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title: "Funciones y variación"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion
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# Capítulo 11 — Funciones y variación

Este capítulo organiza lo que hay que saber sobre funciones antes de entrar en el cálculo: la pequeña familia de *[funciones de referencia](#def-g11-func-reference)* cuyas [gráficas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) hay que saberse de memoria, el significado preciso de *[creciente](#def-g11-func-monotone)* y *[decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations)*, y cómo se comporta la variación al combinar funciones.

## 11.1 Funciones y curvas

**Definición 11.1 (Función, dominio, curva).**

Una *función* $f$ asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subseteq \R$ (su *dominio*) exactamente un número $f(x)$. Su *curva* (o [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph)) es el conjunto de los puntos $\bigl(x, f(x)\bigr)$ con $x \in D$.

**Ejemplo 11.2.**

La fórmula $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ exige $x + 2 \geq 0$ (por la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada) y $x \neq 1$ (denominador no nulo): el [dominio](#def-g11-func-function) es $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$.

## 11.2 Las funciones de referencia

Las cinco funciones siguientes y sus curvas tienen que convertirse en un reflejo.

**Definición 11.3 (Funciones de referencia).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (cuadrado)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (cubo)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

Sus [dominios](#def-g11-func-function) son, respectivamente, $\R$, $\R$, $\intco{0}{+\infty}$, $\R \setminus \{0\}$ y $\R$. La curva de $x \mapsto \frac1x$ es una *hipérbola*.

![Las cinco curvas de referencia: la parábola x2 y el cubo x3 (izquierda); √ x, x y la hipérbola 1x (derecha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![Las cinco curvas de referencia: la parábola x2 y el cubo x3 (izquierda); √ x, x y la hipérbola 1x (derecha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*Las cinco curvas de referencia: la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $x^2$ y el cubo $x^3$ (izquierda); $\sqrt x$, $\abs x$ y la [hipérbola](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (derecha).*

## 11.3 Variación en un intervalo

**Definición 11.4 (Creciente, decreciente).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$. La [función](#def-g11-func-function) $f$ es *creciente* en $I$ si conserva el orden:

$$
\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

y *[decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations)* si lo invierte ($u < v \implies f(u) \geq f(v)$). Con desigualdades estrictas a la derecha, $f$ es *estrictamente* creciente (resp. [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations)). Una [función](#def-g11-func-function) creciente o [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $I$ se dice *monótona* en $I$.

**Método 11.5 (Demostrar una variación a partir de la definición).**

Toma dos números cualesquiera $u < v$ del [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) y determina el signo de la diferencia $f(v) - f(u)$, normalmente *factorizándola*. Si el signo es constante en el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval), concluye.

**Proposición 11.6 (Variación de las funciones de referencia).**

1. $x^2$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{0}{+\infty}$ .
2. $x^3$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\R$ .
3. $\sqrt x$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{0}{+\infty}$ .
4. $\frac1x$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{0}{+\infty}$ (pero *no* en su [unión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) ).
5. $\abs x$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{0}{+\infty}$ .

**Demostración.** Sea $u < v$. Factorizamos $f(v) - f(u)$ en cada caso.

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. En $\intco{0}{+\infty}$: $v - u > 0$ y $v + u > 0$ (porque $v > u \geq 0$), luego $v^2 > u^2$. En $\intoc{-\infty}{0}$: $v + u < 0$, luego $v^2 < u^2$.

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$, y el segundo factor vale $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ salvo si $u = v = 0$. Por tanto, $v^3 > u^3$ siempre que $v > u$.

*3.* Para $0 \leq u < v$: $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$.

*4.* Para $0 < u < v$: $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$, porque $u - v < 0$ y $uv > 0$; el mismo cálculo vale para $u < v < 0$. En la [unión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) la afirmación falla: $-1 < 1$, pero $\frac{1}{-1} = -1 < 1 =
\frac11$.

*5.* En $\intco{0}{+\infty}$, $\abs x = x$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone); en $\intoc{-\infty}{0}$, $\abs x = -x$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations). ∎

**Observación 11.7.**

El punto 4 es una trampa clásica: “[decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{0}{+\infty}$” *no* es lo mismo que “[decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\R \setminus \{0\}$”. La variación solo tiene sentido en [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval).

