---
title: "Funciones y ecuaciones de segundo grado"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 10
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado
---

# Capítulo 10 — Funciones y ecuaciones de segundo grado

Las funciones de segundo grado son las más sencillas después de las lineales y las primeras cuyas [gráficas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) son de verdad curvas. Este capítulo desarrolla toda la caja de herramientas necesaria: la [forma canónica](#thm-g11-quad-canonical), el [discriminante](#def-g11-quad-discriminant), el signo de una expresión de segundo grado y la geometría de la [parábola](#def-g11-quad-parabola).

## 10.1 La forma canónica

**Definición 10.1 (Función de segundo grado).**

Una *función de segundo grado* es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de la forma

$$
f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,
$$

donde $a$, $b$, $c$ son [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets). La expresión $ax^2 + bx + c$ se llama también *trinomio de segundo grado*.

**Teorema 10.2 (Forma canónica).**

Toda [función de segundo grado](#def-g11-quad-quadratic) se puede escribir de una única manera como

$$
f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,
\qquad\text{donde } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ y } \beta = f(\alpha).
$$

Es la *forma canónica* de $f$.

**Demostración.** *Completamos el cuadrado*. Como $a \neq 0$, lo sacamos como factor común de los dos primeros términos:

$$
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .
$$

Ahora bien, $x^2 + \frac{b}{a}x$ es el comienzo del cuadrado $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$, de modo que $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{b^2}{4a^2}$. Sustituyendo:

$$
f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
= a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,
$$

con $\alpha = -\frac{b}{2a}$ y $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$. Al evaluar en $x = \alpha$ desaparece el término al cuadrado, luego $\beta = f(\alpha)$. Unicidad: al [desarrollar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand) $a(x-\alpha)^2 + \beta$ e identificar los coeficientes de $x$ queda forzado $\alpha = -\frac{b}{2a}$, y entonces $\beta$ está determinado. ∎

**Ejemplo 10.3.**

Sea $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Entonces $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ y $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$, luego

$$
f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .
$$

Comprobación desarrollando: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 =
2x^2 - 8x + 3$.

**Proposición 10.4 (Extremo y variación).**

Sea $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.

1. Si $a > 0$ , entonces $f$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{\alpha}$ y [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ tiene un *[mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ , alcanzado en $x = \alpha$ .
2. Si $a < 0$ , la variación se invierte: $f$ tiene un *[máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ en $x = \alpha$ .

**Demostración.** Supongamos $a > 0$ y sea $\alpha \leq u < v$. Entonces

$$
f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr)
= a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).
$$

Cada factor es positivo: $a > 0$, $v - u > 0$ y $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$, porque $v > \alpha$ y $u \geq \alpha$. Luego $f(v) > f(u)$: $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intco{\alpha}{+\infty}$. Para $u < v \leq \alpha$ el último factor es negativo, luego $f(v) < f(u)$: $f$ decrece ahí. Por último, $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ para todo $x$, así que $\beta = f(\alpha)$ es el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema). El caso $a < 0$ se obtiene aplicando lo anterior a $-f$. ∎

**Ejemplo 10.5.**

Un granjero dispone de $100$ metros de valla para cercar un campo rectangular apoyado en un muro recto (a lo largo del muro no hace falta valla). Si $x$ es la anchura, el área cercada es $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. Aquí $\alpha =
-\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ y $A(25) = 25 \times 50 = 1250$: el área es máxima con una anchura de $25$ m, y vale $1250$ m$^2$.

## 10.2 Raíces y factorización

**Definición 10.6 (Raíz, discriminante).**

Una *raíz* del trinomio $ax^2+bx+c$ es una solución de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $ax^2 + bx + c = 0$. El *discriminante* del trinomio es el número

$$
\Delta = b^2 - 4ac .
$$

**Teorema 10.7 (Resolución de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0).**

1. Si $\Delta > 0$, la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) tiene dos raíces distintas $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},  \qquad  x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$$ y $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. Si $\Delta = 0$ , la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) tiene la única [raíz](#def-g11-quad-discriminant) $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , y $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
3. Si $\Delta < 0$ , la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) no tiene solución real y el trinomio no se puede [factorizar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand) con coeficientes reales.

