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title: "Derivación: un primer curso"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso
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# Capítulo 12 — Derivación: un primer curso

¿Con qué rapidez cambia una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function)? La respuesta en un punto concreto es la *[derivada](#def-g11-deriv-derivative)*, el número más útil de todas las matemáticas aplicadas. Este capítulo la construye a partir de las [tasas de variación medias](#def-g11-deriv-rate), la calcula para las [funciones de referencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-reference) y usa su signo para leer la variación de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function). Todo esto se amplía y se profundiza en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#ch-g12-deriv).

## 12.1 La tasa de variación media

**Definición 12.1 (Tasa de variación media).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ y sean $a \neq b$ en $I$. La *tasa de variación media* de $f$ entre $a$ y $b$ es

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

Es la [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) de la recta *secante* que pasa por los puntos $\bigl(a, f(a)\bigr)$ y $\bigl(b, f(b)\bigr)$ de la curva.

**Ejemplo 12.2.**

Un coche recorre $140$ km entre las 2 y las 4 de la tarde: su velocidad [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-mean) es $\frac{140}{2} = 70$ km/h. El velocímetro, en cambio, muestra una velocidad *instantánea* en cada momento; esa es exactamente la noción que la [derivada](#def-g11-deriv-derivative) hace precisa.

## 12.2 La derivada en un punto

**Definición 12.3 (Derivada en un punto).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) que contiene a $a$. Para $h \neq 0$, formamos la [tasa de variación media](#def-g11-deriv-rate) entre $a$ y $a + h$:

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

Si $r(h)$ se acerca a un único número fijo cuando $h$ se aproxima arbitrariamente a $0$, decimos que $f$ es *derivable en $a$*; ese número es la *derivada de $f$ en $a$*, que se escribe $f'(a)$:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**Ejemplo 12.4.**

Sea $f(x) = x^2$ y $a = 1$. Para $h \neq 0$:

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

Cuando $h$ se acerca a $0$, esto se acerca a $2$: la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $x^2$ es [derivable](#def-g11-deriv-derivative) en $1$ y $f'(1) = 2$. Fíjate en la estrategia: *simplificar el cociente hasta que $h$ deje de aparecer en un denominador* y hacer después $h \to 0$.

**Ejemplo 12.5 (Un punto sin derivada).**

Sea $f(x) = \abs{x}$ y $a = 0$. Entonces $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$, que vale $1$ para $h > 0$ y $-1$ para $h < 0$: no se acerca a ningún número único, así que $\abs x$ no es [derivable](#def-g11-deriv-derivative) en $0$. Su curva tiene ahí un *pico*.

## 12.3 La recta tangente

**Definición 12.6 (Tangente).**

Si $f$ es [derivable](#def-g11-deriv-derivative) en $a$, la *tangente* a la curva en el punto $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ es la recta que pasa por $A$ con [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$. Su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es la posición límite de las [secantes](#def-g11-deriv-rate) que pasan por $A$: cuando $h \to 0$, el segundo punto $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ se desliza por la curva hacia $A$ y la [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) de la [secante](#def-g11-deriv-rate), $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, se acerca a $f'(a)$.

![La secante que pasa por A y B = (a+h, f(a+h) ) tiene pendiente f(a+h)-f(a)/h. Cuando B se desliza hacia A, la secante se inclina hasta convertirse en la tangente, cuya pendiente es f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-9e6981e02204.svg)

*La [secante](#def-g11-deriv-rate) que pasa por $A$ y $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ tiene [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Cuando $B$ se desliza hacia $A$, la [secante](#def-g11-deriv-rate) se inclina hasta convertirse en la [tangente](#def-g11-deriv-tangent), cuya [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) es $f'(a)$.*

**Ejemplo 12.7.**

Para $f(x) = x^2$ en $a = 1$: $f(1) = 1$ y $f'(1) = 2$ ([Ejemplo 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint)), así que la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

Es la recta $d_2$ hallada por álgebra pura en el [Ejercicio 10.11](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#exo-g11-quad-11).

## 12.4 Derivadas de las funciones de referencia

**Proposición 12.8.**

En sus [dominios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de derivabilidad:

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

Más en general, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ para todo entero $n \geq 1$.

**Demostración.** Cada demostración sigue la estrategia del [Ejemplo 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint): simplificar la tasa y hacer después $h \to 0$. Fijemos $a$ en el [dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function).

*Constante e identidad.* $\frac{c - c}{h} = 0$ y $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ para todo $h$: los límites son $0$ y $1$.

