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title: "Funciones trigonométricas"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas
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# Capítulo 24 — Funciones trigonométricas

Las funciones $\cos$ y $\sin$ convierten la geometría de la circunferencia en análisis. Definidas enrollando la recta real sobre la circunferencia unidad, son el arquetipo de las funciones periódicas, y sus [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) las convierten en soluciones de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de las oscilaciones $y'' = -y$.

## 24.1 La circunferencia unidad

**Definición 24.1 (Coseno y seno).**

Sea $\mathcal{C}$ la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). A cada real $t$ le asociamos el punto $M(t)$ que se obtiene enrollando una longitud $\abs{t}$ sobre $\mathcal{C}$ desde el punto $I(1,0)$, en sentido antihorario si $t \geq 0$ y en sentido horario en caso contrario. Entonces *$\cos t$ y $\sin t$ son las coordenadas de $M(t)$*:

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

Como la circunferencia mide $2\pi$, el punto $M(t)$ no cambia cuando $t$ aumenta en $2\pi$; y, como $M(t)$ está sobre la circunferencia unidad:

**Proposición 24.2 (Identidades fundamentales).**

Para todos $t \in \R$ y $k \in \Z$:

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**Demostración.** La primera identidad es la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia unidad; las demás expresan las simetrías de la circunferencia: $M(-t)$ es el simétrico de $M(t)$ respecto del eje $x$, $M(\pi - t)$ lo es respecto del eje $y$ y $M(\frac\pi2 - t)$, respecto de la recta $y = x$. ∎

Los valores que hay que saberse de memoria:

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Proposición 24.3 (Fórmulas de adición).**

Para todos $a, b \in \R$:

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

En particular, $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ y $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**Demostración.** Los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ y $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ son unitarios y forman un ángulo $a - b$; su [producto escalar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-dot) vale a la vez $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ (por [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)) y $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (por geometría), que es la tercera fórmula. Sustituyendo $b$ por $-b$ se obtiene la primera; las fórmulas del [seno](#def-g12-trigo-cossin) se siguen usando $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$. Las fórmulas del ángulo doble son el caso $b = a$ combinado con $\cos^2 + \sin^2 = 1$. ∎

## 24.2 Estudio analítico

**Lema 24.4 (Límite fundamental).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{y}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**Demostración.** Para $0 < t < \frac{\pi}{2}$, comparamos tres áreas en la circunferencia unidad: el triángulo $OIM(t)$, el sector circular $OIM(t)$ y el triángulo rectángulo de base $OI$ y altura $\tan t$:

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![Las tres áreas encajadas: el triángulo OIM (en azul, de área t/2), el sector circular (limitado por el arco rojo, de área t/2) y el triángulo rectángulo de altura t (en naranja, de área t/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*Las tres áreas encajadas: el triángulo $OIM$ (en azul, de área $\frac{\sin t}{2}$), el sector circular (limitado por el arco rojo, de área $\frac{t}{2}$) y el triángulo rectángulo de altura $\tan t$ (en naranja, de área $\frac{\tan t}{2}$).*

La primera desigualdad da $\frac{\sin t}{t} \leq 1$; la segunda da $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$. Cuando $t \to 0^+$, $\cos t \to 1$ (por [continuidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity)), y el teorema del sándwich da $\frac{\sin t}{t} \to 1$; la paridad lo extiende a $t \to 0$. Para el segundo límite,

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**Teorema 24.5 (Derivadas del seno y del coseno).**

Las funciones $\sin$ y $\cos$ son [derivables](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) en $\R$, con

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

Más en general, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ y $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

**Demostración.** Por las fórmulas de adición,

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

usando el [Lema 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx). El cálculo para $\cos$ es idéntico, y la forma general se sigue de la regla de la cadena. ∎

**Proposición 24.6 (Variación).**

En $\intcc{0}{\pi}$, $\cos$ decrece de $1$ a $-1$. En $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, $\sin$ crece de $-1$ a $1$. Las dos funciones son $2\pi$-periódicas y tienen [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) $\intcc{-1}{1}$; $\cos$ es par y $\sin$ es [impar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-parity).

