---
title: "Ecuaciones diferenciales"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 26
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/26-ecuaciones-diferenciales
---

# Capítulo 26 — Ecuaciones diferenciales

Una [ecuación diferencial](#def-g12-diffeq-ode) relaciona una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) con sus [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative). La física, la química, la biología y la economía expresan sus leyes en esa forma: el ritmo de enfriamiento de un cuerpo, la desintegración de un núcleo radiactivo y el crecimiento de una población son afirmaciones sobre $y'$. Este capítulo resuelve por completo las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes.

## 26.1 La ecuación $y' = ay$

**Definición 26.1 (Ecuación diferencial).**

Una *ecuación diferencial* es una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) cuya incógnita es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $y$ y en la que aparecen $y$ y sus [derivadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative). Una *solución* en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) [derivable](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) que cumple la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) en todos los puntos de $I$.

**Teorema 26.2 (Soluciones de y′=ayy' = ayy′=ay).**

Sea $a \in \R$. Las soluciones en $\R$ de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y' = ay$ son exactamente las funciones

$$
y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .
$$

Para cada pareja $(x_0, y_0)$ hay una única solución con $y(x_0) = y_0$.

**Demostración.** Cada $y = C\eu^{ax}$ cumple $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$. Recíprocamente, sea $y$ una solución cualquiera y tomemos $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$. Entonces

$$
z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax}
= \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,
$$

así que $z$ es constante, digamos $C$, y $y(x) = C\eu^{ax}$. La condición inicial $y(x_0) = y_0$ obliga a $C = y_0 \eu^{-a x_0}$, de manera única. ∎

**Observación 26.3.**

La exponencial queda así *caracterizada* por la más sencilla de todas las ecuaciones diferenciales: crecimiento proporcional al tamaño. Por eso aparece por todas partes en la naturaleza.

![La ecuación y' = y prescribe una pendiente en cada punto del plano (segmentos grises). Las soluciones C x (aquí C = 1 en azul, C = 0.3 en rojo y C = -0.5 en naranja) son exactamente las curvas que siguen ese campo de pendientes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-4ca95fee37c9.svg)

*La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y' = y$ prescribe una [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) en cada punto del plano (segmentos grises). Las soluciones $C\eu^{x}$ (aquí $C = 1$ en azul, $C = 0.3$ en rojo y $C = -0.5$ en naranja) son exactamente las curvas que siguen ese campo de [pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine).*

**Ejemplo 26.4 (Desintegración radiactiva).**

Una cantidad radiactiva cumple $N' = -\lambda N$ con $\lambda > 0$, luego $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$; véase el [Ejemplo 23.9](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#ex-g12-exp-halflife) para el periodo de semidesintegración.

## 26.2 La ecuación $y' = ay + b$

**Teorema 26.5 (Soluciones de y′=ay+by' = ay + by′=ay+b).**

Sean $a \neq 0$ y $b \in \R$. Las soluciones en $\R$ de $y' = ay + b$ son exactamente las funciones

$$
y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .
$$

La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) constante $y_p = -\frac ba$ es la *solución de equilibrio*. Para cada $(x_0, y_0)$ hay una única solución con $y(x_0) = y_0$; y si $a < 0$, todas las soluciones tienden al equilibrio $-\frac ba$ cuando $x \to +\infty$.

**Demostración.** La constante $y_p = -\frac{b}{a}$ cumple $y_p' = 0 = a y_p + b$. Ahora bien, $y$ es solución si y solo si

$$
(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0}
= a (y - y_p),
$$

es decir, si y solo si $z = y - y_p$ resuelve $z' = az$. Por el [Teorema 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous), $z = C\eu^{ax}$, de donde la fórmula, la existencia y la unicidad. Si $a < 0$, $\eu^{ax} \to 0$ cuando $x \to +\infty$, luego $y(x) \to -\frac ba$. ∎

**Método 26.6 (Resolver y′=ay+by' = ay + by′=ay+b con una condición inicial).**

1. Halla la solución de equilibrio $y_p = -\frac{b}{a}$ (resolviendo $y' = 0$ ).
2. Escribe la solución general $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
3. Determina $C$ con la condición inicial.
4. Contrasta el comportamiento a largo plazo con la intuición física (¿ [converge](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-limit) la solución al equilibrio?).

