--- title: "Álgebra: ecuaciones e inecuaciones" book: "Matemáticas de secundaria" subject: math language: es chapter: 2 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones --- # Capítulo 2 — Álgebra: ecuaciones e inecuaciones El álgebra es el arte de calcular con letras. Este capítulo repasa y afina los dos movimientos básicos, [desarrollar](#def-g10-algebra-expand) y [factorizar](#def-g10-algebra-expand), y los usa para resolver ecuaciones e inecuaciones de forma sistemática, con la [tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable) como herramienta central. ## 2.1 Desarrollar y factorizar **Definición 2.1 (Desarrollar, factorizar).** *Desarrollar* una expresión es transformar productos en sumas; *factorizar* es lo contrario, transformar una suma en un producto. La regla básica es la propiedad distributiva: $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **Ejemplo 2.2.** Desarrollemos $(2x + 3)(x - 5)$ paso a paso: $$ \begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*} $$ **Teorema 2.3 (Identidades notables).** Para todos los [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) $a$ y $b$: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 . $$ **Demostración.** Cada una es un desarrollo directo. Para la primera: $$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 . $$ La segunda se obtiene sustituyendo $b$ por $-b$: $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Y para la tercera: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. ∎ ![Por qué (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: un cuadrado de lado a + b se descompone en un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de a × b.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-578dad376d43.svg) *Por qué $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: un cuadrado de lado $a + b$ se descompone en un cuadrado de lado $a$, otro de lado $b$ y dos rectángulos de $a \times b$.* **Ejemplo 2.4.** Usadas hacia delante (desarrollando) y hacia atrás (factorizando): $$ \begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*} $$ El cálculo mental también sale ganando: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$. **Método 2.5 (Factorizar una expresión).** Prueba, en este orden: 1. *Factor común:* localiza un factor presente en todos los términos y sácalo fuera, por ejemplo $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . El factor común puede ser un paréntesis entero: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ . 2. *Identidad notable:* reconoce $a^2 - b^2$ o $a^2 \pm 2ab + b^2$ , por ejemplo $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ . 3. Combina las dos vías y comprueba el resultado desarrollándolo de nuevo. **Ejemplo 2.6.** Factoricemos $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$. Es una diferencia de cuadrados $a^2 - b^2$ con $a = 2x+1$ y $b = x-3$: $$ \begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*} $$ Atención al segundo corchete: restar $x - 3$ es restar $x$ *y* sumar $3$. ## 2.2 Ecuaciones **Definición 2.7 (Ecuación, solución).** Una *ecuación* es una igualdad en la que aparece un número desconocido $x$; una *solución* es un valor de $x$ que hace cierta la igualdad. Resolver la ecuación es hallar *todas* sus soluciones. Dos ecuaciones son *equivalentes* cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Sumar el mismo número a los dos miembros, o multiplicarlos por un mismo número *no nulo*, da una [ecuación](#def-g10-algebra-equation) equivalente. **Ejemplo 2.8 (Ecuación de primer grado).** Resolvamos $5x - 7 = 2x + 8$, paso a paso: $$ \begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(sumamos $7 - 2x$ a los dos miembros)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(dividimos los dos miembros entre $3$).} \end{align*} $$ La única solución es $5$. Comprobación: $5 \times 5 - 7 = 18$ y $2 \times 5 + 8 = 18$. **Teorema 2.9 (Regla del producto nulo).** Un producto de [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) es cero si y solo si al menos uno de sus factores es cero: $$ A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ o } \ B = 0 . $$ **Demostración.** Si $A = 0$ o $B = 0$, el producto es evidentemente $0$. Recíprocamente, supongamos que $AB = 0$ y $A \neq 0$. Dividiendo los dos miembros entre $A$ se obtiene $B = 0$. ∎ **Método 2.10 (Resolver factorizando).** Para resolver una [ecuación](#def-g10-algebra-equation) cuyo segundo miembro es $0$ y cuyo primer miembro se puede [factorizar](#def-g10-algebra-expand): 1. pasa todo al primer miembro, de modo que la [ecuación](#def-g10-algebra-equation) quede $E = 0$ ; 2. factoriza $E$ como producto de factores de primer grado; 3. aplica la regla del producto nulo y resuelve cada [ecuación](#def-g10-algebra-equation) pequeña; 4. reúne todas las soluciones encontradas. **Ejemplo 2.11.