*Cuadrado.* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$.

*Cubo.* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, así que la tasa es $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$.

*Inverso.* Para $a \neq 0$ y $h$ suficientemente pequeño para que $a + h \neq 0$:

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*[Raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada.* Para $a > 0$, multiplicamos por el conjugado:

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*Potencia general.* El patrón $2a$, $3a^2$ continúa: al [desarrollar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand) $(a+h)^n$, todos los términos posteriores a $a^n + n\,a^{n-1}h$ llevan $h^2$, así que la tasa tiende a $n\,a^{n-1}$. (En el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#ch-g12-deriv) se da una inducción completa.) ∎

## 12.5 Reglas de derivación

**Teorema 12.9 (Operaciones).**

Sean $u$ y $v$ [derivables](#def-g11-deriv-derivative) en $I$ y sea $\lambda \in \R$. Entonces $u + v$, $\lambda u$ y $uv$ son [derivables](#def-g11-deriv-derivative) en $I$, igual que $\frac{u}{v}$ allí donde $v \neq 0$, y

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Demostración de las tres primeras reglas.** Fijemos $a \in I$ y abreviemos $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ y $\Delta v = v(a+h) - v(a)$.

*Suma.* La tasa de $u + v$ es $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$.

*Múltiplo.* La tasa de $\lambda u$ es $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$.

*Producto.* Sumamos y restamos el término mixto $u(a+h)\,v(a)$:

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

Cuando $h \to 0$: $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$, $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ y $u(a+h) \to u(a)$ (su tasa tiene límite, luego $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$). Por tanto, la tasa tiende a $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$.

La regla del cociente se demuestra por el mismo camino; aquí se *admite a este nivel* y se demuestra en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#ch-g12-deriv). ∎

**Ejemplo 12.10.**

*Polinomio.* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$:

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*Cociente.* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$: con $u = 2x + 1$ y $v = x^2 + 1$,

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*Producto.* $k(x) = x\sqrt x$ para $x > 0$: $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$.

## 12.6 Signo de la derivada y variación

**Teorema 12.11 (Derivada y variación).**

Sea $f$ [derivable](#def-g11-deriv-derivative) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. Si $f' \geq 0$ en $I$ , entonces $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $I$ .
2. Si $f' \leq 0$ en $I$ , entonces $f$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $I$ .
3. Si $f' > 0$ en $I$ (salvo, quizá, en un número finito de puntos donde se anula), entonces $f$ es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $I$ .

**Demostración.** La intuición está clara (una curva cuyas [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) apuntan todas hacia arriba tiene que subir), pero una demostración rigurosa necesita el teorema del valor medio. El resultado se *admite a este nivel*; véase el [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#thm-g12-deriv-variations). ∎

**Proposición 12.12 (Extremos).**

Si $f'$ cambia de signo en $a$ de $+$ a $-$, entonces $f$ tiene un [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo en $a$; si cambia de $-$ a $+$, un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo. En un punto así, $f'(a) = 0$ y la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es horizontal.

**Demostración.** Si $f' \geq 0$ en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) que termina en $a$ y $f' \leq 0$ en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) que empieza en $a$, entonces $f$ crece hasta $f(a)$ y decrece después ([Teorema 12.11](#thm-g11-deriv-variations)): $f(a)$ es el mayor valor de los alrededores. Como $f'$ cambia de signo en $a$ y está definida allí, $f'(a) = 0$. ∎

**Método 12.13 (Estudiar una función).**

1. Calcula $f'(x)$ y simplifícala, a ser posible hasta una forma factorizada.
2. Determina el signo de $f'(x)$ en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) (si $f'$ es de segundo grado, usa el [Teorema 10.11](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#thm-g11-quad-sign) ).
3. Recoge los resultados en una *[tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table)* : una fila para el signo de $f'$ y otra de flechas para $f$ , con los valores de $f$ en los puntos donde cambia el sentido.
4. Concluye: extremos, número de soluciones de $f(x) = k$ , desigualdades.