La misma estrategia (*una solución particular más la solución general de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) homogénea*) se extiende a $y' = ay + f(x)$: véase la [Proposición 26.8](#prop-g12-diffeq-general).

**Ejemplo 26.7 (Ley de enfriamiento de Newton).**

Una taza de café a $80\,^\circ$C está en una habitación a $20\,^\circ$C. La ley de Newton afirma que la temperatura $T$ cumple $T' = -k(T - 20)$ para cierto $k > 0$, es decir, $T' = -kT + 20k$. El equilibrio es $20$ y $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$: el café se enfría exponencialmente deprisa hasta la temperatura ambiente.

![Sea cual sea su temperatura inicial, todas las soluciones de T' = -k(T - 20) convergen exponencialmente al equilibrio T = 20.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-diffeq/fig-a0db65f42ce2.svg)

*Sea cual sea su temperatura inicial, todas las soluciones de $T' = -k(T - 20)$ convergen exponencialmente al equilibrio $T = 20$.*

## 26.3 La ecuación $y' = ay + f(x)$

**Proposición 26.8 (Estructura del conjunto de soluciones).**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$ y sea $y_p$ una solución particular de

$$
y' = ay + f(x)
$$

en $I$. Entonces las soluciones en $I$ son exactamente las funciones $y = C\eu^{ax} + y_p$, con $C \in \R$.

**Demostración.** Como en el [Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine): $y$ es solución si y solo si $z = y - y_p$ cumple $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$, si y solo si $z = C\eu^{ax}$. ∎

**Método 26.9 (Adivinar una solución particular).**

Busca una solución particular *de la misma forma* que $f$:

- $f$ polinómica de grado $n$ : prueba con un polinomio de grado $n$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ con $k \neq a$ : prueba con $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ;
- $f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (caso resonante): prueba con $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

Sustituye en la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) e identifica los coeficientes.

**Ejemplo 26.10.**

Resolvamos $y' = 2y + 4x$. Probamos con $y_p = \alpha x + \beta$: que $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ para todo $x$ obliga a $2\alpha + 4 = 0$ y $\alpha = 2\beta$, luego $\alpha = -2$ y $\beta = -1$. Solución general: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$.

## 26.4 Ejercicios

**Ejercicio 26.1 ★.**

Resuelve en $\R$: (a) $y' = 3y$ con $y(0) = 2$; (b) $2y' + y = 0$ con $y(0) = -1$; (c) $y' = -y + 5$ con $y(0) = 0$.

**Solución de Ejercicio 26.1.**

*(a)* $y = C\eu^{3x}$; $y(0) = 2$ da $y = 2\eu^{3x}$.

*(b)* $y' = -\frac12 y$, luego $y = C\eu^{-x/2}$; $y(0) = -1$ da $y = -\eu^{-x/2}$.

*(c)* Equilibrio $y_p = 5$; $y = C\eu^{-x} + 5$; $y(0) = 0$ da $C = -5$: $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$.

**Ejercicio 26.2 ★.**

Una población de bacterias crece a un ritmo proporcional a su tamaño y se duplica cada $3$ horas. Escribe la [ecuación diferencial](#def-g12-diffeq-ode) que cumple la población $N(t)$ y determina la constante de proporcionalidad.

**Solución de Ejercicio 26.2.**

$N' = kN$, luego $N(t) = N_0 \eu^{kt}$. Duplicarse en $3$ horas significa $\eu^{3k} = 2$, es decir,

$$
k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.
$$

**Ejercicio 26.3 ★.**

Comprueba que $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ es solución de $y' = y + \eu^x$ y da todas las soluciones en $\R$.

**Solución de Ejercicio 26.3.**

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$: $y_p$ es una solución particular (es el caso resonante del [Método 26.9](#met-g12-diffeq-particular)). Por la [Proposición 26.8](#prop-g12-diffeq-general), las soluciones son $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$, con $C \in \R$.

