---
title: "Sucesiones: un primer curso"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 13
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso
---

# Capítulo 13 — Sucesiones: un primer curso

Una [sucesión](#def-g11-seq-sequence) es una lista de números producida por una regla: los saldos sucesivos de una cuenta de ahorro, el tamaño de una población año tras año. Este capítulo estudia las dos familias que dominan las aplicaciones: las progresiones *aritméticas*, que crecen a pasos iguales, y las *geométricas*, que crecen en razones iguales. La teoría rigurosa de los límites se desarrolla en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#ch-g12-seq).

## 13.1 Definir una sucesión

**Definición 13.1 (Sucesión).**

Una *sucesión* $(u_n)$ asigna a cada entero $n \geq 0$ (o $n \geq 1$) un [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) $u_n$, su *término de índice $n$*. Una sucesión se puede dar

- de forma *explícita* , mediante una fórmula para $u_n$ en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de $n$ ; por ejemplo, $u_n = n^2 + 1$ ;
- por *recurrencia* , mediante su primer término y una regla para pasar de cada término al siguiente; por ejemplo, $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

**Ejemplo 13.2.**

Para $u_n = n^2 + 1$: $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$, y $u_{10} = 101$ directamente. Para $u_0 = 3$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$: $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$; cada término necesita el anterior, y llegar a $u_{10}$ cuesta diez pasos (o una fórmula general, véase el [Ejercicio 13.11](#exo-g11-seq-11)).

## 13.2 Progresiones aritméticas

**Definición 13.3 (Progresión aritmética).**

Una [sucesión](#def-g11-seq-sequence) es una *progresión aritmética* de *diferencia* $d$ si cada término se obtiene del anterior sumándole $d$:

$$
u_{n+1} = u_n + d \quad \text{para todo } n.
$$

Equivalentemente: la diferencia $u_{n+1} - u_n$ es constante e igual a $d$.

**Teorema 13.4 (Término general).**

Si $(u_n)$ es una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) de primer término $u_0$ y [diferencia](#def-g11-seq-arithmetic) $d$, entonces

$$
u_n = u_0 + n\,d \quad \text{para todo } n \geq 0,
\qquad\text{y, más en general, } u_n = u_p + (n - p)\,d .
$$

**Demostración.** Para ir de $u_0$ a $u_n$, la regla “sumar $d$” se aplica $n$ veces: un paso da $u_1 = u_0 + d$, dos pasos dan $u_2 = u_0 + 2d$ y, tras $n$ pasos, cada aplicación ha aportado un $d$, luego $u_n = u_0 + nd$. (Este “y así sucesivamente” se hace riguroso por inducción en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#ch-g12-seq).) La fórmula general se obtiene contando los $n - p$ pasos que van de $u_p$ a $u_n$. ∎

**Teorema 13.5 (Suma de enteros consecutivos).**

Para todo entero $n \geq 1$:

$$
1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
$$

Más en general, una suma de términos consecutivos de una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) vale

$$
(\text{número de términos}) \times
\frac{\text{primer término} + \text{último término}}{2}.
$$

**Demostración.** Escribimos dos veces la suma $S$, la segunda en orden inverso, y sumamos columna a columna:

$$
\begin{array}{ccccccccc}
S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\
S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\
\hline
2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1)
\end{array}
$$

Hay $n$ columnas y cada una suma $n + 1$, luego $2S = n(n+1)$. Para una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) cualquiera funciona el mismo emparejamiento: primero $+$ último $=$ segundo $+$ penúltimo $= \dots$, porque avanzar un paso por la izquierda ($+d$) se compensa con retroceder un paso por la derecha ($-d$). ∎

**Ejemplo 13.6.**

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$. La suma de los números [impares](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity) $1 + 3 + \dots + 99$ ($50$ términos) es $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$.

