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title: "Números complejos"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 28
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/28-numeros-complejos
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# Capítulo 28 — Números complejos

La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x^2 = -1$ no tiene solución real. Ampliar $\R$ con un único número nuevo $\iu$ cuyo cuadrado es $-1$ produce el cuerpo $\C$ de los [números complejos](#def-g12-complex-def), en el que *toda* [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) polinómica tiene soluciones y cuya aritmética codifica la geometría del plano: las traslaciones, los giros y las homotecias se convierten en sumas y productos.

## 28.1 Forma binómica

**Definición 28.1 (Números complejos).**

El conjunto de los *números complejos* es

$$
\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},
$$

donde $\iu$ es un símbolo sujeto a la única regla $\iu^2 = -1$; la suma y el producto se hacen como con polinomios reales en $\iu$, reduciendo $\iu^2$ a $-1$. Los reales $a$ y $b$ son la *parte real* $\Rea(z)$ y la *parte imaginaria* $\Ima(z)$ de $z = a + \iu b$; esta expresión es la *forma binómica* de $z$, y es única: $a + \iu b = a' + \iu b'$ si y solo si $a = a'$ y $b = b'$.

**Ejemplo 28.2.**

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$.

**Definición 28.3 (Conjugado).**

El *conjugado* de $z = a + \iu b$ es $\conj{z} = a - \iu b$.

**Proposición 28.4 (Propiedades de la conjugación).**

Para todos $z, w \in \C$:

$$
\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad
\conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad
\conj{\conj z} = z, \quad
z + \conj z = 2\Rea(z), \quad
z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),
$$

y $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ para $z = a + \iu b$. Además, $z \in \R$ si y solo si $z = \conj z$.

**Demostración.** Todas son cálculos directos a partir de las [formas binómicas](#def-g12-complex-def); por ejemplo, $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$. ∎

**Método 28.5 (Dividir números complejos).**

Para escribir un cociente en [forma binómica](#def-g12-complex-def), multiplica el numerador y el denominador por el [conjugado](#def-g12-complex-conjugate) del denominador:

$$
\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5}
= \frac25 - \frac15\iu .
$$

Así pues, todo [número complejo](#def-g12-complex-def) no nulo tiene inverso: $\C$ es un *cuerpo*.

## 28.2 El plano complejo, módulo y argumento

**Definición 28.6 (Afijo, módulo).**

En el plano con [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) [ortonormales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), el punto $M(a, b)$ es la *[imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function)* de $z = a + \iu b$, y $z$ es el *afijo* de $M$. El *módulo* de $z$ es la distancia de $M$ al origen:

$$
\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
$$

![El punto M(a,b) de afijo z: el módulo z es la longitud OM, y el conjugado z es el simétrico de z respecto del eje real.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-0baf1f3783e3.svg)

*El punto $M(a,b)$ de [afijo](#def-g12-complex-modulus) $z$: el [módulo](#def-g12-complex-modulus) $\abs z$ es la longitud $OM$, y el [conjugado](#def-g12-complex-conjugate) $\conj z$ es el simétrico de $z$ respecto del eje real.*

**Proposición 28.7 (Propiedades del módulo).**

Para $z, w \in \C$:

$$
\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \quad
\abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \quad
\abs{\conj z} = \abs z, \quad
\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(desigualdad triangular)}.
$$

Además, $\abs{z_B - z_A}$ es la distancia entre los puntos de [afijos](#def-g12-complex-modulus) $z_A$ y $z_B$.

**Demostración.** $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ da la primera; la segunda y la tercera son análogas. Para la desigualdad triangular:

$$
\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w)
= \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w)
\leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w}
= \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,
$$

usando $\Rea(u) \leq \abs u$. La afirmación sobre la distancia es la fórmula de Pitágoras aplicada a las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $z_B - z_A$. ∎

**Definición 28.8 (Argumento, formas trigonométrica y exponencial).**

Sea $z \neq 0$. Un *argumento* de $z$, que se escribe $\Arg(z)$, es cualquier medida $\theta$ del ángulo que va del semieje real positivo a la semirrecta $OM$; está definido salvo $2k\pi$. Escribiendo $r = \abs z$,

$$
z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta)
\qquad\text{(forma trigonométrica)}.
$$

Introduciendo la notación

$$
\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,
$$

esto se convierte en la *forma exponencial* $z = r\,\eu^{\iu\theta}$.