** Resolvamos $(x - 2)(3x + 6) = 0$: o bien $x - 2 = 0$, que da $x = 2$, o bien $3x + 6 = 0$, que da $x = -2$. Soluciones: $-2$ y $2$. Resolvamos $x^2 = 9x$. *No* dividas entre $x$ (¡podría ser cero!): pasa todo a un miembro y factoriza: $$ x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ o } \ x = 9 . $$ **Ejemplo 2.12 (Ecuación con cociente).** Resolvamos $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$. Un cociente es cero exactamente cuando su numerador es cero *y* su denominador no lo es. Aquí $x - 1 = 0$ da $x = 1$, y $1 + 2 = 3 \neq 0$: la única solución es $1$. El valor $x = -2$ está *prohibido* (división entre cero) y hay que excluirlo siempre desde el principio. ## 2.3 Inecuaciones y tablas de signos **Proposición 2.13 (Reglas de las desigualdades).** Sea $a \leq b$. 1. Para cualquier $c$ : $a + c \leq b + c$ (sumar conserva el orden). 2. Si $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplicar por un número positivo conserva el orden). 3. Si $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplicar por un número negativo *invierte* el orden). **Demostración.** 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$. 2. $bc - ac = (b-a)c$ es el producto de dos números no negativos, luego $bc \geq ac$. 3. Ahora $(b-a)c \leq 0$, por ser producto de un número no negativo por uno negativo, luego $bc \leq ac$. ∎ **Ejemplo 2.14.** Resolvamos $-2x + 3 > 9$: $$ \begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(restamos 3)} \\ x &< -3 && \text{(dividimos entre $-2 < 0$: se invierte la desigualdad).} \end{align*} $$ El conjunto de soluciones es $\intoo{-\infty}{-3}$. **Definición 2.15 (Tabla de signos).** Una *tabla de signos* recoge, en una fila por factor, el signo ($+$ o $-$) de cada factor de una expresión cuando $x$ recorre $\R$, con un $0$ en cada valor donde el factor se anula; una última fila da el signo del producto, aplicando la regla de los signos columna a columna. **Ejemplo 2.16.** Signo de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$. El factor $x - 2$ se anula en $2$ y es positivo después; el factor $3 - x$ se anula en $3$ y es positivo antes: | $x$ | $-\infty$ | $2$ | | $3$ | $+\infty$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $x - 2$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $+$ | | $3 - x$ | $+$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | Así pues, $P(x) > 0$ exactamente en $\intoo{2}{3}$, y $P(x) \leq 0$ en $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$. ![La gráfica de P(x) = (x-2)(3-x) confirma la tabla de signos: positiva entre las raíces 2 y 3, negativa fuera.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-5304e5f43271.svg) *La gráfica de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirma la [tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable): positiva entre las raíces $2$ y $3$, negativa fuera.* **Método 2.17 (Resolver una inecuación con una tabla de signos).** Para resolver una inecuación del tipo $E(x) \geq 0$ o $E(x) < 0$: 1. pasa todo al primer miembro, de modo que el segundo sea $0$ (nunca multipliques los dos miembros por una expresión de signo desconocido); 2. factoriza el primer miembro o, si es un cociente, redúcelo a común denominador; 3. construye la [tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable) con una fila por factor (si hay cociente, marca los valores prohibidos con una doble barra en la última fila); 4. lee los [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) donde se cumple el signo pedido, comprobando si cada extremo está incluido. **Ejemplo 2.18.** Resolvamos $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$. El numerador se anula en $-1$ y el denominador en $3$ (valor prohibido). El cociente es negativo cuando los dos tienen signos opuestos, lo que ocurre para $x$ entre $-1$ y $3$. Incluyendo el extremo donde se anula el *numerador* y excluyendo el valor prohibido, el conjunto de soluciones es $\intco{-1}{3}$. ## 2.4 Ejercicios **Ejercicio 2.1 ★.** Desarrolla y simplifica: $$ 3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x). $$ **Solución de Ejercicio 2.1.** $3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$. $(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$. $(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$. $(5-x)(5+x) = 25 - x^2$. **Ejercicio 2.2 ★.** Factoriza: $$ x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 . $$ **Solución de Ejercicio 2.2.** $x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (diferencia de cuadrados). $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$. $7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (factor común). $16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$. **Ejercicio 2.3 ★.