## 13.3 Progresiones geométricas

**Definición 13.7 (Progresión geométrica).**

Una [sucesión](#def-g11-seq-sequence) es una *progresión geométrica* de *razón* $q \neq 0$ si cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por $q$:

$$
u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{para todo } n.
$$

Equivalentemente, cuando ningún término se anula: el cociente $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ es constante e igual a $q$.

**Teorema 13.8 (Término general).**

Si $(u_n)$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de primer término $u_0$ y [razón](#def-g11-seq-geometric) $q$, entonces

$$
u_n = u_0\, q^n \quad \text{para todo } n \geq 0,
\qquad\text{y, más en general, } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .
$$

**Demostración.** El mismo recuento de pasos que en el [Teorema 13.4](#thm-g11-seq-arithgeneral): de $u_0$ a $u_n$, la regla “multiplicar por $q$” se aplica $n$ veces, y aporta un factor $q^n$. ∎

**Teorema 13.9 (Suma geométrica).**

Para todo real $q \neq 1$ y todo entero $n \geq 0$:

$$
1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.
$$

**Demostración.** Sea $S = 1 + q + \dots + q^n$. Multiplicamos por $q$: $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$. Restamos:

$$
S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr)
- \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},
$$

porque cada término intermedio aparece una vez en cada suma y se cancela. Por tanto, $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$, y dividiendo entre $1 - q \neq 0$ se obtiene la fórmula. ∎

**Ejemplo 13.10.**

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 =
2047$: duplicar granos de arroz en las casillas de un tablero de ajedrez desborda cualquier granero mucho antes de la casilla $64$, donde el total es $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$.

![Pasos iguales frente a razones iguales: una progresión aritmética (u_n+1 = u_n + 0.9, en azul) sigue una recta; una progresión geométrica (u_n+1 = 1.2\,u_n, en rojo) sigue una curva exponencial que acaba adelantándola.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-seq/fig-4746cbc49984.svg)

*Pasos iguales frente a razones iguales: una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) ($u_{n+1} = u_n + 0.9$, en azul) sigue una recta; una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) ($u_{n+1} = 1.2\,u_n$, en rojo) sigue una curva exponencial que acaba adelantándola.*

**Método 13.11 (Reconocer el tipo de una sucesión).**

Calcula $u_{n+1} - u_n$ y simplifica. Si el resultado es una constante $d$, la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) es una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic). Si no, calcula $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (con los términos no nulos) y simplifica: una constante $q$ significa [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric). Si ninguna de las dos cosas es constante, la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) no es de ninguno de los dos tipos; y no concluyas nunca a partir de los primeros términos solamente.

**Ejemplo 13.12.**

Para $u_n = 3 \times 5^n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ para todo $n$: [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de [razón](#def-g11-seq-geometric) $5$. Para $u_n = n^2$: $u_1 - u_0 = 1$, pero $u_2 - u_1 = 3$, y $\frac{u_1}{u_0}$ ni siquiera está definido: no es ni aritmética ni geométrica.

## 13.4 Monotonía

**Definición 13.13 (Sucesión monótona).**

Una [sucesión](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ es *[creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone)* si $u_{n+1} \geq u_n$ para todo $n$, y *[decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations)* si $u_{n+1} \leq u_n$ para todo $n$.

**Método 13.14 (Estudiar la monotonía).**

Estudia el signo de $u_{n+1} - u_n$. Para sucesiones de términos positivos, se puede comparar en su lugar $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ con $1$.

**Ejemplo 13.15.**

Una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) cuando $d \geq 0$ ($u_{n+1} - u_n = d$) y [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) cuando $d \leq 0$. Una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) con $u_0 > 0$ y $q > 1$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone): $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$; con $u_0 > 0$ y $0 < q < 1$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations).

