--- title: "Integración" book: "Matemáticas de secundaria" subject: math language: es chapter: 25 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/25-integracion --- # Capítulo 25 — Integración La integración responde a dos preguntas a la vez: cuál es el área bajo una curva y cómo se puede recuperar una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) a partir de su tasa de variación. El teorema fundamental del cálculo afirma que son la misma pregunta: el descubrimiento más profundo y más útil de las matemáticas del siglo XVII. ## 25.1 La integral de una función continua **Definición 25.1 (Integral de una función positiva).** Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) y positiva en $\intcc{a}{b}$. La *integral* $$ \int_a^b f(x)\,\dd x $$ es el área, en unidades de área, de la región limitada por la curva de $f$, el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$. ![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-be957e4dcae1.svg) Para una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de signo cualquiera, las áreas situadas por debajo del eje $x$ se cuentan en negativo; y se conviene que $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$. ![Áreas con signo: ∈t_02π x\, x = 0, porque la región que queda por debajo del eje (en rojo) cancela la que queda por encima (en azul).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-49f37058cc51.svg) *Áreas con signo: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$, porque la región que queda por debajo del eje (en rojo) cancela la que queda por encima (en azul).* **Proposición 25.2 (Propiedades de la integral).** Sean $f, g$ [continuas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) que contiene a $a, b, c$ y sea $\lambda \in \R$. 1. *Linealidad:* $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ . 2. *Relación de Chasles:* $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . 3. *Positividad:* si $a \leq b$ y $f \geq 0$ en $\intcc{a}{b}$ , entonces $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; y si $f \leq g$ , entonces $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ . **Demostración.** La relación de Chasles y la positividad son inmediatas a partir de la interpretación como área (las áreas se suman al yuxtaponer regiones; una región de altura positiva tiene área positiva). La comparación se sigue aplicando la positividad a $g - f$. La linealidad es intuitivamente clara para la suma de funciones positivas (basta apilar las áreas) y se demuestra con rigor en la universidad; *aquí se admite*. ∎ ## 25.2 El teorema fundamental del cálculo **Definición 25.3 (Primitiva).** Una *primitiva* de $f$ en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [derivable](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) $F$ en $I$ tal que $F' = f$. **Proposición 25.4.** Si $F$ es una [primitiva](#def-g12-integ-primitive) de $f$ en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$, las [primitivas](#def-g12-integ-primitive) de $f$ en $I$ son exactamente las funciones $F + c$, con $c \in \R$. Dados $x_0 \in I$ e $y_0 \in \R$, hay una única [primitiva](#def-g12-integ-primitive) con $F(x_0) = y_0$. **Demostración.** Si $G' = F' = f$, entonces $(G - F)' = 0$ en el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$, así que $G - F$ es constante.[1](#fn-1) Recíprocamente, toda $F + c$ es una [primitiva](#def-g12-integ-primitive). La condición $F(x_0) = y_0$ fija la constante. ∎ **Teorema 25.5 (Teorema fundamental del cálculo).** Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ y sea $a \in I$. La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $$ F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t $$ es la [primitiva](#def-g12-integ-primitive) de $f$ en $I$ que se anula en $a$. En consecuencia, para cualquier [primitiva](#def-g12-integ-primitive) $G$ de $f$ y para $a, b \in I$: $$ \int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a). $$ ![La idea de la demostración: el incremento F(x+h) - F(x) es el área de la banda estrecha (en naranja), encajada entre los rectángulos de alturas f(x) y f(x+h) sobre una base de longitud h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-fc94b388b117.svg) *La idea de la demostración: el incremento $F(x+h) - F(x)$ es el área de la banda estrecha (en naranja), encajada entre los rectángulos de alturas $f(x)$ y $f(x+h)$ sobre una base de longitud $h$.* **Demostración cuando $f$ es creciente.** Fijemos $x \in I$ y $h > 0$ con $x + h \in I$. Por Chasles, $$ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t . $$ Como $f$ es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic), $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ para $t \in \intcc{x}{x+h}$, y por comparación de [integrales](#def-g12-integ-area) (la [integral](#def-g12-integ-area) de una constante $c$ sobre un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de longitud $h$ vale $ch$): $$ h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h), $$ luego $$ f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h). $$ Cuando $h \to 0^+$, $f(x+h) \to f(x)$ por [continuidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity), y el teorema del sándwich da que el cociente incremental tiende a $f(x)$; el caso $h < 0$ es simétrico. Por tanto, $F' = f$, y $F(a) = 0$. El caso [continuo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) general (no monótono) se demuestra en la universidad. Por último, si $G$ es una [primitiva](#def-g12-integ-primitive) cualquiera, $G = F + c$ ([Proposición 25.4](#prop-g12-integ-primunique)), luego $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$. ∎ **Ejemplo 25.6.