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title: "Trigonometría: la circunferencia unidad"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 14
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad
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# Capítulo 14 — Trigonometría: la circunferencia unidad

La trigonometría empieza en los triángulos rectángulos, pero su verdadera casa es la *circunferencia unidad*, donde el [coseno](#def-g11-trigo-cossin) y el [seno](#def-g11-trigo-cossin) pasan a ser funciones de un [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) cualquiera. Este capítulo instala el [radián](#def-g11-trigo-radian), el enrollamiento de la recta real sobre la circunferencia, los valores exactos que hay que saberse de memoria y las simetrías que generan todas las identidades clásicas. El estudio de $\cos$ y $\sin$ como funciones (variación, [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-derivative)) se lleva a cabo en el [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#ch-g12-trigo).

## 14.1 Radianes y enrollamiento

**Definición 14.1 (Radián).**

Sea $\mathcal C$ la circunferencia de radio $1$ centrada en el origen $O$ y sea $I(1, 0)$. La medida en *radianes* de un ángulo central de $\mathcal C$ es la longitud del arco que recorta sobre $\mathcal C$. Como la circunferencia completa mide $2\pi$:

$$
360^\circ = 2\pi \text{ rad},
\qquad
180^\circ = \pi \text{ rad},
\qquad
1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .
$$

**Método 14.2 (Convertir).**

Los grados y los [radianes](#def-g11-trigo-radian) son proporcionales: multiplica por $\frac{\pi}{180}$ para pasar de grados a [radianes](#def-g11-trigo-radian) y por $\frac{180}{\pi}$ en sentido contrario. Por ejemplo, $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ y $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

**Definición 14.3 (Enrollar la recta sobre la circunferencia).**

A cada [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) $t$ le asociamos el punto $M(t)$ de $\mathcal C$ que se obtiene recorriendo una distancia $\abs t$ sobre la circunferencia desde $I$, en sentido antihorario si $t \geq 0$ y en sentido horario si $t < 0$. Como la longitud de la circunferencia es $2\pi$, los números $t$ y $t + 2k\pi$ ($k \in \Z$) llegan al mismo punto: $M(t + 2k\pi) = M(t)$.

**Ejemplo 14.4.**

$M(0) = I$; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$, lo más alto de la circunferencia; $M(\pi) = (-1, 0)$; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) =
(0, -1)$; y $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} +
2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

## 14.2 Coseno y seno

**Definición 14.5 (Coseno y seno).**

Para todo real $t$, el *coseno* y el *seno* de $t$ son las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) del punto $M(t)$ de la circunferencia unidad:

$$
M(t) = (\cos t,\ \sin t).
$$

![La circunferencia unidad: el número real t, enrollado en sentido antihorario desde I, aterriza en el punto M(t), cuyas coordenadas definen t y t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-ed4ec1d99063.svg)

*La circunferencia unidad: el [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) $t$, enrollado en sentido antihorario desde $I$, aterriza en el punto $M(t)$, cuyas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) *definen* $\cos t$ y $\sin t$.*

**Proposición 14.6 (Primeras propiedades).**

Para todos $t \in \R$ y $k \in \Z$:

$$
-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad
-1 \leq \sin t \leq 1, \qquad
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
$$

$$
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .
$$

**Demostración.** $M(t)$ está en la circunferencia unidad, así que sus [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) están entre $-1$ y $1$ y cumplen la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$, que es la identidad $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. La periodicidad no es más que otra forma de escribir $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ([Definición 14.3](#def-g11-trigo-winding)). ∎

**Ejemplo 14.7.**

Si $\sin t = \frac35$ y $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (segundo cuadrante), entonces $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, luego $\cos t = \pm\frac45$; en el segundo cuadrante la [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) es negativa, así que $\cos t = -\frac45$.

Los valores que hay que saberse de memoria:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Observación 14.8.**

Una ayuda para la memoria: los [senos](#def-g11-trigo-cossin) se leen $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2},
\frac{\sqrt4}{2}$, y los [cosenos](#def-g11-trigo-cossin) son la misma lista al revés.