![Forma exponencial: z queda determinado por su distancia r al origen y por el ángulo medido desde el semieje real positivo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-b5b1d1679901.svg)

*[Forma exponencial](#def-g12-complex-argument): $z$ queda determinado por su distancia $r$ al origen y por el ángulo $\theta$ medido desde el semieje real positivo.*

**Teorema 28.9.**

Para todos $\theta, \theta' \in \R$:

$$
\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')},
\qquad
\conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta},
\qquad
\abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .
$$

En consecuencia, para $z = r\eu^{\iu\theta}$ y $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ no nulos:

$$
zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')},
\qquad
\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :
$$

*los [módulos](#def-g12-complex-modulus) se multiplican y los [argumentos](#def-g12-complex-argument) se suman.*

**Demostración.** La primera identidad *es* la pareja de fórmulas de adición ([Proposición 24.3](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#prop-g12-trigo-addition)):

$$
(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta')
= (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta')
+ \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').
$$

Lo demás se sigue por cálculo directo. ∎

**Corolario 28.10 (Fórmula de De Moivre).**

Para $\theta \in \R$ y $n \in \Z$: $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$.

**Demostración.** Inducción sobre $n \geq 0$ con el [Teorema 28.9](#thm-g12-complex-expform); se extiende a $n < 0$ tomando inversos. ∎

**Método 28.11 (Cambiar de forma).**

De la binómica a la exponencial: calcula $r = \abs z$ y halla después $\theta$ con $\cos\theta = \frac ar$ y $\sin\theta = \frac br$ (localiza el cuadrante correcto antes de invocar ningún arcocoseno). De la exponencial a la binómica: desarrolla $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$. Usa la [forma binómica](#def-g12-complex-def) para las sumas y la exponencial para los productos, las potencias y los cocientes.

**Ejemplo 28.12.**

$z = 1 + \iu$: $\abs z = \sqrt2$ y $\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$, luego $\theta = \frac\pi4$ y $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$. Por tanto, $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$.

## 28.3 Ecuaciones de segundo grado y raíces de la unidad

**Teorema 28.13 (Ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales).**

Sean $a, b, c \in \R$ con $a \neq 0$, y sea $\Delta = b^2 - 4ac$. La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $az^2 + bz + c = 0$ tiene soluciones en $\C$:

$$
\begin{aligned}
&\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{dos reales}); \qquad
\Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{doble}); \\
&\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{dos conjugadas}).
\end{aligned}
$$

**Demostración.** Completamos el cuadrado: $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{\Delta}{4a^2}\right)$. Si $\Delta < 0$, entonces $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$, y la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) de cuadrados se factoriza como siempre. ∎

**Definición 28.14 (Raíces de la unidad).**

Para $n \geq 1$, las *raíces $n$-ésimas de la unidad* son las soluciones de $z^n = 1$.

**Teorema 28.15.**

La [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $z^n = 1$ tiene exactamente $n$ soluciones:

$$
\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .
$$

Sus imágenes son los vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en la circunferencia unidad y, para $n \geq 2$, su suma es $0$.

**Demostración.** Cada $\omega_k$ cumple $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$, y son distintas dos a dos, porque sus [argumentos](#def-g12-complex-argument) están en $\intco{0}{2\pi}$. Recíprocamente, si $z^n = 1$, entonces $\abs z^n = 1$, luego $\abs z = 1$ (por ser real positivo) y $z = \eu^{\iu\theta}$ con $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, es decir, $\theta = \frac{2k\pi}{n}$; reduciendo $k$ [módulo](#def-g12-complex-modulus) $n$ se cae entre los $\omega_k$. Los vértices están igualmente espaciados por el ángulo $\frac{2\pi}{n}$: un polígono regular de $n$ lados. Por último, con $\omega = \omega_1$, se tiene $\omega \neq 1$ y la suma geométrica da

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k
= \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere
$$

∎

![Las raíces quintas de la unidad, con = 2 π/5: los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-complex/fig-613555d80b0f.svg)

*Las raíces quintas de la unidad, con $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad ([Ejercicio 28.10](#exo-g12-complex-10)).*

**Ejemplo 28.16.**

Las raíces cúbicas de la unidad son $1$, $j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ y $\conj j = j^2$, que cumplen $1 + j + j^2 = 0$.