** Resuelve: $$ 4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 . $$ (Una de ellas no tiene solución: explica por qué.) **Solución de Ejercicio 2.3.** $4x + 9 = x - 3$: $3x = -12$, luego $x = -4$. $\frac{2x-1}{3} = 5$: $2x - 1 = 15$, luego $x = 8$. $2(x-3) = 2x + 1$ se desarrolla como $2x - 6 = 2x + 1$, es decir, $-6 = 1$: falso para todo $x$. No hay solución; los dos miembros definen rectas paralelas que nunca se cortan. **Ejercicio 2.4 ★.** Resuelve usando la regla del producto nulo: $$ (x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 . $$ **Solución de Ejercicio 2.4.** $(x+5)(2x-8) = 0$: $x = -5$ o $x = 4$. $x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$: $x = 4$ o $x = -4$. $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$: la única solución $x = -3$. **Ejercicio 2.5 ★.** Resuelve las inecuaciones y escribe los conjuntos de soluciones como [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval): $$ 3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 . $$ **Solución de Ejercicio 2.5.** $3x - 5 \leq 7$: $3x \leq 12$, luego $x \leq 4$: conjunto de soluciones $\intoc{-\infty}{4}$. $-4x + 1 > 9$: $-4x > 8$; al dividir entre $-4$ se invierte la desigualdad: $x < -2$: conjunto de soluciones $\intoo{-\infty}{-2}$. $2(x-1) \geq 5x + 4$: $2x - 2 \geq 5x + 4$, luego $-3x \geq 6$, luego $x \leq -2$: conjunto de soluciones $\intoc{-\infty}{-2}$. **Ejercicio 2.6 ★★.** Factoriza $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ y resuelve después $E = 0$. **Solución de Ejercicio 2.6.** El factor común es $(x-1)$: $$ E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x). $$ Entonces $E = 0$ cuando $x = 1$ o $x = 8$ (regla del producto nulo). **Ejercicio 2.7 ★★.** Resuelve $x^2 = 5x$ y después $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$. (Para la segunda, pasa todo al primer miembro y factoriza la diferencia de cuadrados.) **Solución de Ejercicio 2.7.** $x^2 = 5x$: $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$, luego $x = 0$ o $x = 5$ (no dividas nunca entre $x$: se perdería la solución $0$). $(2x+1)^2 = (x-4)^2$: pasamos al primer miembro y factorizamos la diferencia de cuadrados: $$ (2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5). $$ Regla del producto nulo: $x = 1$ o $x = -5$. **Ejercicio 2.8 ★★.** Con una [tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable), resuelve $$ (x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 . $$ **Solución de Ejercicio 2.8.** $(x+2)(4-x) > 0$: el factor $x + 2$ se anula en $-2$ (positivo después) y $4 - x$ se anula en $4$ (positivo antes). El producto es positivo exactamente cuando los dos factores lo son, es decir, en $\intoo{-2}{4}$. $\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$: el numerador se anula en $3$ y el denominador en $-1$ (prohibido). [Tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable): el cociente es positivo cuando las dos partes tienen el mismo signo, es decir, para $x < -1$ o $x > 3$, y se anula en $x = 3$. Conjunto de soluciones: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$. **Ejercicio 2.9 ★★.** Un servicio de vídeo bajo demanda cuesta $9$ al mes, más una cuota única de alta de $15$; un rival cuesta $12$ al mes sin cuota de alta. ¿A partir de cuántos meses sale más barato el primero en total? Plantea y resuelve una inecuación. **Solución de Ejercicio 2.9.** Al cabo de $x$ meses, el primer servicio cuesta $9x + 15$ y el segundo $12x$. El primero es más barato cuando $$ 9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 . $$ A partir del sexto mes, el primer servicio sale más barato en total. **Ejercicio 2.10 ★★.** Resuelve $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$. (Multiplica los dos miembros por $x - 1$ después de excluir el valor prohibido, o pasa todo al primer miembro con denominador común.) **Solución de Ejercicio 2.10.** Valor prohibido: $x = 1$. Para $x \neq 1$, multiplicamos los dos miembros por $x - 1$: $$ x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 . $$ Como $5 \neq 1$, la solución es $x = 5$. Comprobación: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$. **Ejercicio 2.11 ★★★.** Sea $n$ un entero. Demuestra que $(n + 1)^2 - n^2$ es siempre impar y que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de $8$. **Solución de Ejercicio 2.11.** $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, que es impar para todo entero $n$. Dos números impares consecutivos se pueden escribir $2n - 1$ y $2n + 1$. Entonces $$ (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n, $$ múltiplo de $8$. ## 2.5 Problema: De Babilonia al número áureo **Problema 2.1.