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title: "Límites y continuidad"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 21
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad
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# Capítulo 21 — Límites y continuidad

Este capítulo extiende la noción de límite de las sucesiones a las funciones de una variable real e introduce la [continuidad](#def-g12-limcont-continuity). El resultado central es el teorema de los valores intermedios, que convierte una información cualitativa (“$f$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) y cambia de signo”) en la existencia de soluciones de ecuaciones.

## 21.1 Límites de funciones

En todo el capítulo, $f$ es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) o en una [unión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) de [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $D \subseteq \R$.

**Definición 21.1 (Límite en el infinito).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $\intco{a}{+\infty}$ y sea $\ell \in \R$. Decimos que $f$ *tiende a $\ell$ en $+\infty$*, y escribimos $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, si todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) abierto que contiene a $\ell$ contiene todos los valores $f(x)$ para $x$ suficientemente grande: para todo $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que, para todo $x \geq A$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $+\infty$ si para todo $M \in \R$ existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todo $x \geq A$. Los límites en $-\infty$ y los límites iguales a $-\infty$ se definen de forma análoga.

**Definición 21.2 (Límite en un punto).**

Sea $a \in \R$ y sea $f$ definida cerca de $a$ (salvo, quizá, en $a$). Decimos que $f$ tiende a $\ell \in \R$ en $a$, y escribimos $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$, si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in D$ con $\abs{x - a} \leq \delta$, se cumple $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $a$ si para todo $M$ existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ siempre que $x \in D$ y $\abs{x - a} \leq \delta$. Los límites laterales ($x \to a^+$, $x \to a^-$) restringen $x$ a $x > a$ o a $x < a$.

**Ejemplo 21.3.**

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ no tiene límite (bilateral) en $0$.

**Definición 21.4 (Asíntotas).**

La recta $y = \ell$ es una *asíntota horizontal* de la curva de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. en $-\infty$). La recta $x = a$ es una *asíntota vertical* si $f$ tiene un límite lateral infinito en $a$.

![La curva de f(x) = 2 + 1/x-1 con su asíntota horizontal y = 2 (en ±∈fty) y su asíntota vertical x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-80a817492b00.svg)

*La curva de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ con su [asíntota horizontal](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 2$ (en $\pm\infty$) y su [asíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote) $x = 1$.*

**Proposición 21.5 (Operaciones con límites).**

Las reglas de la [Proposición 20.14](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#prop-g12-seq-operations) (sumas, productos, cocientes) valen literalmente para los límites de funciones, en un punto o en el infinito, con las mismas cuatro indeterminaciones $(+\infty)+(-\infty)$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ y $\frac{0}{0}$.

**Demostración.** Las demostraciones son idénticas al caso de las sucesiones, sustituyendo “para $n \geq N$” por “para $x \geq A$” o “para $\abs{x-a} \leq \delta$”. ∎

**Teorema 21.6 (Límite de una composición).**

Sean $f, g$ funciones y $a, b, c$ [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) o $\pm\infty$. Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ y $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$, entonces

$$
\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .
$$

El mismo enunciado vale con una [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) en lugar de $f$: si $u_n \to b$ y $\lim_{y\to b} g(y) = c$, entonces $g(u_n) \to c$.

**Demostración.** Tomemos $b, c$ finitos (los demás casos son análogos). Sea $\varepsilon > 0$. Existe $\delta > 0$ tal que $\abs{y - b} \leq \delta$ implica $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$; y existe $\delta' > 0$ tal que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implica $\abs{f(x) - b} \leq \delta$. Encadenando las dos cosas se obtiene $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ para $\abs{x - a} \leq \delta'$. ∎

**Teorema 21.7 (Comparación y sándwich).**

Sean $f, g, h$ funciones y $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$.

1. Si $f \leq g$ cerca de $a$ y $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to a$ , entonces $g(x) \to +\infty$ .
2. Si $f \leq g \leq h$ cerca de $a$ y $f$ y $h$ tienden al mismo límite finito $\ell$ en $a$ , entonces $g(x) \to \ell$ cuando $x \to a$ .