## 14.3 Ángulos asociados

**Proposición 14.9 (Ángulos asociados).**

Para todo $t \in \R$:

$$
\begin{aligned}
\cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\
\cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\
\cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, &
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t .
\end{aligned}
$$

**Demostración.** Cada línea expresa una simetría de la circunferencia.

$M(-t)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto del eje $x$: la [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) no cambia y la ordenada cambia de signo.

$M(\pi - t)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto del eje $y$: retroceder $t$ desde $\pi$ lleva al punto opuesto en horizontal al que se alcanza avanzando $t$ desde $0$. La [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) cambia de signo y la ordenada no.

$M(\pi + t)$ es diametralmente opuesto a $M(t)$ (medio giro): las dos [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) cambian de signo.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto de la diagonal $y = x$, que intercambia las dos [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). ∎

![Los cuatro puntos asociados: M(-t) es el reflejo de M(t) respecto del eje x; M(π - t), respecto del eje y; y M(π + t) es el diametralmente opuesto. Todas las identidades de la se leen en este dibujo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-da7bcec307c7.svg)

*Los cuatro puntos asociados: $M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ respecto del eje $x$; $M(\pi - t)$, respecto del eje $y$; y $M(\pi + t)$ es el diametralmente opuesto. Todas las identidades de la [Proposición 14.9](#prop-g11-trigo-associated) se leen en este dibujo.*

**Ejemplo 14.10.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right)
= -\cos\frac\pi3 = -\frac12$, y $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right)
= -\sin\frac\pi6 = -\frac12$. La tabla de cinco valores, ampliada con las simetrías, cubre toda la circunferencia.

## 14.4 Resolución de ecuaciones trigonométricas

**Teorema 14.11 (Las ecuaciones cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos acost=cosa y sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin asint=sina).**

Para [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) $t$ y $a$:

$$
\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{o}\ t = -a + 2k\pi
\quad (k \in \Z),
$$

$$
\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{o}\ t = \pi - a + 2k\pi
\quad (k \in \Z).
$$

**Demostración.** Dos puntos de la circunferencia unidad tienen la misma [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) exactamente cuando son iguales o simétricos respecto del eje $x$; por la [Proposición 14.9](#prop-g11-trigo-associated), el simétrico de $M(a)$ es $M(-a)$. Así que $\cos t = \cos a$ significa $M(t) = M(a)$ o $M(t) = M(-a)$, es decir, $t = \pm a$ salvo un múltiplo de $2\pi$. De igual modo, ordenadas iguales significan puntos iguales o simétricos respecto del eje $y$, y el simétrico de $M(a)$ es $M(\pi - a)$. ∎

**Método 14.12 (Resolver cos⁡t=c\cos t = ccost=c en un intervalo).**

1. Halla *un* ángulo $a$ con $\cos a = c$ , a partir de la tabla de valores conocidos.
2. Escribe las soluciones generales $t = \pm a + 2k\pi$ ( [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations) ).
3. Elige los enteros $k$ que caen dentro del [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) pedido y enumera las soluciones.

Procede igual con $\sin t = c$, con $t = a + 2k\pi$ o $t = \pi - a + 2k\pi$.

**Ejemplo 14.13.**

Resolvamos $\cos t = \frac12$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$. Una solución de $\cos a = \frac12$ es $a = \frac{\pi}{3}$. Las soluciones generales son $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ y $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$. Dentro de $\intoc{-\pi}{\pi}$ solo aporta $k = 0$: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$.

Resolvamos $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ en $\intco{0}{2\pi}$. Un ángulo es $a = -\frac\pi4$; las soluciones son $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ y $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. En $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{4}$ (de $k = 1$) y $t = \frac{5\pi}{4}$.

![Resolución de t = 1/2: la recta vertical x = 1/2 (en naranja) corta la circunferencia unidad en dos puntos, simétricos respecto del eje x; de ahí las dos familias de soluciones t = ± π3 + 2kπ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-073ce0f8bd3d.svg)

*Resolución de $\cos t = \frac12$: la recta vertical $x = \frac12$ (en naranja) corta la circunferencia unidad en dos puntos, simétricos respecto del eje $x$; de ahí las dos familias de soluciones $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$.*

## 14.5 Ejercicios

**Ejercicio 14.1 ★.**

Pasa a [radianes](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ$, $45^\circ$, $120^\circ$, $270^\circ$. Pasa a grados: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\frac{2\pi}{9}$.