**Demostración.** Partimos de la [forma canónica](#thm-g11-quad-canonical) calculada en el [Teorema 10.2](#thm-g11-quad-canonical):

$$
ax^2+bx+c
= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}
= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],
$$

ya que $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} =
a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

*1.* Si $\Delta > 0$, entonces $\frac{\Delta}{4a^2} =
\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ y el corchete es una diferencia de dos cuadrados:

$$
ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
= a(x - x_2)(x - x_1).
$$

Un producto es cero exactamente cuando uno de sus factores lo es, lo que da las dos raíces, distintas porque $\sqrt\Delta \neq 0$.

*2.* Si $\Delta = 0$, el corchete es $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$, que solo se anula en $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

*3.* Si $\Delta < 0$, entonces $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, así que el corchete es un cuadrado más un número positivo: no se anula nunca y la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) no tiene solución real. Una factorización $a(x-x_1)(x-x_2)$ produciría raíces, luego no existe ninguna. ∎

**Ejemplo 10.8.**

Resolvamos $2x^2 - 8x + 3 = 0$. Aquí $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$, así que hay dos raíces:

$$
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4}
= 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
$$

Para $x^2 + x + 1 = 0$: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, sin solución real.

**Proposición 10.9 (Suma y producto de las raíces).**

Si $\Delta \geq 0$ y $x_1, x_2$ son las raíces (iguales cuando $\Delta = 0$), entonces

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},
\qquad
x_1 x_2 = \frac{c}{a} .
$$

Recíprocamente, dos números de suma $s$ y producto $p$ son las soluciones de $x^2 - sx + p = 0$.

**Demostración.** Desarrollamos la factorización del [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots):

$$
a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .
$$

Identificando los coeficientes con los de $ax^2 + bx + c$ se obtiene $-a(x_1+x_2) = b$ y $a\,x_1x_2 = c$. Para el recíproco: si $u + v = s$ y $uv = p$, entonces $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$, así que $u$ y $v$ son sus raíces. ∎

**Ejemplo 10.10.**

Hallemos dos números de suma $10$ y producto $21$. Son las soluciones de $x^2 - 10x + 21 = 0$; $\Delta = 100 - 84 = 16$ y las raíces son $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ y $3$. *Raíces a simple vista:* como los coeficientes de $x^2 - 5x + 4$ cumplen $1 - 5 + 4 = 0$, el número $1$ es [raíz](#def-g11-quad-discriminant), y la otra es $\frac{c}{a} = 4$ (su producto debe valer $\frac ca$).

## 10.3 Signo de un trinomio de segundo grado

**Teorema 10.11 (Signo de un trinomio).**

Sea $f(x) = ax^2+bx+c$ con $a \neq 0$.

1. Si $\Delta > 0$ , con raíces $x_1 < x_2$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ fuera de $\intcc{x_1}{x_2}$ y el signo de $-a$ en $\intoo{x_1}{x_2}$ .
2. Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ para todo $x \neq x_0$ , y se anula en $x_0$ .
3. Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ tiene el signo de $a$ para todo $x$ .

En resumen: *un trinomio tiene el signo de $a$, salvo entre sus raíces*.

**Demostración.** *1.* Escribimos $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ y seguimos los signos de los factores. Si $x < x_1$: tanto $x - x_1$ como $x - x_2$ son negativos, su producto es positivo y $f(x)$ tiene el signo de $a$. Si $x_1 < x < x_2$: los factores tienen signos opuestos, el producto es negativo y $f(x)$ tiene el signo de $-a$. Si $x > x_2$: los dos factores son positivos y $f(x)$ vuelve a tener el signo de $a$.

*2.* $f(x) = a(x - x_0)^2$ y $(x-x_0)^2 > 0$ para $x \neq x_0$.

*3.* Por la demostración del [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots), $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 +
\left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$, y el corchete es siempre positivo. ∎

**Método 10.12 (Resolver inecuaciones de segundo grado).**

Para resolver $ax^2 + bx + c \leq 0$ (o $\geq$, $<$, $>$):

1. calcula $\Delta$ y las raíces, si las hay;
2. construye la [tabla de signos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-signtable) usando el [Teorema 10.11](#thm-g11-quad-sign) (signo de $a$ fuera de las raíces);
3. lee el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) o los [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) solución, atento a si las raíces están incluidas (desigualdad no estricta) o no (estricta).