## 13.5 Comportamiento a largo plazo, de manera informal

¿Qué le ocurre a $u_n$ cuando $n$ se hace muy grande? En una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) con $d > 0$, los términos $u_0 + nd$ acaban superando cualquier número fijo. En una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) con $0 < q < 1$, los términos $u_0 q^n$ se encogen hacia $0$: multiplicar repetidamente por $0.9$, por ejemplo, erosiona cualquier valor de partida. Y para $q > 1$ los términos explotan, como en el [Ejemplo 13.10](#ex-g11-seq-chessboard).

**Observación 13.16.**

Estas afirmaciones se pueden hacer perfectamente precisas (“los términos acaban quedándose a menos de cualquier distancia dada de $0$”) y demostrar. Esa es la teoría de los *límites*, con la que se abre el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#ch-g12-seq).

## 13.6 Ejercicios

**Ejercicio 13.1 ★.**

Para cada [sucesión](#def-g11-seq-sequence), calcula $u_1$, $u_2$ y $u_3$:

$$
u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad
u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad
u_n = (-1)^n\,n .
$$

**Solución de Ejercicio 13.1.**

$u_n = \frac{n}{n+1}$: $u_1 = \frac12$, $u_2 = \frac23$, $u_3 = \frac34$.

$u_0 = 5$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$: $u_1 = 13$, $u_2 = 37$, $u_3 = 109$.

$u_n = (-1)^n n$: $u_1 = -1$, $u_2 = 2$, $u_3 = -3$.

**Ejercicio 13.2 ★.**

$(u_n)$ es una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) con $u_0 = 7$ y $d = -3$. Calcula $u_{10}$ y $u_{25}$. $(v_n)$ es una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) con $v_3 = 11$ y $v_8 = 26$. Halla la [diferencia](#def-g11-seq-arithmetic) y $v_0$.

**Solución de Ejercicio 13.2.**

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ y $u_{25} = 7 - 75 = -68$.

Para $(v_n)$: $v_8 = v_3 + 5d$ da $26 = 11 + 5d$, luego $d = 3$; después, $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$.

**Ejercicio 13.3 ★.**

$(u_n)$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) con $u_0 = 5$ y $q = 2$. Calcula $u_8$. $(v_n)$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de términos positivos con $v_2 = 12$ y $v_4 = 48$. Halla la [razón](#def-g11-seq-geometric) y $v_0$.

**Solución de Ejercicio 13.3.**

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$.

Para $(v_n)$: $v_4 = v_2\, q^2$ da $48 = 12 q^2$, luego $q^2 = 4$ y $q = 2$ (los términos son positivos). Después, $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$.

**Ejercicio 13.4 ★.**

Calcula

$$
1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad
4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad
1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .
$$

**Solución de Ejercicio 13.4.**

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$.

$4 + 7 + \dots + 61$ es aritmética con $d = 3$ y $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ términos: suma $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$.

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ es geométrica con $q = \frac12$ y $11$ términos: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right)
= \frac{2047}{1024}$.

**Ejercicio 13.5 ★.**

Determina si cada [sucesión](#def-g11-seq-sequence) es una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic), una geométrica o ninguna de las dos:

$$
u_n = 4n - 1; \qquad
v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad
w_n = n^2 + n .
$$

**Solución de Ejercicio 13.5.**

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$: aritmética con $d = 4$.

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n}
= \frac23$: geométrica con $q = \frac23$.

$w_0 = 0$, $w_1 = 2$, $w_2 = 6$: las [diferencias](#def-g11-seq-arithmetic) $2$ y $4$ no coinciden, así que no es aritmética; $\frac{w_1}{w_0}$ ni siquiera está definido, y los cocientes $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$: ninguna de las dos.

**Ejercicio 13.6 ★★.**

Un teatro tiene $20$ filas: $16$ butacas en la primera fila, y cada fila tiene $2$ butacas más que la anterior. ¿Cuántas butacas hay en la última fila? ¿Y en todo el teatro?

**Solución de Ejercicio 13.6.**

El número de butacas por fila forma una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic): primer término $16$ y [diferencia](#def-g11-seq-arithmetic) $2$. La última fila (la $20$) tiene $16 + 19 \times 2 = 54$ butacas. El total es $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ butacas.