** $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: el área bajo la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) es un tercio del cuadrado unidad, como ya sabía Arquímedes. La tabla de [primitivas](#def-g12-integ-primitive) se lee en la tabla de [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) ($u$ designa una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [derivable](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) y $c$, una constante arbitraria): | $f(x)$ | [primitiva](#def-g12-integ-primitive) | $f$ | [primitiva](#def-g12-integ-primitive) | | --- | --- | --- | --- | | $x^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ | $u'u^n \ (n \neq -1)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$ | | $\dfrac1x \ (x > 0)$ | $\ln x + c$ | $\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$ | $\ln u + c$ | | $\eu^x$ | $\eu^x + c$ | $u'\eu^u$ | $\eu^u + c$ | | $\cos x$ | $\sin x + c$ | $\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$ | $2\sqrt u + c$ | | $\sin x$ | $-\cos x + c$ | | | **Método 25.7 (Reconocer la forma u′×(algo en u)u' \times (\text{algo en } u)u′×(algo en u)).** Para integrar un producto, busca un factor que sea la [derivada](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) interior $u$, salvo una constante multiplicativa. Por ejemplo, en $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$, el factor $x$ es $\frac12 (x^2)'$: $$ \int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}. $$ **Teorema 25.8 (Integración por partes).** Sean $u, v$ [derivables](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) en $\intcc{a}{b}$ con [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) [continuas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity). Entonces $$ \int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t . $$ **Demostración.** La regla del producto da $(uv)' = u'v + uv'$; integrando los dos miembros en $\intcc{a}{b}$ y usando el teorema fundamental en el primero se obtiene $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$. ∎ **Ejemplo 25.9.** $\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$: tomamos $u' = \eu^t$ y $v = t$, así que $u = \eu^t$ y $v' = 1$: $$ \int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ ## 25.3 Aplicaciones **Definición 25.10 (Valor medio).** El *valor medio* de una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) $f$ en $\intcc{a}{b}$ ($a 0$. ∎ **Método 25.12 (Área entre dos curvas).** Si $f \geq g$ en $\intcc{a}{b}$, el área entre las dos curvas es $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$. Si las curvas se cortan, parte el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) por los puntos de corte e integra $\abs{f - g}$ trozo a trozo. ![El área entre la recta y = x + 1 (en rojo) y la parábola y = x2 - 1 (en azul) es ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-integ/fig-d9b9464c2389.svg) *El área entre la recta $y = x + 1$ (en rojo) y la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $y = x^2 - 1$ (en azul) es $\int_{-1}^{2}\bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$.* ## 25.4 Ejercicios **Ejercicio 25.1 ★.** Calcula $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} . $$ **Solución de Ejercicio 25.1.** $$ \int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}. $$ $$ \int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 . $$ Con $u = 2t+1$, $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$: $$ \int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}. $$ **Ejercicio 25.2 ★.** Halla la [primitiva](#def-g12-integ-primitive) $F$ de $f(x) = x\eu^{x^2}$ en $\R$ tal que $F(0) = 1$. **Solución de Ejercicio 25.2.** $x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ tiene por [primitivas](#def-g12-integ-primitive) $\frac12\eu^{x^2} + c$. La condición $F(0) = 1$ da $\frac12 + c = 1$, luego $$ F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}. $$ **Ejercicio 25.3 ★.** Calcula el [valor medio](#def-g12-integ-mean) de $f(t) = \sin t$ en $\intcc{0}{\pi}$ e interpreta el resultado sobre una [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph). **Solución de Ejercicio 25.3.** $$ \mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 . $$ Gráficamente, el rectángulo de base $\intcc{0}{\pi}$ y altura $\frac{2}{\pi}$ tiene la misma área que el arco de la curva del [seno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#def-g12-trigo-cossin). **Ejercicio 25.4 ★★.** Usando la [integración por partes](#thm-g12-integ-ibp), calcula $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{y}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t . $$ **Solución de Ejercicio 25.4.** Tomamos $u' = 1$ y $v = \ln t$, así que $u = t$ y $v' = \frac1t$: $$ \int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 . $$ Tomamos $u' = \sin t$ y $v = t$, así que $u = -\cos t$ y $v' = 1$: $$ \int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi . $$ **Ejercicio 25.5 ★★.** Calcula el área de la región comprendida entre la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ y la recta $y = x + 2$. **Solución de Ejercicio 25.5.** Las curvas se cortan donde $x^2 = x + 2$, es decir, en $x \in \{-1, 2\}$, y en $\intcc{-1}{2}$ la recta queda por encima de la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola). El área es $$ \int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}. $$ **Ejercicio 25.6 ★★.** Sea $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$. 