**Demostración.** En $\intoo{0}{\pi}$, $(\cos)' = -\sin < 0$, porque allí el punto $M(t)$ tiene ordenada positiva; y análogamente $(\sin)' = \cos > 0$ en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$. La periodicidad y la paridad vienen de la [Proposición 24.2](#prop-g12-trigo-identities). ∎

![Las curvas de (en azul) y de (en rojo).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*Las curvas de $\cos$ (en azul) y de $\sin$ (en rojo).*

**Método 24.7 (Resolver cos⁡x=a\cos x = acosx=a y sin⁡x=a\sin x = asinx=a).**

Para $a \in \intcc{-1}{1}$, halla una solución particular $\alpha$ (de la tabla de valores o con la calculadora). Entonces todas las soluciones son:

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ o } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ o } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

Para las inecuaciones, localiza los arcos solución sobre la circunferencia unidad y lee los [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) dentro de un periodo.

**Ejemplo 24.8.**

Resolvamos $\cos x = \frac12$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$: una solución particular es $\frac\pi3$, así que las soluciones son $x = \frac\pi3$ y $x = -\frac\pi3$. En todo $\R$: $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$, $k \in \Z$.

## 24.3 Ejercicios

**Ejercicio 24.1 ★.**

Calcula $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{7\pi}{4}$ y $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ usando las identidades de la [Proposición 24.2](#prop-g12-trigo-identities).

**Solución de Ejercicio 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**Ejercicio 24.2 ★.**

Deriva $f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ y $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

**Solución de Ejercicio 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (regla de la cadena).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (reglas de la cadena y del producto).

Regla del cociente:

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**Ejercicio 24.3 ★.**

Resuelve en $\intoc{-\pi}{\pi}$ y después en $\R$:

$$
\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**Solución de Ejercicio 24.3.**

*(a)* Una solución particular de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ es $\frac\pi3$. Soluciones generales: $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ o $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. En $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$.

*(b)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ da $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$, luego $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$. En $\intoc{-\pi}{\pi}$: $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$.

**Ejercicio 24.4 ★★.**

Usando las fórmulas de adición, calcula el valor exacto de $\cos\frac{\pi}{12}$ y de $\sin\frac{\pi}{12}$. (Indicación: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.)

**Solución de Ejercicio 24.4.**

Con $a = \frac\pi3$ y $b = \frac\pi4$:

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**Ejercicio 24.5 ★★.**

Resuelve en $\intcc{0}{2\pi}$ la inecuación $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$. (Indicación: factoriza el polinomio de segundo grado en $\sin x$.)

**Solución de Ejercicio 24.5.**

Tomamos $s = \sin x$: $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ si y solo si $s \leq -\frac12$ o $s = 1$.

$\sin x = 1$ da $x = \frac\pi2$. $\sin x \leq -\frac12$: sobre la circunferencia unidad, el arco por debajo de la recta horizontal $y = -\frac12$, que en $\intcc{0}{2\pi}$ es $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$. Por tanto,

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**Ejercicio 24.6 ★★.**

Calcula los límites

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**Solución de Ejercicio 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (por composición con $u = 3x \to 0$).

Usando $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$:

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

Sustituyendo $u = \frac1x \to 0^+$: $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$.

**Ejercicio 24.7 ★★.**

Estudia la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ en $\intcc{0}{2\pi}$: variación y [extremos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum). Demuestra que $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) en $\R$ aunque $f'$ se anule en infinitos puntos.

**Solución de Ejercicio 24.7.**

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ para todo $x$, con igualdad exactamente cuando $\sin x = 1$, es decir, $x = \frac\pi2 + 2k\pi$. En $\intcc{0}{2\pi}$, $f$ crece de $f(0) = 1$ a $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (el cero de $f'$ en $\frac{\pi}{2}$ está aislado, así que el crecimiento es incluso estricto); [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $1$ en $0$ y [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $2\pi + 1$ en $2\pi$. En $\R$, $f' \geq 0$ en todas partes con ceros solo aislados, así que $f$ es (estrictamente) [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) por el [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#thm-g12-deriv-variations), aunque $f'$ se anule en todos los $\frac\pi2 + 2k\pi$.

**Ejercicio 24.8 ★★★.**

Sea $f(x) = A\cos x + B \sin x$ con $(A,B) \neq (0,0)$.