**Demostración.** El mismo argumento que para las sucesiones ([Teorema 20.16](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#thm-g12-seq-squeeze)). ∎

**Método 21.8 (Calcular límites en la práctica).**

- Polinomios y funciones racionales en $\pm\infty$ : saca como factor la mayor potencia de $x$ ; el límite es el del cociente de los términos de mayor grado.
- $\frac{0}{0}$ en un punto $a$ : saca $(x-a)$ como factor del numerador y del denominador, o reconoce una [derivada](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-derivative) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ ( [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#ch-g12-deriv) ).
- Raíces cuadradas: multiplica por la expresión conjugada.
- Factores oscilantes ( $\cos$ , $\sin$ ): usa el teorema del sándwich.

## 21.2 Continuidad

**Definición 21.9 (Continuidad).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ y sea $a \in I$. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f$ es *continua en $a$* si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. Es *continua en $I$* si es continua en todos los puntos de $I$.

Intuitivamente, la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [continua](#def-g12-limcont-continuity) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) se puede dibujar sin levantar el lápiz.

**Proposición 21.10 (Continuidad de las funciones usuales).**

Los polinomios, las funciones racionales, $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto \abs{x}$, $\cos$, $\sin$, $\exp$ y $\ln$ son [continuas](#def-g12-limcont-continuity) en todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) contenido en su [dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function). Las sumas, los productos, los cocientes (donde estén definidos) y las composiciones de funciones [continuas](#def-g12-limcont-continuity) son [continuas](#def-g12-limcont-continuity).

**Demostración parcial.** La estabilidad frente a sumas, productos, cocientes y composición se sigue de los teoremas correspondientes sobre límites. La [continuidad](#def-g12-limcont-continuity) de $x \mapsto x$ y de las funciones constantes es inmediata a partir de la definición, así que los polinomios y las funciones racionales son [continuos](#def-g12-limcont-continuity). La [continuidad](#def-g12-limcont-continuity) de las demás funciones usuales se demuestra en los capítulos donde se construyen, o bien se admite. ∎

**Ejemplo 21.11.**

La *[función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) parte entera* $x \mapsto \floor{x}$ (el mayor entero $\leq x$) no es [continua](#def-g12-limcont-continuity) en ningún entero $n$: su límite por la izquierda allí es $n - 1$, mientras que $\floor{n} = n$.

![La función parte entera salta en cada entero: el valor (punto relleno) es distinto del límite por la izquierda (punto hueco).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-436d9712d64c.svg)

*La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) parte entera salta en cada entero: el valor (punto relleno) es distinto del límite por la izquierda (punto hueco).*

**Proposición 21.12 (Sucesiones y continuidad).**

Si $u_n \to \ell$ y $f$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $\ell$, entonces $f(u_n) \to f(\ell)$. En particular, si una [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) definida por $u_{n+1} = f(u_n)$ [converge](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-limit) a $\ell$ y $f$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $\ell$, entonces $f(\ell) = \ell$.

**Demostración.** La primera afirmación es el [Teorema 21.6](#thm-g12-limcont-composition) aplicado con la [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$. Para la segunda, pasamos al límite en los dos miembros de $u_{n+1} = f(u_n)$: el primero tiende a $\ell$ y el segundo, a $f(\ell)$, y el límite es único. ∎

## 21.3 El teorema de los valores intermedios

**Teorema 21.13 (Teorema de los valores intermedios).**

Sea $f$ [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $\intcc{a}{b}$ y sea $k$ un número cualquiera comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$. Entonces existe $c \in \intcc{a}{b}$ tal que $f(c) = k$.

