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title: "Vectores y rectas en el plano"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano
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# Capítulo 15 — Vectores y rectas en el plano

Los [vectores](#def-g11-vect-vector) codifican desplazamientos; las rectas son sus trayectorias. La herramienta nueva y clave de este capítulo es el *[determinante](#def-g11-vect-det)*, un único número que decide si dos [vectores](#def-g11-vect-vector) son [colineales](#def-g11-vect-collinear) y que, a partir de ahí, produce ecuaciones de rectas y resuelve por puro cálculo las cuestiones de alineación y paralelismo. Las mismas ideas se extienden al espacio en el [Capítulo 31](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/31-vectores-rectas-y-planos-en-el-espacio#ch-g12-space).

## 15.1 Vectores: repaso

**Definición 15.1 (Vector, coordenadas).**

Un *vector* $\vec u$ representa un desplazamiento: todas las flechas de la misma dirección, sentido y longitud representan el mismo vector. En un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), $\vec u\,(x, y)$ recoge el desplazamiento ($x$ en horizontal, $y$ en vertical); para dos puntos $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$,

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

Los vectores se suman coordenada a coordenada, y $\lambda\vec u$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(\lambda x, \lambda y)$.

**Proposición 15.2 (Punto medio).**

El [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M$ del segmento $[AB]$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

**Demostración.** $M$ está caracterizado por $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$: coordenada a coordenada, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$, luego $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, y análogamente para $y_M$. ∎

## 15.2 Colinealidad y determinante

**Definición 15.3 (Vectores colineales).**

Dos [vectores](#def-g11-vect-vector) son *colineales* si uno es múltiplo del otro: $\vec v = \lambda \vec u$ para algún $\lambda \in \R$ (o bien $\vec u = \vec 0$). Geométricamente: tienen la misma dirección, o uno de ellos es nulo.

**Definición 15.4 (Determinante).**

El *determinante* de $\vec u\,(x, y)$ y $\vec v\,(x', y')$ es

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**Teorema 15.5 (Criterio de colinealidad).**

Dos [vectores](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ y $\vec v$ son [colineales](#def-g11-vect-collinear) si y solo si $\det(\vec u, \vec v) = 0$.

**Demostración.** ($\Rightarrow$) Si $\vec v = \lambda\vec u$, entonces $x' = \lambda x$ e $y' = \lambda y$, luego $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$; si $\vec u = \vec 0$, el [determinante](#def-g11-vect-det) es trivialmente $0$.

($\Leftarrow$) Supongamos $xy' - x'y = 0$ con $\vec u \neq \vec 0$, digamos $x \neq 0$ (el caso $y \neq 0$ es simétrico). Tomamos $\lambda = \frac{x'}{x}$. Entonces $x' = \lambda x$ por construcción, y la relación $xy' = x'y = \lambda x y$ da, dividiendo entre $x \neq 0$, $y' = \lambda y$. Por tanto, $\vec v = \lambda \vec u$. ∎

**Ejemplo 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ y $\vec v\,(-6, 4)$: $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, [colineales](#def-g11-vect-collinear) (en efecto, $\vec v = -2\vec u$). $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec w\,(2, 1)$: $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$, no [colineales](#def-g11-vect-collinear).

**Método 15.7 (Alineación de tres puntos).**

$A$, $B$, $C$ están alineados si y solo si $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ son [colineales](#def-g11-vect-collinear): calcula los dos [vectores](#def-g11-vect-vector) y comprueba que $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$.

## 15.3 Ecuaciones generales de rectas

**Definición 15.8 (Vector director).**

Un *vector director* de una recta $d$ es cualquier [vector](#def-g11-vect-vector) no nulo $\vec u$ tal que $\vect{AB}$ es colineal con $\vec u$ para todos los puntos $A, B$ de $d$.

**Teorema 15.9 (Ecuación general).**

Una recta con [vector director](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ admite una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la forma

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

Recíprocamente, toda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de ese tipo describe una recta con [vector director](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$.