**Ejercicio 13.7 ★★.**

Una población de bacterias se duplica cada hora; al mediodía hay $500$ bacterias. ¿Cuántas hay a las 8 de la tarde? ¿Al cabo de cuántas horas completas supera por primera vez el millón? (Resuélvelo probando potencias sucesivas de $2$.)

**Solución de Ejercicio 13.7.**

Al cabo de $n$ horas la población es $500 \times 2^n$. A las 8 de la tarde, $n = 8$: $500 \times 256 = 128\,000$ bacterias. Hace falta $500 \times 2^n > 10^6$, es decir, $2^n > 2000$: como $2^{10} = 1024$ y $2^{11} = 2048$, la población supera el millón por primera vez al cabo de $11$ horas completas, a las 11 de la noche.

**Ejercicio 13.8 ★★.**

Cada mes, un ahorrador ingresa $100$ euros en una cuenta que paga un $0.2\,\%$ de interés mensual sobre el saldo existente (los intereses se abonan justo antes del ingreso). Sea $c_n$ el saldo inmediatamente después del ingreso $n$-ésimo, de modo que $c_1 = 100$ y $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$. Calcula $c_2$ y $c_3$ y explica por qué $(c_n)$ no es ni una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) ni una geométrica.

**Solución de Ejercicio 13.8.**

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ y $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$. Las [diferencias](#def-g11-seq-arithmetic) $c_2 - c_1 = 100.20$ y $c_3 - c_2 \approx 100.40$ no son iguales, así que $(c_n)$ no es aritmética; los cocientes $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ y $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ tampoco lo son, así que no es geométrica. (Las recurrencias mixtas de tipo “multiplicar y luego sumar” como esta se resuelven con el truco de la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) auxiliar del [Ejercicio 13.11](#exo-g11-seq-11).)

**Ejercicio 13.9 ★★.**

Estudia la monotonía de las sucesiones

$$
u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad
v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),
$$

donde $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. (Para $(v_n)$, compara $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ con $1$.)

**Solución de Ejercicio 13.9.**

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$: negativo para $n \leq 3$ y positivo para $n \geq 4$. Así que $(u_n)$ decrece hasta $u_4 = 16 - 32 = -16$ y crece después: no es monótona.

$(v_n)$ tiene términos positivos y

$$
\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n}
= \frac{3}{n+1},
$$

que es $> 1$ para $n \leq 1$, $= 1$ para $n = 2$ y $< 1$ para $n \geq 3$: la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) crece hasta $v_2 = v_3 = \frac92$ y decrece después.

**Ejercicio 13.10 ★★.**

La suma de los $n$ primeros términos de una [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) con $u_0 = 3$ y $d = 4$ vale $903$. Halla $n$. (Plantea una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de segundo grado en $n$ y usa el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ch-g11-quad).)

**Solución de Ejercicio 13.10.**

Los $n$ primeros términos son $u_0, \dots, u_{n-1}$, con $u_0 = 3$ y $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$. Su suma es

$$
n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,
$$

luego $2n^2 + n - 903 = 0$. Aquí $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ y $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (se descarta la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) negativa). Comprobación: $21 \times 43 = 903$.

**Ejercicio 13.11 ★★★.**

Sean $u_0 = 3$ y $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

1. Calcula $u_1, u_2, u_3$ y conjetura una fórmula para $u_n$ .
2. Sea $v_n = u_n - 1$ . Demuestra que $(v_n)$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) y da su [razón](#def-g11-seq-geometric) y su primer término.
3. Deduce una fórmula explícita para $u_n$ y comprueba tu conjetura.

**Solución de Ejercicio 13.11.**

*1.* $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$: cada término es uno más que $4, 8, 16$, lo que sugiere $u_n = 2^{n+1} + 1$.