**Ejemplo 12.14.**

Estudiemos $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $\R$. En primer lugar, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: un trinomio de raíces $-1$ y $1$, positivo fuera de ellas. Así pues, $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $\intoc{-\infty}{-1}$, [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intcc{-1}{1}$ y [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $\intco{1}{+\infty}$, con un [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ y un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

![La curva de f(x) = x3 - 3x + 1 (): tangentes horizontales (en naranja) en el máximo relativo (-1, 3) y en el mínimo relativo (1, -1), donde f' cambia de signo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*La curva de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ([Ejemplo 12.14](#ex-g11-deriv-study)): [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) horizontales (en naranja) en el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $(-1, 3)$ y en el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $(1, -1)$, donde $f'$ cambia de signo.*

**Ejemplo 12.15 (Optimización).**

Se fabrica una caja abierta a partir de una lámina de $12 \times 12$ cm recortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando. Su volumen es $V(x) = x(12 - 2x)^2$ para $0 < x < 6$. Desarrollando, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, luego

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

En $\intoo{0}{6}$, el factor $x - 6$ es negativo, así que $V'(x)$ tiene el signo de $-(x-2)$: positivo antes de $2$ y negativo después. El volumen es [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) para $x = 2$ cm, y vale $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm$^3$.

## 12.7 Ejercicios

**Ejercicio 12.1 ★.**

Usando la definición (la tasa de variación y después $h \to 0$), calcula $f'(2)$ para $f(x) = x^2$ y después $g'(1)$ para $g(x) = x^2 + 3x$.

**Solución de Ejercicio 12.1.**

Para $f(x) = x^2$ en $a = 2$:

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

luego $f'(2) = 4$. Para $g(x) = x^2 + 3x$ en $a = 1$: $g(1) = 4$ y

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

luego $g'(1) = 5$.

**Ejercicio 12.2 ★.**

Deriva:

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**Solución de Ejercicio 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (en $\intoo{0}{+\infty}$).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x
= 6x^2 + 2x - 6$ (regla del producto).

**Ejercicio 12.3 ★.**

Da la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) a la curva de $f$ en el punto de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $a$:

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**Solución de Ejercicio 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$, $a = 2$: $f(2) = -2$ y $f'(x) = 2x - 3$, luego $f'(2) = 1$; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$.

$f(x) = \frac1x$, $a = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = -1$; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$.

$f(x) = \sqrt x$, $a = 4$: $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$.

**Ejercicio 12.4 ★.**

Deriva los cocientes:

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**Solución de Ejercicio 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (regla del cociente con $u = 1$).

**Ejercicio 12.5 ★★.**

Estudia la variación de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ en $\R$ ([tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) y extremos relativos).

**Solución de Ejercicio 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$: positiva fuera de $\intcc{1}{3}$ y negativa dentro. Así pues, $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $\intoc{-\infty}{1}$, [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intcc{1}{3}$ y [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $\intco{3}{+\infty}$, con un [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ y un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$.

**Ejercicio 12.6 ★★.**

Estudia la variación de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ en $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solución de Ejercicio 12.6.**

En $\intoo{-1}{+\infty}$:

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

Para $x > -1$, tanto $x + 3$ como $(x+1)^2$ son positivos, así que $f'(x)$ tiene el signo de $x - 1$: $f$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-1}{1}$ y [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) en $\intco{1}{+\infty}$, con [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.

**Ejercicio 12.7 ★★.**

Sea $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. Halla el punto de la curva donde la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es horizontal.
2. Halla el punto o los puntos donde la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es paralela a la recta $y = 2x + 1$ .

**Solución de Ejercicio 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$.

*1.* [Tangente](#def-g11-deriv-tangent) horizontal: $f'(x) = 0$ en $x = 2$; el punto es $(2, f(2)) = (2, 1)$ (el vértice de la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola)).

*2.* Paralela a $y = 2x + 1$ significa [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$: $2x - 4 = 2$, luego $x = 3$, lo que da el punto $(3, f(3)) = (3, 2)$.

**Ejercicio 12.8 ★★.**

Se construye un cercado rectangular apoyado en un muro con $60$ m de valla (tres lados). Expresa el área en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de la anchura $x$ y usa la [derivada](#def-g11-deriv-derivative) para hallar las dimensiones de área máxima. (Compara con el método del vértice del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ch-g11-quad).)

**Solución de Ejercicio 12.8.**

Con anchura $x$ (dos lados vallados) y largo $60 - 2x$: $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ en $\intoo{0}{30}$. Entonces $A'(x) = 60 - 4x$, positiva antes de $x = 15$ y negativa después: el área es máxima para $x = 15$, con un cercado de $15 \times 30$ m y área $450$ m$^2$. La fórmula del vértice $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ del [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ch-g11-quad) da la misma respuesta sin cálculo diferencial.

**Ejercicio 12.9 ★★.**

Demuestra que para todo $x > 0$ se cumple $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$, estudiando la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ en $\intoo{0}{+\infty}$.