**Demostración.** Sea $d$ la recta que pasa por $A(x_A, y_A)$ con dirección $\vec u\,(-b, a)$. Un punto $M(x, y)$ está en $d$ exactamente cuando $\vect{AM}$ es colineal con $\vec u$, es decir ([Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity)), cuando

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la forma anunciada con $c = -(a x_A + b y_A)$. Recíprocamente, las soluciones de $ax + by + c = 0$ con, digamos, $b \neq 0$ son los puntos $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$: restar dos de ellos muestra que toda cuerda es colineal con $(-b, a)$, y siempre existe alguna solución; se trata de la recta que pasa por ella con dirección $(-b, a)$. ∎

**Método 15.10 (Recta que pasa por dos puntos).**

Para hallar una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la recta $(AB)$: calcula el [vector director](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$; identifícalo con $(-b, a)$, es decir, toma $a = y_B - y_A$ y $b = -(x_B - x_A)$; y determina $c$ sustituyendo las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $A$.

**Ejemplo 15.11.**

Recta que pasa por $A(1, 2)$ y $B(4, 3)$: $\vect{AB}\,(3, 1)$, luego $a = 1$, $b = -3$, y la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es $x - 3y + c = 0$. Sustituyendo $A$: $1 - 6 + c = 0$, luego $c = 5$. [Ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation): $x - 3y + 5 = 0$. Comprobación con $B$: $4 - 9 + 5 = 0$.

**Observación 15.12.**

Cuando $b \neq 0$, la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) se puede despejar en $y$: $y = mx + p$ con [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$. La forma general $ax + by + c = 0$ es más amplia: también cubre las rectas verticales ($b = 0$), que no tienen [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine).

![La recta x - 3y + 5 = 0 del , su vector director u = AB (en rojo, aquí a escala 1/2) y los dos puntos usados para construir la ecuación.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*La recta $x - 3y + 5 = 0$ del [Ejemplo 15.11](#ex-g11-vect-twopoints), su [vector director](#def-g11-vect-direction) $\vec u = \vect{AB}$ (en rojo, aquí a escala $\frac12$) y los dos puntos usados para construir la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation).*

## 15.4 Representación paramétrica

**Definición 15.13 (Representación paramétrica).**

La recta que pasa por $A(x_A, y_A)$ con dirección $\vec u\,(\alpha, \beta)$ es el conjunto de los puntos

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

El número $t$ es el *parámetro*: cada valor de $t$ produce un punto de la recta, como si se recorriera a velocidad constante $\vec u$.

**Ejemplo 15.14.**

La recta del [Ejemplo 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) es también $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$: $t = 0$ da $A$ y $t = 1$ da $B$. Eliminando $t$ ($t = y - 2$, luego $x = 1 + 3(y-2)$) se recupera $x - 3y + 5 = 0$.

## 15.5 Posiciones relativas de dos rectas

**Proposición 15.15 (Paralelas o secantes).**

Dos rectas con [vectores directores](#def-g11-vect-direction) $\vec u$ y $\vec v$ son paralelas si y solo si $\det(\vec u, \vec v) = 0$. En forma de ecuaciones: $d : ax + by + c = 0$ y $d' : a'x + b'y + c' = 0$ son paralelas si y solo si $ab' - a'b = 0$. Dos rectas no paralelas se cortan en exactamente un punto.

**Demostración.** El paralelismo significa direcciones [colineales](#def-g11-vect-collinear), que es el [Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity); con $\vec u\,(-b, a)$ y $\vec v\,(-b', a')$, el [determinante](#def-g11-vect-det) es $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$. Si las rectas no son paralelas, resolver las dos ecuaciones simultáneamente (por sustitución o por combinación) lleva a una solución única: el sistema se comporta como un sistema $2 \times 2$ de [determinante](#def-g11-vect-det) no nulo. ∎

**Método 15.16 (Corte de dos rectas).**

Resuelve el sistema de las dos ecuaciones: despeja una incógnita en una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) y sustitúyela en la otra, o combina las ecuaciones para eliminar una incógnita. Comprueba siempre el punto obtenido en *las dos* ecuaciones.

**Ejemplo 15.17.**

Cortemos $d: x - 3y + 5 = 0$ con $d': 2x + y - 4 = 0$. De $d'$: $y = 4 - 2x$. Sustituyendo en $d$:

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

y entonces $y = 2$. Las rectas se cortan en $(1, 2)$. Comprobación en $d$: $1 - 6 + 5 = 0$.

## 15.6 Ejercicios

**Ejercicio 15.1 ★.**

Dados $A(2, -1)$, $B(5, 3)$ y $C(-1, 1)$, calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$, $\vect{AC}$, $\vect{AB} + \vect{AC}$ y $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$, y el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$.