**Ejemplo 11.8 (Comparar sin calcular).**

Como $\sqrt x$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone), $\sqrt{7} < \sqrt{8}$; como $x^2$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$, $(-3)^2 > (-2)^2$. La monotonía convierte las comparaciones de imágenes en comparaciones de argumentos.

## 11.4 Funciones nuevas a partir de otras

**Proposición 11.9 (Transformaciones).**

Sea $u$ una [función](#def-g11-func-function) definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ y sea $k \in \R$.

1. $u + k$ tiene la *misma* variación que $u$ en $I$ ; su curva es la de $u$ desplazada verticalmente en $k$ .
2. Para $\lambda > 0$ , $\lambda u$ tiene la misma variación que $u$ ; para $\lambda < 0$ , la variación se invierte.
3. Si $u \geq 0$ en $I$ , entonces $\sqrt u$ tiene la misma variación que $u$ .
4. Si $u \neq 0$ y $u$ tiene signo constante en $I$ , entonces $\frac1u$ tiene la variación *contraria* a la de $u$ .

**Demostración.** Sean $x_1 < x_2$ en $I$ y escribamos $s = u(x_1)$, $t = u(x_2)$ para sus imágenes.

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$: la diferencia de imágenes no cambia, luego tampoco su signo.

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$: el signo se conserva si $\lambda > 0$ y se invierte si $\lambda < 0$.

*3.* Si $u$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) y $x_1 < x_2$, entonces $0 \leq s \leq t$, y como la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada es [creciente](#def-g11-func-monotone) ([Proposición 11.6](#prop-g11-func-refvariations)) se obtiene $\sqrt s \leq \sqrt t$. El mismo argumento vale en el caso [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations).

*4.* Si $u$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) y $0 < s \leq t$ (o $s \leq t < 0$), entonces $\frac1s \geq \frac1t$, porque $x \mapsto \frac1x$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) a cada lado de $0$: el orden se invierte. ∎

**Ejemplo 11.10.**

Estudiemos $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en $\R$. La [función](#def-g11-func-function) interior $u(x) = x^2 + 1$ es positiva, [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$ y [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{0}{+\infty}$ (un cuadrado desplazado). Por el punto 3, $f$ tiene la misma variación: [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y después [creciente](#def-g11-func-monotone), con [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 1$.

![Las transformaciones en acción: desplazar x2 una unidad hacia arriba (en rojo) conserva su variación; tomar la raíz cuadrada (en naranja) la conserva de nuevo, como en el .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*Las transformaciones en acción: desplazar $x^2$ una unidad hacia arriba (en rojo) conserva su variación; tomar la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada (en naranja) la conserva de nuevo, como en el [Ejemplo 11.10](#ex-g11-func-composite).*

## 11.5 Funciones pares e impares

**Definición 11.11 (Paridad).**

Sea $f$ definida en un [dominio](#def-g11-func-function) $D$ simétrico respecto de $0$ (es decir, $-x \in D$ siempre que $x \in D$). La [función](#def-g11-func-function) $f$ es *par* si $f(-x) = f(x)$ para todo $x \in D$, e *impar* si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x \in D$.

**Proposición 11.12 (Significado geométrico).**

La curva de una [función par](#def-g11-func-parity) es simétrica respecto del eje $y$; la curva de una [función impar](#def-g11-func-parity) es simétrica respecto del origen.

**Demostración.** Si $f$ es [par](#def-g11-func-parity) y $(x, y)$ está en la curva (o sea, $y = f(x)$), entonces $f(-x) = f(x) = y$: el punto simétrico $(-x, y)$ también está en la curva. Si $f$ es [impar](#def-g11-func-parity), $f(-x) = -y$: el punto $(-x, -y)$, simétrico de $(x,y)$ respecto del origen, está en la curva. ∎

**Ejemplo 11.13.**

$x^2$ y $\abs x$ son [pares](#def-g11-func-parity); $x^3$ y $\frac1x$ son [impares](#def-g11-func-parity); $f(x) = x^2 + x$ no es ni lo uno ni lo otro: $f(-1) = 0$ mientras que $f(1) = 2$, luego $f(-1) \neq \pm f(1)$. La paridad reduce el trabajo a la mitad: una [función par](#def-g11-func-parity) o [impar](#def-g11-func-parity) solo hay que estudiarla en $\intco{0}{+\infty}$.