**Ejemplo 10.13.**

Resolvamos $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$. Aquí $\Delta = 9 + 16 = 25$ y las raíces son $\frac{-3 \pm 5}{-2}$, es decir, $x_1 = -1$ y $x_2 = 4$. Como $a = -1 < 0$, el trinomio es negativo fuera de las raíces y positivo entre ellas. Con la desigualdad no estricta, el conjunto de soluciones es $\intcc{-1}{4}$.

## 10.4 La parábola

**Definición 10.14 (Parábola).**

La [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) de una [función de segundo grado](#def-g11-quad-quadratic) $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ es una *parábola* de *vértice* $S(\alpha, \beta)$. Se abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$, y es simétrica respecto de la recta vertical $x = \alpha$.

**Observación 10.15.**

La simetría es fácil de comprobar: para cualquier $h$, $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$, así que dos puntos a la misma distancia horizontal de la recta $x = \alpha$ tienen la misma altura.

![Las tres posiciones de una parábola abierta hacia arriba (a > 0) respecto del eje x: dos raíces, una raíz doble, ninguna raíz. El vértice S tiene abscisa = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-9863916135b2.svg)

![Las tres posiciones de una parábola abierta hacia arriba (a > 0) respecto del eje x: dos raíces, una raíz doble, ninguna raíz. El vértice S tiene abscisa = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-5eb7a968df56.svg)

![Las tres posiciones de una parábola abierta hacia arriba (a > 0) respecto del eje x: dos raíces, una raíz doble, ninguna raíz. El vértice S tiene abscisa = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-a1f1afe408b0.svg)

*Las tres posiciones de una [parábola](#def-g11-quad-parabola) abierta hacia arriba ($a > 0$) respecto del eje $x$: dos raíces, una [raíz](#def-g11-quad-discriminant) doble, ninguna [raíz](#def-g11-quad-discriminant). El vértice $S$ tiene [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\alpha = -\frac{b}{2a}$.*

![Signo de un trinomio abierto hacia abajo (a < 0) con dos raíces: el signo de -a entre las raíces (zona sombreada) y el de a fuera.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-159a96c2a7c7.svg)

*Signo de un trinomio abierto hacia abajo ($a < 0$) con dos raíces: el signo de $-a$ entre las raíces (zona sombreada) y el de $a$ fuera.*

**Método 10.16 (Leer una parábola).**

Para esbozar $f(x) = ax^2+bx+c$: halla la orientación (signo de $a$), el vértice $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, el corte $(0, c)$ con el eje $y$ y las raíces, si las hay. El eje de simetría $x = -\frac{b}{2a}$ coloca después dos veces cada punto calculado.

**Ejemplo 10.17.**

Para $f(x) = x^2 - 4x + 3$: abierta hacia arriba, vértice $(2, -1)$, corta al eje $y$ en $(0,3)$ y tiene raíces $1$ y $3$ (a simple vista: $1 - 4 + 3 = 0$). Por simetría, el punto $(4, 3)$ también está en la curva, reflejando a $(0, 3)$.

## 10.5 Ejercicios

**Ejercicio 10.1 ★.**

Resuelve las ecuaciones

$$
x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad
x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad
9x^2 - 6x + 1 = 0 .
$$

**Solución de Ejercicio 10.1.**

$x^2-5x+6$: $\Delta = 25 - 24 = 1$, raíces $\frac{5 \pm 1}{2}$, es decir, $2$ y $3$.

$2x^2+3x-2$: $\Delta = 9 + 16 = 25$, raíces $\frac{-3 \pm 5}{4}$, es decir, $\frac12$ y $-2$.

$x^2+2x+5$: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, sin solución real.

$9x^2-6x+1$: $\Delta = 36 - 36 = 0$, una única [raíz](#def-g11-quad-discriminant) (doble), $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$.

**Ejercicio 10.2 ★.**

Escribe en [forma canónica](#thm-g11-quad-canonical) y da el vértice de la [parábola](#def-g11-quad-parabola):

$$
f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad
g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad
h(x) = 3x^2 + 6x .
$$

**Solución de Ejercicio 10.2.**

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$: vértice $(3, 2)$.

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1
= -2(x-1)^2 + 3$: vértice $(1, 3)$.