**Solución de Ejercicio 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$, $\vect{AC}\,(-3, 2)$, $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$, $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$. El [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ es $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

**Ejercicio 15.2 ★.**

¿Son [colineales](#def-g11-vect-collinear) los [vectores](#def-g11-vect-vector)?

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ y } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ y } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ y } \vec v\,(0, -8).
$$

**Solución de Ejercicio 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$: [colineales](#def-g11-vect-collinear) (en efecto, $\vec v = -\frac12 \vec u$).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$: no [colineales](#def-g11-vect-collinear).

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$: [colineales](#def-g11-vect-collinear) (los dos son verticales).

**Ejercicio 15.3 ★.**

Halla una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) general de la recta que pasa por $A(2, 1)$ con [vector director](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(3, -1)$, y después la de la recta que pasa por $B(0, 4)$ y $C(2, 0)$.

**Solución de Ejercicio 15.3.**

Por $A(2,1)$ con dirección $(3, -1)$: identificando $(-b, a) = (3, -1)$ se obtiene $a = -1$, $b = -3$, luego $-x - 3y + c = 0$; sustituyendo $A$: $-2 - 3 + c = 0$, $c = 5$. Multiplicando por $-1$: $x + 3y - 5 = 0$.

Por $B(0,4)$ y $C(2,0)$: $\vect{BC}\,(2, -4)$, luego $a = -4$ y $b = -2$: $-4x - 2y + c = 0$; sustituyendo $B$: $-8 + c = 0$, $c = 8$. Simplificando entre $-2$: $2x + y - 4 = 0$. Comprobación con $C$: $4 + 0 - 4 = 0$.

**Ejercicio 15.4 ★.**

Para la recta $d: 3x - 2y + 6 = 0$, da un [vector director](#def-g11-vect-direction) y los cortes con los dos ejes de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), y decide si los puntos $P(2, 6)$ y $Q(1, 4)$ pertenecen a $d$.

**Solución de Ejercicio 15.4.**

Un [vector director](#def-g11-vect-direction) es $(-b, a) = (2, 3)$. Cortes: $x = 0$ da $y = 3$, punto $(0, 3)$; $y = 0$ da $x = -2$, punto $(-2, 0)$. Para $P(2,6)$: $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$, luego $P \in d$. Para $Q(1,4)$: $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$, luego $Q \notin d$.

**Ejercicio 15.5 ★★.**

¿Están alineados los puntos $A(1, 2)$, $B(4, 8)$, $C(-2, -4)$? La misma pregunta para $D(0, 1)$, $E(2, 4)$, $F(5, 9)$.

**Solución de Ejercicio 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ y $\vect{AC}\,(-3, -6)$: $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$, luego $A$, $B$, $C$ están alineados.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ y $\vect{DF}\,(5, 8)$: $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$: $D$, $E$, $F$ no están alineados.

**Ejercicio 15.6 ★★.**

Determina el punto de corte, si existe:

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ y }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ y }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**Solución de Ejercicio 15.6.**

Primera pareja: sumando las dos ecuaciones, $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$, luego $x = 2$ y después $y = x + 1 = 3$: se cortan en $(2, 3)$ (comprobación: $4 + 3 - 7 = 0$).

Segunda pareja: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$, así que las rectas son paralelas; multiplicando $e$ por $-2$ queda $-2x + 4y - 6 = 0$, distinta de $e'$ ($-6 \neq 1$): estrictamente paralelas, sin punto de corte.

**Ejercicio 15.7 ★★.**

Da una representación paramétrica de la recta $d: 2x - y + 3 = 0$ y una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) general de la recta $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$.

**Solución de Ejercicio 15.7.**

Para $d: 2x - y + 3 = 0$: dirección $(-b, a) = (1, 2)$, y el punto $(0, 3)$ está en $d$, así que $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$.

Para la recta paramétrica que pasa por $(1, -3)$ con dirección $(2, 1)$: $a = 1$, $b = -2$, luego $x - 2y + c = 0$; sustituyendo $(1, -3)$: $1 + 6 + c = 0$, $c = -7$. [Ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation): $x - 2y - 7 = 0$ (comprobación con $t = 1$, punto $(3, -2)$: $3 + 4 - 7 = 0$).

**Ejercicio 15.8 ★★.**

Halla la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la recta que pasa por $P(1, -2)$ y es paralela a $d: 4x - 3y + 2 = 0$, y el valor de $m$ para el que la recta $mx + 2y - 5 = 0$ es paralela a $d$.

