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title: "Derivación y convexidad"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 22
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad
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# Capítulo 22 — Derivación y convexidad

La [derivada](#def-g12-deriv-derivative) mide la tasa de variación instantánea de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function); es la [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) de la recta [tangente](#def-g12-deriv-tangent) a su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph). Este capítulo repasa y amplía las reglas de derivación, relaciona el signo de $f'$ con la variación de $f$ e introduce la [convexidad](#def-g12-deriv-convex), gobernada por la [derivada](#def-g12-deriv-derivative) segunda.

## 22.1 La derivada

**Definición 22.1 (Derivada en un punto).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ y sea $a \in I$. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f$ es *derivable en $a$* si el cociente incremental

$$
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

tiene límite finito cuando $h \to 0$. Ese límite se llama *derivada de $f$ en $a$* y se escribe $f'(a)$. Si $f$ es derivable en todos los puntos de $I$, la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f' \colon x \mapsto f'(x)$ es la *derivada* de $f$.

**Definición 22.2 (Recta tangente).**

Si $f$ es [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en $a$, la *tangente* a la curva de $f$ en el punto $(a, f(a))$ es la recta de [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation)

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

![A medida que h disminuye, la recta secante que pasa por A = (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)) (en naranja) gira hacia la tangente en A (en rojo): su pendiente f(a+h)-f(a)/h tiende a f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-0dc6b0817a56.svg)

*A medida que $h$ disminuye, la recta [secante](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#def-g11-deriv-rate) que pasa por $A = (a, f(a))$ y $(a+h, f(a+h))$ (en naranja) gira hacia la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $A$ (en rojo): su [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tiende a $f'(a)$.*

**Proposición 22.3.**

Una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en $a$ es [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) en $a$. El recíproco es falso.

**Demostración.** Para $h \neq 0$ pequeño, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Cuando $h \to 0$, el segundo miembro tiende a $0 \times f'(a) = 0$, luego $f(a+h) \to f(a)$. Para el recíproco, $x \mapsto \abs{x}$ es [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) en $0$, pero su cociente incremental en $0$ vale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ según el signo de $h$, y no tiene límite. ∎

### 22.1.1 Reglas de derivación

**Proposición 22.4 (Operaciones).**

Sean $u, v$ [derivables](#def-g12-deriv-derivative) en $I$ y sea $\lambda \in \R$. Entonces $u + v$, $\lambda u$ y $uv$ son [derivables](#def-g12-deriv-derivative) en $I$, igual que $\frac{u}{v}$ allí donde $v \neq 0$, y

$$
(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad
(uv)' = u'v + uv', \quad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Demostración de la regla del producto.** Escribimos el cociente incremental de $uv$ en $a$ como

$$
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
= \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.
$$

Cuando $h \to 0$, $v(a+h) \to v(a)$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) ([Proposición 22.3](#prop-g12-deriv-diffcont)), así que el segundo miembro tiende a $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$. Las demás reglas se demuestran de forma análoga. ∎

**Teorema 22.5 (Regla de la cadena).**

Sea $u$ [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en $I$ con valores en $J$ y sea $g$ [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en $J$. Entonces $g \circ u$ es [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en $I$ y

$$
(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .
$$

En particular, para $u$ [derivable](#def-g12-deriv-derivative):

$$
(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad
\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad
\left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.
$$

**Esquema de demostración.** Cuando $u(a+h) \neq u(a)$ para $h$ pequeño, escribimos

$$
\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h}
= \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.
$$

Cuando $h \to 0$, $u(a+h) \to u(a)$, así que el primer factor tiende a $g'(u(a))$ y el segundo, a $u'(a)$. (Una demostración completa tiene que tratar el caso en que $u(a+h) = u(a)$ para $h$ arbitrariamente pequeño; ese punto técnico se trata en la universidad.) ∎

**Ejemplo 22.6.**

Las [derivadas](#def-g12-deriv-derivative) usuales, válidas en sus [dominios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) naturales:

$$
(x^n)' = nx^{n-1}, \quad
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad
(\cos x)' = -\sin x, \quad
(\sin x)' = \cos x .
$$

La primera se demuestra por inducción a partir de la regla del producto, y las dos últimas, en el [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#ch-g12-trigo).

