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title: "Probabilidad y variables aleatorias"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias
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# Capítulo 18 — Probabilidad y variables aleatorias

La [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) modeliza experimentos cuyo resultado es incierto: lanzar un dado, sacar una carta, jugar una partida. Este capítulo monta el vocabulario sobre conjuntos finitos y presenta después al personaje central de toda la teoría de la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution): la *[variable aleatoria](#def-g11-prob-rv)* y su *[esperanza](#def-g11-prob-expectation)*. Estas nociones se repasan y se profundizan en el [Capítulo 33](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#ch-g12-randvar), y las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) condicionadas llegan en el [Capítulo 32](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#ch-g12-condprob).

## 18.1 Probabilidad sobre un conjunto finito

**Definición 18.1 (Modelo probabilístico).**

Un experimento con un número finito de resultados se modeliza mediante su *espacio muestral* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (el conjunto de los resultados) junto con una *[probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution)* $\P$ que asigna a cada resultado $\omega_i$ un número $p_i \geq 0$, con $p_1 + \dots + p_n = 1$. Un *suceso* es un subconjunto $A \subseteq \Omega$, y

$$
\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .
$$

Cuando todos los resultados son equiprobables ($p_i = \frac1n$: el *modelo uniforme*),

$$
\P(A) = \frac{\text{número de resultados de } A}
{\text{número de resultados de } \Omega}.
$$

**Ejemplo 18.2.**

Lanzamos dos dados distinguibles: $\Omega$ es el conjunto de las $36$ parejas ordenadas $(i, j)$ con $1 \leq i, j \leq 6$, todas equiprobables. El [suceso](#def-g11-prob-model) $S$ = “la suma es $7$” contiene las $6$ parejas $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$, luego $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$. El [suceso](#def-g11-prob-model) “la suma es $12$” contiene solo $(6,6)$: [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{36}$. Elegir el [espacio muestral](#def-g11-prob-model) *adecuado* (parejas ordenadas, no desordenadas) es lo que hace aplicable el [modelo uniforme](#def-g11-prob-model).

**Proposición 18.3 (Reglas de la probabilidad).**

Para [sucesos](#def-g11-prob-model) $A, B \subseteq \Omega$:

$$
\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A),
$$

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
$$

donde $\bar A$ es el *[suceso contrario](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-operations)* de $A$ (todos los resultados que no están en $A$). En particular, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ cuando $A$ y $B$ son *[incompatibles](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-operations)* ($A \cap B = \emptyset$).

**Demostración.** El [suceso](#def-g11-prob-model) vacío no contiene ningún resultado (suma vacía) y $\Omega$ los contiene todos (suma total $1$). Cada resultado está exactamente en uno de $A$ o $\bar A$, luego $\P(A) + \P(\bar A) = 1$. Para la [unión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion): sumar los $p_i$ sobre $A$ y después sobre $B$ cuenta dos veces los resultados de $A \cap B$; restar $\P(A \cap B)$ corrige ese doble recuento. ∎

**Ejemplo 18.4.**

En una clase, el $60\,\%$ estudia música ($M$), el $45\,\%$ practica algún deporte ($S$) y el $25\,\%$ hace las dos cosas. La proporción que hace al menos una es $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$, así que el $20\,\%$ no hace ninguna ([suceso contrario](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-operations)).

## 18.2 Variables aleatorias

**Definición 18.5 (Variable aleatoria, distribución).**

Una *variable aleatoria* sobre $\Omega$ es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $X$ que asigna un número a cada resultado. Su *distribución* es la tabla de sus valores posibles $x_1, \dots, x_k$ junto con sus [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution)

$$
\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr),
\qquad
\sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .
$$

**Ejemplo 18.6.**

Un juego: pagas $2$ euros, lanzas un dado no trucado y recibes el valor que salga si es al menos $5$, y nada en los demás casos. Sea $G$ la *ganancia* (lo recibido menos lo pagado). Los resultados $1, 2, 3, 4$ dan $G = -2$; el resultado $5$ da $G = 3$; el resultado $6$ da $G = 4$. La [distribución](#def-g11-prob-rv) de $G$:

| $g$ | $-2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G = g)$ | $\dfrac46$ | $\dfrac16$ | $\dfrac16$ |

**Método 18.7 (Construir una tabla de distribución).**

Enumera los valores posibles de $X$; para cada valor, reúne los resultados que lo producen y suma sus [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution); y comprueba que la fila de [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) suma $1$.