![El teorema de los valores intermedios: una curva continua que une (a, f(a)) con (b, f(b)) tiene que cortar todas las rectas horizontales y = k situadas entre f(a) y f(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-04c34a00da51.svg)

*El teorema de los valores intermedios: una curva [continua](#def-g12-limcont-continuity) que une $(a, f(a))$ con $(b, f(b))$ tiene que cortar todas las rectas horizontales $y = k$ situadas entre $f(a)$ y $f(b)$.*

**Demostración.** Sustituyendo $f$ por $f - k$ (y por $k - f$ si hace falta), podemos suponer $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ y buscar un cero de $f$. Construimos dos sucesiones por *dicotomía*: tomamos $a_0 = a$, $b_0 = b$; dados $a_n \leq b_n$ con $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, sea $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ y definimos

$$
(a_{n+1}, b_{n+1}) =
\begin{cases}
(a_n, m) & \text{si } f(m) \geq 0,\\
(m, b_n) & \text{si } f(m) < 0.
\end{cases}
$$

En los dos casos, $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$, la [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), $(b_n)$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$: las sucesiones son adyacentes (véase el [Ejercicio 20.10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#exo-g12-seq-10)) y convergen a un límite común $c \in \intcc{a}{b}$. Por [continuidad](#def-g12-limcont-continuity), $f(a_n) \to f(c)$ y $f(b_n) \to f(c)$; pasando al límite en $f(a_n) \leq 0$ y en $f(b_n) \geq 0$ se obtiene $f(c) \leq 0 \leq f(c)$, luego $f(c) = 0$. ∎

**Observación 21.14.**

La demostración por [dicotomía](#thm-g12-limcont-ivt) es un algoritmo: da aproximaciones tan precisas como se quiera de una solución, reduciendo el error a la mitad en cada paso. Así es como un ordenador puede resolver $f(x) = 0$ sabiendo solo evaluar $f$.

**Teorema 21.15 (Teorema de la biyección).**

Sea $f$ [continua](#def-g12-limcont-continuity) y *estrictamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic)* en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$. Entonces, para todo $k$ estrictamente comprendido entre los límites de $f$ en los extremos de $I$, la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ tiene una *única* solución en $I$.

**Demostración.** Existencia: elegimos $a, b \in I$ con $k$ entre $f(a)$ y $f(b)$ (es posible porque los valores de $f$ se acercan a sus límites en los extremos) y aplicamos el teorema de los valores intermedios en $\intcc{a}{b}$. Unicidad: si $x < y$, la monotonía estricta da $f(x) \neq f(y)$, así que dos puntos distintos no pueden ser los dos solución. ∎

**Método 21.16 (Resolver f(x)=kf(x) = kf(x)=k con el teorema de la biyección).**

Para demostrar que $f(x) = k$ tiene exactamente una solución en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval):

1. establece una [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) de $f$ (signo de $f'$ , véase el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#ch-g12-deriv) );
2. en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) donde $f$ sea [continua](#def-g12-limcont-continuity) y estrictamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) , compara $k$ con los valores o los límites en los extremos;
3. aplica el teorema de la biyección en cada uno de esos [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) y cuenta las soluciones.

Una calculadora o la [dicotomía](#thm-g12-limcont-ivt) localizan después cada solución con la finura que se quiera.

**Ejemplo 21.17.**

La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 1$ tiene una única solución real. En efecto, $f(x) = x^3 + x$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) y estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $\R$ (suma de funciones estrictamente [crecientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic)), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ y $\lim_{+\infty} f = +\infty$, así que el teorema de la biyección se aplica con $k = 1$. Como $f(0.6) = 0.816 < 1$ y $f(0.7) = 1.043 > 1$, la solución está en $\intoo{0.6}{0.7}$.

## 21.4 Ejercicios

**Ejercicio 21.1 ★.**

Calcula los límites siguientes:

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad
\lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad
\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.
$$

**Solución de Ejercicio 21.1.**

Dividiendo entre $x^3$: $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x}
\to \dfrac{2}{5}$.