## 28.4 Números complejos y geometría del plano

**Proposición 28.17 (Diccionario geométrico).**

Sean $A, B, C, D$ puntos de [afijos](#def-g12-complex-modulus) $a, b, c, d$ (con $a \neq b$ y $c \neq d$).

1. La traslación de [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) de [afijo](#def-g12-complex-modulus) $t$ es $z \mapsto z + t$ .
2. El giro de centro $\omega$ ( [afijo](#def-g12-complex-modulus) ) y ángulo $\theta$ es $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ .
3. La homotecia de centro $\omega$ y [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) $k \in \R^*$ es $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ .
4. $\dfrac{d - c}{b - a}$ tiene [módulo](#def-g12-complex-modulus) $\dfrac{CD}{AB}$ y [argumento](#def-g12-complex-argument) igual al ángulo que forman los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ . En particular, $AB \perp CD$ si y solo si $\frac{d-c}{b-a}$ es imaginario puro, y $A, B, C$ están alineados ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) si y solo si $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ .

**Demostración.** (1) y (3) reformulan las fórmulas en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). Para (2), la aplicación $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ multiplica los [módulos](#def-g12-complex-modulus) por $1$ y suma $\theta$ a los [argumentos](#def-g12-complex-argument): es el giro de ángulo $\theta$ alrededor del origen; conjugándola con la traslación que lleva $\omega$ a $0$ se obtiene el centro general. Para (4), los [módulos](#def-g12-complex-modulus) y los [argumentos](#def-g12-complex-argument) de los cocientes se restan ([Teorema 28.9](#thm-g12-complex-expform)). ∎

## 28.5 Ejercicios

**Ejercicio 28.1 ★.**

Escribe en [forma binómica](#def-g12-complex-def): $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$, $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$, $\iu^{2027}$.

**Solución de Ejercicio 28.1.**

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$.

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)}
= \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$.

$\iu^{2027}$: como $\iu^4 = 1$ y $2027 = 4 \times 506 + 3$, $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$.

**Ejercicio 28.2 ★.**

Resuelve en $\C$: (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$; (b) $z^2 + z + 1 = 0$. Comprueba en cada caso que las dos soluciones son conjugadas y calcula su producto.

**Solución de Ejercicio 28.2.**

*(a)* $\Delta = 16 - 52 = -36$: $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$. Pareja de [conjugados](#def-g12-complex-conjugate); producto $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$. *(b)* $\Delta = 1 - 4 = -3$: $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (las raíces cúbicas de la unidad $j$ y $\conj j$); producto $= \frac{1 + 3}{4} = 1$.

**Ejercicio 28.3 ★.**

Pasa a [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) $z_1 = -1 + \iu$ y $z_2 = \sqrt3 - \iu$, y calcula $\dfrac{z_1}{z_2}$ en [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) y después en [forma binómica](#def-g12-complex-def). Deduce el valor exacto de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$.

**Solución de Ejercicio 28.3.**

$\abs{z_1} = \sqrt2$, con [argumento](#def-g12-complex-argument) $\frac{3\pi}{4}$ (segundo cuadrante): $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$. $\abs{z_2} = 2$, con [argumento](#def-g12-complex-argument) $-\frac\pi6$: $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$. Por tanto,

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}
= \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.
$$

En [forma binómica](#def-g12-complex-def),

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu}
= \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4}
= \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.
$$

Identificando [partes reales](#def-g12-complex-def): $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$, luego

$$
\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.
$$

**Ejercicio 28.4 ★★.**

Describe geométricamente el conjunto de los puntos $M$ de [afijo](#def-g12-complex-modulus) $z$ tales que: (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ es imaginario puro.

**Solución de Ejercicio 28.4.**

*(a)* $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ significa que $M$ equidista de $A(2, 0)$ y $B(0, -1)$: la *mediatriz* de $[AB]$.

*(b)* Distancia $3$ al punto $(1,1)$: la *circunferencia* de centro $1 + \iu$ y radio $3$.

*(c)* Por la [Proposición 28.17](#prop-g12-complex-geometry)(4), que $\frac{z-1}{z+1}$ sea imaginario puro significa que los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) que van de $A(1,0)$ a $M$ y de $B(-1,0)$ a $M$ son [ortogonales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-orthogonal): $M$ ve el segmento $[AB]$ bajo un ángulo recto. El conjunto es la *circunferencia de diámetro $[AB]$* (la circunferencia unidad) *menos los propios puntos $A$ y $B$*.

