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title: "El producto escalar en el plano"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano
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# Capítulo 16 — El producto escalar en el plano

El [producto escalar](#def-g11-scal-dot) asocia un *número* a una pareja de [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector), y ese número ve geometría: se anula exactamente para direcciones perpendiculares y mide ángulos y longitudes. Es el motor del teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin), de las ecuaciones de circunferencias y de los cálculos de perpendicularidad. La misma herramienta, en el espacio, es el tema del [Capítulo 31](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/31-vectores-rectas-y-planos-en-el-espacio#ch-g12-space).

## 16.1 Definición y primeros cálculos

**Definición 16.1 (Producto escalar).**

El *producto escalar* de dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vec u$ y $\vec v$ es el número

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

donde $\norm{\vec u}$ designa la longitud (o *norma*) de $\vec u$.

**Teorema 16.2 (Las cuatro caras del producto escalar).**

Sean $\vec u\,(x, y)$ y $\vec v\,(x', y')$ [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) no nulos y sea $\theta$ el ángulo que forman. Entonces

1. *([coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ;
2. *([coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ;
3. *(proyección)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ , donde $\vec v'$ es la proyección ortogonal de $\vec v$ sobre la dirección de $\vec u$ ; si $\vec u = \vect{OA}$ y $\vec v = \vect{OB}$ , entonces $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ , un producto de longitudes con signo, donde $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $B$ a la recta $(OA)$ ;
4. *([normas](#def-g11-scal-dot))* la fórmula de la [Definición 16.1](#def-g11-scal-dot) que lo define.

**Demostración de 1 y 2.** *1.* En [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (Pitágoras) y $\vec u + \vec v$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(x + x', y + y')$, luego

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

tras [desarrollar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand) los cuadrados y cancelar.

*2.* Elegimos el [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de modo que $\vec u$ apunte en el sentido positivo del eje $x$: $\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)$ y $\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)$ ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#ch-g11-trigo)). La fórmula 1 da entonces $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$. La fórmula 3 se lee en el mismo cálculo: la proyección de $\vec v$ sobre el eje $x$ tiene longitud con signo $\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}$. ∎

![La vista de la proyección: u v = OA × OH, donde H es el pie de la perpendicular trazada desde la punta de v. El segmento naranja OH tiene longitud con signo v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*La vista de la proyección: $\vec u \cdot \vec v =
\overline{OA} \times \overline{OH}$, donde $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde la punta de $\vec v$. El segmento naranja $OH$ tiene longitud con signo $\norm{\vec v}\cos\theta$.*

**Ejemplo 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ y $\vec v\,(2, -4)$: $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$. Las [normas](#def-g11-scal-dot) son $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ y $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$, así que $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$: el ángulo es algo menor que $82^\circ$.

**Proposición 16.4 (Reglas algebraicas).**

Para todos los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) y todo $\lambda \in \R$:

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**Demostración.** Todas se siguen de la fórmula en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): por ejemplo, $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$. La última identidad desarrolla $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ con las tres primeras reglas: el [producto escalar](#def-g11-scal-dot) se comporta exactamente como un producto ordinario, así que las identidades algebraicas de siempre valen también para [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector). ∎

## 16.2 Ortogonalidad

**Definición 16.5 (Vectores ortogonales).**

Dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) son *ortogonales*, y se escribe $\vec u \perp \vec v$, si $\vec u \cdot \vec v = 0$.

**Observación 16.6.**

Para [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) no nulos, la fórmula 2 del [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) muestra que $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff$ las direcciones son perpendiculares. El [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) nulo es ortogonal a todo.

**Ejemplo 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ y $\vec v\,(-4, 6)$: $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0$: [ortogonales](#def-g11-scal-orthogonal). En general, $\vec u\,(a, b)$ es siempre ortogonal a $\vec v\,(-b, a)$: un giro de un cuarto de vuelta.

## 16.3 El teorema del coseno

**Teorema 16.8 (Teorema del coseno).**

En un triángulo $ABC$ de lados $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ y ángulo $\widehat A$ en el vértice $A$:

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**Demostración.** Escribimos $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ y desarrollamos con la [Proposición 16.4](#prop-g11-scal-rules):

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

Por la fórmula del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin), $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$. ∎

**Observación 16.9.**

Cuando $\widehat A$ es recto, $\cos\widehat A = 0$ y el teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) se reduce al teorema de Pitágoras $a^2 = b^2 + c^2$: es Pitágoras con un término corrector para los ángulos no rectos.