## 22.2 Variación y extremos

**Teorema 22.7 (Signo de la derivada y variación).**

Sea $f$ [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $I$ si y solo si $f' \geq 0$ en $I$ .
2. $f$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $I$ si y solo si $f' \leq 0$ en $I$ .
3. Si $f' > 0$ en $I$ salvo en un número finito de puntos donde se anula, entonces $f$ es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $I$ .

**Demostración parcial.** Si $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), todos los cocientes incrementales $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ son $\geq 0$, y pasando al límite se obtiene $f'(a) \geq 0$. Las implicaciones recíprocas se apoyan en el teorema del valor medio, que se demuestra en la universidad; aquí se *admiten a este nivel*. ∎

**Definición 22.8 (Extremo relativo).**

$f$ tiene un *máximo relativo* en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ para todo $x$ cercano a $a$; los [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativos se definen de forma simétrica.

**Proposición 22.9 (Condición de primer orden).**

Si $f$ es [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) *abierto* $I$ y tiene un [extremo](#def-g12-deriv-extremum) relativo en $a \in I$, entonces $f'(a) = 0$. El recíproco es falso ($f(x) = x^3$ en $a = 0$).

**Demostración.** Supongamos que $a$ es un [máximo relativo](#def-g12-deriv-extremum). Para $h > 0$ pequeño, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$, así que haciendo $h \to 0^+$ se obtiene $f'(a) \leq 0$; para $h < 0$ el cociente es $\geq 0$, lo que da $f'(a) \geq 0$. Por tanto, $f'(a) = 0$. ∎

![En un extremo relativo interior a un intervalo abierto, la tangente (en naranja) es horizontal: f'(a) = 0. Aquí f(x) = x3 - 3x, con un máximo relativo en -1 y un mínimo relativo en 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-407cf2af40d9.svg)

*En un [extremo](#def-g12-deriv-extremum) relativo interior a un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) abierto, la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (en naranja) es horizontal: $f'(a) = 0$. Aquí $f(x) = x^3 - 3x$, con un [máximo relativo](#def-g12-deriv-extremum) en $-1$ y un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo en $1$.*

**Método 22.10 (Tabla de variación).**

Para estudiar una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f$: determina su [dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) y sus límites en la frontera; calcula $f'$ y factorízala; determina el signo de $f'$ en cada subintervalo; recógelo todo en una [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table), marcando los [extremos](#def-g12-deriv-extremum); y deduce el número de soluciones de $f(x) = k$ con el teorema de la biyección ([Teorema 21.15](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#thm-g12-limcont-bijection)).

## 22.3 Convexidad

**Definición 22.11 (Función convexa).**

Una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ es *convexa* en $I$ si todas las cuerdas de su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) quedan por encima de la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph): para todos $a, b \in I$ y $t \in \intcc{0}{1}$,

$$
f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).
$$

Es *cóncava* si se cumple la desigualdad contraria ($-f$ convexa).

![Una función convexa: todas las cuerdas (en rojo) quedan por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de todas sus tangentes (en naranja). El segmento discontinuo muestra la separación entre f ((1-t)a+tb ) y (1-t)f(a)+tf(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-9c85bb4847ac.svg)

*Una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex): todas las cuerdas (en rojo) quedan por encima de la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph), y la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) queda por encima de todas sus [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) (en naranja). El segmento discontinuo muestra la separación entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ y $(1-t)f(a)+tf(b)$.*

**Teorema 22.12 (Convexidad y derivadas).**

Sea $f$ [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. $f$ es [convexa](#def-g12-deriv-convex) en $I$ ;
2. $f'$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $I$ ;
3. la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) de $f$ queda por encima de todas sus [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) .

Si $f$ es dos veces [derivable](#def-g12-deriv-derivative), todas ellas equivalen además a $f'' \geq 0$ en $I$.