## 18.3 Esperanza

**Definición 18.8 (Esperanza).**

La *esperanza* (o [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean)) de $X$ es el promedio de sus valores ponderado por sus [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution):

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .
$$

**Observación 18.9.**

$\E(X)$ es lo que sería la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) de un número enorme de repeticiones independientes del experimento; la versión precisa de esta afirmación es la ley de los grandes números, que se demuestra en el [Capítulo 34](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/34-sumas-de-variables-aleatorias-y-la-ley-de-los-grandes-numeros#ch-g12-sums). Fíjate en la analogía formal con la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) de un conjunto de datos con frecuencias ([Definición 17.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean)): las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) hacen el papel de las [frecuencias relativas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-series) $\frac{n_i}{n}$.

**Ejemplo 18.10.**

Para el juego del [Ejemplo 18.6](#ex-g11-prob-game):

$$
\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4
= \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .
$$

De [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean), el jugador pierde unos $17$ céntimos por partida: el juego es desfavorable. Un juego se llama *equitativo* cuando la ganancia esperada es $0$.

**Proposición 18.11 (Linealidad).**

Para todos los reales $a, b$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .
$$

**Demostración.** La variable $aX + b$ toma el valor $a x_i + b$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\P(X = x_i)$, luego

$$
\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b)
= a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X =
x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .
$$

∎

## 18.4 Varianza y desviación típica

**Definición 18.12 (Varianza).**

La *varianza* de $X$ mide la dispersión de sus valores alrededor de la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) $m = \E(X)$:

$$
\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr)
= \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposición 18.13 (Fórmula abreviada).**

$$
\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

**Demostración.** Desarrollamos $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dentro de la suma:

$$
\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2
- 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i)
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,
$$

que es $\E(X^2) - m^2$. Es la versión para [variables aleatorias](#def-g11-prob-rv) de la identidad demostrada para conjuntos de datos en la [Proposición 17.7](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#prop-g11-stat-shortcut). ∎

**Proposición 18.14 (Transformación afín).**

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ y $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$.

**Demostración.** Por linealidad, $aX + b$ se aparta de su [esperanza](#def-g11-prob-expectation) $a m + b$ en $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$: cada desviación queda multiplicada por $a$, luego cada desviación al cuadrado por $a^2$, y su [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) ponderada también. El desplazamiento $b$ ha desaparecido: desplazar una variable no cambia su dispersión. ∎

**Ejemplo 18.15.**

Para el juego del [Ejemplo 18.6](#ex-g11-prob-game): $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16
= \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$, luego

$$
\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2
= \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad
\sigma(G) \approx 2.6 .
$$

La pérdida [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) de $0.17$ por partida viene acompañada de vaivenes de tamaño típico $2.6$ euros: la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) sin [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) solo cuenta la mitad de la historia.

![La distribución de la ganancia G del y su esperanza (G) = -1/6 (línea discontinua): el punto de equilibrio de las masas de probabilidad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-prob/fig-10cbaf11787d.svg)

*La [distribución](#def-g11-prob-rv) de la ganancia $G$ del [Ejemplo 18.6](#ex-g11-prob-game) y su [esperanza](#def-g11-prob-expectation) $\E(G) = -\frac16$ (línea discontinua): el punto de equilibrio de las masas de [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution).*

## 18.5 Ejercicios

**Ejercicio 18.1 ★.**

Se saca una carta de una baraja de $52$ cartas. Calcula la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de sacar: una carta de corazones; un rey; una carta de corazones o un rey; ni corazones ni rey.