**Ejercicio 26.4 ★★.**

Resuelve $y' = -2y + \eu^{x}$ con $y(0) = 1$. (Indicación: busca una solución particular de la forma $\beta\,\eu^{x}$.)

**Solución de Ejercicio 26.4.**

Probamos con $y_p = \beta\eu^x$: $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ da $3\beta = 1$, luego $y_p = \frac13\eu^x$. Solución general $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$; la condición $y(0) = 1$ da $C = \frac23$:

$$
y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.
$$

**Ejercicio 26.5 ★★.**

El carbono-14 se desintegra con un periodo de semidesintegración de $5730$ años. Una [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) arqueológica contiene el $60\,\%$ del carbono-14 de un organismo vivo. Estima su edad.

**Solución de Ejercicio 26.5.**

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ con $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ ([Ejemplo 23.9](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/23-exponencial-y-logaritmo#ex-g12-exp-halflife)). Resolvemos $\eu^{-\lambda t} = 0.6$:

$$
t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2}
\approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ años}.
$$

**Ejercicio 26.6 ★★.**

Un depósito contiene $100$ L de agua pura. Entra salmuera con $0.2$ kg de sal por litro a $5$ L/min, y la mezcla (que se mantiene uniforme) sale al mismo ritmo. Sea $m(t)$ la masa de sal del depósito en el instante $t$ (en minutos).

1. Justifica que $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
2. Resuelve la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) y determina el límite de $m(t)$ cuando $t \to +\infty$ . Interprétalo.

**Solución de Ejercicio 26.6.**

*1.* Entra sal a [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) de $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. La salida lleva una concentración de $\frac{m}{100}$ kg/L a $5$ L/min, es decir, $\frac{m}{20}$ kg/min. Por tanto, $m' = 1 - \frac{m}{20}$.

*2.* Equilibrio $m_p = 20$; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$, y $m(0) = 0$ da $C = -20$:

$$
m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.
$$

A la larga, la concentración del depósito iguala a la de la salmuera entrante: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

**Ejercicio 26.7 ★★.**

Una paracaidista de $80$ kg cae sometida a la gravedad ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$) y a una resistencia del aire proporcional a la velocidad, de modo que su velocidad cumple $v' = g - \frac{k}{m}v$ con $k = 16$ kg/s.

1. Resuelve la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) con $v(0) = 0$ .
2. Calcula la *velocidad límite* $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ y el tiempo necesario para alcanzar el $95\,\%$ de esa velocidad.

**Solución de Ejercicio 26.7.**

*1.* $v' = g - \frac{k}{m} v$ con $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$. Equilibrio $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$, y $v(0) = 0$ da

$$
v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).
$$

*2.* Velocidad límite $49$ m/s ($\approx 176$ km/h). Queremos $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$, es decir, $\eu^{-0.2t} = 0.05$:

$$
t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.
$$

**Ejercicio 26.8 ★★★.**

*([Ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) logística.)* Una población $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (expresada como fracción de la población máxima) cumple

$$
y' = y(1 - y).
$$

1. Sea $z = \dfrac{1}{y}$ . Demuestra que $z$ cumple la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) lineal $z' = -z + 1$ .
2. Resuelve para $z$ y después para $y$ , con $y(0) = \frac{1}{10}$ .
3. Demuestra que $y(t) \to 1$ cuando $t \to +\infty$ y esboza la forma de la curva solución.

**Solución de Ejercicio 26.8.**

*1.* $z = \frac1y$ da $z' = -\frac{y'}{y^2}
= -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$.

*2.* Equilibrio $z_p = 1$, luego $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$. De $y(0) = \frac{1}{10}$ se sigue $z(0) = 10$, luego $C = 9$ y

$$
y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .
$$

*3.* Cuando $t \to +\infty$, $9\eu^{-t} \to 0$ e $y(t) \to 1$. La curva es la clásica logística en forma de S (una *sigmoide*): crecimiento lento al principio ($y$ pequeño, $y' \approx y$), crecimiento [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) cuando $y = \frac12$ (donde $y' = y(1-y)$ es [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema)) y saturación después hacia la capacidad de carga $1$.

