \frac{\text{الحالات الملائمة}}{\text{الحالات الممكنة}} .
$$

**برهان.** تحوي $A$ عددًا $k$ من الإمكانيات، [احتمال](#def-g10-proba-distribution) كل منها $\frac1n$، إذن $\P(A) = \frac kn$. ∎

**مثال 9.4.**

ارمِ حجر نرد سليمًا: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$، [واحتمال](#def-g10-proba-distribution) كل إمكانية $\frac16$. [والحادثة](#def-g10-proba-events) $A$: “النتيجة زوجية” هي $A = \{2, 4, 6\}$، إذن $\P(A) = \frac36 = \frac12$. [والحادثة](#def-g10-proba-events) $B$: “النتيجة لا تقل عن $5$” هي $B = \{5, 6\}$، إذن $\P(B) = \frac26 =
\frac13$.

## 9.2 تركيب الحوادث

**تعريف 9.5 (التقاطع والاتحاد والمتممة).**

لتكن $A$ و $B$ حادثتين.

- تتحقق $A \cap B$ (“ $A$ و $B$ ”) عندما تتحقق الحادثتان معًا؛
- وتتحقق $A \cup B$ (“ $A$ أو $B$ ”) عندما تتحقق إحداهما على الأقل؛
- و *المتممة* $\bar A$ (“ليس $A$ ”) تتحقق بالضبط عندما لا تتحقق $A$ ؛
- وتكون $A$ و $B$ *متنافيتين* إذا لم يمكن أن تتحققا معًا: $A \cap B = \varnothing$ .

**مبرهنة 9.6 (قاعدتا الجمع).**

من أجل كل حادثتين $A$ و $B$:

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
\qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A) .
$$

وفي حالة حادثتين [متنافيتين](#def-g10-proba-operations)، تبسط القاعدة الأولى إلى $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$.

**برهان.** يضيف مجموع $\P(A) + \P(B)$ [احتمال](#def-g10-proba-distribution) كل إمكانية من $A \cup B$ مرة واحدة، *عدا* إمكانيات $A \cap B$ التي تُحسب مرتين — مرة في $A$ ومرة في $B$. وطرح $\P(A \cap B)$ يصلح العدّ المزدوج. أما [المتممة](#def-g10-proba-operations): فالحادثتان $A$ و $\bar A$ متنافيتان و $A \cup \bar A = \Omega$، إذن $\P(A) + \P(\bar A) = \P(\Omega) = 1$. ∎

![حادثتان متداخلتان: في (A) + (B) يُحسب التقاطع المظلل A ∩ B مرتين، وهذا يفسّر الطرح في قاعدة الجمع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-25bc6ba9d1f1.svg)

*حادثتان متداخلتان: في $\P(A) + \P(B)$ يُحسب [التقاطع](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interunion) المظلل $A \cap B$ مرتين، وهذا يفسّر الطرح في قاعدة الجمع.*

**مثال 9.7.**

اسحب ورقة واحدة من رزمة قياسية من $52$ ورقة. ولتكن $A$: “الورقة كوبة” ($13$ ورقة) و $B$: “الورقة ملك” ($4$ أوراق). عندئذٍ تكون $A \cap B$ هي “ملك الكوبة” (ورقة واحدة)، و

$$
\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}
= \frac{4}{13}.
$$

وكثيرًا ما تكون قاعدة [المتممة](#def-g10-proba-operations) أسرع طريق: [فاحتمال](#def-g10-proba-distribution) أن تكون الورقة *ليست* كوبة هو $1 - \frac{13}{52} = \frac34$.

## 9.3 أشجار الاحتمالات

**طريقة 9.8 (التجارب ذات المرحلتين).**

من أجل تجربة تُنجز على مرحلتين:

1. ارسم *شجرة* : فرع لكل نتيجة ممكنة للمرحلة الأولى، ثم من كل فرع منها فرع لكل نتيجة للمرحلة الثانية، واكتب [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) على كل فرع (ومجموع الفروع الخارجة من أي عقدة يساوي $1$ )؛
2. [احتمال](#def-g10-proba-distribution) *مسار* (أي ورقة من أوراق [الشجرة](#met-g10-proba-tree) ) هو جداء الاحتمالات على فروعه؛
3. [واحتمال](#def-g10-proba-distribution) [حادثة](#def-g10-proba-events) هو مجموع احتمالات المسارات التي تحققها.