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ cuando $x \to -\infty$, porque $x^2 \to +\infty$ y el paréntesis tiende a $1$.

Cuando $x \to 2^+$, el numerador tiende a $3 > 0$ y el denominador a $0^+$, luego $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$.

Para $x > 0$, $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$, así que el límite es $0$ por el teorema del sándwich.

**Ejercicio 21.2 ★.**

Sea $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$, definida para $x \neq 1$.

1. Demuestra que $f(x) = 2x - 1$ para todo $x \neq 1$ .
2. Deduce $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . ¿Se puede prolongar $f$ a una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $1$ ?

**Solución de Ejercicio 21.2.**

*1.* $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) $x=1$ se ve a simple vista, porque $2 - 3 + 1 = 0$). Para $x \neq 1$, simplificamos $x - 1$: $f(x) = 2x - 1$.

*2.* Por tanto, $\lim_{x\to1} f(x) = 1$. Definiendo $f(1) = 1$ se prolonga $f$ a la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) polinómica $x \mapsto 2x-1$ sobre $\R$, que es [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $1$.

**Ejercicio 21.3 ★.**

Determina las [asíntotas](#def-g12-limcont-asymptote) de la curva de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ y esboza la curva.

**Solución de Ejercicio 21.3.**

Escribimos $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2}
= 3 - \dfrac{7}{x+2}$. Cuando $x \to \pm\infty$, $f(x) \to 3$: la recta $y = 3$ es [asíntota horizontal](#def-g12-limcont-asymptote) en los dos infinitos. Cuando $x \to (-2)^\pm$, $f(x) \to \mp\infty$: la recta $x = -2$ es [asíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote). La curva es una [hipérbola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-reference), por debajo de $y=3$ para $x > -2$ y por encima para $x < -2$.

**Ejercicio 21.4 ★★.**

Calcula

$$
\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)
\qquad\text{y}\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.
$$

**Solución de Ejercicio 21.4.**

Multiplicamos por el conjugado:

$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}
= \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.
$$

Del mismo modo,

$$
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.
$$

**Ejercicio 21.5 ★★.**

Sea $f(x) = x + \sin x$.

1. Demuestra que $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to +\infty$ , aunque $f$ no sea [monótona](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en ningún [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ .
2. Demuestra que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tiende a $1$ en $+\infty$ .

**Solución de Ejercicio 21.5.**

*1.* Como $\sin x \geq -1$, $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$, y concluimos por comparación. Sin embargo, $f'(x) = 1 + \cos x$ se anula en todos los múltiplos [impares](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity) de $\pi$, y en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) alterna tramos de crecimiento estricto: es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), pero no estrictamente y, sobre todo, ese crecimiento no hace falta: basta con la comparación.

*2.* Para $x > 1$, dividimos entre $x$:

$$
g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},
$$

y $\frac{\sin x}{x} \to 0$ por el teorema del sándwich ($\abs{\sin x} \leq 1$). Por tanto, $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$.

**Ejercicio 21.6 ★★.**

Demuestra que la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene exactamente tres soluciones reales y da, para cada una, un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de longitud $1$ que la contenga. (Indicación: estudia la variación de $f(x) = x^3 - 3x + 1$; su [derivada](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-derivative) es $3x^2 - 3$.)

**Solución de Ejercicio 21.6.**

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity), con $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$: $f$ crece en $\intoc{-\infty}{-1}$, decrece en $\intcc{-1}{1}$ y crece en $\intco{1}{+\infty}$, con [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(-1) = 3 > 0$ y [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(1) = -1 < 0$, $\lim_{-\infty} f = -\infty$ y $\lim_{+\infty} f = +\infty$.

En cada uno de los tres [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de monotonía, $f$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) y estrictamente [monótona](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), y el $0$ está estrictamente entre los valores o límites de los extremos, así que el teorema de la biyección da exactamente un cero por [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval): tres ceros en total. Comprobación de signos: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$, luego hay un cero en $\intoo{-2}{-1}$; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$, un cero en $\intoo{0}{1}$; y $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$, un cero en $\intoo{1}{2}$.