**Solución de Ejercicio 12.9.**

Sea $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ en $\intoo{0}{+\infty}$. Entonces

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

que tiene el signo de $\sqrt x - 1$: negativa en $\intoo{0}{1}$ y positiva en $\intoo{1}{+\infty}$. Así que $f$ decrece y después crece, con [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 1 = 0$. Por tanto, $f(x) \geq 0$ para todo $x > 0$, es decir, $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$, con igualdad solo en $x = 1$.

**Ejercicio 12.10 ★★.**

Una lata cilíndrica debe contener $500$ cm$^3$. Su superficie (los dos discos más el lateral) es $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ con $\pi r^2 h = 500$. Expresa $S$ en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de $r$ sola y demuestra que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$. Deduce el radio que minimiza la superficie, en forma exacta.

**Solución de Ejercicio 12.10.**

De $\pi r^2 h = 500$ se obtiene $h = \frac{500}{\pi r^2}$, luego

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

$S'(r) = 0$ cuando $4\pi r^3 = 1000$, es decir, $r^3 = \frac{250}{\pi}$, luego $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ cm). Como $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ es negativa antes de ese valor y positiva después, se trata de un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema).

**Ejercicio 12.11 ★★★.**

¿Cuántas [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) a la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ pasan por el punto exterior $P(1, -3)$? Determina sus ecuaciones. (Llama $a$ a la [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) del punto de contacto y expresa que la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $a$ pasa por $P$.)

**Solución de Ejercicio 12.11.**

La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) a $y = x^2$ en el punto de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $a$ es $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$. Pasa por $P(1, -3)$ cuando $-3 = 2a - a^2$, es decir, $a^2 - 2a - 3 = 0$, cuyas raíces son $a = 3$ y $a = -1$ ($\Delta = 16$). Hay, por tanto, *dos* [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) que pasan por $P$:

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**Ejercicio 12.12 ★★★.**

Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (véase el [Ejemplo 12.14](#ex-g11-deriv-study)). Usando la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table), determina el número de soluciones de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ según el valor del [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) $k$.

**Solución de Ejercicio 12.12.**

Por el [Ejemplo 12.14](#ex-g11-deriv-study), $f$ crece hasta el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(-1) = 3$, decrece hasta el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(1) = -1$ y vuelve a crecer; para $x$ positivo grande (resp. negativo), $x^3$ domina y $f$ toma valores arbitrariamente grandes (resp. pequeños). Leyendo las rectas horizontales $y = k$ sobre la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table):

- $k > 3$ o $k < -1$ : la recta corta la curva una vez: $1$ solución;
- $k = 3$ o $k = -1$ : la recta toca un punto de giro y atraviesa otra rama: $2$ soluciones;
- $-1 < k < 3$ : la recta atraviesa las tres ramas: $3$ soluciones.

## 12.8 Problema: Los tres oficios de la tangente

**Problema 12.1.**

Problema de fin de semana — el espejo parabólico demostrado, la máquina de Newton para hallar raíces y la viga más resistente que da un tronco

Una [derivada](#def-g11-deriv-derivative) traza [tangentes](#def-g11-deriv-tangent); suena a talento modesto. Este problema muestra a la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) desempeñando tres oficios a la vez: demuestra el teorema del faro que quedó [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) en el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) (todo rayo paralelo al eje de una [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) se refleja pasando por el [foco](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1)), mueve el algoritmo de resolución de ecuaciones más rápido de uso corriente, dentro de todas las calculadoras y de todas las redes neuronales, y encuentra la viga rectangular más resistente que se puede sacar de un tronco redondo.

**Parte I — Soltura con la [tangente](#def-g11-deriv-tangent).**

1. Deriva $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $g(x) = x^3 - 12x$ ( [Teorema 12.9](#thm-g11-deriv-rules) ), y recupera $\left(x^2\right)'$ en $x = 1$ a partir de la definición (la tasa de variación y después $h \to 0$ ).
2. Halla la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) a $y = x^3 - 12x$ en $a = 2$ . ¿Qué tiene de especial y qué señala eso ( [Proposición 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) )?
3. Establece la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) general a la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ en el punto $(a, a^2)$: $$y = 2ax - a^2 .$$
4. ¿Dónde corta esa [tangente](#def-g11-deriv-tangent) al eje $y$ ? Deduce la receta del delineante: para trazar la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en un punto $P$ de altura $h$ de la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) , une $P$ con el punto del eje que está a profundidad … por debajo del origen. Enúnciala.
5. Construye la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) completa de $g(x) = x^3 - 12x$ (signo de $g'$ , extremos relativos y sus valores, [Método 12.13](#met-g11-deriv-study) ).