**مثال 9.9.**

يحوي كيس $3$ كرات حمراء و $2$ كرة زرقاء. اسحب كرة، ثم أعدها، ثم اسحب من جديد. ويعطي كل سحب أحمر (R) [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac35$ و أزرق (B) [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac25$.

![شجرة السحبين مع الإرجاع. ومجموع احتمالات المسارات الأربعة يساوي 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-proba/fig-7a3dd3ce478e.svg)

*[شجرة](#met-g10-proba-tree) السحبين مع الإرجاع. ومجموع احتمالات المسارات الأربعة يساوي $1$.*

[واحتمال](#def-g10-proba-distribution) الحصول على كرتين من اللون نفسه هو $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} =
\frac{13}{25}$؛ [واحتمال](#def-g10-proba-distribution) الحصول على زرقاء واحدة على الأقل هو $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (بقاعدة [المتممة](#def-g10-proba-operations)).

**ملاحظة 9.10.**

ودون إرجاع، تتعلق احتمالات السحب الثاني بالسحب الأول: ففي الكيس أعلاه، بعد سحب كرة حمراء، لا تبقى سوى $2$ حمراء و $2$ زرقاء، فيحمل الفرع الثاني $\frac24$ و $\frac24$. وتعمل طريقة [الشجرة](#met-g10-proba-tree) دون تغيير؛ ولا تتغير سوى الأعداد على فروع المستوى الثاني.

## 9.4 التواترات والمعاينة

عندما تُكرَّر [تجربة عشوائية](#def-g10-proba-events) مرات كثيرة، يقترب [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المرصود [لحادثة](#def-g10-proba-events) من احتمالها — ولهذا يكون [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) مفيدًا في وصف العالم الواقعي.

**تعريف 9.11 (العينة).**

*العينة* ذات الحجم $n$ هي نتيجة تكرار التجربة نفسها $n$ مرة على نحو مستقل. و*[التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المرصود* [لحادثة](#def-g10-proba-events) في العينة هو عدد مرات تحققها مقسومًا على $n$.

**مثال 9.12.**

تعطي قطعة نقدية سليمة الصورة [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $0.5$. ورميها $100$ مرة نادرًا ما يعطي $50$ صورة بالضبط: فالعينات *تتذبذب*. وتعطي السلاسل النموذجية من $100$ رمية تواترات مثل $0.46$ و $0.53$ و $0.49$ — قريبة من $0.5$ لكن غير مساوية لها. والعينات الأكبر تتذبذب أقل: فمع $10\,000$ رمية، تقع التواترات المرصودة عادةً على بعد نحو $0.01$ من $0.5$.

**ملاحظة 9.13 (فترة التذبذب).**

قاعدة تقريبية مفيدة، تُبرَّر في [الفصل 19](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/19-the-binomial-distribution#ch-g11-binom): من أجل [عينة](#def-g10-proba-sample) حجمها $n$ [لحادثة](#def-g10-proba-events) احتمالها $p$ (مع $n$ كبير بما يكفي)، يقع [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المرصود في [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)

$$
\intcc{p - \frac{1}{\sqrt n}}{\,p + \frac{1}{\sqrt n}}
$$

في نحو $95\%$ من العينات. وإذا وقع [تواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) مرصود بعيدًا خارج هذه [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval)، فشكّك في قيمة $p$: وهذه هي نقطة انطلاق الاختبار الإحصائي.

**مثال 9.14.**

يدّعي مصنع أن $10\%$ فقط من قطعه معيبة ($p = 0.1$). وفي [عينة](#def-g10-proba-sample) من $n = 400$ قطعة، $64$ قطعة معيبة: أي أن [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المرصود $\frac{64}{400} = 0.16$. [وفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) التذبذب هي $\intcc{0.1 - \frac{1}{20}}{0.1 + \frac{1}{20}} = \intcc{0.05}{0.15}$، والقيمة $0.16$ تقع خارجها: [فالعينة](#def-g10-proba-sample) تلقي شكًّا جديًّا على الادعاء.

## 9.5 تمارين

**تمرين 9.1 ★.**

يُرمى حجر نرد سليم. احسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) كل [حادثة](#def-g10-proba-events): “الحصول على $6$”؛ “الحصول على عدد فردي”؛ “الحصول على $4$ على الأكثر”؛ “الحصول على $7$”.