## 11.6 Ejercicios

**Ejercicio 11.1 ★.**

Da el [dominio](#def-g11-func-function) de cada [función](#def-g11-func-function):

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**Solución de Ejercicio 11.1.**

$f$: hace falta $3 - x \geq 0$, [dominio](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$.

$g$: hace falta $x^2 - 4 \neq 0$, es decir, $x \neq \pm 2$: [dominio](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$.

$h$: hacen falta $x \geq 0$ y $x \neq 5$: [dominio](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$.

**Ejercicio 11.2 ★.**

Usando la variación de las [funciones de referencia](#def-g11-func-reference), compara sin calculadora:

$$
\sqrt{11} \text{ y } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ y } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ y } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ y } (-0.99)^3 .
$$

**Solución de Ejercicio 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$, porque la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada es [creciente](#def-g11-func-monotone) y $11 < 13$.

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$, porque $x^2$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$ y $-2.1 < -2.05$.

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$, porque $\frac1x$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{0}{+\infty}$ y $0.9 < 1.1$.

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$, porque $x^3$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) y $-1.01 < -0.99$.

**Ejercicio 11.3 ★.**

Determina si cada [función](#def-g11-func-function) es [par](#def-g11-func-parity), [impar](#def-g11-func-parity) o ninguna de las dos cosas:

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**Solución de Ejercicio 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$: [par](#def-g11-func-parity).

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$: [impar](#def-g11-func-parity).

$h(1) = 2$ y $h(-1) = 1 - 1 = 0$, así que $h(-1)$ no es ni $h(1)$ ni $-h(1)$: ni [par](#def-g11-func-parity) ni [impar](#def-g11-func-parity).

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$: [impar](#def-g11-func-parity).

**Ejercicio 11.4 ★.**

Una [función](#def-g11-func-function) $f$ tiene el siguiente comportamiento: crece en $\intcc{-3}{1}$ desde $f(-3) = -2$ hasta $f(1) = 4$ y decrece después en $\intcc{1}{5}$ hasta $f(5) = 0$. ¿Cuántas soluciones tiene la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ en $\intcc{-3}{5}$? ¿Y $f(x) = 5$?

**Solución de Ejercicio 11.4.**

Leemos la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table). En $\intcc{-3}{1}$, $f$ sube de $-2$ a $4$ y cruza el valor $1$ exactamente una vez; en $\intcc{1}{5}$ baja de $4$ a $0$ y cruza $1$ otra vez: la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ tiene $2$ soluciones. El [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) de $f$ es $f(1) = 4 < 5$, así que $f(x) = 5$ no tiene solución.

**Ejercicio 11.5 ★★.**

Usando el [Método 11.5](#met-g11-func-variation) (el signo de $f(v) - f(u)$), demuestra que $f(x) = x^2 - 4x$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{2}{+\infty}$.

**Solución de Ejercicio 11.5.**

Sea $2 \leq u < v$. Entonces

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

Los dos factores son positivos: $v - u > 0$ y $u + v > 2 + 2 = 4$, porque $u \geq 2$ y $v > 2$. Por tanto, $f(v) > f(u)$: $f$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{2}{+\infty}$.

**Ejercicio 11.6 ★★.**

Sin calcular ninguna derivada, da la variación de

$$
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ en } \intoc{-\infty}{5},
\quad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ en } \intco{0}{+\infty},
\quad
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ en } \intco{0}{+\infty}.
$$

**Solución de Ejercicio 11.6.**

$f = \sqrt{u}$ con $u(x) = 5 - x$ [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y no negativa en $\intoc{-\infty}{5}$: $f$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) ahí ([Proposición 11.9](#prop-g11-func-transforms)).

$g = \frac1u$ con $u(x) = x^2 + 1$ [creciente](#def-g11-func-monotone) y positiva en $\intco{0}{+\infty}$: $g$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) ahí.