**Parte II — El teorema del espejo.** Sea $P(a, a^2)$ un punto de la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ (con $a \neq 0$), sea $F\left(0, \frac14\right)$ el [foco](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) y sea $T$ el punto donde la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $P$ corta al eje $y$ (pregunta 4). Recuerda del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) que $PF = a^2 + \frac14$.

6. Calcula la distancia $FT$ .
7. Concluye que el triángulo $FPT$ es isósceles en $F$ . ¿Qué dos ángulos son, por tanto, iguales?
8. El rayo que llega a $P$ paralelo al eje es paralelo a la recta $(TF)$ (los dos son verticales). Usando los ángulos alternos, demuestra que la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $P$ forma *ángulos iguales* con el rayo vertical entrante y con el segmento $[PF]$ .
9. Física: la luz se refleja en una curva como lo haría en su [tangente](#def-g11-deriv-tangent) , y sale con el mismo ángulo con el que llegó (la ley de la reflexión). Concluye el *teorema del espejo* : todo rayo paralelo al eje se refleja pasando por el [foco](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) y, invirtiendo el tiempo, una bombilla situada en el [foco](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) emite un haz paralelo. La antena y el faro del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) son ya teoremas.
10. Comprueba numéricamente el triángulo isósceles en $a = 1$ : calcula $T$ , $FP$ y $FT$ .

**Parte III — La máquina de Newton.** Para resolver $f(x) = 0$, Newton propuso: partir de una estimación $x_0$, seguir la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $x_0$ hasta el eje y tomar su punto de corte como estimación siguiente.

11. Deduce la fórmula del método: $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. Aplícalo a $f(x) = x^2 - 2$ desde $x_0 = 1$: calcula $x_1$, $x_2$ y $x_3$ como fracciones exactas. ¿Qué sucesión de hace dos mil años, y qué máquina del [Problema 3.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1), acabas de reconstruir? Demuestra la identidad que hay detrás de esa coincidencia: $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$$
13. Resuelve $x^3 = 100$ (el cruce de los planes de ahorro del [Problema 4.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#pb-g10-reffunc-1) ): aplica dos pasos de Newton a $f(x) = x^3 - 100$ desde $x_0 = 5$ (con cuatro decimales) y compara con el $\sqrt[3]{100}$ de la calculadora.
14. Sabotaje: intenta arrancar el método con $f(x) = x^3 - 12x$ en $x_0 = 2$ . ¿Qué falla y por qué (pregunta 2)? Enuncia la advertencia práctica.
15. En la pregunta 12, los decimales correctos fueron más o menos $1 \to 3 \to 6$ . Compara con la bisección (partir el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) por la mitad en cada paso) y di en una frase por qué las calculadoras, los receptores de GPS y el entrenamiento de las redes neuronales funcionan todos con la idea de Newton.

**Parte IV — La viga más resistente.** De un tronco redondo de $30$ cm de diámetro se sierra una viga rectangular de anchura $w$ y canto $d$, de modo que $w^2 + d^2 = 900$. La rigidez de una viga es proporcional a $w d^2$ (el canto cuenta el doble: ¡las viguetas se ponen de canto!).

16. Expresa la rigidez en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de $w$ sola: $S(w) = 900w - w^3$ . ¿En qué [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) ?
17. Deriva, construye la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) y halla los valores óptimos de $w$ y $d$ (exactos y después al milímetro).
18. Demuestra que las proporciones óptimas cumplen $d = w\sqrt2$ : la vieja razón de los carpinteros. (Curiosidad adicional: dividir el diámetro del tronco en tres partes iguales y levantar perpendiculares hasta la circunferencia construye exactamente ese rectángulo.)
19. La elección ingenua es la viga *cuadrada* ( $w = d$ ). Calcula su rigidez y la de la viga óptima, y da la ganancia del carpintero en porcentaje.
20. Final: los tres oficios de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) , una frase para cada uno: la geometría (el teorema del espejo), el cálculo numérico (la máquina de Newton) y la optimización (la viga), todos movidos por el mismo objeto. Y el aviso hacia delante: el año que viene se añade la convexidad, o sea, de qué lado de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) está la curva, para afinar los tres.

**Solución de Problema 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$; $g'(x) = 3x^2 - 12$. Por la definición: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$: la [derivada](#def-g11-deriv-derivative) de $x^2$ en $1$ es $2$.