**حل التمرين 9.1.**

[احتمال](#def-g10-proba-distribution) كل إمكانية من الإمكانيات $6$ هو $\frac16$. “الحصول على $6$”: $\frac16$. “عدد فردي” $= \{1, 3, 5\}$: $\frac36 = \frac12$. “$4$ على الأكثر” $= \{1,2,3,4\}$: $\frac46 = \frac23$. “الحصول على $7$”: [حادثة](#def-g10-proba-events) مستحيلة، واحتمالها $0$.

**تمرين 9.2 ★.**

يحوي كيس $5$ كرات خضراء و $3$ صفراء و $2$ سوداء؛ وتُسحب كرة واحدة عشوائيًا. احسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) أن تكون خضراء؛ وأن لا تكون سوداء؛ وأن تكون خضراء أو صفراء.

**حل التمرين 9.2.**

توجد $10$ كرات متساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution). $\P(\text{أخضر}) = \frac{5}{10} = \frac12$. $\P(\text{ليست سوداء}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac45$. والحادثتان “خضراء” و“صفراء” متنافيتان: $\P(\text{أخضر أو أصفر}) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10}
= \frac45$.

**تمرين 9.3 ★.**

في فوج من $30$ تلميذًا، يدرس $18$ الإسبانية، ويدرس $10$ الألمانية، ويدرس $4$ اللغتين معًا. يُختار تلميذ عشوائيًا. مستعملًا قاعدة الجمع، احسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) أن يدرس هذا التلميذ إحدى اللغتين على الأقل، ثم [احتمال](#def-g10-proba-distribution) أن لا يدرس أيًّا منهما.

**حل التمرين 9.3.**

لتكن $S$: “يدرس الإسبانية”، و $G$: “يدرس الألمانية”. عندئذٍ $\P(S) = \frac{18}{30}$ و $\P(G) = \frac{10}{30}$ و $\P(S \cap G) = \frac{4}{30}$. وبقاعدة الجمع:

$$
\P(S \cup G) = \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{4}{30}
= \frac{24}{30} = \frac45 .
$$

وبالمتممة: $\P(\text{لا هذه ولا تلك}) = 1 - \frac45 = \frac15$.

**تمرين 9.4 ★.**

تُرمى قطعة نقدية سليمة مرتين. ارسم [شجرة](#met-g10-proba-tree) التجربة واحسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) الحصول على صورتين؛ وعلى صورة واحدة بالضبط؛ وعلى صورة واحدة على الأقل.

**حل التمرين 9.4.**

[للشجرة](#met-g10-proba-tree) أربعة مسارات: صورة-صورة، وصورة-كتابة، وكتابة-صورة، وكتابة-كتابة، [واحتمال](#def-g10-proba-distribution) كل منها $\frac12 \times \frac12 = \frac14$. صورتان: $\frac14$. وصورة واحدة بالضبط (مساران): $\frac24 = \frac12$. وصورة واحدة على الأقل: $1 - \P(\text{TT}) = 1 - \frac14 = \frac34$.

**تمرين 9.5 ★★.**

يحوي كيس $4$ كرات حمراء و $6$ بيضاء. وتُسحب كرتان واحدة بعد الأخرى *دون* إرجاع. ارسم [الشجرة بالاحتمالات](#met-g10-proba-tree) الصحيحة على المستوى الثاني، واحسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) سحب كرتين حمراوين، ثم [احتمال](#def-g10-proba-distribution) سحب كرتين مختلفتي اللون.

**حل التمرين 9.5.**

السحب الأول: حمراء [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac{4}{10}$، وبيضاء [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac{6}{10}$. والسحب الثاني *دون* إرجاع: بعد حمراء، تبقى $3$ حمراء و $6$ بيضاء من بين $9$؛ وبعد بيضاء، تبقى $4$ حمراء و $5$ بيضاء من بين $9$.

حمراوان: $\frac{4}{10} \times \frac39 = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.

ومختلفتا اللون، أي المساران حمراء-بيضاء وبيضاء-حمراء:

$$
\frac{4}{10} \times \frac69 + \frac{6}{10} \times \frac49
= \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}.
$$

**تمرين 9.6 ★★.**

يُرمى حجرا نرد سليمان ويُسجَّل مجموعهما.