**Demostración de (2) $\Rightarrow$ (3).** Fijemos $a \in I$ y tomemos $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$, la separación entre la curva y la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $a$. Entonces $g$ es [derivable](#def-g12-deriv-derivative) y $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. Si $f'$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), $g' \leq 0$ en $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ y $g' \geq 0$ en $I \cap \intco{a}{+\infty}$: $g$ decrece antes de $a$ y crece después, así que $g$ alcanza su [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $g(a) = 0$, luego $g \geq 0$. Las demás implicaciones se admiten a este nivel; la equivalencia con $f'' \geq 0$ se sigue del [Teorema 22.7](#thm-g12-deriv-variations) aplicado a $f'$. ∎

**Definición 22.13 (Punto de inflexión).**

Un punto donde la curva de $f$ atraviesa su [tangente](#def-g12-deriv-tangent) es un *punto de inflexión*. Si $f$ es dos veces [derivable](#def-g12-deriv-derivative), los puntos de inflexión son los puntos donde $f''$ cambia de signo.

**Ejemplo 22.14.**

$f(x) = x^3$ tiene $f''(x) = 6x$: $f$ es [cóncava](#def-g12-deriv-convex) en $\intoc{-\infty}{0}$ y [convexa](#def-g12-deriv-convex) en $\intco{0}{+\infty}$, con un [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) en el origen, donde la curva atraviesa su [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (el eje $x$).

![El punto de inflexión de x x3 en el origen: la curva atraviesa su tangente (en naranja), cóncava a la izquierda y convexa a la derecha.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-d9c21b74d472.svg)

*El [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) de $x \mapsto x^3$ en el origen: la curva atraviesa su [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (en naranja), [cóncava](#def-g12-deriv-convex) a la izquierda y [convexa](#def-g12-deriv-convex) a la derecha.*

**Ejemplo 22.15 (Desigualdades por convexidad).**

La exponencial es [convexa](#def-g12-deriv-convex) en $\R$ (su [derivada](#def-g12-deriv-derivative) segunda es ella misma, que es positiva). Su [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $0$ es $y = 1 + x$, así que

$$
\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .
$$

Estas *desigualdades de la recta [tangente](#def-g12-deriv-tangent)* son un producto habitual de la [convexidad](#def-g12-deriv-convex).

**Método 22.16 (Usar la convexidad).**

- Para demostrar una desigualdad $f(x) \geq ax + b$ : identifica la recta como una [tangente](#def-g12-deriv-tangent) de una $f$ [convexa](#def-g12-deriv-convex) e invoca el [Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) (3).
- Para localizar [puntos de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) : resuelve $f''(x) = 0$ *y* comprueba que $f''$ cambia de signo allí.
- En una [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) , la [convexidad](#def-g12-deriv-convex) afina el esbozo de la curva (hacia dónde se dobla).

## 22.4 Ejercicios

**Ejercicio 22.1 ★.**

Deriva las funciones siguientes en sus [dominios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function):

$$
f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad
g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad
h(x) = (2x+1)^5, \quad
k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
$$

**Solución de Ejercicio 22.1.**

$f'(x) = 3x^2 - 5$.

Regla del cociente: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

Regla de la cadena con $u = 2x+1$: $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$.

Regla de la cadena con $u = x^2 + 1$: $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

**Ejercicio 22.2 ★.**

Da la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) a la curva de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ en el punto de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $a = 2$ y determina las posiciones de la curva respecto de esa [tangente](#def-g12-deriv-tangent).

**Solución de Ejercicio 22.2.**

$f'(x) = 2x - 3$, luego $f(2) = -1$ y $f'(2) = 1$: la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) es $y = -1 + (x - 2) = x - 3$. La separación es

$$
f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,
$$

así que la curva queda por encima de la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en todas partes y solo la toca en $x = 2$ (como cabía esperar: $f$ es [convexa](#def-g12-deriv-convex)).

**Ejercicio 22.3 ★.**

Usando la definición de [derivada](#def-g12-deriv-derivative), calcula

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x}
\qquad\text{y}\qquad
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
$$

**Solución de Ejercicio 22.3.**

Los dos son cocientes incrementales. Con $f(x) = (1+x)^{100}$ en $0$: $f'(x) = 100(1+x)^{99}$, así que el límite es $f'(0) = 100$. Con $g(x) = \sqrt{x}$ en $4$: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, así que el límite es $g'(4) = \frac14$.

**Ejercicio 22.4 ★★.**

Estudia la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ en su [dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function): límites, [derivada](#def-g12-deriv-derivative), [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) y [extremos](#def-g12-deriv-extremum) relativos.