**Ejercicio 28.5 ★★.**

Usando la fórmula de De Moivre y el teorema del binomio, expresa $\cos 3\theta$ como un polinomio en $\cos\theta$, y $\sin 3\theta$ en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de $\sin\theta$.

**Solución de Ejercicio 28.5.**

De Moivre: $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$. Desarrollando con el teorema del binomio, con $c = \cos\theta$ y $s = \sin\theta$:

$$
(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3
= (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).
$$

Identificando partes y usando $s^2 = 1 - c^2$ y $c^2 = 1 - s^2$:

$$
\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta,
\qquad
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .
$$

**Ejercicio 28.6 ★★.**

*(Linealización.)* Usando $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$, lineariza $\cos^3\theta$ (escríbelo como combinación de $\cos k\theta$) y deduce $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$.

**Solución de Ejercicio 28.6.**

$$
\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3}
= \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8}
= \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.
$$

Por tanto,

$$
\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta
= \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2}
= \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.
$$

(Coherente con $W_3 = \frac23$ del [Ejercicio 25.9](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/25-integracion#exo-g12-integ-9), ya que $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ por la simetría $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$.)

**Ejercicio 28.7 ★★.**

Sean $A$ y $B$ de [afijos](#def-g12-complex-modulus) $a = 1 + \iu$ y $b = 3 + 2\iu$. Determina los dos puntos $C$ que hacen equilátero el triángulo $ABC$, como imágenes de $B$ mediante los giros de centro $A$ y ángulos $\pm\frac{\pi}{3}$.

**Solución de Ejercicio 28.7.**

$c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ con $b - a = 2 + \iu$ y $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$:

$$
\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu)
= \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),
$$

luego $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) +
\iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$, y análogamente con el ángulo $-\frac\pi3$: $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$.

**Ejercicio 28.8 ★★★.**

Resuelve $z^4 = -4$ en $\C$ y representa las soluciones. Factoriza $z^4 + 4$ como producto de dos polinomios de segundo grado con coeficientes reales.

**Solución de Ejercicio 28.8.**

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$, así que las soluciones de $z^4 = -4$ son

$$
z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)},
\quad k = 0, 1, 2, 3,
$$

es decir, $1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$ y $1 - \iu$: los vértices de un cuadrado de circunradio $\sqrt 2$. Agrupando raíces conjugadas,

$$
z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr)
\bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr)
= (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).
$$

**Ejercicio 28.9 ★★★.**

Para $\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ y $n \in \N$, calcula

$$
S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta
$$

sumando la [progresión geométrica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-arith-geom) $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ y tomando [partes reales](#def-g12-complex-def). (Respuesta: $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\cos\frac{n\theta}{2}$.)

**Solución de Ejercicio 28.9.**

Con $q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$:

$$
\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}
= \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}}
\cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}}
= \eu^{\iu n\theta/2}\,
\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},
$$

usando $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ (el *factor del ángulo mitad*). Tomando [partes reales](#def-g12-complex-def):

$$
S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\,
\cos\frac{n\theta}{2}.
$$

**Ejercicio 28.10 ★★★.**

Sea $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$.

1. Justifica que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
2. Sean $u = \omega + \omega^4$ y $v = \omega^2 + \omega^3$ . Demuestra que $u + v = -1$ y $uv = -1$ , y deduce que $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ .
3. Concluye que $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

**Solución de Ejercicio 28.10.**

*1.* $\omega$ es una [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) quinta de la unidad distinta de $1$, así que la suma de las cinco raíces se anula ([Teorema 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)), lo que se lee $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$.

*2.* $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ por el punto 1. Para el producto, usando $\omega^5 = 1$:

$$
uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3)
= \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7
= \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .
$$

Así que $u$ y $v$ son las raíces de $X^2 + X - 1 = 0$: $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$. Ahora bien, $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (porque $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$), luego $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$.

*3.* $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

## 28.6 Problema: El pentágono en el espejo de la unidad

**Problema 28.1.**

Problema de fin de semana — las raíces quintas de la unidad calculan $\cos 72^\circ$ de forma exacta, el número áureo firma el resultado y el producto resulta ser un giro

Euclides sabía construir el pentágono regular, pero la [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) de *por qué* se rinde ante la regla y el compás (mientras que el humilde ángulo de $20^\circ$ no lo hace) permaneció escondida durante dos mil años. Se esconde en este capítulo: las cinco raíces quintas de la unidad ([Teorema 28.15](#thm-g12-complex-rootsofunity)) suman cero, y esa única línea de álgebra exprime $\cos 72^\circ$ de una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de segundo grado: solo raíces cuadradas y, por tanto, construible, y firmado, cómo no, por el número áureo. Alrededor de esa joya: soltura, el atajo de De Moivre hacia la trigonometría y el producto desenmascarado como geometría.