![El teorema del coseno: conocer dos lados b y c y el ángulo que forman determina el tercer lado a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*El teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin): conocer dos lados $b$ y $c$ y el ángulo que forman determina el tercer lado $a$.*

**Ejemplo 16.10.**

Dos lados de un triángulo miden $b = 5$ y $c = 8$ y forman un ángulo $\widehat A = \frac\pi3$. Entonces

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

luego $a = 7$.

## 16.4 Aplicaciones: circunferencias y rectas perpendiculares

**Proposición 16.11 (Circunferencia de diámetro dado).**

Un punto $M$ está en la circunferencia de diámetro $[AB]$ si y solo si

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**Demostración.** Si $M \neq A, B$, la condición dice que el ángulo en $M$ del triángulo $AMB$ es recto, y los puntos que ven un segmento bajo ángulo recto son exactamente los de la circunferencia que lo tiene por diámetro. He aquí una demostración directa: sea $O$ el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ y $r = \frac{AB}{2}$. Entonces $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ y $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$, luego

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

que se anula exactamente cuando $MO = r$, es decir, cuando $M$ está en la circunferencia de centro $O$ y radio $r$. ∎

**Proposición 16.12 (Vector normal de una recta).**

El [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ es ortogonal a todos los [vectores directores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction) de la recta $d : ax + by + c = 0$; se dice que $\vec n$ es un *vector normal* de $d$. Dos rectas son perpendiculares exactamente cuando sus [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) normales (o sus [vectores directores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction)) son [ortogonales](#def-g11-scal-orthogonal).

**Demostración.** Un [vector director](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction) de $d$ es $\vec u\,(-b, a)$ ([Teorema 15.9](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#thm-g11-vect-cartesian)), y $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$. ∎

**Método 16.13 (Uso de los vectores normales).**

- Recta que pasa por $A$ con normal $\vec n\,(a,b)$ : escribe $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ , que se desarrolla como $ax + by + c = 0$ con $c$ determinado por $A$ .
- Perpendicularidad de $d: ax+by+c = 0$ y $d': a'x+b'y+c' = 0$ : comprueba que $aa' + bb' = 0$ .

**Ejemplo 16.14.**

La recta que pasa por $P(2, -1)$ y es perpendicular a $d : 3x - y + 4 = 0$: un [vector director](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction) de $d$ es $(1, 3)$, que sirve de [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) *normal* de la perpendicular. [Ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation): $x + 3y + c = 0$ con $2 - 3 + c = 0$, luego $c = 1$: la recta es $x + 3y + 1 = 0$.

**Ejemplo 16.15 (Ecuación de una circunferencia).**

La circunferencia de centro $\Omega(1, 2)$ y radio $3$ es el conjunto de los puntos $M(x,y)$ con $\Omega M^2 = 9$:

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

Recíprocamente, $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ se reescribe, completando cuadrados ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ch-g11-quad)), como $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$: la misma circunferencia.

## 16.5 Ejercicios

**Ejercicio 16.1 ★.**

Calcula $\vec u \cdot \vec v$ para

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**Solución de Ejercicio 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$.

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([vectores ortogonales](#def-g11-scal-orthogonal)).

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$.

**Ejercicio 16.2 ★.**

$ABC$ es un triángulo equilátero de lado $6$. Calcula $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ y $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$.

**Solución de Ejercicio 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$.

Los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ y $\vect{BC}$ forman un ángulo de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (colócalos con el mismo origen en $B$), así que $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$.

**Ejercicio 16.3 ★.**

¿Para qué valor de $t$ son [ortogonales](#def-g11-scal-orthogonal) $\vec u\,(3, t)$ y $\vec v\,(t - 8, 1)$? ¿Y para qué valor o valores de $t$ es $\vec u\,(t, 2)$ ortogonal a sí mismo menos $\vec v\,(4, 2)$, es decir, $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$?

**Solución de Ejercicio 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ da $t = 6$.

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$, luego $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$, que se anula para $t = 0$ o $t = 4$.

**Ejercicio 16.4 ★.**

Calcula el ángulo $\theta$ que forman $\vec u\,(1, 2)$ y $\vec v\,(3, 1)$ (da $\cos\theta$ de forma exacta y después $\theta$ redondeado al grado).

**Solución de Ejercicio 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$, $\norm{\vec u} = \sqrt5$, $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$, luego

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

así que $\theta = 45^\circ$ exactamente.