**Solución de Ejercicio 22.4.**

[Dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $\R \setminus \{1\}$. Límites: en $\pm\infty$, $f(x) \sim x \to \pm\infty$; en $1^\pm$, el numerador $\to 4 > 0$ y el denominador $\to 0^\pm$, luego $f \to \pm\infty$; la recta $x = 1$ es [asíntota vertical](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-asymptote).

$$
f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}
= \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.
$$

Por tanto, $f' > 0$ en $\intoo{-\infty}{-1}$ y en $\intoo{3}{+\infty}$, y $f' < 0$ en $\intoo{-1}{1}$ y en $\intoo{1}{3}$. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) crece hasta un [máximo relativo](#def-g12-deriv-extremum) $f(-1) = -2$, decrece hasta $-\infty$, salta a $+\infty$ tras la [asíntota](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-asymptote), decrece hasta un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $f(3) = 6$ y crece después.

**Ejercicio 22.5 ★★.**

Se fabrica una caja sin tapa a partir de una lámina cuadrada de cartón de lado $30\,$cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y levantando los laterales. Determina el $x$ que maximiza el volumen de la caja.

**Solución de Ejercicio 22.5.**

Para $x \in \intoo{0}{15}$, la caja tiene una base cuadrada de lado $30 - 2x$ y altura $x$, así que

$$
V(x) = x(30 - 2x)^2 .
$$

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x)
= (30-2x)(30-6x)$. En $\intoo{0}{15}$, $30 - 2x > 0$, así que $V'$ tiene el signo de $30 - 6x$: positivo antes de $x = 5$ y negativo después. El volumen es [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) para $x = 5$ cm, y vale $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$.

**Ejercicio 22.6 ★★.**

Sea $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. Calcula $f''$ y determina los [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de [convexidad](#def-g12-deriv-convex) y los [puntos de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) de $f$ .
2. Demuestra que la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en el [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) de [abscisa](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $2$ atraviesa allí la curva.

**Solución de Ejercicio 22.6.**

*1.* $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ y $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. Así que $f'' > 0$ en $\intoo{-\infty}{0}$ y en $\intoo{2}{+\infty}$ ([convexa](#def-g12-deriv-convex)), y $f'' < 0$ en $\intoo{0}{2}$ ([cóncava](#def-g12-deriv-convex)). $f''$ cambia de signo en $0$ y en $2$: los dos son [puntos de inflexión](#def-g12-deriv-inflection).

*2.* En $a = 2$: $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$, $f'(2) = 32 - 48 = -16$ y la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) es $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$. La separación es

$$
g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .
$$

Como $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$, $(x-2)^3$ divide a $g$; la división da $g(x) = (x-2)^3(x+2)$. Cerca de $x = 2$, $x + 2 > 0$, así que $g$ tiene el signo de $(x-2)^3$: negativo antes de $2$ y positivo después. La curva atraviesa la [tangente](#def-g12-deriv-tangent): $2$ es, en efecto, un [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection).

**Ejercicio 22.7 ★★.**

Usando una desigualdad de la recta [tangente](#def-g12-deriv-tangent), demuestra que para todo $x > 0$,

$$
\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},
$$

e identifica cuándo se da la igualdad. (Indicación: la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada es [cóncava](#def-g12-deriv-convex).)

**Solución de Ejercicio 22.7.**

La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f(x) = \sqrt{x}$ cumple $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ en $\intoo{0}{+\infty}$: es [cóncava](#def-g12-deriv-convex), así que su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) queda *por debajo* de todas sus [tangentes](#def-g12-deriv-tangent). La [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $a = 1$ es

$$
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},
$$

de donde $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ para todo $x > 0$. La igualdad significa que la curva toca la [tangente](#def-g12-deriv-tangent), cosa que solo ocurre en el punto de tangencia $x = 1$. (Equivalentemente: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$.)

**Ejercicio 22.8 ★★★.**

Sea $f$ [convexa](#def-g12-deriv-convex) y [derivable](#def-g12-deriv-derivative) en $\R$, y supongamos que $f'$ se anula en algún punto $a$. Demuestra que $f(a)$ es el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) *absoluto* de $f$ en $\R$.

**Solución de Ejercicio 22.8.**

Por el [Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity), la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex) [derivable](#def-g12-deriv-derivative) queda por encima de todas sus [tangentes](#def-g12-deriv-tangent). La [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $a$ es horizontal ($f'(a) = 0$), de [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y = f(a)$. Por tanto, $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in \R$: $f(a)$ es el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) absoluto.