*2.* Con $v_n = u_n - 1$:

$$
v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,
$$

así que $(v_n)$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de [razón](#def-g11-seq-geometric) $2$ y primer término $v_0 = u_0 - 1 = 2$.

*3.* Por tanto, $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ y $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$, lo que confirma la conjetura. (El $1$ que se resta en $v_n$ es el [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) de $x \mapsto 2x - 1$; la misma idea reaparece para $u_{n+1} = au_n + b$ en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#ch-g12-seq).)

## 13.7 Problema: La torre de Brahma y los conejos de Fibonacci

**Problema 13.1.**

Problema de fin de semana — dos recurrencias legendarias: la torre que acaba con el mundo, la sucesión que crece como el oro y el truco auxiliar que domestica los préstamos

Dos sucesiones gobiernan el folclore de las matemáticas. Una cuenta los movimientos de la torre de Brahma, sesenta y cuatro discos de oro cuyo traslado, según la leyenda, acabará con el mundo. La otra cuenta los conejos de Fibonacci y esconde el número áureo. Ninguna de las dos es aritmética ni geométrica, y las dos se rinden ante las armas de este capítulo: las recurrencias, las sumas geométricas ([Teorema 13.9](#thm-g11-seq-geomsum)) y el truco de la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) auxiliar del [Ejercicio 13.11](#exo-g11-seq-11), que además calcula tu hipoteca.

**Parte I — La torre de Brahma.** El rompecabezas: hay $n$ discos de tamaño [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) apilados en la varilla A; hay que trasladar la pila entera a la varilla C, de disco en disco y sin colocar nunca un disco grande sobre uno pequeño (la varilla B puede ayudar). Sea $h_n$ el número [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) de movimientos.

1. Juega (con monedas) y anota $h_1$ , $h_2$ y $h_3$ .
2. Explica la estrategia que hay detrás de la recurrencia $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : ¿qué tiene que ocurrir antes y después de que se mueva el disco mayor?
3. Resuelve la recurrencia con el truco del [Ejercicio 13.11](#exo-g11-seq-11) : toma $v_n = h_n + 1$ , demuestra que $(v_n)$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) y concluye que $h_n = 2^n - 1$ .
4. La torre de la leyenda tiene $64$ discos y los monjes mueven un disco por segundo. Usando $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , estima el tiempo de traslado en años (un año son unos $3 \times 10^7$ segundos; compara con el [Ejemplo 13.10](#ex-g11-seq-chessboard) , el mismo gigante en otra historia). ¿Hay que preocuparse?
5. ¿Por qué ninguna estrategia puede bajar de $2^n - 1$ movimientos? Argumenta que *cualquier* solución cumple $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : ¿qué tiene que ser cierto sobre los $n$ discos superiores justo antes y justo después del movimiento del disco de abajo?

**Parte II — Fibonacci.** Definimos $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (cada término es la suma de los dos anteriores: la regla del recuento de ritmos del volumen anterior, ahora con su nombre europeo).

6. Escribe $F_1$ hasta $F_{12}$ .
7. Demuestra que $(F_n)$ no es ni aritmética ni geométrica, pero que es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone) a partir de $n = 2$ ( [Método 13.14](#met-g11-seq-monotonicity) y la recurrencia).
8. Demuestra la identidad de la suma $$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$ por telescopaje: escribe cada $F_k$ como $F_{k+2} - F_{k+1}$ y observa cómo se derrumba la suma. Compruébala para $n = 6$.
9. Demuestra la identidad de los cuadrados $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , telescopando con $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Compruébala para $n = 4$ . ( [Imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) : cuadrados de lados $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ embaldosan un rectángulo, el esqueleto de la famosa espiral de Fibonacci.)
10. La identidad de Cassini afirma que $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . Compruébala para $n = 4, 5, 6$ y reconoce en ella el motor del truco del cuadrado que desaparece, jugado en el problema de las áreas del volumen anterior.
11. Demuestra a partir de la recurrencia que $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci se duplica al menos cada dos pasos, así que crece al menos tan deprisa como una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de [razón](#def-g11-seq-geometric) $\sqrt2$ .
12. Calcula los cocientes $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ para $n = 3$ hasta $10$ (con tres decimales). Admitiendo que se estabilizan en un límite $L$ , pasa al límite en la relación $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ y resuelve: ¿a qué número del [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#pb-g10-algebra-1) veneran los conejos?