**Solución de Ejercicio 15.8.**

Una recta paralela tiene los mismos $(a, b)$: $4x - 3y + c = 0$; pasando por $P(1, -2)$: $4 + 6 + c = 0$, luego $c = -10$ y la recta es $4x - 3y - 10 = 0$.

Que $mx + 2y - 5 = 0$ sea paralela a $d$ exige $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$, luego $m = -\frac83$.

**Ejercicio 15.9 ★★.**

Sean $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ y $C(1, -4)$. Halla una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) general de la *[mediana](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-median)* del triángulo $ABC$ que parte de $C$ (la recta que une $C$ con el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$).

**Solución de Ejercicio 15.9.**

El [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ es $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$. La [mediana](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-median) es la recta $(CM)$ con $C(1, -4)$: los dos puntos tienen [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $1$, así que la [mediana](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-median) es la recta vertical

$$
x - 1 = 0 .
$$

**Ejercicio 15.10 ★★.**

¿Para qué valor o valores del parámetro $m$ son [colineales](#def-g11-vect-collinear) los [vectores](#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(m, 2)$ y $\vec v\,(3, m - 1)$?

**Solución de Ejercicio 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$. Se anula cuando $m^2 - m - 6 = 0$: $\Delta = 1 + 24 = 25$, raíces $m = \frac{1 \pm 5}{2}$, es decir, $m = 3$ o $m = -2$.

**Ejercicio 15.11 ★★★.**

Sea $ABCD$ un paralelogramo, sea $I$ el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ y sea $J$ el punto definido por $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$. Trabajando en el [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) en el que $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$ (de modo que $C(1,1)$):

1. Calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $I$ y de $J$ .
2. Demuestra que $A$ , $J$ y $C$ están alineados. (Un hecho bonito: la recta $(DI)$ corta la diagonal $(AC)$ a un tercio de su longitud.)

**Solución de Ejercicio 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$. Entonces $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ y $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$, luego

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ y $\vect{AC}\,(1, 1)$: $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$, así que $A$, $J$, $C$ están alineados; de hecho, $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$: la recta $(DI)$ corta la diagonal $(AC)$ exactamente a un tercio de su longitud desde $A$.

## 15.7 Problema: Rumbos de colisión y coordenadas astutas

**Problema 15.1.**

Problema de fin de semana — que dos rumbos se crucen no es chocar: la máxima aproximación en el mar y teoremas demostrados eligiendo bien el sistema de referencia

Los rumbos rectos de dos barcos se cruzan: ¿tienen que chocar? Solo si llegan al cruce *al mismo tiempo*: las trayectorias son conjuntos de puntos, los movimientos son paramétricos, y confundir ambas cosas ha hundido barcos de verdad. Este problema pone en marcha un pequeño servicio de tráfico marítimo sobre rectas paramétricas ([Definición 15.13](#def-g11-vect-parametric)) y pasa después a la geometría pura con el otro superpoder de las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): *elegirlas* con astucia, como en el [Ejercicio 15.11](#exo-g11-vect-11), para que los teoremas clásicos se demuestren solos.

**Parte I — Rectas, de tres maneras.**

1. Da una representación paramétrica de la recta que pasa por $A(1, 2)$ con [vector director](#def-g11-vect-direction) $\vec u(3, -1)$ y elimina después el parámetro para obtener una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) general.
2. Para la recta $2x - 5y + 3 = 0$ : lee un [vector director](#def-g11-vect-direction) ( [Teorema 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) ), halla un punto y escribe una representación paramétrica.
3. Calcula el punto de corte de las dos rectas de las preguntas 1 y 2 ( [Método 15.16](#met-g11-vect-intersection) ).
4. Confirma con el [determinante](#def-g11-vect-det) ( [Teorema 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) que esas dos rectas tenían que cortarse; y demuestra después que $2x - 5y + 3 = 0$ y $-4x + 10y + 1 = 0$ son estrictamente paralelas.
5. ¿Están alineados $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ ( [Método 15.7](#met-g11-vect-alignment) )?

**Parte II — El servicio de tráfico marítimo.** En el instante $t$ (en horas), el barco $P$ está en $(2t,\ 3 + t)$ y el barco $Q$, en $(10 - t,\ 2t - 1)$ (distancias en millas náuticas).