1. فسّر لماذا يمكن أخذ [مجموعة الإمكانيات](#def-g10-proba-events) على أنها الأزواج $36$ المتساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$ .
2. احسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) أن يكون المجموع $7$ ؛ وأن يكون $12$ ؛ وأن يكون $4$ على الأكثر.
3. ما المجموع الأكثر [احتمالًا](#def-g10-proba-distribution) ؟

**حل التمرين 9.6.**

*1.* يُظهر كل حجر نرد، على نحو مستقل، كل وجه [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac16$، إذن الأزواج المرتبة $36$ متساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution)؛ ويتحدد المجموع بالزوج.

*2.* المجموع $7$: الأزواج $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$، إذن $\P = \frac{6}{36} = \frac16$. والمجموع $12$: الزوج $(6,6)$ وحده، إذن $\P = \frac{1}{36}$. والمجموع $4$ على الأكثر: الأزواج التي مجموعها $2$ أو $3$ أو $4$: $(1,1)$؛ و $(1,2), (2,1)$؛ و $(1,3), (2,2), (3,1)$ — أي ستة أزواج، إذن $\P = \frac{6}{36} = \frac16$.

*3.* ينمو عدد الأزواج المحققة لكل مجموع من $1$ (للمجموع $2$) إلى $6$ (للمجموع $7$) ثم يتناقص: فالمجموع الأكثر [احتمالًا](#def-g10-proba-distribution) هو $7$.

**تمرين 9.7 ★★.**

يعرض سؤال متعدد الخيارات $4$ إجابات، واحدة منها صحيحة. ويجيب تلميذ عن سؤالين مستقلين من هذا النوع عشوائيًا تمامًا. احسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) أن يجيب عنهما معًا إجابة صحيحة، وعن واحد بالضبط، ولا عن أي منهما. وتحقق من أن مجموع الاحتمالات الثلاثة $1$.

**حل التمرين 9.7.**

يُجاب عن كل سؤال إجابة صحيحة [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac14$، على نحو مستقل. [والشجرة](#met-g10-proba-tree) ذات مستويين:

كلاهما صحيح: $\frac14 \times \frac14 = \frac{1}{16}$.

وواحد بالضبط صحيح، أي المساران صحيح-خطأ وخطأ-صحيح: $\frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 = \frac{6}{16}
= \frac38$.

ولا واحد صحيح: $\frac34 \times \frac34 = \frac{9}{16}$.

تحقق: $\frac{1}{16} + \frac{6}{16} + \frac{9}{16} = 1$.

**تمرين 9.8 ★★.**

يدّعي سياسي أن نسبة الرضا عنه $50\%$. وفي استطلاع شمل $n = 900$ ناخبًا اختيروا عشوائيًا، أبدى $396$ رضاهم.

1. احسب [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المرصود [وفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) التذبذب حول $p = 0.5$ من أجل $n = 900$ .
2. هل يلقي الاستطلاع شكًّا على الادعاء؟

**حل التمرين 9.8.**

*1.* [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المرصود: $\frac{396}{900} = 0.44$. ومن أجل $n = 900$: $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0.033$، إذن [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) التذبذب هي نحو $\intcc{0.467}{0.533}$.

*2.* تقع القيمة المرصودة $0.44$ خارج [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval): فعينات من $900$ ناخب مأخوذة من مجتمع نسبة الرضا فيه $50\%$ نادرًا ما تشرد إلى هذا الحد. إذن يلقي الاستطلاع شكًّا جديًّا على الادعاء $50\%$.

**تمرين 9.9 ★★★.**

تكلّف لعبة $2$ للمشاركة فيها: ترمي حجر نرد سليمًا وتربح $6$ إذا حصلت على $6$، و $3$ إذا حصلت على $5$، ولا شيء فيما عدا ذلك.

1. احسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) كل مبلغ مربوح ( $6$ و $3$ و $0$ ).
2. على [مدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) $600$ لعبة، كم تتوقع من كل نتيجة [تقريبًا](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-approx) ؟ احسب مجموع الربح المنتظر والخسارة المنتظرة: فهل تستحق اللعبة أن تُلعب؟

**حل التمرين 9.9.**

*1.* $\P(\text{ربح } 6) = \frac16$ (الحصول على $6$)، و $\P(\text{ربح } 3) = \frac16$ (الحصول على $5$)، و $\P(\text{ربح } 0) = \frac46 = \frac23$.