$h = 3 - 2\sqrt x$: $\sqrt x$ es [creciente](#def-g11-func-monotone), multiplicar por $-2 < 0$ invierte y sumar $3$ no cambia nada: $h$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intco{0}{+\infty}$.

**Ejercicio 11.7 ★★.**

Sea $f(x) = (x-2)^2 - 3$ en $\R$.

1. Da la variación de $f$ y su [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) .
2. Deduce la variación de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ y su [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) . (Observa que $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

**Solución de Ejercicio 11.7.**

*1.* $f$ ya está en [forma canónica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#thm-g11-quad-canonical): [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{2}$, [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{2}{+\infty}$, con [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $f(2) = -3$.

*2.* $g = \frac{1}{u}$ con $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$. Sumar $4$ conserva la variación de $f$, y $u \geq 1 > 0$. Tomar el inverso la invierte: $g$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intoc{-\infty}{2}$ y [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intco{2}{+\infty}$, con [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $g(2) = \frac{1}{1} = 1$.

**Ejercicio 11.8 ★★.**

La curva de una [función](#def-g11-func-function) $f$ pasa por los puntos $(0, 1)$, $(2, 3)$ y $(4, 1)$, y $f$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intcc{0}{2}$ y [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intcc{2}{4}$. Esboza una curva posible y esboza después las curvas de $f + 2$, de $-f$ y de $2f$.

**Solución de Ejercicio 11.8.**

Sirve cualquier curva en forma de colina que pase por los tres puntos. Entonces: $f + 2$ pasa por $(0,3)$, $(2,5)$, $(4,3)$, con la misma variación (desplazamiento vertical); $-f$ pasa por $(0,-1)$, $(2,-3)$, $(4,-1)$ con la variación *invertida* (la cima se vuelve valle); y $2f$ pasa por $(0,2)$, $(2,6)$, $(4,2)$, con la misma variación, pero amplificada verticalmente.

**Ejercicio 11.9 ★★.**

Demuestra que la [función](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ se puede escribir $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ y deduce su variación en $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solución de Ejercicio 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$. En $\intoo{-1}{+\infty}$, $u(x) = x + 1$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) y positiva, luego $\frac1u$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations), $-\frac1u$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) y sumar $2$ no cambia nada: $f$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Ejercicio 11.10 ★★.**

¿Verdadero o falso? (Justifícalo o da un contraejemplo.)

1. La suma de dos funciones [crecientes](#def-g11-func-monotone) en $I$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $I$ .
2. El producto de dos funciones [crecientes](#def-g11-func-monotone) en $I$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $I$ .
3. Si $f$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $I$ , entonces $f^2$ ( $= f \times f$ ) es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $I$ .

**Solución de Ejercicio 11.10.**

*1. Verdadero.* Si $u < v$, entonces $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ es suma de dos números no negativos.

*2. Falso.* $f(x) = g(x) = x$ son [crecientes](#def-g11-func-monotone) en $\R$, pero su producto $x^2$ no es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\R$ (decrece en $\intoc{-\infty}{0}$). (El enunciado sí es cierto si además las dos funciones son no negativas.)

*3. Falso.* El mismo contraejemplo: $f(x) = x$ es [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\R$, pero $f^2(x) = x^2$ no lo es.

**Ejercicio 11.11 ★★★.**

Sea $f(x) = x + \frac{1}{x}$ para $x > 0$.

1. Demuestra que para $0 < u < v$ se cumple $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
2. Deduce que $f$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{0}{1}$ y estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{1}{+\infty}$ .
3. Concluye que $x + \frac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , con igualdad solo en $x = 1$ .

**Solución de Ejercicio 11.11.**

*1.* Para $0 < u < v$:

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* Siempre $v - u > 0$ y $uv > 0$. Si $0 < u < v \leq 1$, entonces $uv < 1$, luego $uv - 1 < 0$ y $f(v) < f(u)$: $f$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{0}{1}$. Si $1 \leq u < v$, entonces $uv > 1$ y $f(v) > f(u)$: $f$ es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{1}{+\infty}$.

*3.* $f$ decrece antes de $1$ y crece después, así que $f(x) \geq f(1) = 2$ para todo $x > 0$, con igualdad exactamente en $x = 1$. (Esta desigualdad reaparece con muchos disfraces; compara con el [Ejemplo 10.3](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ex-g11-quad-canonical) y con las desigualdades de la recta tangente del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#ch-g12-deriv).)