**Solución de Ejercicio 18.1.**

[Modelo uniforme](#def-g11-prob-model) sobre $52$ cartas. Corazones: $\frac{13}{52} = \frac14$. Reyes: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. Corazones o rey: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (el rey de corazones se cuenta una sola vez). Ninguna de las dos cosas: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.

**Ejercicio 18.2 ★.**

Se lanzan dos dados no trucados y se anota su suma $S$. Usando el modelo de $36$ resultados del [Ejemplo 18.2](#ex-g11-prob-twodice), calcula $\P(S = 6)$, $\P(S \geq 10)$ y $\P(S \text{ es par})$.

**Solución de Ejercicio 18.2.**

$S = 6$: las parejas $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$, luego $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$.

$S \geq 10$: tres parejas para $10$, dos para $11$ y una para $12$: $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$.

$S$ par: las sumas $2, 4, 6, 8, 10, 12$ tienen $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ parejas: [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{36} = \frac12$.

**Ejercicio 18.3 ★.**

Una [variable aleatoria](#def-g11-prob-rv) tiene la [distribución](#def-g11-prob-rv)

| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(X=x)$ | $0.3$ | $0.2$ | $0.4$ | $p$ |

Halla $p$ y calcula después $\E(X)$.

**Solución de Ejercicio 18.3.**

Las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) suman $1$: $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$. Entonces

$$
\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5
= -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .
$$

**Ejercicio 18.4 ★.**

$X$ cumple $\E(X) = 3$ y $\V(X) = 4$. Da la [esperanza](#def-g11-prob-expectation), la [varianza](#def-g11-prob-variance) y la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de $Y = 2X - 5$.

**Solución de Ejercicio 18.4.**

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$; $\sigma(Y) = 4$.

**Ejercicio 18.5 ★★.**

Una ruleta de la fortuna tiene $10$ sectores iguales: $5$ marcan $0$ euros, $3$ marcan $2$ euros y $2$ marcan $5$ euros. Jugar cuesta $2$ euros. Da la [distribución](#def-g11-prob-rv) de la ganancia $G$ (lo ganado menos la apuesta), calcula $\E(G)$ y decide si el juego es favorable.

**Solución de Ejercicio 18.5.**

Lo ganado es $0$, $2$ o $5$ euros con [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.5$, $0.3$ y $0.2$; restando la apuesta de $2$ euros, $G$ toma los valores $-2, 0, 3$:

| $g$ | $-2$ | $0$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $0.5$ | $0.3$ | $0.2$ |

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$: el jugador pierde $40$ céntimos por partida de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean); desfavorable.

**Ejercicio 18.6 ★★.**

Una urna contiene $3$ bolas rojas y $2$ azules; se sacan dos bolas *sin* devolución. Sea $X$ el número de bolas rojas extraídas. Construye la [distribución](#def-g11-prob-rv) de $X$ (enumerando las $20$ extracciones ordenadas o con un [árbol](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#met-g10-proba-tree)) y calcula $\E(X)$.

**Solución de Ejercicio 18.6.**

Extrayendo en orden: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (roja y roja); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (azul y azul); por tanto, $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$. Entonces

$$
\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10}
= \frac{12}{10} = 1.2 ,
$$

coherente con la intuición: de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean), $\frac35$ de las dos extracciones son rojas.

**Ejercicio 18.7 ★★.**

Para la ruleta del [Ejercicio 18.5](#exo-g11-prob-5), calcula $\V(G)$ y $\sigma(G)$.

**Solución de Ejercicio 18.7.**

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$, así que por la fórmula abreviada $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ y $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

**Ejercicio 18.8 ★★.**

Una compañía de seguros vende una póliza por $80$ euros. Con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.05$ el cliente reclama $1000$ euros, con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.01$ reclama $5000$ euros y, en los demás casos, nada. Sea $B$ el beneficio de la compañía en una póliza. Da la [distribución](#def-g11-prob-rv) de $B$, calcula $\E(B)$ e interpreta el resultado.