*2.* على [مدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) $600$ لعبة، نتوقع نحو $100$ ستة و $100$ خمسة و $400$ رمية أخرى. والمكاسب: نحو $100 \times 6 + 100 \times 3 = 900$. والتكلفة: $600 \times 2 = 1200$. والنتيجة الصافية المنتظرة: $900 - 1200 = -300$، أي خسارة قدرها نحو $0.5$ لكل لعبة في [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) — فاللعبة لا تستحق أن تُلعب.

## 9.6 مسألة: الأبواب الثلاثة التي خدعت ألف رياضي

**مسألة 9.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — مفارقة مونتي هول و بنات عمها: كيف تغيّر المعلومة الاحتمال، وكيف تفصل العينات بين الادعاءات والتمني

سنة 1990 نشرت الكاتبة مارلين فوس سافانت أحجية عن مقدّم برنامج مسابقات وثلاثة أبواب وسيارة وعنزتين — وأجابت عنها إجابة صحيحة. فكتب إليها عشرة آلاف قارئ، منهم مئات من حملة الدكتوراه في الرياضيات، يصرّون على أنها مخطئة. تسلّحك هذه المسألة بالأشجار ([الطريقة 9.8](#met-g10-proba-tree))، وبالمتممات وقاعدتي الجمع ([المبرهنة 9.6](#thm-g10-proba-addition))، وتدعك تحسم الجدال بنفسك، وتختم بالأداة التي تحكم في كل نزاع كهذا عمليًّا: [العينة](#def-g10-proba-sample) المتذبذبة.

**الجزء الأول — القواعد، على سبيل التحمية.**

1. ورقة واحدة من رزمة قياسية من $52$ ورقة: احسب $P(\text{ملك أو كوبة})$ بقاعدة الجمع — وقل لماذا يكون $\frac{4}{52} + \frac{13}{52}$ وحده خطأً.
2. ثلاث رميات لقطعة نقدية سليمة: احسب $P(\text{صورة واحدة على الأقل})$ [بالمتممة](#def-g10-proba-operations) .
3. يحوي كيس $3$ كرات حمراء و $2$ زرقاء؛ وتُسحب كرتان دون إرجاع. [بشجرة](#met-g10-proba-tree) ، احسب $P(\text{أحمران})$ و $P(\text{واحدة من كل لون})$ .
4. أكمل توزيع السؤال 3 بحساب $P(\text{أزرقان})$ وتحقق من أن مجموع الاحتمالات الثلاثة يساوي $1$ .
5. يبلّغ أحدهم، من أجل حادثتين *[متنافيتين](#def-g10-proba-operations)* ، أن $P(A) = 0.6$ و $P(B) = 0.5$ . أدِنه بسطر واحد من الحساب.

**الجزء الثاني — الأبواب الثلاثة.** اللعبة: تختبئ سيارة خلف أحد ثلاثة أبواب، وتختبئ عنزتان خلف الآخرين. تختار بابًا (وليكن الباب 1). فيفتح المقدّم — وهو *يعلم* أين السيارة — أحد البابين الآخرين، كاشفًا عنزةً دائمًا، ثم يعرض عليك التبديل إلى الباب المغلق الباقي.

6. قبل حساب أي شيء: هل ينفع التبديل، أم يضر، أم لا يهم؟ اكتب جوابك الحدسي — بصدق.
7. والآن [الشجرة](#met-g10-proba-tree) ، بالمناقشة على موضع السيارة الحقيقي ( [احتمال](#def-g10-proba-distribution) كل حالة $\frac13$ ): إذا كانت السيارة خلف بابك، فالتبديل يخسر؛ وإذا كانت خلف أي من البابين الآخرين، فماذا يجب أن يفعل المقدّم، وماذا يربح التبديل عندئذٍ؟ احسب $P(\text{الفوز بالتبديل})$ .
8. الصيغة ذات السطر الواحد: يربح التبديل بالضبط عندما يكون اختيارك الأول خاطئًا. استنتج من جديد.
9. والآن المتغيّر الحاسم — “مونتي الساقط”: لا *يعلم* المقدّم أين السيارة، ويفتح أحد البابين الآخرين عشوائيًا، فتكشف الصدفة عنزةً. اذكر السيناريوهات الستة المتساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) (موضع السيارة $\times$ الباب المفتوح)، واستبعد تلك التي تُكشف فيها السيارة، واحسب [احتمال](#def-g10-proba-distribution) أن يربح التبديل *بين السيناريوهات الباقية* . ما الذي تغيّر، و لماذا تهم معرفة المقدّم؟
10. مضخة الحدس: مئة باب، تختار واحدًا، ويفتح المقدّم العليم $98$ بابًا خلفها عنزات. أتبدّل؟ وبأي [احتمال](#def-g10-proba-distribution) للفوز؟
11. تواجه متشككًا يصرّ، مثل كتّاب الرسائل الألف، على “النصف بالنصف”. صف محاكاة بورق اللعب (ثلاث أوراق، جولات كثيرة، صديق يقوم بدور المقدّم) وقل ما نسبة الفوز بالتبديل التي تتوقعها بعد $300$ جولة — ومعك [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) تذبذب الفصل هامشًا.