**Ejercicio 16.5 ★★.**

Un triángulo tiene lados $b = 4$ y $c = 6$ que forman un ángulo $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$. Calcula el tercer lado $a$. Después, en un triángulo de lados $a = 7$, $b = 5$, $c = 4$, calcula $\cos\widehat A$ y decide si $\widehat A$ es agudo u obtuso.

**Solución de Ejercicio 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$, luego $a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7$.

Para el segundo triángulo, el teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) despejado en el ángulo da

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

negativo: $\widehat A$ es obtuso.

**Ejercicio 16.6 ★★.**

Sean $A(1, 1)$, $B(5, -1)$ y $C(3, 5)$. Calcula $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$; ¿es recto el ángulo $\widehat A$? Calcula las tres longitudes de los lados y comprueba tu respuesta con el teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin).

**Solución de Ejercicio 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ y $\vect{AC}\,(2, 4)$: $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$, así que el ángulo en $A$ es recto. Lados: $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ y, con $\vect{BC}\,(-2, 6)$, $BC = \sqrt{40}$. Coherencia: $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$, el teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) con $\cos\widehat A = 0$ (Pitágoras).

**Ejercicio 16.7 ★★.**

Da una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia de centro $\Omega(-2, 3)$ y radio $5$. Determina después el centro y el radio de la circunferencia

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

**Solución de Ejercicio 16.7.**

Forma centro–radio: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Para la segunda circunferencia, completamos cuadrados:

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

centro $(3, -1)$, radio $4$.

**Ejercicio 16.8 ★★.**

Sean $A(-3, 0)$ y $B(0, 2)$. Usando la [Proposición 16.11](#prop-g11-scal-diameter), halla una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia de diámetro $[AB]$ y comprueba que el origen $O(0,0)$ está en ella.

**Solución de Ejercicio 16.8.**

$M(x,y)$ está en la circunferencia cuando $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$ con $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ y $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$:

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

Para el origen: $0 + 0 + 0 - 0 = 0$, así que $O$ está en la circunferencia; geométricamente, $\vect{OA}\,(-3,0)$ y $\vect{OB}\,(0,2)$ son [ortogonales](#def-g11-scal-orthogonal), luego $O$ ve $[AB]$ bajo un ángulo recto. (Completando cuadrados: centro $\left(-\frac32, 1\right)$, radio $\frac{\sqrt{13}}{2}$.)

**Ejercicio 16.9 ★★.**

Halla una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la recta que pasa por $P(1, 3)$ y es perpendicular a $d : 2x + y - 7 = 0$, y las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) del pie $H$ de la perpendicular (el corte de las dos rectas). Deduce la distancia de $P$ a $d$.

**Solución de Ejercicio 16.9.**

La perpendicular por $P$ tiene como [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) normal el [vector director](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction) de $d$, es decir, $(-1, 2)$: [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $-x + 2y + c = 0$; pasando por $P(1,3)$: $-1 + 6 + c = 0$, $c = -5$, luego $x - 2y + 5 = 0$.

Corte con $d$: de $2x + y = 7$, $y = 7 - 2x$; sustituyendo, $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$, luego $x = \frac95$ e $y = \frac{17}5$: $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$. Entonces $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ y

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**Ejercicio 16.10 ★★.**

Usando $\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2$ y su análoga para $\vec u - \vec v$, demuestra la *identidad del paralelogramo*:

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

e interprétala en un paralelogramo (diagonales frente a lados).

**Solución de Ejercicio 16.10.**

Sumando

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{y}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2,
$$

los términos cruzados se cancelan y $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 +
2\norm{\vec v}^2$. En un paralelogramo de lados $\vec u$ y $\vec v$, las diagonales son $\vec u + \vec v$ y $\vec u - \vec v$: la suma de los cuadrados de las dos diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

**Ejercicio 16.11 ★★★.**

Sean $A$ y $B$ dos puntos con $AB = 4$ y sea $I$ el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$.

1. Demuestra que para todo punto $M$ se cumple $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ . (Intercala $I$ : $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ .)
2. Deduce el conjunto de los puntos $M$ tales que $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ .

**Solución de Ejercicio 16.11.**

*1.* Como $I$ es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint), $\vect{IB} = -\vect{IA}$ y $IA = 2$. Entonces

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* La condición $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ se convierte en $MI^2 = 16$, es decir, $MI = 4$: el conjunto es la circunferencia de centro $I$ y radio $4$.