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ y $g'(2) = 12 - 12 = 0$: la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es la recta horizontal $y = -16$. Una [tangente](#def-g11-deriv-tangent) horizontal señala un punto crítico, aquí un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo, como confirma la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) de la pregunta 5.

**3.** [Pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2a$ en $(a, a^2)$: $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$.

**4.** En $x = 0$: $y = -a^2$: la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) corta al eje a profundidad $a^2$ por debajo del origen, exactamente tan *abajo* de cero como $P$ está por encima. Receta: para trazar la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en un punto de altura $h$, únelo con el punto del eje situado a profundidad $h$ por debajo del origen. (No hace falta ninguna [derivada](#def-g11-deriv-derivative) en el tablero de dibujo.)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$: positiva en $\intoo{-\infty}{-2}$, negativa en $\intoo{-2}{2}$ y positiva más allá. $g$ crece hasta un [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $g(-2) = 16$, cae hasta un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $g(2) = -16$ y vuelve a crecer.

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ y $T(0, -a^2)$: $FT = \frac14 + a^2$.

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$: isósceles en $F$, así que los ángulos de la base son iguales: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$.

**8.** El rayo entrante en $P$ es vertical y, por tanto, paralelo a la recta $(TF)$ (el eje $y$). La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ corta a las dos paralelas, así que el ángulo entre el rayo y la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) es igual a $\widehat{FTP}$ (ángulos alternos), que a su vez es igual a $\widehat{FPT}$, el ángulo entre $[PF]$ y la [tangente](#def-g11-deriv-tangent). Ángulos iguales a los dos lados de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $P$.

**9.** Por la ley de la reflexión, el rayo que llega verticalmente a $P$ sale por la recta que forma el mismo ángulo del otro lado; por la pregunta 8, sale por $[PF]$: pasa por el [foco](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1), sea cual sea $a$. Al revés, la luz nacida en $F$ sale de cada punto del espejo paralela al eje. Las antenas recogen y los faros iluminan: demostrado.

**10.** $a = 1$: [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$, $T(0, -1)$; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} =
\frac54$; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$: isósceles, como se prometía.

**11.** La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $x_n$ es $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$; corta a $y = 0$ en $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$; $x_3 = \frac{577}{408}$: las aproximaciones de $\sqrt2$ de Herón, o sea, la máquina de [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) del [Problema 3.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1). Identidad: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x}
= \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$: la receta de Herón *es* el método de Newton aplicado a $x^2 - 2$, dos milenios antes.

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx
4.6667$; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$. Calculadora: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$: cuatro decimales correctos en dos pasos.

**14.** $f'(2) = 0$: la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en el punto de partida es horizontal (pregunta 2) y no corta nunca al eje; la fórmula divide entre cero. Advertencia: arranca el método de Newton lejos de los puntos críticos y, en general, suficientemente cerca de la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) que buscas.

**15.** La bisección gana una cifra binaria por paso; Newton aproximadamente *duplica* el número de cifras correctas en cada paso ($1 \to 3 \to 6$ aquí). Cuando cada paso es caro (millones de parámetros, navegación en tiempo real), duplicar gana a avanzar a pasitos, y por eso la recta [tangente](#def-g11-deriv-tangent) corre dentro de tanto silicio.

**16.** $d^2 = 900 - w^2$, luego $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$, para $0 < w < 30$.

**17.** $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ en $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3
\approx 17.3$ cm ($S' > 0$ antes y $< 0$ después: un [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema)). Entonces $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$, luego $d = w\sqrt2$: el canto es la anchura por $\sqrt2$, la razón de los carpinteros (y la construcción del diámetro dividido en tres partes la entrega con un compás, sin álgebra sobre el terreno).

**19.** Viga cuadrada: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, con rigidez $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$. Viga óptima: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$. Ganancia: un $8.9\,\%$ más rígida a partir del mismo tronco; la [derivada](#def-g11-deriv-derivative) paga el aserradero.

**20.** Geometría: los ángulos iguales de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) convirtieron un paraboloide en un recogedor de luz. Cálculo numérico: deslizarse por las [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) resuelve ecuaciones duplicando cifras. Optimización: una [derivada](#def-g11-deriv-derivative) que se anula halló el rectángulo más resistente del tronco. Un solo objeto y tres oficios; y la convexidad del año que viene dirá, además, a qué lado de cada [tangente](#def-g11-deriv-tangent) queda la curva.