**Ejercicio 21.7 ★★.**

Sea $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [continua](#def-g12-limcont-continuity). Demuestra que $f$ tiene un *[punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1)*: existe $c \in \intcc{0}{1}$ con $f(c) = c$. (Indicación: aplica el teorema de los valores intermedios a $g(x) = f(x) - x$.)

**Solución de Ejercicio 21.7.**

Sea $g(x) = f(x) - x$, [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $\intcc{0}{1}$. Como $f(0) \in \intcc{0}{1}$, $g(0) = f(0) \geq 0$; y como $f(1) \in \intcc{0}{1}$, $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Por el teorema de los valores intermedios, $g$ se anula en algún $c \in \intcc{0}{1}$, es decir, $f(c) = c$.

**Ejercicio 21.8 ★★★.**

Una senderista sube por un camino de montaña, sale a las 8:00 y llega a las 20:00. Al día siguiente baja por el mismo camino, saliendo otra vez a las 8:00 y llegando a las 20:00. Demuestra que hay una hora del día en la que está exactamente en el mismo punto del camino los dos días. (Indicación: introduce la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) de las dos funciones de posición.)

**Solución de Ejercicio 21.8.**

Sean $u(t)$ y $d(t)$ las posiciones (medidas como distancia desde el comienzo del camino) en el instante $t \in \intcc{8}{20}$ en la subida y en la bajada. Las dos son [continuas](#def-g12-limcont-continuity), con $u(8) = 0$, $u(20) = L$ (la longitud del camino), $d(8) = L$ y $d(20) = 0$. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $g = u - d$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) con $g(8) = -L \leq 0$ y $g(20) = L \geq 0$, así que $g(c) = 0$ para algún instante $c$ por el teorema de los valores intermedios: en el instante $c$, las posiciones de los dos días coinciden.

**Ejercicio 21.9 ★★★.**

Sea $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$.

1. Demuestra que $f$ tiene un único cero real $\alpha$ y que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
2. Describe un procedimiento de [dicotomía](#thm-g12-limcont-ivt) que calcule $\alpha$ con un error menor que $10^{-6}$ y da el número de iteraciones necesarias partiendo de $\intcc{0}{1}$ .

**Solución de Ejercicio 21.9.**

*1.* $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$, así que $f$ es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $\R$; con $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ y la [continuidad](#def-g12-limcont-continuity), el teorema de la biyección da un único cero real $\alpha$. Como $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 2 > 0$, $\alpha \in \intoo{0}{1}$.

*2.* Mantenemos un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $\intcc{a_n}{b_n}$ con $f(a_n) < 0 < f(b_n)$, partiendo de $\intcc{0}{1}$; en cada paso evaluamos $f$ en el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $m$ y conservamos la mitad en la que persiste el cambio de signo. Tras $n$ pasos, el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) mide $2^{-n}$, así que su [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) aproxima $\alpha$ con error menor que $2^{-(n+1)}$. Necesitamos $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$, es decir, $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$: bastan $n = 20$ iteraciones.

## 21.5 Problema: No se cruza un río sin mojarse

**Problema 21.1.**

Problema de fin de semana — el teorema de los valores intermedios impone puntos fijos, antípodas a la misma temperatura y mesas que no cojean: tres teoremas de apariencia imposible a partir de una sola idea

Arruga un mapa de un país y déjalo caer en cualquier punto de ese país: algún punto del mapa queda *exactamente* encima del lugar que representa. En todo instante, dos puntos diametralmente opuestos del ecuador están *exactamente* a la misma temperatura. Y una mesa cuadrada que cojea sobre un suelo irregular siempre se puede estabilizar *girándola*. Tres trucos de fiesta y un solo teorema: una magnitud [continua](#def-g12-limcont-continuity) no puede pasar de negativa a positiva sin anularse ([Teorema 21.13](#thm-g12-limcont-ivt)). Este problema entrena los límites, construye después las tres maravillas y sabe exactamente qué es lo que el teorema no promete.