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr)
= 3(x+1)^2 - 3$: vértice $(-1, -3)$.

**Ejercicio 10.3 ★.**

Resuelve las inecuaciones

$$
x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad
2x^2 + x + 3 > 0, \qquad
-x^2 + 6x - 9 \geq 0 .
$$

**Solución de Ejercicio 10.3.**

$x^2 - 3x - 10$: $\Delta = 9 + 40 = 49$, raíces $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ y $5$; el coeficiente principal es positivo, así que el trinomio es negativo estrictamente entre las raíces: el conjunto de soluciones es $\intoo{-2}{5}$.

$2x^2 + x + 3$: $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ y $a = 2 > 0$: siempre positivo, el conjunto de soluciones es $\R$.

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$: es $\geq 0$ solo donde $(x-3)^2 \leq 0$, es decir, en $x = 3$. El conjunto de soluciones es $\{3\}$.

**Ejercicio 10.4 ★.**

Sin calcular $\Delta$, halla una [raíz](#def-g11-quad-discriminant) evidente y después la otra:

$$
x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad
x^2 + 4x - 5 = 0 .
$$

(Indicación: prueba $x = 1$ y $x = -1$ y usa después el producto de las raíces.)

**Solución de Ejercicio 10.4.**

$x^2 - 7x + 6$: $1 - 7 + 6 = 0$, luego $1$ es [raíz](#def-g11-quad-discriminant); el producto de las raíces es $6$, así que la otra [raíz](#def-g11-quad-discriminant) es $6$.

$2x^2 + 5x - 7$: $2 + 5 - 7 = 0$, luego $1$ es [raíz](#def-g11-quad-discriminant); el producto es $\frac{c}{a} = -\frac72$, así que la otra [raíz](#def-g11-quad-discriminant) es $-\frac72$.

$x^2 + 4x - 5$: $1 + 4 - 5 = 0$, luego $1$ es [raíz](#def-g11-quad-discriminant); el producto es $-5$, así que la otra [raíz](#def-g11-quad-discriminant) es $-5$.

**Ejercicio 10.5 ★★.**

Halla dos números cuya suma sea $14$ y cuyo producto sea $45$. Halla después las dimensiones de un rectángulo de perímetro $34$ y área $60$.

**Solución de Ejercicio 10.5.**

Los dos números son las soluciones de $x^2 - 14x + 45 = 0$ ([Proposición 10.9](#prop-g11-quad-vieta)); $\Delta = 196 - 180 = 16$ y las raíces son $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ y $5$.

Para el rectángulo: la mitad del perímetro da largo $+$ ancho $= 17$, y el área da su producto, $60$. Son las soluciones de $x^2 - 17x + 60 = 0$; $\Delta = 289 - 240 = 49$, raíces $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ y $5$. El rectángulo mide $12 \times 5$.

**Ejercicio 10.6 ★★.**

Sea $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$, donde $m$ es un parámetro real. ¿Para qué valores de $m$ tiene la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 0$ exactamente una solución? ¿Y ninguna?

**Solución de Ejercicio 10.6.**

$\Delta = (m-2)^2 - 4$. Hay exactamente una solución cuando $\Delta = 0$: $(m-2)^2 = 4$, luego $m - 2 = \pm 2$, es decir, $m = 0$ o $m = 4$. No hay solución cuando $\Delta < 0$: $(m-2)^2 < 4$, es decir, $-2 < m - 2 < 2$, o sea $0 < m < 4$.

**Ejercicio 10.7 ★★.**

Se lanza una pelota hacia arriba; su altura al cabo de $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (en metros). ¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué instante? ¿Durante qué [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de tiempo está la pelota al menos a $16$ m de altura?

**Solución de Ejercicio 10.7.**

El vértice está en $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$, y $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$: altura máxima de $21$ m, alcanzada a los $2$ segundos.

$h(t) \geq 16$ equivale a $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$, es decir (dividiendo entre $-5$, lo que invierte la desigualdad), $t^2 - 4t + 3 \leq 0$. Las raíces de $t^2-4t+3$ son $1$ y $3$ ($1 - 4 + 3 = 0$, producto $3$), así que $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exactamente en $\intcc{1}{3}$: la pelota está al menos a $16$ m de altura entre los instantes $t = 1$ s y $t = 3$ s.