**Parte III — El truco auxiliar, en el banco.**

13. Generaliza el [Ejercicio 13.11](#exo-g11-seq-11) : para $u_{n+1} = a\,u_n + b$ con $a \neq 1$ , toma $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (el [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) ). Demuestra que $v_n = u_n - \ell$ es una [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de [razón](#def-g11-seq-geometric) $a$ y concluye que $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
14. Un préstamo: $10\,000$ euros al $1\,\%$ de interés mensual, con una devolución de $300$ euros al mes, de modo que la deuda cumple $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Aplica la pregunta 13 (¡primero el [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) !) para obtener una fórmula explícita de $d_n$ .
15. Con una calculadora, halla el primer mes en que queda saldada la deuda y el importe total devuelto. ¿Cuánto ha costado el préstamo en sí?
16. Una ciudad de $50\,000$ habitantes crece un $2\,\%$ al año y recibe además $1\,000$ recién llegados: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Da la fórmula explícita y la población al cabo de $10$ años.

**Parte IV — Las dos familias reales.**

17. Calcula $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ ( [Teorema 13.5](#thm-g11-seq-intsum) : la suma del pequeño Gauss del volumen anterior, ahora oficial) y $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ ( [Teorema 13.9](#thm-g11-seq-geomsum) ).
18. Calcula la suma de la [progresión aritmética](#def-g11-seq-arithmetic) $7, 12, 17, \dots, 502$ (¿cuántos términos hay?).
19. Plan de ahorro: $100$ euros ingresados cada mes, con un rendimiento del $0.5\,\%$ mensual; después del ingreso $n$ -ésimo, el saldo es $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Calcula el saldo al cabo de $5$ años ( $n = 60$ ).
20. Final, el equipo del domador de sucesiones: descripciones explícitas frente a recurrentes; las dos familias reales y sus fórmulas de suma; la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) auxiliar que convierte las recurrencias afines en geométricas; y Fibonacci, primer ciudadano ajeno a las dos familias, domesticado hoy con identidades y a la espera de las matrices (el año que viene) y de los límites para su captura completa. Una frase para cada punto.

**Solución de Problema 13.1.**

**1.** $h_1 = 1$, $h_2 = 3$, $h_3 = 7$.

**2.** Para mover el disco mayor, los $n$ discos que tiene encima han de emigrar antes a la varilla libre ($h_n$ movimientos); el disco grande cruza ($1$ movimiento); y los $n$ discos tienen después que volver a subirse encima ($h_n$ movimientos): $h_{n+1} = 2h_n + 1$.

**3.** $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$: [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de [razón](#def-g11-seq-geometric) $2$ con $v_1 = 2$, luego $v_n = 2^n$ y $h_n = 2^n - 1$.

**4.** $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ segundos; dividiendo entre $3 \times 10^7$ segundos por año, unos $6 \times 10^{11}$ años: seiscientos mil millones de años, cuarenta veces la edad del universo. Los monjes pueden hacer pausas para el café.

**5.** En cualquier solución legal, fijémonos en el primer movimiento del disco de abajo: en ese instante los otros $n$ discos tienen que estar todos en la única varilla restante (al menos $h_n$ movimientos para llevarlos allí) y, tras el último movimiento del disco de abajo, tienen que volver todos encima de él (al menos $h_n$ movimientos más): cualquier solución necesita al menos $2h_n + 1$ movimientos. La recurrencia es un suelo además de un techo: $2^n - 1$ es óptimo.