**Parte I — Soltura con los límites.**

1. Calcula $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ y $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ ( [Método 21.8](#met-g12-limcont-limits) ).
2. Da las [asíntotas](#def-g12-limcont-asymptote) de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ( [Definición 21.4](#def-g12-limcont-asymptote) ), calculando los límites pertinentes.
3. Calcula $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (factorizando) y $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (con el conjugado).
4. Con el teorema del sándwich ( [Teorema 21.7](#thm-g12-limcont-squeeze) ): calcula $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ y $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
5. Por composición y términos dominantes: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

**Parte II — Raíces, certificadas.**

6. Demuestra que la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 5$ tiene al menos una solución en $\intcc{1}{2}$ .
7. Demuestra que la solución es única en $\R$ ( [Teorema 21.15](#thm-g12-limcont-bijection) ).
8. Demuestra el clásico: *todo polinomio de grado [impar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity) tiene al menos una [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) real* . (Escribe el argumento para $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calcula los dos límites infinitos con el término dominante y aplica después el teorema de los valores intermedios en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) grande.)
9. Localizar la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) de la pregunta 6 por [dicotomía](#thm-g12-limcont-ivt) : ¿cuántas divisiones por la mitad de $\intcc{1}{2}$ garantizan un error menor que $10^{-6}$ ( [Ejercicio 21.9](#exo-g12-limcont-9) )? Compara con la duplicación de cifras del método de Newton ( [Problema 12.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#pb-g11-deriv-1) ): ¿cuántos pasos necesitaría más o menos?
10. El contraejemplo que custodia el teorema: $g(x) = \frac1x$ cumple $g(-1) = -1 < 0$ y $g(1) = 1 > 0$ y, sin embargo, no se anula nunca. ¿Qué hipótesis del teorema falla, y qué enseña el ejemplo sobre comprobar las hipótesis?

**Parte III — Tres teoremas de apariencia imposible.**

11. El teorema del [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) del segmento: si $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) , demuestra que algún $c$ cumple $f(c) = c$ . (Estudia $g(x) = f(x) - x$ en los dos extremos.)
12. Traduce la pregunta 11 al mapa arrugado: ¿qué hace el papel de $f$ , por qué aterriza en $\intcc{0}{1}$ (en sentido figurado: dentro del país) y cuál es el punto que queda exactamente sobre su propio lugar? (Se admite en silencio una sola dimensión: el enunciado honrado en dos dimensiones es el teorema de Brouwer, en los volúmenes universitarios.)
13. El ecuador: sea $T$ una temperatura [continua](#def-g12-limcont-continuity) sobre una circunferencia, vista como una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $2\pi$ -periódica con $T(0) = T(2\pi)$ . Tomemos $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calcula $g(0) + g(\pi)$ , deduce que $g$ se anula en algún punto de $\intcc{0}{\pi}$ y enuncia el teorema sobre puntos antípodas.
14. La mesa que cojea: una mesa cuadrada perfectamente rígida se apoya sobre un suelo irregular pero [continuo](#def-g12-limcont-continuity) (¡sin escalones!); tres patas tocan siempre el suelo y una queda en el aire a una altura $h(\theta)$ que depende de forma [continua](#def-g12-limcont-continuity) del ángulo de giro $\theta$ de la mesa. Explica por qué girar un cuarto de vuelta obliga a la holgura a cambiar de signo y concluye que algún ángulo $\theta^*$ deja las cuatro patas apoyadas. (Este argumento se publicó como teorema de pleno derecho en 2005; los dueños de las cafeterías conocían el truco antes.)
15. La senderista del [Ejercicio 21.8](#exo-g12-limcont-8) usó el mismo esquema. Enuncia en tres líneas la plantilla que comparten las preguntas 11, 13, 14 y la senderista: qué [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) construir, qué comprobar en los extremos y qué invocar.
16. Lo que el teorema *no* da: la existencia salió gratis, pero ¿qué dos preguntas deja abiertas y qué herramientas de este problema las responden (preguntas 7 y 9)?