**Ejercicio 10.8 ★★.**

Resuelve la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ tomando $X = x^2$ (una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) *bicuadrada*).

**Solución de Ejercicio 10.8.**

Con $X = x^2$: $X^2 - 13X + 36 = 0$, $\Delta = 169 - 144 = 25$, luego $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ o $4$. Volviendo a $x$: $x^2 = 9$ da $x = \pm 3$, y $x^2 = 4$ da $x = \pm 2$. El conjunto de soluciones es $\{-3, -2, 2, 3\}$.

**Ejercicio 10.9 ★★.**

¿Para qué valores de $x$ está el punto $M(x, x^2)$ de la [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ estrictamente por debajo de la recta $y = x + 2$? Interprétalo sobre un esbozo.

**Solución de Ejercicio 10.9.**

La condición es $x^2 < x + 2$, es decir, $x^2 - x - 2 < 0$. Como $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (raíces $-1$ y $2$), la desigualdad se cumple estrictamente entre las raíces: $x \in \intoo{-1}{2}$. En un esbozo, la [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ se hunde por debajo de la recta $y = x+2$ exactamente entre sus dos puntos de corte, $(-1, 1)$ y $(2, 4)$.

**Ejercicio 10.10 ★★.**

La suma de un número positivo y su inverso es $\frac{13}{6}$. Halla el número. (Redúcelo a una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de segundo grado.)

**Solución de Ejercicio 10.10.**

Sea $x > 0$ tal que $x + \frac1x = \frac{13}{6}$. Multiplicando por $6x > 0$: $6x^2 + 6 = 13x$, es decir, $6x^2 - 13x + 6 = 0$. Entonces $\Delta = 169 - 144 = 25$ y $x = \frac{13 \pm 5}{12}$, de donde $x = \frac32$ o $x = \frac23$. Los dos son positivos e inversos el uno del otro, como cabía esperar: el número es $\frac32$ (o $\frac23$).

**Ejercicio 10.11 ★★★.**

Sea $\mathcal P$ la [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ y sea $d_m$ la recta $y = mx - 1$, donde $m$ es un parámetro real.

1. ¿Para qué valores de $m$ se cortan $\mathcal P$ y $d_m$ en dos puntos? ¿En un punto? ¿En ninguno?
2. Cuando se tocan exactamente en un punto, calcula el punto de contacto. (En el [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#ch-g11-deriv) reconocerás $d_m$ como la tangente a $\mathcal P$ en ese punto.)

**Solución de Ejercicio 10.11.**

*1.* Los cortes corresponden a las soluciones de $x^2 = mx - 1$, es decir, $x^2 - mx + 1 = 0$, cuyo [discriminante](#def-g11-quad-discriminant) es $\Delta = m^2 - 4$. Dos puntos cuando $\abs{m} > 2$; exactamente uno cuando $m = \pm 2$; ninguno cuando $-2 < m < 2$.

*2.* Para $m = 2$: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$, así que el único punto de contacto es $(1, 1)$. Para $m = -2$: $(x+1)^2 = 0$, punto de contacto $(-1, 1)$. En los dos casos la recta corta a la [parábola](#def-g11-quad-parabola) en un solo punto sin atravesarla: es la tangente allí, y en efecto su [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = \pm 2$ coincide con el valor en $x = \pm 1$ de la derivada $2x$ de $x^2$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#ch-g11-deriv)).

## 10.6 Problema: El punto secreto de la parábola

**Problema 10.1.**

Problema de fin de semana — foco y directriz: por qué las antenas parabólicas, los faros de los coches y los puentes colgantes dibujan todos la misma curva, de la que en el fondo solo hay una

Todas las antenas parabólicas de todos los balcones apuntan su receptor a un punto interior muy concreto; todos los faros de coche esconden su bombilla en ese mismo lugar especial. Ese punto, el *[foco](#pb-g11-quad-1)*, es un secreto que la [parábola](#def-g11-quad-parabola) guarda desde la geometría griega, y la fórmula de la distancia basta para arrancárselo. De camino, este problema entrena el [discriminante](#def-g11-quad-discriminant), lanza proyectiles por encima de muros, cuelga un puente y demuestra un hecho final asombroso: salvo aumento, *en el mundo solo hay una [parábola](#def-g11-quad-parabola)*.