** Problema de fin de semana — problemas de suma y producto, completar el cuadrado tal como lo dibujaba al-Juarismi y la ecuación $x^2 = x + 1$ Hace cuatro mil años, los escribas babilonios resolvían esto sobre arcilla: *hallar dos números conociendo su suma y su producto*. Su truco, buscar los números simétricamente alrededor de la semisuma, sigue hoy resolviendo cualquier [ecuación](#def-g10-algebra-equation) de segundo grado bajo su nombre moderno: *completar el cuadrado*. Este problema aprende el truco, ve a al-Juarismi completar literalmente un cuadrado y pone el método a trabajar sobre la proporción más célebre de todas. **Parte I — El problema babilonio.** 1. Calentamiento ( [Teorema 2.3](#thm-g10-algebra-identities) ): factoriza $x^2 - 10x + 25$ , después $9x^2 - 49$ y después, combinando una identidad con una diferencia de cuadrados, $x^2 + 6x + 9 - 4$ . 2. Resuelve $(x + 1)(x + 5) = 0$ y $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ ( [Teorema 2.9](#thm-g10-algebra-zeroproduct) ). 3. El problema del escriba: dos números tienen suma $10$ y producto $21$ . Siguiendo a Babilonia, escríbelos como $5 - t$ y $5 + t$ (simétricos alrededor de la semisuma) y halla $t$ y después los dos números. 4. El mismo método: suma $14$ , producto $33$ . 5. La receta general: para suma $s$ y producto $p$, demuestra que los dos números son $$\frac s2 - t \quad\text{y}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{donde}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$$ y enuncia la condición sobre $s$ y $p$ para que el problema tenga solución. **Parte II — Completar el cuadrado.** 6. Desarrolla $(x - a)(x - b)$ y concluye: las soluciones de $x^2 - sx + p = 0$ son exactamente las parejas de números de suma $s$ y producto $p$ . (Los escribas resolvían ecuaciones de segundo grado sin saberlo.) 7. Comprueba que $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ y resuelve $x^2 - 10x + 21 = 0$ factorizando el segundo miembro como diferencia de cuadrados. Compara con la pregunta 3. 8. Resuelve $x^2 + 6x - 7 = 0$ completando el cuadrado. 9. Completa el cuadrado en $x^2 + 4x + 5$ y explica por qué la [ecuación](#def-g10-algebra-equation) $x^2 + 4x + 5 = 0$ *no* tiene solución real. Enuncia el criterio general: escrita en la forma $(x + h)^2 + k$ , ¿cuándo se anula una expresión de segundo grado? 10. El nombre es literal. En el Bagdad del siglo IX, al-Juarismi dibujaba $x^2 + 6x = 7$ como un cuadrado de lado $x$ con dos rectángulos de $3 \times x$ pegados a dos de sus lados, y *completaba el cuadrado* con la esquina de $3 \times 3$ que faltaba. Haz el dibujo y explica cómo convierte la [ecuación](#def-g10-algebra-equation) en $(x + 3)^2 = 16$ ; resuélvela después. **Parte III — Signos, tablas y dos promesas antiguas.** 11. Construye la [tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable) de $(x - 3)(x + 2)$ ( [Definición 2.15](#def-g10-algebra-signtable) ) y resuelve $(x - 3)(x + 2) < 0$ . 12. Resuelve $x^2 \leq 10x - 21$ (pasa todo a un miembro y reutiliza la pregunta 7). 13. Resuelve $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ con una [tabla de signos](#def-g10-algebra-signtable) , atento al valor prohibido. 14. Una promesa antigua cumplida: para el granjero del problema del cercado de la reina Dido, en el volumen anterior, con $20$ m de valla, el área de un corral de $x \times (10 - x)$ cumple $$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$$ Comprueba la identidad y lee en ella una *demostración* de lo que entonces solo se podía conjeturar: el área máxima y el único $x$ que la alcanza. 15. Otra: demuestra que $x + \dfrac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , con igualdad solo en $x = 1$ . (Multiplica por $x$ , agrupa, reconoce un cuadrado; es la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica del problema de fin de semana del volumen anterior sobre las relaciones de Euclides, con otro disfraz.) **Parte IV — La sección áurea.** Divide un segmento de longitud $1$ en una parte grande $x$ y una parte pequeña $1 - x$ de manera que *el todo sea a la parte grande como la grande es a la pequeña*: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$. 16. Demuestra que la condición se escribe $x^2 + x - 1 = 0$ . 17. Resuelve completando el cuadrado y quédate con la raíz que es una longitud: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ . 18. El *número áureo* es $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Racionaliza el denominador (multiplica arriba y abajo por $\sqrt5 + 1$ : una identidad en acción) y demuestra que $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ . 19. Comprueba *exactamente* las dos identidades mágicas de $\varphi$: $$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$$ 20. Final: explica por qué $\varphi$ es irracional (el problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad aporta el hecho clave sobre $\sqrt5$ ) y calcula después con tres decimales los cocientes $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ de números de Hemachandra–Fibonacci consecutivos (problema de fin de semana del volumen anterior sobre el recuento de ritmos). ¿A qué parecen perseguir? (La demostración de que lo alcanzan pertenece a los capítulos sobre sucesiones.) **Solución de Problema 2.1.** **1.** $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$. **2.** $x = -1$ o $x = -5$; $x = \frac73$ o $x = -\frac73$. **3.** $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ da $t^2 = 4$, $t = 2$: los números son $3$ y $7$ (suma $10$, producto $21$: comprobado). **4.** $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$: $t = 4$, y los números son $3$ y $11$. **5.** $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ obliga a que $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. Hay solución exactamente cuando esto es $\geq 0$, es decir, cuando $p \leq \left(\frac s2\right)^2$: el producto de dos números de suma dada nunca puede superar el cuadrado de la semisuma (como ya sabía el problema del cercado de la reina Dido, en el volumen anterior). **6.** $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$: la [ecuación](#def-g10-algebra-equation) $x^2 - sx + p = 0$ dice exactamente “$x$ es uno de dos números de suma $s$ y producto $p$”. **7.** $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$. Diferencia de cuadrados: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$: soluciones $3$ y $7$, los números del escriba de la pregunta 3. **8.** $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ da $(x + 3)^2 = 16$, $x + 3 = \pm 4$: $x = 1$ o $x = -7$. **9.** $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$: no hay solución real. En la forma $(x + h)^2 + k$ hay soluciones exactamente cuando $k \leq 0$ (entonces $(x+h)^2 = -k$ tiene las dos raíces $-h \pm \sqrt{-k}$); si $k > 0$, la expresión se mantiene positiva. **10.** El cuadrado de lado $x$ (área $x^2$) con dos rectángulos de $3 \times x$ ($6x$ en total) forma una L de área $x^2 + 6x = 7$; la esquina de $3 \times 3$ que falta (área $9$) completa un cuadrado grande de lado $x + 3$. Sumando $9$ a los dos miembros: $(x + 3)^2 = 16$, luego $x + 3 = 4$ (las longitudes son positivas) y $x = 1$. El álgebra y el dibujo son el mismo gesto. **11.** $(x-3)(x+2)$: negativo entre las raíces. Solución de $< 0$: $x \in \intoo{-2}{3}$. **12.** $x^2 - 10x + 21 \leq 0$, es decir, $(x - 3)(x - 7) \leq 0$: entre las raíces, extremos incluidos: $x \in \intcc{3}{7}$. **13.** Se anula en $x = 1$ y está prohibido $x = -2$; el cociente es positivo fuera de esos valores: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$. **14.** $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$: identidad comprobada. Como $(x-5)^2 \geq 0$ siempre, $A(x) \leq 25$, con igualdad exactamente cuando $x = 5$: el corral cuadrado de $5 \times 5$, con un máximo de $25$ m$^2$; la tabla del volumen anterior, ahora una demostración de dos líneas. **15.** Para $x > 0$, multiplicamos la afirmación por $x$: $x^2 + 1 \geq 2x$, es decir, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$, que es cierto, con igualdad solo en $x = 1$. Al dividir de nuevo entre $x > 0$ todo se conserva ([Proposición 2.13](#prop-g10-algebra-ineqrules)). **16.** Multiplicando en cruz en $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (todas las longitudes son positivas): $x^2 = 1 - x$, es decir, $x^2 + x - 1 = 0$. **17.** $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ da $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$. La raíz positiva: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$. **18.** $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$. **19.** $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$, y $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$: coinciden. Y $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (así se definió $\varphi$). El número áureo es el número cuyo cuadrado suma uno y cuyo inverso resta uno. **20.** $\sqrt5$ es irracional (problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad: $5$ no es un cuadrado perfecto), y sumar $1$ y dividir después entre $2$ conserva la irracionalidad (operaciones racionales, [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#pb-g10-numbers-1)). Cocientes: $\frac53 \approx 1.667$, $\frac85 = 1.600$, $\frac{13}{8} = 1.625$, $\frac{21}{13} \approx 1.615$: alternativamente por encima y por debajo, cerrándose sobre $\varphi = 1.618\ldots$ Los números del recuento de ritmos (problema de fin de semana del volumen anterior sobre el recuento de ritmos) persiguen en secreto la sección áurea; los capítulos sobre sucesiones los pillarán en el acto.