**Ejercicio 26.9 ★★★.**

Sea $y$ una solución de $y' = ay + b$ y sea $u_n = y(n)$ para $n \in \N$. Demuestra que $(u_n)$ cumple una recurrencia aritmético-geométrica $u_{n+1} = q u_n + r$ y expresa $q$ y $r$ en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de $a$ y $b$. ¿A qué corresponde la condición $\abs{q} < 1$ para la [ecuación diferencial](#def-g12-diffeq-ode)?

**Solución de Ejercicio 26.9.**

Por el [Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine), $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$. Por tanto,

$$
u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba
= \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right)
= q\,u_n + r
$$

con $q = \eu^{a}$ y $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$. La condición $\abs q < 1$ significa $\eu^a < 1$, es decir, $a < 0$: exactamente la condición bajo la cual las soluciones de la [ecuación diferencial](#def-g12-diffeq-ode) convergen al equilibrio $-\frac ba$; y, en efecto, el [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) de la recurrencia es $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$.

## 26.5 Problema: El reloj que llevan dentro las cosas

**Problema 26.1.**

Problema de fin de semana — el carbono-14 data las cuevas, la ley de enfriamiento de Newton cronometra un crimen y una ecuación diminuta se pone cuatro disfraces

Una [ecuación diferencial](#def-g12-diffeq-ode) es una ley de cambio; resolverla convierte la ley en un *reloj*. La misma [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) diminuta $y' = ay + b$ ([Teorema 26.5](#thm-g12-diffeq-affine)) hace tictac dentro del carbón prehistórico, del café que se enfría, de las gotas de lluvia que caen y de los goteros de hospital; y leer esos relojes es el oficio de este problema: data las pinturas de Lascaux, fija una hora de la muerte y audita sus propias hipótesis, como haría un buen científico.

**Parte I — Soltura.**

1. Resuelve $y' = 3y$ con $y(0) = 2$ ; y después $y' = -2y + 6$ con $y(0) = 0$ ( [Método 26.6](#met-g12-diffeq-solve) ).
2. Vuelve a deducir el truco de unicidad que hay detrás del [Teorema 26.2](#thm-g12-diffeq-homogeneous) : si $y' = ay$ , calcula la [derivada](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-derivative) de $y(t)\,\eu^{-at}$ y concluye que *toda* solución es $C\eu^{at}$ .
3. Para $y' = -2y + 6$ : halla la solución de equilibrio y describe el destino de todas las demás soluciones cuando $t \to +\infty$ . (Los [puntos fijos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) de las recurrencias del [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#pb-g11-seq-1) , vueltos [continuos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) .)
4. Para la ley de desintegración $y' = -\frac{y}{\tau}$ : demuestra que el periodo de semidesintegración es $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
5. Esboza (o describe) la familia de soluciones de $y' = -2y + 6$ : ¿qué hacen las soluciones que empiezan por encima de $3$ ? ¿Y las que empiezan por debajo? ¿Y la que empieza en $3$ ?

**Parte II — El carbono-14.** Los tejidos vivos mantienen constante la proporción de carbono-14 radiactivo; al morir cesa la incorporación y las reservas se desintegran: $N' = -\lambda N$, con periodo de semidesintegración de $5\,730$ años.

6. Calcula $\lambda$ (por año).
7. Un hueso conserva el $20\,\%$ de la proporción de un ser vivo: ¿cuántos años tiene?
8. El carbón de las cuevas pintadas de Lascaux conserva alrededor del $15\,\%$ : data las pinturas.
9. El hombre de hielo Ötzi, encontrado en un glaciar alpino, medía alrededor del $53\,\%$ : dátalo (los arqueólogos hablan de unos $5\,300$ años; ¿qué tal lo has hecho?).
10. ¿Por qué no puede el carbono-14 datar dinosaurios? Calcula la fracción que queda tras diez periodos, expresa la fracción tras $65$ millones de años como potencia de $2$ y concluye.
11. Barras de error: si el $53\,\%$ de Ötzi solo se conoce con un margen de $\pm 1\,\%$ , calcula el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de edades. ¿Qué precisión en el laboratorio compra qué precisión en la datación?