**Parte I — Soltura con los trinomios.**

1. Resuelve $x^2 - 5x + 6 = 0$ , después $2x^2 + x - 6 = 0$ y después $x^2 + x + 1 = 0$ ( [Teorema 10.7](#thm-g11-quad-roots) ).
2. Escribe $2x^2 - 4x - 6$ en forma factorizada y en [forma canónica](#thm-g11-quad-canonical) ( [Teorema 10.2](#thm-g11-quad-canonical) ). Junto con la forma desarrollada, tienes ya tres disfraces de una misma [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) : di qué rasgo enseña cada uno de un vistazo (raíces, vértice, corte con el eje $y$ ).
3. Resuelve $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ con la regla de los signos ( [Teorema 10.11](#thm-g11-quad-sign) ).
4. Viète como detective ( [Proposición 10.9](#prop-g11-quad-vieta) , continuando Babilonia en el [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#pb-g10-algebra-1) ): halla dos números de suma $7$ y producto $12$ escribiendo su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) . Después: una [raíz](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 5x + c = 0$ vale $2$ ; halla $c$ y la otra [raíz](#def-g11-quad-discriminant) sin resolver nada.
5. ¿Para qué valores de $m$ tiene $x^2 + mx + 9 = 0$ una [raíz](#def-g11-quad-discriminant) doble? ¿Ninguna [raíz](#def-g11-quad-discriminant) ? ¿Dos raíces?

**Parte II — El [foco](#pb-g11-quad-1) al descubierto.** Trabajamos con la [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$, el punto $F\left(0, \frac14\right)$ y la recta horizontal $\delta$ de [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y = -\frac14$.

6. Para un punto $P(x, x^2)$ de la [parábola](#def-g11-quad-parabola) , desarrolla $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ y demuestra que es el cuadrado perfecto $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . Deduce $PF$ .
7. Calcula la distancia de $P$ a la recta $\delta$ y concluye: *todo punto de la [parábola](#def-g11-quad-parabola) está exactamente a la misma distancia de $F$ que de $\delta$* . ( $F$ es el *foco* y $\delta$ , la *directriz* .)
8. Demuestra el recíproco: un punto $P(x, y)$ con $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ tiene que cumplir $y = x^2$ . (Eleva al cuadrado las dos distancias y simplifica.) Así pues, la [parábola](#def-g11-quad-parabola) es un *lugar geométrico* , exactamente como lo era la circunferencia en el [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#pb-g10-coordgeom-1) : equidistancia de un punto y una recta, en lugar de equidistancia de un solo punto.
9. Para la [parábola](#def-g11-quad-parabola) más ancha $y = \frac{x^2}{4f}$ (con $f > 0$ ), adapta la pregunta 6 para demostrar que el [foco](#pb-g11-quad-1) es $(0, f)$ y la [directriz](#pb-g11-quad-1) , $y = -f$ . Aplicación: una antena parabólica mide $60$ cm de ancho y $9$ cm de profundidad, así que su borde pasa por $(30, 9)$ . Halla $f$ : ¿a qué altura sobre el vértice hay que colgar el receptor?
10. La razón de que las antenas funcionen: los rayos que llegan paralelos al eje se reflejan todos *pasando por el [foco](#pb-g11-quad-1)* (y una bombilla en el [foco](#pb-g11-quad-1) lanza un haz paralelo: los faros son antenas al revés). Explica por qué la equidistancia de la pregunta 7 hace esto verosímil (piensa en los rayos como frentes de onda que avanzan) y di qué herramienta, que llega en el [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#ch-g11-deriv) (véase el [Ejercicio 10.11](#exo-g11-quad-11) ), convierte la verosimilitud en demostración.