**Solución de Ejercicio 14.1.**

A [radianes](#def-g11-trigo-radian): $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.

A grados: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$, $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$, $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$.

**Ejercicio 14.2 ★.**

Sitúa sobre la circunferencia unidad los puntos $M(t)$ para

$$
t = \frac{2\pi}{3},\quad
t = -\frac{\pi}{4},\quad
t = \frac{17\pi}{6},\quad
t = -\frac{7\pi}{2},
$$

después de reducir cada uno, módulo $2\pi$, a un valor de $\intoc{-\pi}{\pi}$.

**Solución de Ejercicio 14.2.**

$\frac{2\pi}{3}$ y $-\frac{\pi}{4}$ ya están en $\intoc{-\pi}{\pi}$: segundo cuadrante y cuarto cuadrante, respectivamente.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$: segundo cuadrante, cerca del semieje $x$ negativo.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$: lo más alto de la circunferencia, $(0, 1)$.

**Ejercicio 14.3 ★.**

Usando la tabla y los [ángulos asociados](#prop-g11-trigo-associated), da los valores exactos de

$$
\cos\frac{3\pi}{4}, \quad
\sin\frac{5\pi}{6}, \quad
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad
\sin\frac{4\pi}{3}, \quad
\cos\frac{11\pi}{6} .
$$

**Solución de Ejercicio 14.3.**

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right)
= -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right)
= \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right)
= -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right)
= \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$.

**Ejercicio 14.4 ★.**

Sabiendo que $\cos t = \frac{5}{13}$ con $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$, calcula $\sin t$ de forma exacta.

**Solución de Ejercicio 14.4.**

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, luego $\sin t = \pm\frac{12}{13}$. En $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (cuarto cuadrante) la ordenada es negativa: $\sin t = -\frac{12}{13}$.

**Ejercicio 14.5 ★★.**

Simplifica, para todo real $x$:

$$
A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x,
\qquad
B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
$$

**Solución de Ejercicio 14.5.**

Usando la [Proposición 14.9](#prop-g11-trigo-associated):

$$
A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
$$

$$
B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .
$$

**Ejercicio 14.6 ★★.**

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\sin t = \frac12, \qquad
\cos t = -1 .
$$

**Solución de Ejercicio 14.6.**

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$: una solución es $\frac\pi6$, luego $t = \pm\frac\pi6$ (los desplazamientos de $2k\pi$ salen del [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval)).

$\sin t = \frac12$: $t = \frac\pi6$ o $t = \pi - \frac\pi6 =
\frac{5\pi}{6}$.

$\cos t = -1$: el único punto de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $-1$ es $M(\pi)$, luego $t = \pi$.

**Ejercicio 14.7 ★★.**

Resuelve en $\intco{0}{2\pi}$:

$$
\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\cos t = 0, \qquad
2\sin t + 1 = 0 .
$$

**Solución de Ejercicio 14.7.**

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$: partiendo de $a = -\frac\pi3$, las familias son $-\frac\pi3 + 2k\pi$ y $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$; en $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{4\pi}{3}$ y $t = \frac{5\pi}{3}$.

$\cos t = 0$: $t = \frac\pi2$ y $t = \frac{3\pi}{2}$.

$2\sin t + 1 = 0$ significa $\sin t = -\frac12$: partiendo de $a = -\frac\pi6$, en $\intco{0}{2\pi}$: $t = \frac{7\pi}{6}$ y $t = \frac{11\pi}{6}$.

**Ejercicio 14.8 ★★.**

Resuelve en $\R$ la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $\cos 2t = \cos t$. (Usa el [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations) con $a = t$ y discute las dos familias de soluciones.)