**Parte III — El enfriamiento de Newton, y un crimen.** Un cuerpo a temperatura $T$ en un entorno a temperatura constante $T_a$ se enfría según $T' = -k\,(T - T_a)$.

12. Resuelve la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) (sustituyendo $z = T - T_a$): $$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$$
13. Un café servido a $90\,^\circ$ C en una habitación a $20\,^\circ$ C marca $70\,^\circ$ C al cabo de $5$ minutos. Determina $k$ y después el tiempo de espera hasta los $55\,^\circ$ C, que ya se pueden beber.
14. La cuestión de la leche: para beber el café más caliente posible dentro de diez minutos, ¿hay que echar la leche fría ahora o en el último momento? Responde con la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) (¿qué le hace a la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) $T - T_a$ echar la leche, y cómo gobierna esa [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) la pérdida?).
15. Investigación forense: se encuentra un cuerpo a medianoche a $30\,^\circ$ C en una habitación a $20\,^\circ$ C; una hora después marca $28\,^\circ$ C. Suponiendo $37\,^\circ$ C en el momento de la muerte, recupera $k$ a partir de las dos medidas y calcula la hora de la muerte.
16. Audita el reloj del forense: nombra tres incumplimientos reales de las hipótesis del modelo y en qué dirección sesgaría cada uno la hora estimada de la muerte.

**Parte IV — Cuatro disfraces y una curva en S.**

17. La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) logística del [Ejercicio 26.8](#exo-g12-diffeq-8) , $y' = y(1 - y)$ con $y(0) = 0.1$ : usando la sustitución del ejercicio, deduce $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ y halla el instante del [punto de inflexión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-inflection) $y = \frac12$ : la fecha del epidemiólogo del [Problema 22.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#pb-g12-deriv-1) , ahora calculable.
18. Una gota de lluvia cumple $v' = 10 - \frac v2$ (la gravedad menos el rozamiento), con $v(0) = 0$ . Halla la velocidad límite, resuelve para $v(t)$ y calcula cuándo alcanza la gota el $95\,\%$ de esa velocidad.
19. Un gotero de hospital administra un fármaco a ritmo constante mientras el cuerpo lo elimina de forma proporcional: $c' = 4 - 0.5c$ , con $c(0) = 0$ . Halla la concentración de régimen estacionario y el tiempo necesario para llegar a la mitad. Enuncia en una frase el paralelismo con las recurrencias de préstamos del [Ejercicio 26.9](#exo-g12-diffeq-9) .
20. Final: una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) y cuatro disfraces: desintegración, enfriamiento, caída y dosificación, todos $y' = ay + b$ con signos y nombres distintos. Recita el ciclo de modelización que este problema ha [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) cuatro veces (ley $\to$ [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $\to$ solución $\to$ calibración $\to$ predicción $\to$ auditoría) y nombra el fenómeno que necesita $y''$ y el problema que ya se encontró con él.

**Solución de Problema 26.1.**

**1.** $y = 2\eu^{3t}$. Para la segunda: equilibrio $3$, luego $y = 3 + C\eu^{-2t}$ con $y(0) = 0$: $C = -3$: $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$.

**2.** $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} =
(y' - ay)\eu^{-at} = 0$: el producto es una constante $C$, luego $y = C\eu^{at}$; ninguna solución se escapa.

**3.** Equilibrio: $y \equiv 3$. Todas las demás soluciones son $3 + C\eu^{-2t}$ con $C \neq 0$: la exponencial muere y la solución se desliza hasta $3$; un [punto fijo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) estable, el gemelo [continuo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) de los [puntos fijos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#pb-g10-functions-1) de las recurrencias del [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#pb-g11-seq-1).

**4.** $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ se reduce a la mitad cuando $\eu^{-t/\tau} = \frac12$: $t = \tau\ln 2$.

**5.** Todas las soluciones son traslaciones verticales de la caída hacia $3$: las que empiezan por encima bajan hasta $3$, las que empiezan por debajo suben hasta $3$ y la solución constante $3$ se queda quieta; un embudo alrededor del equilibrio.