**Solución de Ejercicio 18.8.**

El beneficio son los $80$ menos la reclamación:

| $b$ | $80$ | $-920$ | $-4920$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(B=b)$ | $0.94$ | $0.05$ | $0.01$ |

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$: a ese precio, la compañía *pierde* $20$ euros por póliza de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean). La prima es demasiado baja para los riesgos cubiertos (tendría que pasar de $100$ euros para que el beneficio esperado fuera positivo).

**Ejercicio 18.9 ★★.**

Una pregunta de tipo test tiene $4$ respuestas, una correcta. Una respuesta correcta puntúa $+1$; para desincentivar el azar, una respuesta equivocada puntúa $x < 0$. Un alumno responde al azar. ¿Para qué valor de $x$ es nula la puntuación esperada del alumno?

**Solución de Ejercicio 18.9.**

La puntuación aleatoria es $+1$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ y $x$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac34$:

$$
\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .
$$

Con la penalización $-\frac13$, responder al azar no aporta nada de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean).

**Ejercicio 18.10 ★★.**

Se lanzan dos monedas no trucadas. Ana propone: “si las dos monedas coinciden, te pago $1$ euro; si son distintas, me pagas $1$ euro”. Calcula la ganancia esperada de cada jugador. ¿Es equitativo el juego? La misma pregunta con tres monedas, en la que Ana paga $2$ euros si las tres coinciden.

**Solución de Ejercicio 18.10.**

Dos monedas: coinciden (CC o XX) con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac24 \times 2 = \frac12$. La ganancia del jugador es $+1$ o $-1$ con la misma [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution): [esperanza](#def-g11-prob-expectation) $0$ para los dos jugadores; el juego es equitativo.

Tres monedas: las tres coinciden (CCC o XXX) con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac{2}{8} = \frac14$. El jugador recibe $2$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ y paga $1$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac34$: $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$. El juego favorece a Ana en $25$ céntimos por ronda; sería equitativo si pagase $3$ euros por un triple.

**Ejercicio 18.11 ★★★.**

Una rifa vende $1000$ papeletas a $5$ euros cada una. Una papeleta gana $2000$ euros, cinco papeletas ganan $200$ euros y veinte papeletas ganan $25$ euros.

1. Da la [distribución](#def-g11-prob-rv) de la recaudación total del organizador menos los premios, y la de la ganancia $G$ de un jugador cualquiera.
2. Calcula $\E(G)$ y el beneficio total esperado del organizador. Comprueba que las dos respuestas son coherentes.

**Solución de Ejercicio 18.11.**

*1.* El organizador recibe $1000 \times 5 = 5000$ euros y reparte $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros en total: el beneficio es la *constante* $1500$ (no hay azar una vez vendidas todas las papeletas). La ganancia $G$ de un jugador (premio menos los $5$ euros de la papeleta):

| $g$ | $1995$ | $195$ | $20$ | $-5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $\dfrac{1}{1000}$ | $\dfrac{5}{1000}$ | $\dfrac{20}{1000}$ | $\dfrac{974}{1000}$ |

*2.*

$$
\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000}
= \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .
$$

Cada jugador espera perder $1.50$ euros; con $1000$ jugadores son $1500$ euros, exactamente el beneficio del organizador. Las cuentas cuadran: lo que los jugadores pierden de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) es justo lo que el organizador recauda.

## 18.6 Problema: La partida interrumpida

**Problema 18.1.**

Problema de fin de semana — Pascal, Fermat y el reparto justo de una apuesta interrumpida: el nacimiento de la esperanza, la magia de la linealidad y lo que la esperanza no ve

En 1654, el caballero de Méré, el mismo jugador cuyas apuestas con dados abrieron el problema de [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) del volumen anterior, le planteó a Blaise Pascal una pregunta más profunda: dos jugadores igual de hábiles tienen que interrumpir su serie con el marcador $5$ a $3$, y seis victorias se llevan el bote de $64$ pistolas. *¿Cómo hay que repartir el bote de forma justa?* Las cartas entre Pascal y Fermat que la respondieron fundaron el concepto que está en el corazón de este capítulo: la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) ([Definición 18.8](#def-g11-prob-expectation)). Vas a rehacer su respuesta por los dos caminos, y después conocerás el truco de fiesta de la linealidad y el único punto ciego de la [esperanza](#def-g11-prob-expectation).