**Parte III — [Parábolas](#def-g11-quad-parabola) trabajando.**

11. Una pelota sigue la trayectoria $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ e $y$ en metros). Halla dónde cae, la posición horizontal de su punto más alto y la altura máxima ( [Proposición 10.4](#prop-g11-quad-variations) ).
12. En la misma trayectoria hay un muro en $x = 4$ . Calcula la altura de la pelota allí: ¿supera un muro de $3$ m? ¿Y uno de $4$ m?
13. Un arco parabólico salva $40$ m con una altura máxima de $10$ m: en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) centradas, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . ¿Puede pasar un camión de $7$ m de alto a $10$ m del centro? ¿Y a $15$ m?
14. Los ingresos de un teatro con un precio de entrada de $p$ euros son $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (la demanda baja al subir el precio). Halla el precio que maximiza los ingresos y el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) .
15. Los cables principales del Golden Gate son parabólicos con excelente [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) (una carga uniforme del tablero produce una [parábola](#def-g11-quad-parabola) ; una cadena que cuelga libremente, *no* : su curva, la catenaria, necesita la exponencial del año que viene). Con una luz de $1\,280$ m y una flecha de $143$ m, el cable sigue $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ desde el centro. ¿A qué altura sobre su punto más bajo está el cable en $x = 320$ m?

**Parte IV — Rectas, tangentes y la última sorpresa.**

16. Completa el [Ejercicio 10.11](#exo-g11-quad-11) : las rectas $y = mx - 1$ que pasan por el punto exterior $(0, -1)$ cortan a $y = x^2$ según el signo de un [discriminante](#def-g11-quad-discriminant) . Halla las dos rectas tangentes desde $(0, -1)$ y sus puntos de contacto.
17. Ahora las rectas $y = mx + 1$ que pasan por el punto *interior* $(0, 1)$ : calcula el [discriminante](#def-g11-quad-discriminant) de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de los cortes y demuestra que todas esas rectas cortan dos veces a la [parábola](#def-g11-quad-parabola) . Moraleja: desde dentro no hay tangentes, igual que en una circunferencia.
18. La cuerda focal: corta $y = x^2$ con la recta horizontal que pasa por el [foco](#pb-g11-quad-1) , $y = \frac14$ . ¿Cuánto mide la cuerda? Comprueba la regla general (que conviene recordar para las antenas): para $y = \frac{x^2}{4f}$ , la cuerda que pasa por el [foco](#pb-g11-quad-1) paralela a la [directriz](#pb-g11-quad-1) mide $4f$ .
19. La última sorpresa: aplica el aumento $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ a la [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ y demuestra que la [imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) es exactamente $y = \frac{x^2}{k}$ . Concluye: toda [parábola](#def-g11-quad-parabola) $y = \frac{x^2}{4f}$ es una ampliación de la [parábola](#def-g11-quad-parabola) unidad; a diferencia de las circunferencias y de las elipses de proporciones distintas, *todas las [parábolas](#def-g11-quad-parabola) son semejantes* .
20. Final: el retrato de la [parábola](#def-g11-quad-parabola) en cinco líneas: una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) con tres disfraces (pregunta 2), un lugar geométrico (preguntas 7 y 8), el reflector del ingeniero (preguntas 9 y 10), la trayectoria de un proyectil y el cable de un puente (preguntas 11 a 15) y una única curva salvo aumento (pregunta 19). Una frase para cada una.

**Solución de Problema 10.1.**

**1.** $x^2 - 5x + 6$: $\Delta = 1$, raíces $2$ y $3$. $2x^2 + x - 6$: $\Delta = 1 + 48 = 49$, raíces $\frac{-1 \pm 7}{4}$: $\frac32$ y $-2$. $x^2 + x + 1$: $\Delta = -3 < 0$: sin solución real.

**2.** $\Delta = 16 + 48 = 64$: raíces $3$ y $-1$, luego $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$; [forma canónica](#thm-g11-quad-canonical) $2(x - 1)^2 - 8$. La forma factorizada enseña las raíces; la canónica, el vértice $(1, -8)$; y la desarrollada, el corte $-6$ con el eje $y$.

**3.** Raíces $1$ y $3$, coeficiente principal negativo: el trinomio es $\geq 0$ *entre* las raíces: $x \in \intcc{1}{3}$.

**4.** Los números son las raíces de $x^2 - 7x + 12 = 0$: $3$ y $4$. Si $2$ es [raíz](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 5x + c$, la otra [raíz](#def-g11-quad-discriminant) $r$ cumple $2 + r = 5$ (la suma), luego $r = 3$, y $c = 2 \times 3 = 6$ (el producto): Viète lo lee de un vistazo.

**5.** $\Delta = m^2 - 36$: [raíz](#def-g11-quad-discriminant) doble para $m = \pm 6$ (la [raíz](#def-g11-quad-discriminant) es $\mp 3$); ninguna [raíz](#def-g11-quad-discriminant) para $-6 < m < 6$; dos raíces para $\abs m > 6$.