**6.** $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ por año.

**7.** $\eu^{-\lambda t} = 0.2$: $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ años.

**8.** $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ años: los toros de Lascaux son del final de la última glaciación.

**9.** $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ años: a menos de una vida humana del valor de los arqueólogos; el reloj funciona.

**10.** Diez periodos dejan $2^{-10} \approx 0.1\,\%$: al borde de lo medible. Tras $65$ millones de años, la fracción es $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$: no queda ni un átomo de las reservas originales en ningún fósil; los dinosaurios se datan con relojes más lentos (el de potasio-argón y sus parientes).

**11.** Un $52\,\%$ da unos $5\,405$ años y un $54\,\%$, unos $5\,095$: el $\pm 1\,\%$ de la química se convierte en unos $\pm 155$ años de historia; la precisión del laboratorio es la precisión del cartel del museo.

**12.** $z = T - T_a$ cumple $z' = -kz$: $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$, y $T = T_a + z$.

**13.** La [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) inicial es $T_0 - T_a = 70$; a los cinco minutos, la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) es $70 - 20 = 50$, luego $50 = 70\eu^{-5k}$: $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ por minuto. Bebible: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$: $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ minutos.

**14.** El ritmo de pérdida es proporcional a la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) $T - T_a$: el café ardiendo pierde calor más deprisa. Echar la leche *ahora* recorta la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) de inmediato, así que se pierde menos calor en los diez minutos; echarla al final deja que el café se enfríe antes a toda velocidad. Para la taza más caliente: la leche, primero. (Los anfitriones impacientes tienen la termodinámica del revés.)

**15.** [Diferencias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) respecto del ambiente: a medianoche, $10$; una hora después, $8$: $\eu^{-k} = 0.8$: $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ por hora. En el momento de la muerte la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) era $17$ y decayó hasta $10$ a medianoche: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ horas. Hora de la muerte: sobre las $21{:}40$.

**16.** Una habitación caldeada o con corriente ($T_a$ no constante) tuerce el reloj en un sentido u otro; la ropa o la masa corporal cambian $k$ (las tablas forenses lo corrigen), y una $k$ equivocada reescala todo el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval); y un cuerpo trasladado desde otro lugar reinicia $T_a$ a [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) desintegración y finge una muerte más temprana o más tardía. La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es honrada; el riesgo lo llevan las hipótesis.

**17.** $z = \frac1y$ cumple $z' = 1 - z$: $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (de $z(0) = 10$), luego $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$. Inflexión en $y = \frac12$: $9\eu^{-t} = 1$: $t = \ln 9 \approx 2.2$; la fecha del giro de la epidemia, directamente de la fórmula.

**18.** Velocidad límite: $v' = 0$ en $v = 20$ m/s. Solución: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$. Y el $0.95$: $\eu^{-t/2} = 0.05$: $t = 2\ln 20 \approx 6$ s; las gotas de lluvia alcanzan su velocidad de crucero en segundos, y por eso la lluvia no mata.

**19.** Régimen estacionario: $c = 8$. La mitad: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$: $\eu^{-t/2} = \frac12$: $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ horas. El gotero es el gemelo [continuo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) del préstamo: entrada constante y salida proporcional; el [Ejercicio 26.9](#exo-g12-diffeq-9) hace exacto el diccionario.

**20.** Desintegración ($a < 0$, $b = 0$), enfriamiento ($y = T - T_a$), caída ($a < 0$, $b > 0$: acercamiento al equilibrio desde abajo) y dosificación (lo mismo, en una vena): una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation), cuatro mundos. El ciclo: enunciar la ley de cambio; escribir la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation); resolver ([Método 26.6](#met-g12-diffeq-solve)); calibrar las constantes con las medidas; predecir; y auditar después las hipótesis (pregunta 16). La oscilación necesita $y'' = -\omega^2 y$, con la que ya nos encontramos, que ya resolvimos y que ya pusimos a oscilar en el [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#pb-g12-trigo-1).