**Parte IV — Retratos con [asíntotas](#def-g12-limcont-asymptote).**

17. Reescribe $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ como $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ y úsalo para describir la curva por completo: [asíntotas](#def-g12-limcont-asymptote) , variación a cada lado y esbozo. (Es una [hipérbola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-reference) desplazada; la curva del coste medio del [Problema 4.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#pb-g10-reffunc-1) también lo era.)
18. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ no está definida en $1$ . ¿Qué valor asignado a $f(1)$ la hace [continua](#def-g12-limcont-continuity) allí, y por qué los analistas llaman a un punto así una discontinuidad *evitable* ?
19. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) parte entera $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (el mayor entero $\leq x$ ): ¿dónde es [continua](#def-g12-limcont-continuity) , dónde salta y por qué falla para ella la conclusión del teorema de los valores intermedios (halla $a < b$ con $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ y sin ninguna solución de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
20. Final: las dos caras de la [continuidad](#def-g12-limcont-continuity) : la promesa local (valor $=$ límite: nada de teletransporte) y el poder global (el teorema de los valores intermedios: se visitan todos los valores intermedios). Clasifica las cuatro maravillas de la Parte III bajo la cara que les corresponda y dale al eslogan del río su nombre matemático preciso.

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** Términos dominantes: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$.

**2.** $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$: [asíntota horizontal](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$: [asíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$.

**3.** $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$. Y $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} =
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$.

**4.** $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, luego el límite es $0$. Y $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$: límite $0$.

**5.** $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to
\sqrt4 = 2$ ([continuidad](#def-g12-limcont-continuity) de la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada, por composición).

**6.** $f(x) = x^3 + x$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity) con $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$: por el teorema de los valores intermedios, $f(c) = 5$ para algún $c \in \intoo{1}{2}$.

**7.** $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$: estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $\R$, [continua](#def-g12-limcont-continuity) y con límites $\mp\infty$: por el teorema de la biyección, todo valor (en particular, el $5$) se alcanza exactamente una vez.

**8.** $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} +
\frac{c}{x^3}\right)$: cuando $x \to +\infty$, $p \to +\infty$; y cuando $x \to -\infty$, $p \to -\infty$. Así que en algún [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) enorme $\intcc{-M}{M}$ se cumple $p(-M) < 0 < p(M)$: el teorema de los valores intermedios entrega una [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant). El mismo argumento del término dominante vale literalmente para cualquier grado [impar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity): las potencias [impares](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity) conservan signos opuestos en los dos infinitos.

**9.** Partir por la mitad $n$ veces deja un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de longitud $2^{-n}$; y $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$: veinte pasos. Newton duplica las cifras correctas en cada paso: partiendo de una cifra correcta, unos $3$ o $4$ pasos llegan a seis; la tortuga y el galgo de la búsqueda de raíces.

**10.** $g$ no es [continua](#def-g12-limcont-continuity) en $\intcc{-1}{1}$: explota en $0$, que está dentro del [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval). La conclusión del teorema se evapora junto con su hipótesis: comprueba siempre la [continuidad](#def-g12-limcont-continuity) *en todo el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval)*, no solo en los extremos.

**11.** $g(x) = f(x) - x$ es [continua](#def-g12-limcont-continuity); $g(0) = f(0) \geq 0$ (los valores están en $\intcc{0}{1}$) y $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Por el teorema de los valores intermedios, $g(c) = 0$ para algún $c$: $f(c) = c$.