**6.** $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2
= x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= \left(x^2 + \frac14\right)^2$. Por tanto, $PF = x^2 + \frac14$ (los dos factores son positivos).

**7.** La distancia de $P(x, x^2)$ a la recta horizontal $y = -\frac14$ es $x^2 + \frac14$, exactamente $PF$. Todo punto de la [parábola](#def-g11-quad-parabola) equidista del [foco](#pb-g11-quad-1) y de la [directriz](#pb-g11-quad-1).

**8.** $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ y $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$. La igualdad da $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$, luego $x^2 = y$: el lugar geométrico es exactamente la [parábola](#def-g11-quad-parabola). Un punto y una recta generan la curva, igual que un punto y una distancia generaban la circunferencia.

**9.** Para $y = \frac{x^2}{4f}$, el mismo desarrollo con $F(0, f)$ da $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2
= \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$: la distancia a $F$ es igual a la distancia a $y = -f$. Antena: $9 = \frac{30^2}{4f}$ da $4f = 100$, $f = 25$ cm: el receptor cuelga a un cuarto de metro sobre el vértice, es decir, fuera del casquete de $9$ cm, como se ve en las antenas reales.

**10.** Un frente de onda que llega paralelo al eje ha [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) distancias iguales para alcanzar el nivel de la [directriz](#pb-g11-quad-1); la equidistancia convierte “igual distancia a la [directriz](#pb-g11-quad-1)” en “igual distancia a $F$”: todas las señales reflejadas llegan a $F$ *a la vez* y se refuerzan; ahí es donde hay que escuchar. La demostración honrada necesita la [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) de la tangente en cada punto, o sea, la derivada del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#ch-g11-deriv), ya entrevista en el [Ejercicio 10.11](#exo-g11-quad-11).

**11.** $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$: cae en $x = 20$ m. El vértice está a mitad de camino: $x = 10$, con altura $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

**12.** $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: supera el muro de $3$ m con margen y se estrella contra uno de $4$ m.

**13.** $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$: el camión pasa a $10$ m del centro. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: a $15$ m, no.

**14.** $R(p) = -2p^2 + 120p$: vértice en $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, con ingresos $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

**15.** $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2
= \frac{143}{4} \approx 36$ m por encima del punto más bajo.

**16.** $x^2 = mx - 1$ da $x^2 - mx + 1 = 0$ y $\Delta = m^2 - 4$: dos puntos para $\abs m > 2$, ninguno para $\abs m < 2$ y tangencia para $m = \pm 2$, con contacto en $x = \frac m2 = \pm 1$: las tangentes son $y = 2x - 1$ en $(1, 1)$ e $y = -2x - 1$ en $(-1, 1)$.

**17.** $x^2 = mx + 1$ da $\Delta = m^2 + 4 > 0$ para todo $m$: siempre hay dos cortes. Desde un punto interior, toda recta atraviesa dos veces la curva; las tangentes se trazan solo desde fuera, exactamente como en las circunferencias.

**18.** $y = \frac14$ corta a $y = x^2$ en $x = \pm\frac12$: la cuerda mide $1$. Para $y = \frac{x^2}{4f}$: $y = f$ da $x^2 = 4f^2$, $x = \pm 2f$: longitud $4f$; la anchura focal es cuatro veces la distancia focal (los diseñadores de antenas la llaman lado recto).

**19.** Un punto de $y = x^2$ es $(a, a^2)$; su [imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) es $(X, Y) = (ka, ka^2)$, y $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$: la curva [imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) es exactamente $y = \frac{x^2}{k}$. Eligiendo $k = 4f$ se alcanza cualquier [parábola](#def-g11-quad-parabola): todas son ampliaciones de una misma curva maestra. (Las circunferencias también son todas semejantes entre sí; las elipses, no: el achatamiento importa, el aumento no.)

**20.** Una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) con tres disfraces legibles; el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto y de una recta; el reflector que reúne los rayos paralelos en su [foco](#pb-g11-quad-1) y el cable que sostiene un tablero uniforme; la trayectoria de cualquier pelota lanzada; y, salvo ampliación, una sola curva: una [parábola](#def-g11-quad-parabola), en todas partes.