**Solución de Ejercicio 14.8.**

Por el [Teorema 14.11](#thm-g11-trigo-equations), $\cos 2t = \cos t$ significa $2t = t + 2k\pi$ o $2t = -t + 2k\pi$, es decir, $t = 2k\pi$ o $t = \frac{2k\pi}{3}$ ($k \in \Z$). La primera familia está contenida en la segunda (tomando $k$ múltiplo de $3$), así que el conjunto de soluciones es

$$
S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}
$$

o, sobre la circunferencia, los tres puntos $M(0)$, $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ y $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

**Ejercicio 14.9 ★★.**

Demuestra que para todo real $x$,

$$
\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
$$

**Solución de Ejercicio 14.9.**

Desarrollando los dos cuadrados y usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$
(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
+ (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
= 1 + 1 = 2 .
$$

**Ejercicio 14.10 ★★.**

Una rueda de radio $30$ cm rueda sin deslizar. ¿Qué ángulo (en [radianes](#def-g11-trigo-radian) y después en grados) gira cuando la bicicleta avanza $1.5$ m? ¿Cuánto avanza la bicicleta en una vuelta completa de la rueda?

**Solución de Ejercicio 14.10.**

Rodar sin deslizar significa que la longitud del arco es igual a la distancia recorrida: $r\theta = 150$ cm da $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx
286.5^\circ$. Una vuelta completa hace avanzar la bicicleta la longitud de la circunferencia, $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, o sea, unos $1.88$ m.

**Ejercicio 14.11 ★★★.**

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$ la inecuación $\cos t \leq \frac12$. (Esboza la circunferencia unidad, marca la región donde la [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) es como mucho $\frac12$ y lee el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de valores de $t$.)

**Solución de Ejercicio 14.11.**

Sobre la circunferencia unidad, los puntos de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) exactamente $\frac12$ son $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$. Los puntos de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) *como mucho* $\frac12$ forman el arco situado a la izquierda de la recta vertical $x = \frac12$, que se recorre cuando $t$ va de $\frac\pi3$ hasta $\pi$, o de $-\pi$ hasta $-\frac\pi3$. Por tanto, en $\intoc{-\pi}{\pi}$:

$$
S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.
$$

(Los extremos $\pm\frac\pi3$ están incluidos porque la desigualdad no es estricta.)

## 14.6 Problema: La noria y la marea

**Problema 14.1.**

Problema de fin de semana — los radianes como distancia rodada y la circunferencia unidad como reloj maestro de todo fenómeno periódico

Una noria te lleva alrededor de un círculo; la marea sube y baja el agua del puerto siguiendo ese mismo círculo matemático. Todo fenómeno periódico (ruedas, mareas, sonido, estaciones) lee su horario en la circunferencia unidad de este capítulo ([Definición 14.5](#def-g11-trigo-cossin)), y las ecuaciones del [Método 14.12](#met-g11-trigo-solve) dan los instantes exactos. Este problema convierte, enrolla, modeliza y resuelve, y de paso deja claro por qué los matemáticos miden los ángulos en [radianes](#def-g11-trigo-radian).

**Parte I — Los [radianes](#def-g11-trigo-radian), la distancia rodada.**

1. Pasa a [radianes](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; y a grados: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ ( [Método 14.2](#met-g11-trigo-convert) ).
2. La gracia de los [radianes](#def-g11-trigo-radian) : un arco de ángulo $t$ (en [radianes](#def-g11-trigo-radian) ) sobre una circunferencia de radio $r$ mide exactamente $r\,t$ . ¿Qué arco recorta un ángulo de $2$ [radianes](#def-g11-trigo-radian) en una circunferencia de radio $3$ m? (Sin ningún $\pi$ : de eso se trata.)
3. Una rueda de radio $30$ cm rueda $1$ km sin deslizar. ¿Cuántos *[radianes](#def-g11-trigo-radian)* ha girado y cuántas vueltas completas son?
4. Sitúa sobre la circunferencia unidad y evalúa de forma exacta: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ y $\cos\frac{19\pi}{6}$ (reduce antes módulo $2\pi$ ; [Proposición 14.9](#prop-g11-trigo-associated) ).
5. Un ángulo $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ cumple $\sin t = \frac35$ . Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ y el cuadrante, halla $\cos t$ y $\tan t$ .