## 11.7 Problema: La fábrica de simetrías

**Problema 11.1.**

Problema de fin de semana — toda función es una parte par más una parte impar: reglas de paridad, el juego de las transformaciones y mínimos ganados sin cálculo diferencial

Algunas funciones son simétricas como en un espejo, otras lo son respecto de un medio giro y la mayoría no son ni una cosa ni otra; y sin embargo un pequeño milagro algebraico afirma que *toda* [función](#def-g11-func-function) es, de una única manera, la suma de una pieza simétrica de espejo y una pieza simétrica de medio giro. Este problema demuestra el milagro, juega al juego de las transformaciones sobre las curvas de referencia ([Proposición 11.9](#prop-g11-func-transforms)) y cierra con la técnica de [factorizar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand) diferencias del [Ejercicio 11.11](#exo-g11-func-11), que gana problemas de minimización un capítulo entero antes de que llegue la derivada.

**Parte I — Soltura con la paridad.**

1. ¿ [Par](#def-g11-func-parity) , [impar](#def-g11-func-parity) o ninguna de las dos cosas ( [Definición 11.11](#def-g11-func-parity) )? Justifica cada caso: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
2. Enuncia el significado geométrico de cada veredicto ( [Proposición 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ): ¿qué simetría tiene la curva de una [función par](#def-g11-func-parity) ? ¿Y la de una [impar](#def-g11-func-parity) ?
3. La paridad se multiplica como los signos: demuestra que el producto de dos funciones [impares](#def-g11-func-parity) es [par](#def-g11-func-parity) y completa la tabla de multiplicar entera ( [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [par](#def-g11-func-parity) , [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [impar](#def-g11-func-parity) , [impar](#def-g11-func-parity) $\times$ [impar](#def-g11-func-parity) ).
4. Consecuencias rápidas: si $f$ es [impar](#def-g11-func-parity) y está definida en $0$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ? Si $f$ es [par](#def-g11-func-parity) y $f(3) = 7$ , ¿cuánto vale $f(-3)$ ? Y demuestra que la única [función](#def-g11-func-function) a la vez [par](#def-g11-func-parity) e [impar](#def-g11-func-parity) es la [función](#def-g11-func-function) nula.
5. ¿Qué parte de la curva de una [función par](#def-g11-func-parity) determina toda la curva? Da una [función](#def-g11-func-function) que no sea ni [par](#def-g11-func-parity) ni [impar](#def-g11-func-parity) y explica qué falla.

**Parte II — El teorema de descomposición.** Para una [función](#def-g11-func-function) $f$ definida en un [dominio](#def-g11-func-function) simétrico respecto de $0$, tomemos

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. Calcula $E$ y $O$ para $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ y comprueba que $E$ es [par](#def-g11-func-parity) , $O$ es [impar](#def-g11-func-parity) y $E + O = f$ .
7. Demuestra el enunciado general: para cualquier $f$ , la [función](#def-g11-func-function) $E$ es [par](#def-g11-func-parity) , $O$ es [impar](#def-g11-func-parity) y $f = E + O$ ; *toda [función](#def-g11-func-function) se descompone en una parte [par](#def-g11-func-parity) y una parte [impar](#def-g11-func-parity)* .
8. Demuestra que la descomposición es única: si $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ con $E_i$ [par](#def-g11-func-parity) y $O_i$ [impar](#def-g11-func-parity) , usa la pregunta 4 sobre $E_1 - E_2$ .
9. Descompón $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (para $x \neq \pm 1$ ): reduce $E$ y $O$ al denominador común $1 - x^2$ y simplifica.
10. Un vistazo al futuro, una frase para cada cosa: las partes [par](#def-g11-func-parity) e [impar](#def-g11-func-parity) de la [función](#def-g11-func-function) exponencial serán las funciones gemelas del año que viene (coseno y seno hiperbólicos); y ese mismo instinto, partir un objeto en piezas simétricas y tratar cada una con su propia simetría, mueve el análisis del sonido y de las señales de los volúmenes universitarios. ¿Por qué es *útil* , en general, una descomposición así?