1. Calcula $I$ . 2. Para $n \in \N$ , sea $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . Demuestra que $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ y que $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ . 3. Deduce que $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ . **Solución de Ejercicio 25.6.** *1.* $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$. *2.* $$ I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}. $$ En $\intcc{0}{1}$, $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$, así que por comparación $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$. *3.* De la recurrencia, mediante una inducción telescópica, $$ I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right), $$ es decir, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (recordemos que $I_0 = \ln 2$). Como $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$, la suma armónica alternada tiende a $\ln 2$. **Ejercicio 25.7 ★★.** La velocidad de un tren (en m/s) durante los primeros $100$ segundos tras la salida se modeliza mediante $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$. Calcula la distancia recorrida durante esos $100$ segundos y la velocidad [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) del tren en ese [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval). **Solución de Ejercicio 25.7.** Distancia: $$ d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}. $$ Numéricamente, $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. Velocidad [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean): $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s. **Ejercicio 25.8 ★★★.** Para $n \geq 1$, sea $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$. 1. Interpreta $S_n$ como un área de rectángulos que aproxima una región bajo la curva de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ en $\intcc{0}{1}$ . 2. Usando la monotonía de $t \mapsto \frac{1}{1+t}$, demuestra que $$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$$ y deduce que $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$. **Solución de Ejercicio 25.8.** *1.* $S_n$ es el área total de $n$ rectángulos de anchura $\frac1n$ y alturas $f\left(\frac kn\right)$, $k = 1, \dots, n$, donde $f(t) = \frac{1}{1+t}$: es la [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) por rectángulos “por el [extremo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum) derecho” del área bajo $f$ en $\intcc{0}{1}$. *2.* $f$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations), así que en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ se cumple $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$; integrando y sumando sobre $k$: $$ S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}. $$ (El término central del enunciado, con $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$, es exactamente esa cota.) Por tanto, $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$, luego $S_n \to \ln 2$. **Ejercicio 25.9 ★★★.** *([Integrales](#def-g12-integ-area) de Wallis.)* Para $n \in \N$, sea $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$. 1. Calcula $W_0$ y $W_1$ . 2. Escribiendo $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ e integrando por partes, demuestra que $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ . 3. Deduce $W_2$ , $W_3$ y $W_4$ , y demuestra que $(W_n)$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y positiva. **Solución de Ejercicio 25.9.** *1.* $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ y $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$. *2.* Integramos por partes con $u' = \sin t$ y $v = \sin^{n+1} t$, así que $u = -\cos t$ y $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$: $$ W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t, $$ porque el corchete se anula en los dos [extremos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum). Por tanto, $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$, es decir, $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$. *3.* $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$, $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ y $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$. En $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, así que $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ con desigualdad estricta en el interior; integrando, $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (de hecho, $<$): $(W_n)$ es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y positiva. ## 25.5 Problema: Arquímedes contra la máquina **Problema 25.1.** Problema de fin de semana — el área bajo la parábola, calculada de tres maneras a lo largo de veintidós siglos, y la identidad secreta del logaritmo como área Hacia el año 240 a. C., Arquímedes calculó el área exacta de un segmento parabólico sin [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), sin límites y sin álgebra. Diecinueve siglos después, los rectángulos de Riemann lo rehicieron a base de encajonarlo; y el teorema fundamental del cálculo ([Teorema 25.5](#thm-g12-integ-ftc)) lo hace hoy en una línea. Este problema juega los tres partidos y usa después la misma máquina para revelar lo que es realmente el [logaritmo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#def-g12-exp-ln): un área con una simetría de escala. **Parte I — Soltura.** 1. Calcula $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ , $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ y $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ . 2. Localiza las formas $u'u$ ( [Método 25.7](#met-g12-integ-uprime) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ y $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ . 3. Por partes ( [Teorema 25.8](#thm-g12-integ-ibp) ): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ y $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ . 4. Calcula el [valor medio](#def-g12-integ-mean) ( [Definición 25.10](#def-g12-integ-mean) ) de $\sin$ en $\intcc{0}{\pi}$ y observa que *no* es $\frac12$ . 5. Calcula el área entre la recta $y = x$ y la [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ en $\intcc{0}{1}$ ( [Método 25.12](#met-g12-integ-areabetween) ). **Parte II — La [parábola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-parabola), de tres maneras.** 6. El montaje de Riemann para el área bajo $y = x^2$ en $\intcc{0}{1}$ : escribe la suma inferior $L_n$ y la suma superior $U_n$ sobre $n$ rectángulos iguales (como en el [Ejercicio 25.8](#exo-g12-integ-8) ). 7. Demuestra por inducción (con la máquina del [Problema 20.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#pb-g12-seq-1)) la fórmula de la suma de cuadrados $$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$$ 8. Deduce formas cerradas para $U_n$ y $L_n$ , calcula su límite común y concluye: el área es $\frac13$ . 9. Ahora la máquina: calcula $\int_0^1 x^2\,\dd x$ con el teorema fundamental, en una línea. Compara los esfuerzos. 10. Arquímedes lo enunciaba de otra manera: *un segmento parabólico es $\frac43$ del triángulo inscrito* . Para el segmento que recorta en $y = x^2$ la cuerda que une $(-1, 1)$ con $(1, 1)$ : calcula el área del segmento con una [integral](#def-g12-integ-area) , el área del triángulo inscrito (con vértice en $(0, 0)$ ) y comprueba la [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) del maestro. 11. El método del propio Arquímedes: rellena el segmento con el triángulo grande $T$ , después con dos triángulos que suman $\frac T4$ , después con cuatro que suman $\frac{T}{16}$ , y así sucesivamente. Suma la serie geométrica y recupera $\frac43 T$ : la tableta de chocolate mordida sin fin del volumen anterior, devorada por un geómetra griego. 12. Una frase para cada uno: la exhausción (Arquímedes), el encajonamiento (Riemann) y la búsqueda de [primitivas](#def-g12-integ-primitive) (Newton–Leibniz). ¿Qué necesita cada método y qué entrega? **Parte III — El [logaritmo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#def-g12-exp-ln) es un área.** Para $x > 0$, tomemos $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$. 13. Da $A(1)$ y $A'(x)$ ( [Teorema 25.5](#thm-g12-integ-ftc) ) y concluye que $A$ es exactamente el [logaritmo neperiano](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#def-g12-exp-ln) de la [Definición 23.5](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#def-g12-exp-ln) . 14. El milagro de la escala: fija $a > 0$ y estudia $g(x) = A(ax) - A(x)$. Calcula $g'$ (regla de la cadena), deduce que $g$ es constante, evalúa la constante y concluye la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) funcional $$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$$ demostrada por puro cálculo: el área de $1$ a $ab$ se parte en copias reescaladas. 15. Deduce de la pregunta 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ y $\ln\frac1a = -\ln a$ . 16. El [Ejercicio 25.8](#exo-g12-integ-8) lee $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ como rectángulos bajo $\frac{1}{1 + t}$ : calcula esa suma para $n = 10$ (con tres decimales) y compárala con $\ln 2$ . ¿Qué sumas de sabor armónico, divergentes término a término, convergen aquí hacia un área? **Parte IV — Acumulación.** 17. Un coche acelera con velocidad $v(t) = 3t^2$ m/s para $t \in \intcc{0}{10}$ . Calcula la distancia recorrida, la velocidad [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) y el instante en que la velocidad instantánea es igual a la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) . 18. Una varilla de $4$ metros tiene densidad lineal $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. Calcula su masa total y su centro de masas $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ : el punto de equilibrio del triángulo de cartón del volumen anterior, calculado por fin con pesos que varían. 19. [Integrales](#def-g12-integ-area) de Wallis ( [Ejercicio 25.9](#exo-g12-integ-9) ): calcula $W_0$ , $W_1$ y $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ usando la linealización del [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#pb-g12-trigo-1) . (Su escalera infinita sube, en los volúmenes universitarios, hasta una fórmula en producto para $\pi$ y hasta la normalización de la campana de Gauss.) 20. Final: las tres caras de la integración: un *área* por definición, una *acumulación* en el mundo (distancia, masa) y una *[primitiva](#def-g12-integ-primitive)* por el teorema fundamental; y su historia en tres nombres. Cierra con la perla del capítulo: ¿qué tecla cotidiana de la calculadora es en secreto el área bajo $\frac1t$ y qué identidad demostró esa área? **Solución de Problema 25.1.** **1.** $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$; $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$; $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$. **2.** $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$. **3.** $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Y $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$. **4.