**Parte I — Soltura con la [esperanza](#def-g11-prob-expectation).**

1. Lanzas un dado no trucado; tu ganancia es (cara $- 3$ ) euros. Construye la tabla de [distribución](#def-g11-prob-rv) de la ganancia $G$ ( [Método 18.7](#met-g11-prob-table) ) y calcula $\E(G)$ .
2. Calcula $V(G)$ con la fórmula abreviada ( [Proposición 18.13](#prop-g11-prob-konig) ) y $\sigma(G)$ (con dos decimales).
3. Sin ninguna tabla nueva, da $\E(2G - 1)$ y $V(2G - 1)$ ( [Proposición 18.14](#prop-g11-prob-affine) ).
4. Un puesto cobra $m$ euros por lanzar dos dados y te entrega la suma en euros. ¿Cuál es el precio *justo* $m$ ? El puesto cobra $8$ : ¿cuál es tu pérdida esperada por partida?
5. Un ordenador portátil que vale $800$ euros tiene un $5\,\%$ de [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de destrucción cada año. Calcula la prima de seguro justa y el beneficio esperado de la aseguradora por póliza si cobra $60$ euros.

**Parte II — Repartir el bote.** Marcador $5$–$3$, gana el bote de $64$ pistolas el primero que llegue a $6$, y cada ronda equivale a lanzar una moneda no trucada.

6. Dos respuestas equivocadas muy tentadoras: repartir $5 : 3$ (proporcionalmente a las rondas ganadas) o dárselo todo al que va por delante. Di en una frase qué tiene de injusta cada una.
7. El método de Fermat: el jugador A necesita $1$ victoria más y B necesita $3$ ; imagina que se juegan exactamente $3$ rondas más pase lo que pase. Enumera los $8$ resultados equiprobables, marca quién gana la serie en cada uno y deduce el reparto justo de las $64$ pistolas.
8. El punto delicado que Fermat tuvo que defender: la partida real podría acabarse tras una sola ronda; ¿por qué es legítimo, a pesar de ello, razonar sobre las $3$ rondas imaginarias?
9. El método de Pascal, hacia atrás desde el final: calcula la parte justa de A en los marcadores (hipotéticos) $5$ – $5$ , después $5$ – $4$ y después $5$ – $3$ , promediando cada vez los dos futuros equiprobables. Compara con la pregunta 7.
10. La misma pregunta con el marcador $4$ – $3$ : ¿cuántas rondas imaginarias hacen falta, qué resultados dan la serie a B y cuál es el reparto justo?
11. Enuncia el principio que comparten los dos métodos (el valor justo de un futuro incierto es su *[esperanza](#def-g11-prob-expectation)* ) y nombra dos industrias modernas que funcionan enteramente sobre él (la pregunta 5 muestra una).
12. Una comprobación válida para cualquier marcador: explica, con la linealidad de la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) ( [Proposición 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), por qué las partes justas de los dos jugadores tienen que sumar exactamente el bote de $64$ pistolas.

**Parte III — El truco de fiesta de la linealidad.**

13. Recupera $\E(\text{suma de dos dados}) = 7$ en una línea con la linealidad ( [Proposición 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), sin ninguna tabla de $36$ casillas. Para la *[varianza](#def-g11-prob-variance)* de la suma, la regla $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ exige que los dados sean independientes (se admite): calcúlala.
14. La fiesta de los sombreros: $n$ invitados tiran sus sombreros a un montón y cada uno recoge uno al azar. Sea $X$ el número de invitados que recuperan su propio sombrero. Para un invitado fijado, ¿cuál es la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de recuperar el suyo? Sumando esas $n$ [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) (¡linealidad!), calcula $\E(X)$ . La respuesta debería sorprenderte: no depende de $n$ .
15. Comprueba $\E(X) = 1$ por fuerza bruta para $n = 2$ y $n = 3$ (enumera los $2$ y los $6$ repartos equiprobables de sombreros y promedia los recuentos).
16. Los aciertos de los invitados están lejos de ser independientes (si $n - 1$ invitados han recuperado el suyo, el último también lo recupera por fuerza). ¿En qué punto exacto del cálculo de la pregunta 14 *no* hizo falta la independencia? Enuncia el superpoder de la linealidad.