**Parte III — El juego de las transformaciones.**

11. Partiendo de la curva de $x \mapsto x^2$ , describe con precisión las curvas de $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ ( [Proposición 11.9](#prop-g11-func-transforms) ).
12. Reduce $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ a una fórmula a trozos en los tres [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) que determinan $-2$ y $2$ , y describe su curva (tiene un famoso fondo plano).
13. ¿Qué transformaciones respetan la paridad? Decide, con demostración o contraejemplo: el desplazamiento horizontal $f(x - 3)$ ; el desplazamiento vertical $f(x) + 2$ ; la dilatación vertical $2 f(x)$ (todos aplicados a una $f$ [par](#def-g11-func-parity) ).
14. Resuelve $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ usando la fórmula a trozos de la pregunta 12.
15. Ingeniería inversa: una [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) tiene vértice $(2, -3)$ y pasa por $(0, 1)$ . Reconstruye su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) en [forma canónica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#thm-g11-quad-canonical) .

**Parte IV — [Mínimos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) sin cálculo diferencial.**

16. Repite el [Ejercicio 11.11](#exo-g11-func-11) para $g(x) = x + \dfrac4x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ : demuestra que $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , localiza el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) y da su valor.
17. Aplícalo: de entre todos los rectángulos de área $16$ , ¿cuál tiene el menor perímetro? (Escribe $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ y usa la máquina de la pregunta 16.) Concluye un viejo conocido.
18. Determina la variación de $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en todo $\R$ , combinando un argumento de composición en $\intco{0}{+\infty}$ con un argumento de paridad para el resto.
19. El punto más cercano: halla el punto de la curva $y = \sqrt x$ más próximo a $(3, 0)$ . (Minimiza la distancia *al cuadrado* , que es un polinomio de segundo grado en $x$ , y explica por qué es legítimo minimizar el cuadrado.)
20. Final, la visita a la fábrica: las curvas de referencia son la materia prima; las transformaciones, las máquinas; la paridad y la descomposición, el control de calidad; la factorización de diferencias, el banco de medida. Una frase para cada una, y nombra la herramienta eléctrica que entrega el capítulo siguiente.

**Solución de Problema 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$: [par](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$). $x^3 - x$: [impar](#def-g11-func-parity). $x^2 + x$: ninguna de las dos ($f(-1) = 0 \neq
f(1) = 2$ y tampoco $= -f(1)$). $\abs x$: [par](#def-g11-func-parity). $\frac1x$: [impar](#def-g11-func-parity).

**2.** [Par](#def-g11-func-parity): la curva es simétrica respecto del eje $y$ (espejo). [Impar](#def-g11-func-parity): simétrica respecto del origen (medio giro).

**3.** Si $f$ y $g$ son [impares](#def-g11-func-parity): $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$: [par](#def-g11-func-parity). Tabla: [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [par](#def-g11-func-parity) $=$ [par](#def-g11-func-parity); [par](#def-g11-func-parity) $\times$ [impar](#def-g11-func-parity) $=$ [impar](#def-g11-func-parity); [impar](#def-g11-func-parity) $\times$ [impar](#def-g11-func-parity) $=$ [par](#def-g11-func-parity); la regla de los signos, con paridades.

**4.** [Impar](#def-g11-func-parity) en $0$: $f(0) = -f(0)$, luego $f(0) = 0$. [Par](#def-g11-func-parity): $f(-3) = f(3) = 7$. [Par](#def-g11-func-parity) e [impar](#def-g11-func-parity) a la vez: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ para todo $x$, luego $2f(x) = 0$: $f$ es la [función](#def-g11-func-function) nula.

**5.** La mitad derecha ($x \geq 0$) determina por completo una [función par](#def-g11-func-parity): la mitad izquierda es su reflejo. Ni [par](#def-g11-func-parity) ni [impar](#def-g11-func-parity): $x^2 + x$ (pregunta 1); sus dos simetrías fallan en $x = 1$.

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} =
x^2 + 1$ ([par](#def-g11-func-parity)) y $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} =
x^3$ ([impar](#def-g11-func-parity)); su suma es $f$.