**الجزء الثالث — بنات عم المفارقة.**

12. لأسرة طفلان؛ وتعلم أن *أحدهما على الأقل ولد* . اذكر تشكيلات الطفلين المتساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) الملائمة للمعلومة، واحسب $P(\text{ولدان})$ .
13. الأسرة نفسها، لكن المعلومة الآن: *الطفل الأكبر ولد* . أعد الحساب. لماذا يختلف الجوابان، وما الذي يشتركان فيه مع صيغتَي مونتي؟
14. ثلاث قطع نقدية سليمة: احسب $P(\text{الثلاثة متماثلة})$ . وقد جادل الرياضي دالمبير سنة 1754 لصالح جواب آخر: “إما أن تكون كلها متماثلة وإما لا — حالة من حالتين.” سمِّ الخطأ بالضبط، ومعك [القضية 9.3](#prop-g10-proba-uniform) .
15. تكلّف لعبة $2$ يورو: ترمي حجر نرد وتربح $6$ يورو على الستة، و $3$ يورو على الخمسة، ولا شيء فيما عدا ذلك ( [التمرين 9.9](#exo-g10-proba-9) ). على [مدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) $600$ لعبة، أي ربح [متوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean) لكل لعبة يتنبأ به العدّ؟ ويلعب المؤمِّن الرياضيات نفسها: [احتمال](#def-g10-proba-distribution) سنوي قدره $1\,\%$ لمطالبة بقيمة $10\,000$ يورو — فما القسط *العادل* ، ولماذا يتجاوزه القسط الحقيقي؟

**الجزء الرابع — العينات حكمًا.**

16. تُرمى قطعة نقدية $100$ مرة. مستعملًا [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) التذبذب $p \pm \frac{1}{\sqrt n}$ ، قرّر أي هذه النتائج ينبغي أن يثير الريبة: $55$ صورة؛ أم $70$ صورة.
17. يعطي استطلاع شمل $1\,000$ ناخب مرشحًا $52\,\%$ . احسب [فترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) التذبذب حول $50\,\%$ وقل هل *يبرهن* الاستطلاع على أن المرشح متقدم.
18. يدّعي مصنع أن $4\,\%$ من قطعه معيبة. وتُظهر [عينة](#def-g10-proba-sample) من $400$ قطعة $28$ قطعة معيبة ( $7\,\%$ )؛ وتُظهر [عينة](#def-g10-proba-sample) لاحقة من $2\,500$ قطعة $175$ قطعة ( $7\,\%$ من جديد). اختبر الادعاء إزاء كل [عينة](#def-g10-proba-sample) . ولماذا يختلف الحكمان؟
19. يلاحق كل استطلاع مصدرا خطأ: *تحيّز* المعاينة (مسألة نهاية الأسبوع عن كيف تكذب المعطيات في الكتاب السابق) و *تذبذب* المعاينة (هذا الفصل). أيهما ينكمش كلما نما $n$ ، وأيهما يصمد أمام أي حجم [عينة](#def-g10-proba-sample) ؟ جملة واحدة لكل منهما.
20. الخاتمة — قائمة الاحتمالي، سطر لكل بند: تحقق من تساوي [احتمال](#def-g10-proba-distribution) الإمكانيات قبل العدّ (السؤال 15)؛ والأشجار والمتممات من أجل التجارب متعددة المراحل و “على الأقل” (السؤالان 2–3)؛ و *المعلومة تغيّر الاحتمالات، وطريقة الحصول عليها تهم* (الأسئلة 7–14)؛ والعينات تتذبذب بمقدار نحو $\frac{1}{\sqrt n}$ ، والمحاكاة تحكم (الأسئلة 11 و 16–18).