**12.** Idealizando el país como el segmento $\intcc{0}{1}$: $f$ lleva cada lugar al lugar que aparece justo debajo en el mapa arrugado; arrugar mantiene el mapa sobre el país, así que $f$ aterriza en $\intcc{0}{1}$, y es [continua](#def-g12-limcont-continuity) (el papel no se rompe). El [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) $c$ es el punto que queda precisamente encima de su propia [imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function); el teorema de Brouwer se ocupa del mapa honrado, en dos dimensiones.

**13.** $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) +
\left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$. Así que $g(0)$ y $g(\pi)$ son opuestos (o los dos nulos): en cualquier caso, $g$, que es [continua](#def-g12-limcont-continuity), se anula en algún $t^* \in \intcc{0}{\pi}$: $T(t^*) = T(t^* + \pi)$; en algún lugar del ecuador, dos puntos antípodas coinciden en temperatura, en todos y cada uno de los instantes.

**14.** Girar la mesa un cuarto de vuelta intercambia los papeles de las dos diagonales: la pareja de patas que apretaba el suelo y la pareja en la que una pata quedaba en el aire cambian de situación, así que la altura de la pata suelta (contada con signo, como “holgura de la diagonal distinguida”) toma signos opuestos en $\theta$ y en $\theta + \frac\pi2$. Un suelo [continuo](#def-g12-limcont-continuity) hace [continua](#def-g12-limcont-continuity) a $h$, y el teorema de los valores intermedios entrega un ángulo $\theta^*$ con $h(\theta^*) = 0$: las cuatro patas en el suelo. (Con una mesa rectangular o con un suelo escalonado no hay tanta suerte.)

**15.** Plantilla: construye la *[diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic)* de las dos magnitudes que quieres hacer coincidir ($f(x) - x$; $T(t) - T(t + \pi)$; posición de subida menos posición de bajada para la senderista; la holgura con signo para la mesa); comprueba que toma valores de los dos signos (a menudo mediante una simetría entre los extremos); e invoca el teorema de los valores intermedios sobre una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [continua](#def-g12-limcont-continuity). La coincidencia queda forzada.

**16.** Preguntas abiertas: *cuántas* soluciones hay (la responden la monotonía estricta y el teorema de la biyección, pregunta 7) y *dónde* están (lo responden la [dicotomía](#thm-g12-limcont-ivt) o Newton, pregunta 9). El teorema de los valores intermedios es un oráculo de pura existencia.

**17.** $3 - \frac{7}{x + 2}$: [asíntota vertical](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$ y horizontal $y = 3$; a cada lado de $-2$ la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) ($-\frac{7}{x+2}$ crece donde está definida); la curva es la [hipérbola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-reference) de referencia $-\frac7x$ desplazada $2$ a la izquierda y $3$ hacia arriba: dos ramas abrazadas al cruce de las [asíntotas](#def-g12-limcont-asymptote).

**18.** Para $x \neq 1$: $f(x) = x + 1$, luego $\lim_{x \to 1} f = 2$: definiendo $f(1) = 2$ se restaura la [continuidad](#def-g12-limcont-continuity). La discontinuidad era un agujero, no un salto: se rellena el único punto que falta y la curva cicatriza; es *evitable*.

**19.** Es [continua](#def-g12-limcont-continuity) en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) entre dos enteros consecutivos; y en cada entero $n$ salta de $n - 1$ a $n$. Con $a = 0.9$ y $b = 1.1$: $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ y, sin embargo, $\lfloor x \rfloor = \frac12$ no tiene solución: el salto se teletransporta por encima de $\frac12$, que es precisamente lo que el teorema de los valores intermedios prohíbe a las funciones [continuas](#def-g12-limcont-continuity).

**20.** Cara local: valor $=$ límite en cada punto; el agujero evitable (pregunta 18) la violaba con remedio y los saltos de la parte entera (pregunta 19), sin remedio. Cara global: en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) se visitan todos los valores intermedios; ahí viven los certificados de raíces (preguntas 6 a 8), el [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1), el ecuador, la mesa y la senderista. El nombre oficial del eslogan: el *teorema de los valores intermedios*.