1. Demuestra que $f$ se puede escribir $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ con $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ y un $\varphi$ adecuado.
2. Deduce el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) y el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) de $f$ y resuelve $\cos x + \sin x = 1$ en $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

**Solución de Ejercicio 24.8.**

*1.* Sea $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$. El punto $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ está en la circunferencia unidad, así que existe $\varphi$ con $\cos\varphi = \frac AR$ y $\sin\varphi = \frac BR$. Entonces

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* Como el [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) de $\cos$ es $\intcc{-1}{1}$, $f$ tiene [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $R$ y [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $-R$. Para $\cos x + \sin x$: $A = B = 1$, $R = \sqrt2$ y $\varphi = \frac\pi4$, así que la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) queda $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$, es decir, $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$, lo que da $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$: en $\intoc{-\pi}{\pi}$, $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$.

**Ejercicio 24.9 ★★★.**

Demuestra que $\sin$ y $\cos$ cumplen las dos la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) diferencial $y'' = -y$. Recíprocamente, sea $y$ una solución de $y'' = -y$ con $y(0) = a$ e $y'(0) = b$; demuestra que $y = a\cos + b\sin$. (Indicación: considera $g = (y - a\cos - b\sin)$ y la “energía” $E = g^2 + (g')^2$.)

**Solución de Ejercicio 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ y $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$: las dos resuelven $y'' = -y$.

Sea $g = y - a\cos - b\sin$. Entonces $g'' = -g$ (por la linealidad de la derivación), $g(0) = y(0) - a = 0$ y $g'(0) = y'(0) - b = 0$. Tomemos $E = g^2 + (g')^2$. Entonces

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

así que $E$ es constante e igual a $E(0) = 0$. Una suma de dos cuadrados que se anula idénticamente obliga a $g = 0$, luego $y = a\cos + b\sin$.

## 24.4 Problema: El secreto del péndulo

**Problema 24.1.**

Problema de fin de semana — un límite geométrico mueve las derivadas del seno y del coseno, y de ellas sale toda la oscilación: muelles, péndulos, pulsaciones y el metro que estuvo a punto de ser

Todos los relojes que han hecho tictac y todas las cuerdas que han sonado obedecen a las mismas matemáticas: una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y, por tanto, la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$ y, por tanto, [cosenos](#def-g12-trigo-cossin). En la base de todo ello se sienta un límite de aspecto inocente, $\frac{\sin x}{x} \to 1$, prometido cursos atrás, usado por el [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) y demostrado aquí con un dibujo. Este problema sube desde ese límite hasta el vaivén de un péndulo de un metro y explica por qué el metro no está definido por él, por muy poco.

**Parte I — El límite fundamental.**

1. Calentamiento numérico: calcula $\frac{\sin x}{x}$ para $x = 0.1$ y $x = 0.01$ (¡en [radianes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-radian) !).
2. El sándwich, en la circunferencia unidad con $0 < x < \frac\pi2$ : expresa por geometría elemental las áreas de (i) el triángulo de vértices $O$ , $A(1,0)$ y el punto de la circunferencia $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) el sector circular $OAM$ ; (iii) el triángulo rectángulo $OAT$ con $T(1, \tan x)$ .
3. Del sándwich de áreas deduce $\sin x < x < \tan x$ y después $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , y concluye con el teorema del sándwich que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (la paridad se ocupa de $x < 0$ ).
4. Deduce $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$ (multiplica por el conjugado).
5. Explica por qué este límite es el motor del [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) (¿cuánto vale $\sin'(0)$ ?) y por qué salda además una vieja deuda: ¿en qué sentido son los *[radianes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-radian)* la única unidad de ángulo con la que $\sin' = \cos$ se cumple sin constantes?