**حل المسألة 9.1.**

**1.** $P(\text{ملك أو كوبة}) = \frac{4}{52} +
\frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$: فملك الكوبة يقع في الحادثتين ويجب أن لا يُحسب مرتين — ومن هنا الطرح ([المبرهنة 9.6](#thm-g10-proba-addition)).

**2.** $P(\text{لا صورة}) = \left(\frac12\right)^3 =
\frac18$، إذن $P(\text{واحدة على الأقل}) = \frac78$.

**3.** $P(RR) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$؛ $P(\text{واحدة من كل}) = \frac35 \times \frac24 + \frac25
\times \frac34 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac35$.

**4.** $P(BB) = \frac25 \times \frac14 = \frac1{10}$؛ و $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$: فمجموع أوراق [الشجرة](#met-g10-proba-tree) يساوي $1$ دائمًا.

**5.** تخضع [الحادثتان المتنافيتان](#def-g10-proba-operations) للعلاقة $P(A \cup B) = P(A) +
P(B) = 1.1 > 1$: وهذا مستحيل — فقد اختُلق بعض [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution).

**6.** (يجيب معظم الناس، ومنهم كتّاب الرسائل الألف، بقولهم “لا يهم، النصف بالنصف”. احتفظ بجوابك من أجل السؤال 8.)

**7.** السيارة خلف الباب 1 ([باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac13$): يفتح المقدّم أيًّا من بابَي العنزتين؛ والتبديل يترك السيارة: *خسارة*. السيارة خلف الباب 2 ($\frac13$): *يجب* أن يفتح المقدّم الباب 3؛ والتبديل يحط على الباب 2: *فوز*. السيارة خلف الباب 3: بالتناظر: *فوز*. والمجموع: $P(\text{التبديل يفوز}) = \frac13 + \frac13 = \frac23$.

**8.** يكون اختيارك الأول خاطئًا [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac23$ — وعندئذٍ بالضبط، يترك كشف المقدّم المُلزَم السيارةَ خلف الباب الباقي: فالتبديل يحوّل كل خطأ أول إلى فوز. إذن $\frac23$، مهما قال الحدس.

**9.** ستة سيناريوهات متساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution): السيارة خلف $1$ أو $2$ أو $3$، والمقدّم يفتح الباب $2$ أو $3$ (ولا يفتح بابك أبدًا). ويكشف الفتح السيارة في اثنين منها (سيارة عند 2 وفتح 2، وسيارة عند 3 وفتح 3): فيُستبعدان. وبين السيناريوهات الأربعة الباقية — سيارة عند 1 وفتح 2، وسيارة عند 1 وفتح 3، وسيارة عند 2 وفتح 3، وسيارة عند 3 وفتح 2 — يفوز التبديل في الأخيرين: $\frac24 = \frac12$. فمع مقدّم جاهل، يكون “النصف بالنصف” *صحيحًا*: إذ تعيش المفارقة كلها في معرفة المقدّم، التي ترشّح السيناريوهات ترشيحًا غير متكافئ.

**10.** يحمل اختيارك السيارة [باحتمال](#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{100}$؛ وتصبّ كشوف المقدّم العليم $98$ الاحتمالَ الباقي $\frac{99}{100}$ على الباب المغلق الوحيد. فبدّل، واربح $99$ مرة من كل $100$.

**11.** ثلاث أوراق (آس وورقتان أخريان)، وصديق يسترق النظر ويتخلص دائمًا من ورقة غير الآس من بين الورقتين اللتين لم تخترهما؛ العب $300$ جولة مبدّلًا دائمًا، وسجّل الفوز. [والتواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) المنتظر $\frac23 \approx 0.667$، مع تذبذب $\pm\frac{1}{\sqrt{300}} \approx 0.058$: أي توقّع ما بين نحو $61\,\%$ و $72\,\%$ من الفوز بالتبديل — وهو بعيد عن أي “نصف بالنصف”.