** $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$: la altura [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) del arco del [seno](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#def-g12-trigo-cossin) es $\frac2\pi$, bastante más de la mitad; el arco es ancho cerca de su cima. **5.** $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$. **6.** $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ y $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$: rectángulos de anchura $\frac1n$ con alturas leídas en el [extremo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum) izquierdo (por debajo de la curva) o en el derecho (por encima). **7.** Cierto para $n = 1$ ($1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$). Si vale para $n$, al añadir $(n+1)^2$: $$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, $$ que es la fórmula en $n + 1$: paso de inducción hecho. **8.** $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$, y $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$: encajada entre sus escaleras, el área es exactamente $\frac13$. **9.** $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$: una línea. El teorema fundamental convierte un encajonamiento infinito en una única evaluación de [primitiva](#def-g12-integ-primitive); por eso se llama fundamental. **10.** Segmento: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$. Triángulo de base la cuerda (de longitud $2$, a altura $1$) y vértice $(0,0)$: área $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$. [Razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric): $\frac43$, exactamente el teorema de Arquímedes, comprobado con la máquina de la que él carecía. **11.** $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (serie geométrica de [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) $\frac14$): con $T = 1$, otra vez el área $\frac43$ del segmento. Arquímedes sumó la serie con un argumento puramente geométrico: los mordiscos de cuarto en cuarto del estilo de la tableta de chocolate, dos milenios antes de que existiera la palabra “límite”. **12.** La exhausción necesita una autosemejanza geométrica ingeniosa y da áreas exactas caso por caso; Riemann solo necesita monotonía y da una definición universal, al precio de calcular sumas; y el teorema fundamental necesita todo el edificio de las [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) y lo devuelve convirtiendo las áreas en cálculos de una línea. **13.** $A(1) = 0$ y $A'(x) = \frac1x$ (teorema fundamental): $A$ es la [primitiva](#def-g12-integ-primitive) de $\frac1x$ en $\intoo{0}{+\infty}$ que se anula en $1$, que es precisamente el [logaritmo neperiano](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#def-g12-exp-ln). **14.** $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$: $g$ es constante; en $x = 1$: $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$. Por tanto, $A(ax) = A(a) + A(x)$ para todo $x$ y, con $x = b$: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Al área bajo la [hipérbola](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-reference) le da igual la escala horizontal: estirar $t$ por $a$ aplasta $\frac1t$ por $a$ y el área sobrevive; sumar [logaritmos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#def-g12-exp-ln) es una simetría de escala. **15.** Iterando: $\ln(a^n) = n\ln a$ (por inducción sobre $n$). Y $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$: $\ln\frac1a = -\ln a$. **16.** $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$, frente a $\ln 2 \approx 0.693$: diez rectángulos bajo $\frac{1}{1+t}$ y ya están cerca. La serie armónica diverge, pero sus *tramos* de $n$ a $2n$ se asientan en $\ln 2$: divergencia a paso de tortuga, medida por un área. **17.** Distancia: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. Velocidad [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean): $100$ m/s. Instante con $v = 100$: $3t^2 = 100$: $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s. **18.** Masa: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. Momento: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$. Centro de masas: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m, empujado más allá del [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) por el [extremo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum) derecho, que es el más pesado, como exige la intuición. **19.** $W_0 = \frac\pi2$; $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$; y $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$. **20.** Área: la definición, encajonada entre escaleras. Acumulación: distancias a partir de velocidades y masas a partir de densidades; la [integral](#def-g12-integ-area) como total acumulado. [Primitiva](#def-g12-integ-primitive): el teorema fundamental, el atajo de Newton y Leibniz frente a la paciencia de Arquímedes. La perla: la tecla $\ln$ es el área bajo $\frac1t$, y la simetría de escala de esa área *es* la identidad $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. 1. Que una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de [derivada](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) nula en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) es constante se sigue del [Teorema 22.7](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#thm-g12-deriv-variations) : es a la vez [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-monotonic) y [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) . [↩](#fnref-1)