**Ejercicio 22.9 ★★★.**

Demuestra que, de entre todos los rectángulos de perímetro fijo $p$, el cuadrado es el de mayor área. Demuestra después que, de entre todos los rectángulos de área fija $A$, el cuadrado es el de menor perímetro, y explica cómo se relacionan las dos afirmaciones.

**Solución de Ejercicio 22.9.**

*Perímetro fijo.* Un rectángulo de lados $x$ y $\frac{p}{2} - x$ ($0 < x < \frac p2$) tiene área $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$. Entonces $S'(x) = \frac p2 - 2x$ se anula en $x = \frac p4$, es positiva antes y negativa después: el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) está en $x = \frac{p}{4}$, donde los dos lados valen $\frac p4$; un cuadrado.

*Área fija.* Los lados $x$ y $\frac Ax$ dan un perímetro $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$, con $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$, negativa para $x < \sqrt A$ y positiva después: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) en $x = \sqrt{A}$; otra vez un cuadrado.

*Relación.* Las dos afirmaciones son duales. Supongamos que un rectángulo no cuadrado minimizara el perímetro con área fija $A$; el cuadrado de ese mismo perímetro tendría área $> A$ por la primera afirmación, y encogerlo por semejanza hasta el área $A$ reduciría estrictamente su perímetro, en contradicción con la minimalidad. Cada afirmación implica, pues, la otra.

## 22.5 Problema: El cálculo del socorrista

**Problema 22.1.**

Problema de fin de semana — el rescate más rápido obedece a la ley de Snell de la luz, la convexidad certifica todos los óptimos y la lata de refresco ideal es exactamente tan alta como ancha

Un socorrista ve a un bañista en apuros, en diagonal playa abajo y mar adentro. Correr es más rápido que nadar: la línea recta *no* es el camino más rápido. El [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) que minimiza el tiempo se quiebra en la orilla, y su ley de quiebro es exactamente la ley con la que se refracta la luz al entrar en el agua: la naturaleza también deriva. Este problema entrena la regla de la cadena ([Teorema 22.5](#thm-g12-deriv-chain)), ejecuta el rescate, cosecha las desigualdades de la [convexidad](#def-g12-deriv-convex) ([Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)) y diseña una lata.

**Parte I — Soltura con la regla de la cadena.**

1. Deriva: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
2. Da la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) a $y = \sqrt{x^2 + 9}$ en $x = 4$ .
3. Construye la [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ en $\R$ (con los [extremos](#def-g12-deriv-extremum) ).
4. Para $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : [tabla de variación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-table) *y* tabla de [convexidad](#def-g12-deriv-convex) ( $g''$ ), con el [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) ( [Definición 22.13](#def-g12-deriv-inflection) ).
5. Calcula la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) a $g$ en su [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) y demuestra que $g(x) - (\text{tangente}) = (x - 1)^3$ : ¿qué dice el cambio de signo sobre cómo se encuentra la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) con la curva en una inflexión?

**Parte II — El rescate.** La orilla va a lo largo del eje $x$; la socorrista está sobre la arena en $A(0, 30)$ y el bañista espera en $B(40, -20)$ (en metros). La socorrista corre a $5$ m/s sobre la arena, nada a $2$ m/s y entra en el agua por un punto $(x, 0)$ que ella elige.

6. Modelo: expresa el tiempo total de rescate $T(x)$ y di por qué solo merece la pena considerar $x \in \intcc{0}{40}$ .
7. Deriva $T$ (con la regla de la cadena en acción, dos veces).
8. Sea $\theta_1$ el ángulo del tramo corriendo con la *perpendicular* a la orilla y $\theta_2$ el del tramo a nado. Demuestra que $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ y que la condición $T'(x) = 0$ se lee $$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$$ — la *ley de Snell*, con las dos velocidades en lugar de las velocidades de la luz en el aire y en el agua.
9. El segmento recto $[AB]$ corta la orilla en $x = 24$ . Calcula $T(24)$ , $T(40)$ (correr por la playa y después nadar en línea recta) y $T(0)$ : ¿es la recta geométrica lo más rápido? ¿Y alguna de las dos estrategias extremas?
10. Localiza el punto de entrada óptimo por [dicotomía](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#thm-g12-limcont-ivt) sobre $T'$ (está en torno a $33.7$ m): da $x^*$ al metro y el tiempo récord $T(x^*)$ con una décima de segundo. ¿Cuánto ahorra el quiebro óptimo frente a la línea recta?
11. ¿Por qué el punto crítico es un [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) *absoluto* ? (Cada sumando de $T$ es convexo (admite que una suma de funciones [convexas](#def-g12-deriv-convex) es [convexa](#def-g12-deriv-convex) ) y se aplica el [Ejercicio 22.8](#exo-g12-deriv-8) .)
12. El principio de Fermat afirma que la luz recorre siempre el camino de *tiempo* [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) . Deduce por qué un rayo de luz se quiebra justo en la superficie al entrar en el agua (donde la luz es más lenta) y nombra la observación cotidiana que esto explica sobre un lápiz metido en un vaso de agua.