**Parte IV — Lo que la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) no ve.**

17. Dos rascas de $5$ euros: el rasca A gana $10$ euros con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac12$ ; el rasca B gana $1\,000$ euros con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.005$ . Comprueba que las dos ganancias tienen la misma [esperanza](#def-g11-prob-expectation) y calcula después las dos [varianzas](#def-g11-prob-variance) . ¿Qué rasca compra la gente de verdad y qué es lo que está comprando?
18. El juego de San Petersburgo: lanzas una moneda hasta la primera cruz; si la primera cruz sale en el lanzamiento $n$ , recibes $2^n$ euros. Calcula la aportación de cada $n$ a la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) y la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) misma. ¿Pagarías $1\,000$ euros por jugar una vez? ¿Qué enseña este choque sobre la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) ?
19. El seguro desde el lado del cliente: ¿pagar $20$ euros o afrontar un riesgo del $1\,\%$ de perder $1\,000$ ? Compara las dos [esperanzas](#def-g11-prob-expectation) y explica por qué contratar el seguro puede ser racional de todos modos (¿sobre qué no puede “promediar” una sola familia?).
20. Final: la biografía de la [esperanza](#def-g11-prob-expectation) , una frase por capítulo: nació en 1654 para repartir un bote; su superpoder es la linealidad, que suma [esperanzas](#def-g11-prob-expectation) sin preguntar por la independencia (los sombreros); su punto ciego es el riesgo, que mide la [varianza](#def-g11-prob-variance) (los rascas, San Petersburgo, el seguro); y su coronación llega el año que viene, cuando la ley de los grandes números explique exactamente por qué la banca siempre gana.

**Solución de Problema 18.1.**

**1.** $G$ toma los valores $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, cada uno con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac16$: $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} =
\frac12$ euro.

**2.** $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$; $\sigma(G) \approx 1.71$.

**3.** $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$.

**4.** $\E(\text{suma}) = 7$: precio justo, $7$ euros. A $8$, la pérdida esperada es de $1$ euro por partida.

**5.** Prima justa: $0.05 \times 800 = 40$ euros. Cobrando $60$: un beneficio esperado de $20$ euros por póliza.

**6.** Repartir $5:3$ premia el *pasado*, pero el bote es de quien gane el *futuro*, y B todavía podría ganar. Dárselo todo a A trata una victoria probable como si fuera segura: la pequeña opción de B vale algo.

**7.** Rondas por jugar: $3$; resultados (victoria de A o de B por ronda): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. B se lleva la serie solo si gana las tres: únicamente BBB. A gana la serie en $7$ de los $8$ casos: reparto justo, $64 \times \frac78 = 56$ pistolas para A y $8$ para B.

**8.** Jugar rondas de más, ya inútiles, no cambia la victoria de nadie: una vez que A tiene su sexta victoria, las rondas posteriores son pura ceremonia. Pero fijar el horizonte en exactamente $3$ rondas hace equiprobables los $8$ resultados; contar con honradez exige historias de la misma longitud, y alargarlas no cuesta nada.

**9.** En $5$–$5$: una ronda decisiva, $32$ para cada uno. En $5$–$4$: A obtiene $\frac{64 + 32}{2} = 48$. En $5$–$3$: la ronda siguiente lleva a $64$ (si la gana A) o a la posición $5$–$4$, que vale $48$: la parte de A es $\frac{64 + 48}{2} = 56$; el $56 : 8$ de Fermat, deducido caminando hacia atrás.