**Parte II — La noria.** Una noria gigante tiene radio $60$ m, su eje está a $65$ m del suelo y da una vuelta cada $30$ minutos. Subes en el punto más bajo en el instante $t = 0$ (en minutos), así que tu altura cumple

$$
h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
$$

6. Justifica la fórmula: comprueba el ángulo girado al cabo de $t$ minutos y la altura en $t = 0$ , y explica el signo menos.
7. Calcula tu altura en $t = 7.5$ , $t = 15$ y $t = 20$ minutos (valores exactos).
8. ¿En qué instante estás *por primera vez* a $95$ m? (Resuelve $h(t) = 95$ con el [Método 14.12](#met-g11-trigo-solve) .)
9. ¿Durante qué [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de tiempo del viaje estás al menos a $95$ m de altura, y cuánto dura en total? (Compara con el [Ejercicio 14.11](#exo-g11-trigo-11) .)
10. ¿Dónde cambia *más deprisa* la altura? Compara la subida del primer minuto ( $h(1) - h(0)$ ) con la subida entre los minutos $7$ y $8$ , y formula la observación (la herramienta que la vuelve exacta, la [derivada](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-derivative) de la sinusoide, llega el año que viene).
11. Turno del ingeniero: diseña la fórmula de la altura de una noria de altura máxima $40$ m, altura mínima $4$ m y periodo $12$ minutos, en la que se sube por abajo en $t = 0$ .

**Parte III — La marea y las simetrías de la circunferencia.** En un puerto, el calado en metros, $t$ horas después de medianoche, es

$$
d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
$$

12. Da el calado [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) y el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) , los instantes en que se producen por primera vez y el periodo de la marea.
13. Un carguero necesita $8.5$ m de agua. Resuelve $d(t) \geq 8.5$ en $\intco{0}{12}$ : ¿en qué ventana puede entrar y cuánto dura la ventana? ¿Cuándo se abre la siguiente?
14. Vuelve a deducir dos identidades de [ángulos asociados](#prop-g11-trigo-associated) directamente de las simetrías de la circunferencia: $\sin(\pi - t) = \sin t$ (simetría respecto del eje vertical) y $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (medio giro), y enuncia la identidad de los ángulos complementarios $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
15. Paridad (con el vocabulario del [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#pb-g11-func-1) ): clasifica $\sin$ , $\cos$ y $t \mapsto \sin t + t^3$ como pares o [impares](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity) , con demostraciones de una línea a partir de la circunferencia.
16. Resuelve en $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Es una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de segundo grado disfrazada: factorízala como en el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) y lee después la circunferencia.)

**Parte IV — El ángulo del matemático.**

17. ¿Cuántos grados es $1$ [radián](#def-g11-trigo-radian) ? Y una trampa de calculadora: ¿qué es mayor, $\sin(1)$ (en modo [radianes](#def-g11-trigo-radian) ) o $\sin(1^\circ)$ , y por qué factor aproximadamente? ¿Moraleja sobre la configuración de la calculadora?
18. Resuelve $\cos t = \sin t$ en $\intco{0}{2\pi}$ , usando la circunferencia (¿dónde coinciden la [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) y la ordenada?).
19. Para ángulos pequeños, el arco y su [seno](#def-g11-trigo-cossin) casi coinciden: compara $\sin(0.1)$ con $0.1$ (cinco decimales) y da el error relativo. Esta “ [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) de ángulos pequeños” gobierna barcos y péndulos; el teorema que hay detrás ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) es una estrella del capítulo de límites del año que viene.
20. Final: la circunferencia unidad como reloj maestro, una frase por punto: los [radianes](#def-g11-trigo-radian) convierten los ángulos en números honrados (arco $=$ radio $\times$ ángulo); el [coseno](#def-g11-trigo-cossin) y el [seno](#def-g11-trigo-cossin) son la sombra y la altura de la aguja del reloj; las simetrías de la circunferencia son las identidades; resolver $\cos t = c$ lee los horarios en el reloj; y todo fenómeno periódico (rueda, marea, sonido) es ese mismo reloj disfrazado.

**Solución de Problema 14.1.**

**1.** $30^\circ = \frac{\pi}{6}$; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$. Y $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$.

**2.** Longitud $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. Los [radianes](#def-g11-trigo-radian) convierten la longitud del arco en un producto sin más; los grados arrastrarían un $\frac{\pi}{180}$ a cada fórmula.