6. Halla las ecuaciones generales de las dos *trayectorias* y calcula dónde se cruzan.
7. ¿En qué instante pasa cada barco por el punto de cruce? ¿Chocan los barcos? Enuncia en una frase la advertencia general: trayectorias que se cruzan frente a movimientos que se encuentran.
8. Calcula la distancia al cuadrado $D^2(t)$ entre los barcos en el instante $t$ y redúcela a un polinomio de segundo grado en $t$ . ¿En qué instante están más cerca y a qué distancia llegan a estar (la tecnología del vértice del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#pb-g11-quad-1) )?
9. El reglamento exige una separación mínima de $1$ milla. ¿Se incumple? Si es así, resuelve $D^2(t) < 1$ y da la duración del incumplimiento.
10. Explica por qué, para *dos* barcos cualesquiera con rumbo recto y velocidad constante, $D^2(t)$ es siempre una [función de segundo grado](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-quadratic) de $t$ , de manera que el “punto de máxima [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) ” es siempre un cálculo de vértice.
11. Intercepción: una patrullera parte del origen en $t = 0$ con velocidad constante $(a, b)$ y debe encontrarse con el barco $P$ exactamente en $t = 3$ . Calcula el $(a, b)$ necesario y la velocidad de la patrullera.

**Parte III — [Coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) astutas.** Trabajamos en el sistema del [Ejercicio 15.11](#exo-g11-vect-11): el paralelogramo $ABCD$ pasa a ser $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$; sea $I$ el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ y $K$ el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[CD]$.

12. Calcula una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) general de la recta $(DI)$ .
13. Corta $(DI)$ con la diagonal $(AC)$ : recupera el hecho del [Ejercicio 15.11](#exo-g11-vect-11) , o sea, que el corte está exactamente a un tercio del [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) de la diagonal.
14. Ahora la recta $(BK)$ : halla su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) , córtala con $(AC)$ y concluye el teorema clásico completo: *las cevianas $(DI)$ y $(BK)$ dividen la diagonal $(AC)$ en tres partes iguales* .
15. ¿Por qué era legítimo demostrar el teorema en ese único sistema particular? (¿Qué conserva la elección de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) y de qué habla el enunciado?) Responde en dos o tres frases.
16. Otra trisección para practicar: sea $E$ el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ . ¿Dónde corta la recta $(AE)$ a la *otra* diagonal $(DB)$ ?

**Parte IV — Acertijos de posición.**

17. ¿Son concurrentes las tres rectas $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ ? (Corta dos y prueba con la tercera.)
18. Para cada real $m$ , sea $d_m$ la recta $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Demuestra que *todas* las $d_m$ pasan por un mismo [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) . (Agrupa los términos en $m$ .)
19. En la familia $(d_m)$ : ¿qué miembro es paralelo a $y = 2x + 7$ ? ¿Cuál pasa por el origen?
20. Final: los tres disfraces de una recta, el general (pertenencia resuelta con una sustitución), el explícito ( [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) y [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) a la vista) y el paramétrico (movimiento, horarios, intercepción); el [determinante](#def-g11-vect-det) como oráculo del paralelismo; y el sistema de referencia bien elegido como fábrica de teoremas. Una frase para cada uno.

**Solución de Problema 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$, $y = 2 - t$. De la segunda, $t = 2 - y$; sustituyendo: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$: [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) general $x + 3y - 7 = 0$.

**2.** Para $ax + by + c = 0$, un [vector director](#def-g11-vect-direction) es $(-b, a)$: aquí $(5, 2)$. Un punto: $y = 1$ da $x = 1$, o sea, $(1, 1)$. Paramétrica: $x = 1 + 5t$, $y = 1 + 2t$.

**3.** Sustituyendo $x = 7 - 3y$ en $2x - 5y + 3 = 0$: $14 - 6y - 5y + 3 = 0$, luego $y = \frac{17}{11}$ y $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$: el punto $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$.

**4.** Direcciones $(5, 2)$ y $(3, -1)$: $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$: se cortan, como se ha visto. Para la segunda pareja: las direcciones $(5, 2)$ y $(10, 4)$ tienen $\det = 0$ (paralelas) y, doblando $2x - 5y + 3 = 0$, queda $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$: estrictamente paralelas.

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$, $\vect{AC}(9, 6)$: $\det = 18 - 18 = 0$: alineados.

**6.** $P$: de $x = 2t$, $y = 3 + t$ se obtiene $y = 3 + \frac x2$. $Q$: de $x = 10 - t$, $t = 10 - x$, luego $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$. Cruce: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ da $x = 6.4$, $y = 6.2$: las trayectorias se cruzan en $(6.4,\ 6.2)$.