**Parte II — Movimiento armónico.**

6. Comprueba con la regla de la cadena que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ cumple $y'' = -\omega^2 y$ .
7. Una masa sujeta a un muelle cumple $y'' = -4y$ , con $y(0) = 3$ e $y'(0) = 8$ . Admitiendo (por el [Ejercicio 24.9](#exo-g12-trigo-9) ) que todas las soluciones son $A\cos 2t + B\sin 2t$ , determina $A$ y $B$ .
8. Reescribe la solución como $R\cos(2t - \varphi)$ ( [Ejercicio 24.8](#exo-g12-trigo-8) ): da la amplitud $R$ , el periodo y la fase $\varphi$ (con tres decimales).
9. ¿En qué instante pasa la masa por primera vez por la posición de equilibrio $y = 0$ ?
10. El péndulo: una lenteja colgada de un hilo de longitud $L$ cumple *exactamente* $\theta'' = -\frac gL \sin\theta$ , que no se resuelve con funciones elementales. Para oscilaciones pequeñas, sustituye $\sin\theta$ por $\theta$ (¡la Parte I lo justifica!) y deduce el periodo $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calcula $T$ para $L = 1$ m ( $g = 9.81$ ): el famoso descubrimiento de Galileo. ¿De qué *no* depende la fórmula?
11. El péndulo de segundos: ¿qué longitud da exactamente $T = 2$ s? La Academia de Ciencias francesa de 1791 dudó entre esa longitud y la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano para definir el *metro* : ¿en cuántos milímetros se diferencian los dos candidatos?

**Parte III — Las fórmulas de adición en acción.**

12. Demuestra con las fórmulas de adición ( [Proposición 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ) que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ y $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : derivar es girar un cuarto de vuelta sobre la circunferencia; comprueba la coherencia con el [Teorema 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) .
13. Deduce la identidad de producto a suma $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)$ y la linealización $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (el capítulo de integración te lo agradecerá).
14. Pulsaciones: deduce $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$ y aplícalo a dos diapasones de $440$ y $444$ Hz: ¿qué tono oye el oído y cuántas pulsaciones por segundo? (Así es como afinan las orquestas.)
15. Deduce la identidad del ángulo triple $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (escribe $3x = 2x + x$ ). Tomando $x = 20^\circ$ , ¿qué [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de tercer grado debe cumplir $\cos 20^\circ$ ? (Que esa [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) no se pueda resolver solo con raíces cuadradas es precisamente la [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) de que la trisección del ángulo derrotara a la regla y el compás durante dos milenios; la historia completa se cuenta en los volúmenes universitarios.)
16. Una corriente alterna vale $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Reescríbela como $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : ¿corriente de pico y fase?

**Parte IV — El mundo que oscila.**

17. Periodos: ¿cuál es el periodo ( [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) ) de $\sin^2 t$ (usa la pregunta 13)? ¿Y el de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
18. Un péndulo real se amortigua: $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Describe el movimiento, calcula el valor de la envolvente en $t = 10$ (aparece un viejo conocido, [Problema 23.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#pb-g12-exp-1) ) y nombra el capítulo donde se resuelven las ecuaciones con soluciones de ese tipo.
19. ¿Por qué gobiernan los [senos](#def-g12-trigo-cossin) y los [cosenos](#def-g12-trigo-cossin) todas las vibraciones? Da en dos frases el diccionario de la física a las matemáticas (fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento $\rightarrow$ qué [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $\rightarrow$ qué soluciones) y di qué aporta a la afirmación el [Ejercicio 24.9](#exo-g12-trigo-9) .
20. Final: el arco del capítulo en cuatro pasos: un límite geométrico, dos [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) , una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) diferencial y toda la oscilación. Y el asterisco honrado: para oscilaciones grandes, el periodo verdadero del péndulo involucra una integral elíptica que se calcula a la velocidad del rayo con … la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica de Gauss, el postre del [Problema 20.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#pb-g12-seq-1) . Los hilos de la serie se anudan solos.

**Solución de Problema 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ y $0.99998\ldots$: acercándose a $1$.

**2.** Triángulo $OAM$: base $1$ y altura $\sin x$: área $\frac{\sin x}{2}$. Sector $OAM$: la fracción $\frac{x}{2\pi}$ del círculo unidad: área $\frac x2$. Triángulo $OAT$: base $1$ y altura $\tan x$: área $\frac{\tan x}{2}$.

**3.** El triángulo está dentro del sector y este, dentro del triángulo grande: $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$, es decir, $\sin x < x < \tan x$. De $\sin x < x$ se sigue $\frac{\sin x}{x} < 1$; y de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, multiplicando por $\frac{\cos x}{x} > 0$, se sigue $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. Cuando $x \to 0^+$, $\cos x \to 1$: por el sándwich, $\frac{\sin x}{x} \to 1$; y $\frac{\sin x}{x}$ es par, así que el límite bilateral también es $1$.

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to
1 \times \frac12$.