**10.** A necesita $2$ y B necesita $3$: se juegan $4$ rondas imaginarias ($16$ resultados). B se lleva la serie con $3$ o $4$ victorias suyas: $4 + 1 = 5$ resultados. Reparto: B: $64 \times \frac{5}{16} = 20$; A: $44$.

**11.** El valor presente justo de un pago futuro incierto es su [esperanza](#def-g11-prob-expectation), o sea, el promedio de lo que puede venir ponderado por las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution). Los seguros (pregunta 5) y las finanzas (valorar pagos inciertos) son esa frase convertida en industrias; y los casinos también, desde el otro lado de la mesa.

**12.** El bote acaba siempre en algún sitio: las dos partes son [variables aleatorias](#def-g11-prob-rv) cuya suma es la constante $64$, así que por linealidad $\E_A + \E_B = 64$; las partes justas agotan el bote, sea cual sea el marcador.

**13.** Linealidad: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$, sin tabla, y cierto incluso con dos dados pegados. [Varianza](#def-g11-prob-variance) de un dado: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$; para dados independientes, $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

**14.** Cada invitado fijado recupera su propio sombrero con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$ (el suyo es uno entre $n$). Sumando sobre los $n$ invitados: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$; un invitado afortunado de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean), tenga la fiesta dos sombreros o dos mil.

**15.** $n = 2$: los repartos son “los dos aciertan” ($X = 2$) o “intercambiados” ($X = 0$): $\E = 1$. $n = 3$: los seis repartos dan $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$: $\E = \frac{6}{6} = 1$.

**16.** El cálculo sumó las [esperanzas](#def-g11-prob-expectation) de los $n$ indicadores individuales (“el invitado $i$ recuperó su sombrero”), y la linealidad suma [esperanzas](#def-g11-prob-expectation) *sin condiciones*: la dependencia arruinaría un producto o una [varianza](#def-g11-prob-variance), pero nunca una suma de [esperanzas](#def-g11-prob-expectation). Ese es el superpoder de la linealidad: no hace preguntas sobre independencia.

**17.** Las dos ganancias: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ y $0.005 \times 1000 - 5 = 0$. [Varianzas](#def-g11-prob-variance) (de la ganancia): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$: $\sigma_A = 5$ y $\sigma_B \approx 70.5$. La gente compra el B: lo que compra no es [esperanza](#def-g11-prob-expectation) (nula en los dos casos), sino *dispersión*: una pequeña opción de una cola derecha que cambia la vida.

**18.** Que la primera cruz salga en el lanzamiento $n$ tiene [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $2^{-n}$ y paga $2^n$: cada $n$ aporta $2^{-n} \times 2^n = 1$ a la [esperanza](#def-g11-prob-expectation), que es por tanto $1 + 1 + 1 + \dots$: infinita. Y, sin embargo, nadie en su sano juicio paga $1\,000$ por jugar una vez: con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac{15}{16}$ el pago es como mucho $16$. La [esperanza](#def-g11-prob-expectation) resume el largo plazo de apuestas *repetibles*; un juego único con una cola descontrolada no se valora con su [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean).

**19.** [Esperanzas](#def-g11-prob-expectation): asegurarse, $-20$; ir a pecho descubierto, $-0.01 \times 1000 = -10$. La estrategia sin seguro gana de [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean), para quien pueda absorber la pérdida y repetir la apuesta muchas veces. Una familia que no sobrevive al $-1\,000$ no está en el negocio de promediar: paga $10$ de más para borrar la [varianza](#def-g11-prob-variance). Las aseguradoras promedian; las familias compran certeza.

**20.** Nació repartiendo un bote entre dos jugadores impacientes; la fortalece la linealidad, que suma [esperanzas](#def-g11-prob-expectation) sin pedirle permiso a la dependencia (los sombreros); es ciega al riesgo, que tiene que medir la [varianza](#def-g11-prob-variance) (las rifas, el juego de San Petersburgo, la póliza de la familia); y la corona el año que viene la ley de los grandes números, que explica por qué los promedios siempre acaban cobrando.