**3.** [Radianes](#def-g11-trigo-radian) girados $= \frac{\text{distancia}}{\text{radio}} =
\frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; dividiendo entre $2\pi$, unas $530$ vueltas completas.

**4.** $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, luego $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**5.** $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$; en el segundo cuadrante el [coseno](#def-g11-trigo-cossin) es negativo: $\cos t = -\frac45$, y $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.

**6.** En $t$ minutos la noria gira $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$. En $t = 0$: $h = 65 - 60 = 5$ m, el andén de embarque, abajo del todo (la altura del eje menos el radio). El signo menos te coloca *por debajo* del eje cuando el ángulo girado es $0$.

**7.** $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (la altura del eje); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (lo más alto); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

**8.** $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ da $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$: la primera solución es $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$, es decir, $t = 10$ minutos.

**9.** $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ para $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$, es decir, $t \in \intcc{10}{20}$: diez minutos del viaje por encima de $95$ m, simétricos respecto de la cima en $t = 15$.

**10.** Primer minuto:

$$
h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right)
\approx 1.3 \text{ m}.
$$

Entre los minutos $7$ y $8$:

$$
60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right)
\approx 12.5 \text{ m},
$$

casi diez veces más. La altura cambia más deprisa al pasar por la altura del eje y se estanca cerca del suelo y de la cima: la sinusoide es empinada en su parte [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-mean) y plana en sus extremos.

**11.** Radio $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, eje a $4 + 18 = 22$ m y periodo $12$ min: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.

**12.** [Máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $7 + 3 = 10$ m cuando $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$: la primera vez en $t = 3$ (a las 3 de la madrugada); [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) de $4$ m por primera vez en $t = 9$; periodo $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas.

**13.** $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ para $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$: $t \in \intcc{1}{5}$, una ventana de cuatro horas de la 1 a las 5 de la madrugada, que vuelve a abrirse un periodo después, $t \in \intcc{13}{17}$ (de la 1 a las 5 de la tarde).

**14.** La simetría respecto del eje vertical lleva el punto de ángulo $t$ al de ángulo $\pi - t$ y conserva la ordenada: $\sin(\pi - t) = \sin t$. El medio giro alrededor del centro lleva $t$ a $\pi + t$ y cambia el signo de las dos [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): $\cos(\pi + t) = -\cos t$. Y la simetría respecto de la diagonal intercambia [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) y ordenada: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$, el “co” de los ángulos complementarios.

**15.** $\sin(-t) = -\sin t$: [impar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity) (su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) tiene simetría de medio giro); $\cos(-t) = \cos t$: par (simetría de espejo). Y $\sin t + t^3$ es suma de dos funciones [impares](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity): [impar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity).

**16.** Factorizamos: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$: $\sin t = 1$ da $t = \frac\pi2$; $\sin t = -\frac12$ da $t = \frac{7\pi}{6}$ y $t = \frac{11\pi}{6}$. Tres soluciones sobre la circunferencia.

**17.** $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$. Así que $\sin(1) \approx 0.841$, mientras que $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$: un factor de casi $50$. Moraleja: comprueba el indicador de modo antes de fiarte de cualquier resultado trigonométrico.

**18.** La [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) es igual a la ordenada sobre la diagonal: $t = \frac\pi4$ y $t = \frac{5\pi}{4}$.

**19.** $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ frente a $0.1$: error relativo de un $0.17\,\%$ aproximadamente. Para ángulos pequeños, la cuerda se abraza al arco, y el límite $\frac{\sin t}{t} \to 1$ del año que viene es exactamente esta observación convertida en teorema.

**20.** [Radianes](#def-g11-trigo-radian): el ángulo es el arco sobre la circunferencia unidad, así que los ángulos se calculan como longitudes. [Coseno](#def-g11-trigo-cossin) y [seno](#def-g11-trigo-cossin): las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de la aguja del reloj, la sombra en el suelo y la altura en la pared. Simetrías de la circunferencia: todo el catálogo de identidades, leído en espejos y medios giros. Ecuaciones $\cos t = c$: el horario del reloj, con la circunferencia mostrando todas las soluciones a la vez. Disfraces: la noria llevaba $65 - 60\cos$ y la marea, $7 + 3\sin$; el mismo reloj, las mismas matemáticas.