## 16.6 Problema: Dos regalos del producto escalar

**Problema 16.1.**

Problema de fin de semana — las fórmulas de adición salen de un producto escalar, la distancia a una recta de otro, y de propina las tres alturas se cortan en un punto

El [producto escalar](#def-g11-scal-dot) parece contabilidad (multiplicar y sumar) y, sin embargo, entrega casi de balde dos tesoros que resistieron siglos de persecución de ángulos: las *fórmulas de adición* de la trigonometría (¡calcular $\cos 15^\circ$ de forma exacta!) y la *distancia de un punto a una recta* en una fracción limpia. Como regalo de despedida demuestra que las tres alturas de cualquier triángulo pasan por un mismo punto. Las cuatro caras del [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) pasarán lista.

**Parte I — Soltura.**

1. Para $\vec u(3, 4)$ y $\vec v(-1, 2)$ : calcula $\vec u \cdot \vec v$ , las dos [normas](#def-g11-scal-dot) y el ángulo que forman los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) (con una décima de grado).
2. Halla $k$ para que $(2, k)$ y $(3, -4)$ sean [ortogonales](#def-g11-scal-orthogonal) ( [Definición 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) ).
3. Cara física: se arrastra un trineo $10$ m con una fuerza de $50$ N que forma $60^\circ$ con el suelo. Calcula el trabajo $W = \vec F \cdot \vec d$ .
4. Teorema del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) ( [Teorema 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ): dos lados de $5$ y $7$ forman un ángulo de $60^\circ$ ; halla el tercer lado de forma exacta.
5. Al revés: un triángulo tiene lados $4$ , $6$ y $8$ . Calcula el [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) del ángulo opuesto al lado $8$ , clasifica el ángulo y dalo con una décima de grado.

**Parte II — Primer regalo: las fórmulas de adición.** Sean $\vec u = (\cos a, \sin a)$ y $\vec v = (\cos b, \sin b)$: dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) unitarios de ángulos $a$ y $b$.

6. Calcula $\vec u \cdot \vec v$ dos veces, una con [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) y otra con las [normas](#def-g11-scal-dot) y el ángulo que forman los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector), y concluye la fórmula madre: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. Sustituye $b$ por $-b$ (¡paridad del [seno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) y del [coseno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) !) para obtener $\cos(a + b)$ .
8. Obtén $\sin(a + b)$ a partir de la identidad de los ángulos complementarios $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ aplicada a $x = a + b$ .
9. Por fin valores exactos: calcula $\cos 15^\circ$ (como $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ ) y $\sin 75^\circ$ . Comprueba los dos numéricamente.
10. Toma $b = a$ para deducir las fórmulas del ángulo doble: $\cos 2a$ (en sus tres formas) y $\sin 2a$ .
11. A partir de $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ , calcula $\sin^2 15^\circ$ y después $\sin 15^\circ$ como un radical anidado, y comprueba que su cuadrado coincide con el valor $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ que da el método de la pregunta 9.

**Parte III — Segundo regalo: la distancia a una recta.**

12. Sea $d$ la recta $ax + by + c = 0$, con [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) normal $\vec n(a, b)$ ([Proposición 16.12](#prop-g11-scal-normal)), y sea $P(x_0, y_0)$ un punto. Tomando un punto $A$ cualquiera de $d$, explica por qué la distancia de $P$ a $d$ es $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$ y deduce la fórmula $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ Calcula la distancia de $P(5, 6)$ a $3x + 4y - 12 = 0$.
13. Escribe la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia de centro $(5, 6)$ [tangente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-tangent) a esa recta.
14. Contrasta la fórmula: calcula la distancia del origen a $3x + 4y - 12 = 0$ y verifícala calculando explícitamente el pie de la perpendicular desde el origen.
15. Triángulo $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,5)$ : calcula su área tomando como base $[AB]$ ; calcula después la distancia de $B$ a la recta $(AC)$ y comprueba que reproduce la misma área.
16. La circunferencia de centro $(2, 1)$ y radio $2$ , frente a la recta $x + y - 6 = 0$ : calcula la distancia del centro a la recta y clasifica su posición relativa ( [secante](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-rate) , [tangente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-tangent) o exterior).