**12.** التشكيلات المتساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) (الأكبر ثم الأصغر): ولد-ولد، وولد-بنت، وبنت-ولد، وبنت-بنت. و“أحدهما على الأقل ولد” تبقي ثلاثًا منها: $P(\text{BB}) = \frac13$.

**13.** أما “الأكبر ولد” فتبقي حالتين: $P(\text{BB}) = \frac12$. فالمعلومات المختلفة ترشّح مجموعات سيناريوهات مختلفة — تمامًا كما فعلت صيغتا مونتي: فما تتعلمه يهم، و*كيف* تعلمته يهم بالقدر نفسه.

**14.** كلها متماثلة: صورة-صورة-صورة، وكتابة-كتابة-كتابة: $\frac28 = \frac14$. وخطأ دالمبير: أن “حالتيه” ليستا متساويتي [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution) — إذ إن “ليست كلها متماثلة” تحزم ستًّا من الإمكانيات الثماني. و [القضية 9.3](#prop-g10-proba-uniform) لا تعدّ إلا على إمكانيات متساوية [الاحتمال](#def-g10-proba-distribution).

**15.** المكاسب المتوسطة لكل لعبة: $6 \times \frac16 + 3
\times \frac16 = 1.50$ يورو، مقابل رهان $2$ يورو: أي خسارة متوسطة قدرها $0.50$ لكل لعبة، ونحو $300$ يورو على [مدى](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-quartiles) $600$ لعبة. والقسط العادل يساوي المدفوع [المتوسط](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-mean): $1\,\% \times 10\,000 = 100$ يورو؛ أما الأقساط الحقيقية فتضيف التكاليف وهامش أمان — إذ يجب أن يصمد المؤمِّن في السنوات السيئة، لا في المتوسطة فحسب.

**16.** [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval): $0.5 \pm \frac{1}{\sqrt{100}} =
\intcc{0.4}{0.6}$. فالنتيجة $55$ صورة ($0.55$): داخلها، ولا شيء لافت. أما $70$ صورة ($0.70$): فبعيدة خارجها — فشكّك في القطعة النقدية.

**17.** $\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.032$: أي أن مرشحًا نسبته $50\,\%$ عادلة يحصل عادةً على $\intcc{0.468}{0.532}$ — والقيمة $0.52$ تقع مرتاحة داخلها. فالاستطلاع *يوحي* بتقدّم لكنه لا يبرهن على شيء: فالهامش يبتلعه.

**18.** [العينة](#def-g10-proba-sample) الأولى: [الفترة](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/1-numbers-and-sets-of-numbers#def-g10-numbers-interval) $0.04 \pm \frac{1}{20} =
\intcc{0}{0.09}$؛ والقيمة المرصودة $0.07$ داخلها: فلا حكم. [والعينة](#def-g10-proba-sample) الثانية: $0.04 \pm \frac{1}{50} = \intcc{0.02}{0.06}$؛ والقيمة المرصودة $0.07$ تقع خارجها: فالادعاء الآن في شك جدي. [التواتر](https://one-course.com/books/math/2/ar/chapter/8-descriptive-statistics#def-g10-stats-series) نفسه وأداة أحدّ: فالدقة تنمو مثل $\sqrt n$.

**19.** ينكمش التذبذب مثل $\frac{1}{\sqrt n}$: فتربيع حجم [العينة](#def-g10-proba-sample) أربع مرات ينصّف الضجيج. أما التحيّز — أي سؤال الجمهور الخطأ — فيصمد أمام أي $n$: فمليونا بطاقة مختارة اختيارًا سيئًا بقيت خاطئة (مسألة نهاية الأسبوع عن كيف تكذب المعطيات في الكتاب السابق).

**20.** (1) تحقق من تساوي [احتمال](#def-g10-proba-distribution) الإمكانيات قبل العدّ — وهو ما نسيه دالمبير. (2) الأشجار تضرب على طول الفروع؛ و“واحدة على الأقل” تستسلم [للمتممة](#def-g10-proba-operations). (3) المعلومة ترشّح السيناريوهات، و*مصدرها* يغيّر الترشيح — مونتي العليم في مواجهة مونتي الساقط، و الأكبر ولد في مواجهة أحدهما ولد. (4) تقترب التواترات من الاحتمالات بسرعة $\frac{1}{\sqrt n}$، فتحسم محاكاة صبورة أي جدال — بما فيه جدال مع عشرة آلاف كاتب رسالة غاضب.