**Parte III — La cosecha de la [convexidad](#def-g12-deriv-convex).**

13. Demuestra que $x \mapsto x^2$ es [convexa](#def-g12-deriv-convex) y demuestra dos veces la desigualdad del [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ : una vez a partir de la [convexidad](#def-g12-deriv-convex) y otra desarrollando $(a - b)^2 \geq 0$ .
14. Deduce que la *[media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) cuadrática* $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domina a la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) aritmética y monta la cadena completa de la serie (armónica $\leq$ geométrica $\leq$ aritmética $\leq$ cuadrática), comprobando las cuatro con $a = 2$ y $b = 8$ .
15. [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) por debajo de la curva: $x \mapsto \frac1x$ es [convexa](#def-g12-deriv-convex) en $\intoo{0}{+\infty}$ ; escribe su [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $1$ y deduce la desigualdad $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$ . ¿Dónde es una igualdad?
16. Inflexión en estado salvaje: durante una epidemia, el recuento acumulado de casos sigue una curva en forma de S. ¿Qué ocurre en su [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection) y por qué es esa la fecha que vigilan los epidemiólogos? Relaciónalo con el signo de la [derivada](#def-g12-deriv-derivative) segunda a cada lado.

**Parte IV — La lata ideal.** Una lata cilíndrica debe contener $V = 330$ cm$^3$ con el menor metal posible: superficie $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ con la restricción $\pi r^2 h = V$.

17. Expresa $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , deriva y calcula el radio y la altura óptimos para $V = 330$ (con precisión de milímetro).
18. Demuestra la elegante ley general: en el óptimo, $h = 2r$ ; la lata ideal es exactamente tan alta como ancha.
19. Comprueba que $S''(r) > 0$ y concluye (otra vez con el [Ejercicio 22.8](#exo-g12-deriv-8) ) que el óptimo es absoluto. Las latas de refresco reales son visiblemente más altas que anchas: da una [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) no matemática.
20. Final: la cadena de montaje de la optimización: modelizar, preguntar a la [derivada](#def-g12-deriv-derivative) , resolver los puntos críticos, certificar con [convexidad](#def-g12-deriv-convex) o con una tabla, e interpretar. Recorre la lista con el socorrista, la lata y la viga más resistente del curso pasado ( [Problema 12.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#pb-g11-deriv-1) ), y di qué afirma el principio de Fermat sobre quién más recorre esta cadena.

**Solución de Problema 22.1.**

**1.** $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.

**2.** $y(4) = 5$, [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac45$: [tangente](#def-g12-deriv-tangent) $y = 5 + \frac45(x - 4)$, es decir, $y = \frac45 x + \frac95$.

**3.** $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$: negativa, positiva y negativa al pasar por $-1$ y $1$: [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -\frac12$, [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac12$, con [asíntota horizontal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-asymptote) $0$ a los dos lados.

**4.** $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$: [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) al pasar por $0$ y $2$; [máximo relativo](#def-g12-deriv-extremum) $g(0) = 4$ y [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) relativo $g(2) = 0$. $g''(x) = 6x - 6$: [cóncava](#def-g12-deriv-convex) antes de $1$ y [convexa](#def-g12-deriv-convex) después: inflexión en $(1, 2)$.

**5.** [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $1$: [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $g'(1) = -3$: $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$. [Diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic): $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$, que cambia de signo en $1$: la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) *atraviesa* la curva; ese es el comportamiento característico en un [punto de inflexión](#def-g12-deriv-inflection), donde la curva cambia de lado.