**6.** $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$.

**7.** No es aritmética ($2 - 1 = 1$, pero $3 - 2 = 1$ y $5 - 3 = 2$: las [diferencias](#def-g11-seq-arithmetic) cambian); no es geométrica ($\frac21 = 2$, pero $\frac32 = 1.5$). [Creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-monotone): para $n \geq 2$, $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$.

**8.** $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, luego

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots +
(F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

Para $n = 6$: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$.

**9.** $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) =
F_k \cdot F_k = F_k^2$; al sumar, la suma telescopa hasta $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (con $F_0 = 0$): la suma de los cuadrados es $F_n F_{n+1}$. Para $n = 4$: $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 =
3 \times 5$.

**10.** $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$: se alternan $\pm 1$. Ese desfase de una unidad entre $F_{n+1} F_{n-1}$ y $F_n^2$ es exactamente la unidad de área que el mago gana o pierde: cortar un cuadrado de $F_n \times F_n$ en piezas que se recomponen como un rectángulo de $F_{n+1} \times F_{n-1}$ tiene que crear o tragarse una unidad; es la rendija.

**11.** $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) crece): cada dos índices, al menos una duplicación, o sea, un crecimiento al menos geométrico de [razón](#def-g11-seq-geometric) $\sqrt2$ por índice.

**12.** $1.5$; $1.667$; $1.6$; $1.625$; $1.615$; $1.619$; $1.618$; $1.618$. Si $r_n \to L$: de $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, dividiendo entre $F_{n+1}$, se obtiene $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$, luego $L = 1 + \frac1L$, es decir, $L^2 = L + 1$: $L = \varphi =
\frac{1 + \sqrt5}{2}$, el número áureo del [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#pb-g10-algebra-1). Los conejos se multiplican en oro.

**13.** $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$; y como $\ell = a\ell + b$, esto es $a(u_n - \ell) = a v_n$: [progresión geométrica](#def-g11-seq-geometric) de [razón](#def-g11-seq-geometric) $a$. Por tanto, $v_n = a^n v_0$ y $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$.

**14.** [Punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1): $\ell = 1.01\ell - 300$ da $\ell = 30\,000$. Así que $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000
= 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$.

**15.** $d_n \leq 0$ exige $1.01^n \geq 1.5$: $1.01^{40} \approx 1.489$ y $1.01^{41} \approx 1.504$; la cuota $41$ salda la deuda (y es algo menor que $300$). Total devuelto: algo menos de $41 \times 300 = 12\,300$ euros; los $10\,000$ prestados han costado unos $2\,300$ euros de intereses.

**16.** [Punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$, luego $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$. Al cabo de $10$ años: $1.02^{10} \approx 1.219$, luego $p_{10} \approx 71\,900$ habitantes.

**17.** $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$; y $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$.

**18.** De $7$ a $502$ a pasos de $5$: $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ términos; suma $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$.

**19.** Saldo $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1}{1.005 - 1}
\approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ euros, de los cuales $6\,000$ ingresados y unos $977$ ganados: las sumas geométricas son la lengua materna del banco.

**20.** Las fórmulas explícitas responden al instante a “¿cuánto vale $u_{1000}$?”; las recurrencias describen cómo evolucionan de verdad los sistemas, y el arte consiste en convertir las segundas en las primeras. Las progresiones aritméticas suman, las geométricas multiplican, y cada familia tiene su fórmula de suma (el emparejamiento de Gauss; el truco de multiplicar por la [razón](#def-g11-seq-geometric)). El truco del [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) y de la [sucesión](#def-g11-seq-sequence) auxiliar convierte toda recurrencia afín en una geométrica: los préstamos, las poblaciones y la torre cayeron con él. Fibonacci no obedece a ninguna de las dos familias y, sin embargo, las identidades telescópicas atraparon sus sumas y sus cuadrados; su retrato completo (una fórmula exacta, el límite áureo) espera herramientas más potentes.