**Parte IV — La propina: las alturas concurren.**

17. Generaliza el [Ejercicio 16.11](#exo-g11-scal-11): para dos puntos cualesquiera $A$ y $B$ de [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$, demuestra que $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{para todo punto } M .$$
18. Deduce la [Proposición 16.11](#prop-g11-scal-diameter) en una línea: el conjunto de los puntos $M$ con $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ es la circunferencia de diámetro $[AB]$ .
19. Las alturas: sea $H$ el corte de las alturas desde $A$ y desde $B$ en un triángulo $ABC$ (de modo que $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ y $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$). Demuestra la identidad $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ desarrollándolo todo desde $H$ con Chasles, y concluye que $H$ está también sobre la altura desde $C$: las tres alturas son concurrentes (en el *ortocentro*).
20. Final: cuatro caras, tres trofeos. ¿Qué cara del [Teorema 16.2](#thm-g11-scal-faces) llevó las fórmulas de adición, cuál la fórmula de la distancia y cuál el [ortocentro](#pb-g11-scal-1) ? ¿Y por qué “calcular dos veces la misma cantidad” es el lema de todo el capítulo?

**Solución de Problema 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$; $\norm{\vec u} = 5$, $\norm{\vec v} = \sqrt5$; $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} =
\frac{1}{\sqrt5}$: $\theta \approx 63.4^\circ$.

**2.** $6 - 4k = 0$: $k = \frac32$.

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ julios: solo trabaja la componente en la dirección del movimiento.

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$: $c = \sqrt{39}$.

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} =
-\frac14$: negativo, el ángulo es obtuso: $\gamma \approx 104.5^\circ$.

**6.** Con [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): $\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b$. Con geometría: son dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) unitarios, luego $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)$. Igualando los dos cálculos del mismo número: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b
= \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 =
\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$. Y $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$: el mismo valor.

**10.** Con $b = a$ en las preguntas 7 y 8: $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ (usando $\cos^2 + \sin^2 = 1$), y $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}
= \frac{2 - \sqrt3}{4}$, luego $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$. Elevando al cuadrado $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$: $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$: el mismo número con dos disfraces.

**12.** $\vect{AP}$ se descompone en una parte paralela a $d$ (invisible para $\vec n$) y otra perpendicular a $d$, cuya longitud es la distancia buscada; multiplicar escalarmente por la normal unitaria $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ mata la primera parte y mide la segunda. Con $A$ en $d$: $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 -
(a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c$, de donde la fórmula. Ejemplo: $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.

**13.** Radio $= 5.4$: $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$.

**14.** Distancia $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$. Pie: la perpendicular por el origen es $(3t, 4t)$; sobre la recta: $9t + 16t = 12$, $t = \frac{12}{25}$: el pie es $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$, a distancia $5t = \frac{60}{25} = 2.4$. La fórmula y el cálculo honrado coinciden.

**15.** Base $AB = 6$ y altura $=$ distancia de $C$ a $(AB)$ (el eje $y = 0$): $5$; área $15$. Recta $(AC)$: $5x - 2y = 0$, y $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$; entonces $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} =
\frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$: la misma área, con cualquiera de las dos alturas.

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}{\sqrt2} =
\frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$: la recta pasa de largo sin tocar la circunferencia; son exteriores.

**17.** Intercalamos $I$: $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} +
\vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}$. El término central muere ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$) y $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ ([vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) opuestos de longitud $\frac{AB}2$).

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4}
\iff MI = \frac{AB}{2}$: la circunferencia de centro $I$ y radio $\frac{AB}2$, o sea, la de diámetro $[AB]$.

**19.** Desarrollando cada pareja desde $H$ ($\vect{BC} =
\vect{HC} - \vect{HB}$, etc.):

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

todo se cancela por parejas; la identidad vale para *cuatro* puntos cualesquiera. Para nuestro $H$, los dos primeros [productos escalares](#def-g11-scal-dot) se anulan por hipótesis, luego $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$: $H$ está sobre la altura desde $C$. Tres alturas, un punto.

**20.** Las fórmulas de adición salieron de calcular un mismo [producto escalar](#def-g11-scal-dot) con la cara de las *[coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)* y con la de las *[normas](#def-g11-scal-dot) y el ángulo*; la fórmula de la distancia, de la cara de la *proyección*; el [ortocentro](#pb-g11-scal-1), de la cara de la *bilinealidad* (Chasles y [desarrollar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand)). Calcula dos veces la misma cantidad, iguala y cae un teorema: ese es todo el oficio del [producto escalar](#def-g11-scal-dot).