**7.** $P$ pasa por allí cuando $2t = 6.4$: $t = 3.2$ h. $Q$, cuando $10 - t = 6.4$: $t = 3.6$ h. Veinticuatro minutos de [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic): no hay colisión. Advertencia: una carta náutica muestra *trayectorias*; solo los relojes paramétricos dicen si dos movimientos ocupan el mismo punto en el mismo instante.

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$: vértice en $t = \frac{68}{20} = 3.4$ h, donde $D^2 = 0.4$: la máxima [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) es $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ millas en $t = 3.4$.

**9.** Se incumple: $0.63 < 1$. $D^2(t) < 1$ se lee $10t^2 - 68t + 115 < 0$: $\Delta = 4624 - 4600 = 24$, raíces $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$: los barcos están demasiado cerca desde $t \approx 3.16$ hasta $t \approx 3.64$, unos $29$ minutos de infracción. Uno de los dos tiene que cambiar de rumbo.

**10.** Cada coordenada de cada barco es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) *afín* de $t$, así que cada [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) es afín y $D^2$, suma de dos cuadrados de funciones afines, es de segundo grado (con coeficiente principal no negativo). Por eso la máxima [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) se lee siempre en un vértice.

**11.** Encontrarse con $P$ en $t = 3$, es decir, en $(6, 6)$: $(3a, 3b) = (6, 6)$ da $(a, b) = (2, 2)$, con velocidad $\sqrt{8} \approx 2.8$ nudos.

**12.** $D(0, 1)$, $I\left(\frac12, 0\right)$: dirección $\left(\frac12, -1\right)$, es decir, $(1, -2)$: [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$.

**13.** $(AC)$: $y = x$. Entonces $2x + x = 1$: $x = \frac13$: el punto $\left(\frac13, \frac13\right)$, a un tercio del camino de $A$ a $C$.

**14.** $B(1, 0)$, $K\left(\frac12, 1\right)$: dirección $\left(-\frac12, 1\right)$, [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$. Con $y = x$: $x = \frac23$: el punto $\left(\frac23, \frac23\right)$. Las dos cevianas cortan $(AC)$ en sus dos puntos de trisección: teorema demostrado, dos veces tres líneas de aritmética.

**15.** Cualquier paralelogramo se lleva sobre el cuadrado unidad tomando $A$ como origen y $\vect{AB}$ y $\vect{AD}$ como unidades de los dos ejes. Esa elección conserva todo aquello de lo que habla el teorema ([puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint), alineación y razones sobre una misma recta, todo expresable con [vectores](#def-g11-vect-vector) y escalares), así que demostrar el enunciado en el cuadrado lo demuestra para todo paralelogramo. (En cambio, *no* transportaría longitudes ni ángulos: eso sí lo deforma el sistema.)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$: la recta $(AE)$ es $y = \frac x2$. La diagonal $(DB)$, de $(0,1)$ a $(1,0)$, es $y = 1 - x$. Corte: $\frac x2 = 1 - x$: $x = \frac23$: el punto $\left(\frac23, \frac13\right)$, otra vez un punto de trisección, ahora de la otra diagonal. A las cevianas que salen de [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) les encantan los tercios.

**17.** Las dos primeras: $x + y = 4$ y $2x - y = 2$ dan $3x = 6$: $(2, 2)$. La tercera: $2 - 4 = -2$: se cumple. Son concurrentes en $(2, 2)$.

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$: para que la igualdad valga para *todo* $m$, hay que tomar $x = 3$ e $y = 2$; y, en efecto, todas las $d_m$ contienen a $(3, 2)$. Es un haz de rectas por un punto, una recta por cada [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m$.

**19.** Paralela a $y = 2x + 7$: [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$, la recta $2x - y - 4 = 0$. Por el origen: $2 - 3m = 0$: $m = \frac23$.

**20.** General: sustituyes un punto y la pertenencia queda resuelta. Explícita: [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) y [ordenada en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) a la vista, [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) inmediata. Paramétrica: el reloj va incorporado, con colisiones, máxima [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) e intercepción. El [determinante](#def-g11-vect-det): un producto cruzado y el paralelismo queda decidido. El sistema de referencia bien elegido: un paralelogramo se vuelve cuadrado unidad y un teorema clásico de trisección se vuelve tres cortes de rectas.