**6.** $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} +
\dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$. Entrar antes de $0$ o más allá de $40$ alarga *los dos* tramos: no tiene sentido.

**7.** $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} -
\dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$.

**8.** En el triángulo del tramo a la carrera, el lado paralelo a la orilla mide $x$ y la hipotenusa, $\sqrt{x^2 + 900}$: el [seno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-cossin) del ángulo con la perpendicular es precisamente su cociente (cateto opuesto entre hipotenusa); y del mismo modo, $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$. Entonces $T'(x) = 0$ se lee $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$: la ley de Snell con velocidades $5$ y $2$.

**9.** $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. La línea recta pierde incluso frente a “correr todo el camino y después nadar en línea recta”, y las dos pierden frente al camino refractado.

**10.** La [dicotomía](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#thm-g12-limcont-ivt) sobre $T'$ (negativa en $24$ y positiva en $40$) [converge](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-limit) a $x^* \approx 34$ m, con $T(x^*) \approx 19.5$ s: un segundo más rápido que la línea recta; la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) entre un rescate y una tragedia.

**11.** El tiempo de cada tramo es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex) de $x$ (una rama de la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada de un polinomio de segundo grado), así que $T$ es [convexa](#def-g12-deriv-convex), y un punto crítico de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [convexa](#def-g12-deriv-convex) [derivable](#def-g12-deriv-derivative) es su [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) absoluto ([Ejercicio 22.8](#exo-g12-deriv-8)): $x^*$ no es solo estacionario, es imbatible.

**12.** La luz es más lenta en el agua; por el principio de Fermat, el camino más rápido del aire al agua se quiebra en la superficie exactamente según la ley de Snell, así que los rayos de un lápiz sumergido llegan al ojo quebrados y el cerebro, que prolonga líneas rectas, ve el lápiz roto en la línea del agua.

**13.** $(x^2)'' = 2 > 0$: [convexa](#def-g12-deriv-convex). [Convexidad](#def-g12-deriv-convex) en el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint): $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$, que es lo que se afirma. A mano: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =
\frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$.

**14.** Tomando raíces cuadradas (que es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic)) en la pregunta 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. Cadena completa con $2$ y $8$: armónica $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$; geométrica $\sqrt{16} = 4$; aritmética $5$; cuadrática $\sqrt{34} \approx 5.83$: cada [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) se inclina ante la siguiente.

**15.** [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) a $\frac1x$ en $1$: valor $1$ y [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-1$: $y = 2 - x$. Las curvas [convexas](#def-g12-deriv-convex) se sitúan por encima de sus [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) ([Teorema 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)): $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$, con igualdad exactamente en el punto de contacto $x = 1$.

**16.** En la inflexión, el recuento *diario* de casos (la [derivada](#def-g12-deriv-derivative)) alcanza su [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema): el crecimiento deja de acelerarse y empieza a frenar; es la primera señal matemática de que la ola está girando, mucho antes de que caigan los propios recuentos. Antes de ella, $f'' > 0$ (cada día peor que el anterior); después, $f'' < 0$ (sigue creciendo, pero más despacio).

**17.** $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ da $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$: $r \approx 3.74$ cm, y $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

**18.** $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ en el óptimo: la altura es igual al diámetro, sea cual sea el volumen.

**19.** $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$: [convexa](#def-g12-deriv-convex), así que el radio crítico da el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) absoluto. Las latas reales son más altas por el agarre, el apilado, la presencia en el lineal y el metal más grueso de la tapa y el fondo: la optimización siempre minimiza exactamente lo que has escrito, no lo que querías decir.

**20.** Socorrista: modelizar $T(x)$, derivar, Snell, [convexidad](#def-g12-deriv-convex), un segundo ganado. Lata: modelizar $S(r)$, derivar, $h = 2r$, [convexidad](#def-g12-deriv-convex), metal ahorrado. Viga ([Problema 12.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/12-derivacion-un-primer-curso#pb-g11-deriv-1)): modelizar $S(w)$, derivar, $d = w\sqrt2$, tabla, rigidez ganada. Y, por el principio de Fermat, la propia luz recorre esta cadena en cada superficie que encuentra: la naturaleza fue el primer optimizador.