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$: toda la derivación del [seno](#def-g12-trigo-cossin) y del [coseno](#def-g12-trigo-cossin) mana de ese único límite. Medido en grados, el límite sería $\frac{\pi}{180}$ y todas las [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) arrastrarían esa constante: los [radianes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/14-trigonometria-la-circunferencia-unidad#def-g11-trigo-radian) son exactamente la unidad que deja limpio el cálculo de las oscilaciones.

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$ e $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$.

**7.** $\omega = 2$. $y(0) = A = 3$; $y'(0) = 2B = 8$: $B = 4$: $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$.

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$; periodo $\frac{2\pi}{2} = \pi$; fase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$: $y = 5\cos(2t - 0.927)$.

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ por primera vez cuando $2t - \varphi = \frac\pi2$: $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

**10.** Con $\sin\theta \approx \theta$: $\theta'' = -\frac gL \theta$: armónico con $\omega = \sqrt{\frac gL}$ y periodo $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. Para $L = 1$: $T \approx 2.006$ s. El periodo no depende de la amplitud (con oscilaciones pequeñas): el isocronismo de Galileo, el hecho que hace posibles los relojes de péndulo.

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2}
\approx 0.994$ m: el péndulo de segundos se queda unos $6$ mm por debajo del metro del meridiano. La Academia eligió el meridiano (la gravedad varía de un lugar a otro y delata al péndulo); si $g$ hubiera sido un pelo mayor, nuestro metro haría tictac.

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$. Así que derivar el [seno](#def-g12-trigo-cossin) lo desplaza un cuarto de vuelta ($\cos$), y otra vez ($-\sin$), y otra, y vuelve a casa en cuatro pasos: derivar hace girar la circunferencia.

**13.** Sumando los dos desarrollos de $\cos(a \mp b)$: $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$. Con $a = b = x$: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, es decir, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

**14.** Con $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ y $q$ su reflejo, desarrollando y sumando: $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$. Para $440$ y $444$ Hz: un tono de $442$ Hz cuya intensidad queda modulada por $\cos(2\pi \cdot 2t)$; la intensidad alcanza su [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $4$ veces por segundo (por el [valor absoluto](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-abs) de la envolvente): cuatro pulsaciones por segundo, que se apagan cuando los diapasones coinciden.

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$. En $x = 20^\circ$: $\cos 60^\circ = \frac12$, luego $c = \cos 20^\circ$ cumple $8c^3 - 6c - 1 = 0$: una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de tercer grado sin solución por raíces cuadradas; construir $20^\circ$, es decir, trisecar $60^\circ$, queda fuera del alcance de la regla y el compás.

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$: $\varphi = \frac\pi3$: $I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right)$: pico de $6$ amperios y desfase de $60^\circ$.

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$: periodo $\pi$. $\sin 2t$ tiene periodo $\pi$ y $\sin 3t$, $\frac{2\pi}{3}$: la suma se repite tras el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) común múltiplo, $2\pi$.

**18.** Una oscilación de periodo $1$ dentro de la envolvente menguante $\pm\eu^{-t/10}$: cada vaivén, un $10\,\%$ más bajo. En $t = 10$ la envolvente vale $\eu^{-1} \approx 0.368$: otra vez la constante del [Problema 23.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#pb-g12-exp-1). Las ecuaciones con soluciones amortiguadas así ($y'' + a y' + b y = 0$) se resuelven en el capítulo de ecuaciones diferenciales.

**19.** Una fuerza que tira hacia atrás proporcionalmente al desplazamiento da $y'' = -\omega^2 y$; y el [Ejercicio 24.9](#exo-g12-trigo-9) muestra que las soluciones de esa [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) son *exactamente* las combinaciones de $\cos$ y $\sin$: existencia por exhibición y unicidad por el ejercicio; a la vibración no le queda más remedio que ser sinusoidal.

**20.** Un límite ($\frac{\sin x}{x} \to 1$, por áreas encajadas), dos [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) ($\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$), una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) ($y'' = -\omega^2 y$) y un mundo de relojes, cuerdas, corrientes y mareas. Asterisco: para oscilaciones amplias, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$: la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) aritmético-geométrica del [Problema 20.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#pb-g12-seq-1) calcula la integral elíptica en un puñado de iteraciones; la entrada del diario de Gauss y el péndulo de Galileo, a una fórmula de distancia.