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$: [par](#def-g11-func-parity). $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$: [impar](#def-g11-func-parity). Y $E(x) + O(x) = f(x)$ sin más que sumar: toda [función](#def-g11-func-function) se descompone.

**8.** De $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ se sigue $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$. El primer miembro es [par](#def-g11-func-parity) y el segundo, [impar](#def-g11-func-parity), así que esa [función](#def-g11-func-function) es las dos cosas y, por tanto, nula (pregunta 4): $E_1 = E_2$ y $O_1 = O_2$. Solo hay una descomposición.

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 +
x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{1}{1 - x^2}$, y $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{x}{1 - x^2}$. Comprobación: $E$ es [par](#def-g11-func-parity), $O$ es [impar](#def-g11-func-parity) y su suma es $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} =
f(x)$.

**10.** Porque cada pieza obedece una simetría, y entonces basta con la mitad del trabajo (y con la mitad de los datos) para cada una: resolver en un lado y reflejar hacia el otro; además, muchas operaciones (la integración, las series, el análisis de señales) tratan las piezas simétricas mucho más fácilmente que las funciones en bruto.

**11.** $(x-3)^2$: desplazada $3$ a la derecha. $x^2 + 2$: desplazada $2$ hacia arriba. $(x-3)^2 + 2$: las dos cosas. $-x^2$: dada la vuelta. $2x^2$: dilatada verticalmente por $2$ (cuenco más estrecho).

**12.** Para $x \geq 2$: $(x - 2) + (x + 2) = 2x$. Para $-2 \leq x \leq 2$: $(2 - x) + (x + 2) = 4$. Para $x \leq -2$: $-2x$. La curva baja con [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-2$, corre plana a la altura $4$ entre $-2$ y $2$ y sube después con [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$: un valle de fondo plano.

**13.** Desplazamiento vertical: $f(x) + 2$ sigue siendo [par](#def-g11-func-parity) ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$). Dilatación vertical: $2f(x)$ sigue siendo [par](#def-g11-func-parity). Desplazamiento horizontal: $(x - 3)^2$ no es [par](#def-g11-func-parity) ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$): correrse de lado destruye el espejo.

**14.** En el fondo plano el valor es $4 \neq 6$. Para $x \geq 2$: $2x = 6$, $x = 3$. Para $x \leq -2$: $-2x = 6$, $x = -3$. Soluciones: $\pm 3$.

**15.** $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ con $f(0) = 4a - 3 = 1$: $a = 1$, luego $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$: negativo para $u < v$ con $uv < 4$ y positivo con $uv > 4$; [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{0}{2}$ y [creciente](#def-g11-func-monotone) en $\intco{2}{+\infty}$; [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) en $x = 2$, de valor $g(2) = 4$.

**17.** Lados $x$ y $\frac{16}{x}$: $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$, [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) (con la máquina de la pregunta 16, cambiando $4$ por $16$, con punto de giro $\sqrt{16} = 4$) en $x = 4$: el *cuadrado* de $4 \times 4$, de perímetro $16$; la respuesta de Dido, ahora demostrada para cualquier longitud real de lado.

**18.** En $\intco{0}{+\infty}$: $x \mapsto x^2 + 1$ crece y la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada crece, así que la composición crece. Y $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$: $h$ es [par](#def-g11-func-parity), así que por simetría de espejo decrece en $\intoc{-\infty}{0}$. [Mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$.

**19.** Distancia al cuadrado de $(x, \sqrt x)$ a $(3, 0)$: $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$, mínima en $x = \frac52$: el punto más cercano es $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$, a distancia $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Minimizar $d^2$ es legítimo porque elevar al cuadrado es estrictamente [creciente](#def-g11-func-monotone) sobre los números positivos: $d$ y $d^2$ alcanzan su [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) en el mismo sitio.

**20.** Materia prima: las curvas de referencia, sabidas de memoria. Máquinas: desplazamientos, simetrías y dilataciones que montan [gráficas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) nuevas a partir de las viejas. Control de calidad: la paridad y la descomposición par–impar, que reducen a la mitad cualquier estudio. Banco de medida: la factorización de $f(v) - f(u)$, que lee directamente la variación y los [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema). Y la herramienta eléctrica del capítulo siguiente: la *derivada*, que los lee de un vistazo.