**Parte I — Soltura.**

1. Calcula $(2 + \iu)(3 - \iu)$ , $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ ( [Método 28.5](#met-g12-complex-division) ) y $\abs{3 + 4\iu}$ .
2. Pasa a [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) : $1 + \iu$ ; $-2$ ; $1 - \iu\sqrt3$ .
3. Calcula $(1 + \iu)^8$ usando la [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) .
4. Resuelve $z^2 = \iu$ y después $z^2 - 2z + 5 = 0$ ( [Teorema 28.13](#thm-g12-complex-quadratic) ).
5. Diccionario geométrico ( [Proposición 28.17](#prop-g12-complex-geometry) ): describe la aplicación $z \mapsto \iu z$ y el conjunto $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ .

**Parte II — Cinco raíces, un pentágono.** Sea $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ y consideremos $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$.

6. Comprueba que son exactamente las soluciones de $z^5 = 1$ y describe la figura que dibujan en el plano.
7. Demuestra que su suma es cero. ( [Progresión geométrica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-arith-geom) , o multiplica la suma por $1 - \omega$ .)
8. Toma [partes reales](#def-g12-complex-def) y deduce $$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$$
9. Toma $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ y usa la fórmula del ángulo doble para $\cos\frac{4\pi}{5}$ para convertir la pregunta 8 en una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de segundo grado en $c$; resuélvela y concluye que $$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$$
10. Compruébalo numéricamente y deja que el número áureo firme su obra: demuestra que $c = \frac{1}{2\varphi}$ , donde $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ( [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#pb-g10-algebra-1) ), y enuncia el famoso eco geométrico: en un pentágono regular, la diagonal es $\varphi$ veces el lado.

**Parte III — Los atajos de De Moivre.**

11. El veredicto de constructibilidad: $\cos 72^\circ$ solo necesita raíces cuadradas (pregunta 9), así que el pentágono es construible con regla y compás; $\cos 20^\circ$ cumple una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de tercer grado irrompible ( [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#pb-g12-trigo-1) ), así que el ángulo de $60^\circ$ no se puede trisecar. Enuncia el criterio que se vislumbra (las raíces cuadradas se construyen, las cúbicas no), cuya teoría completa (Gauss, a los 19 años, y el polígono de 17 lados) vive en los volúmenes universitarios.
12. Resuelve $z^4 = -4$ en [forma exponencial](#def-g12-complex-argument) y recupera la factorización $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ del [Ejercicio 28.8](#exo-g12-complex-8) emparejando raíces conjugadas.
13. Desarrolla $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ con el teorema del binomio y De Moivre, y vuelve a deducir $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ en tres líneas; compáralo con el camino de las fórmulas de adición del [Problema 24.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/24-funciones-trigonometricas#pb-g12-trigo-1) .
14. Contrasta con el [Ejercicio 28.9](#exo-g12-complex-9) : para $\theta = \frac{2\pi}{5}$ y $n = 4$ , ¿cuánto vale la suma $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ y por qué es coherente con la pregunta 8?
15. Calcula las tres raíces cúbicas de $8\iu$ en [forma binómica](#def-g12-complex-def) .

**Parte IV — El producto es geometría.**

16. Describe por completo la aplicación $z \mapsto (1 + \iu)z$ : ¿qué ángulo gira, por qué factor dilata y qué le hace al cuadrado unidad?
17. Demuestra $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ con [conjugados](#def-g12-complex-conjugate) ( [Proposición 28.7](#prop-g12-complex-modulus) ), calcula después $(1+\iu)^n$ para $n = 1, 2, 3, 4$ y describe la espiral que trazan las potencias.
18. El número $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : demuestra que $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ y comprueba sobre el triángulo $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ el criterio clásico: $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ se cumple para (una orientación de) un triángulo equilátero $abc$ .
19. El teorema fundamental del álgebra (que se admite: d’Alembert–Gauss): todo polinomio se factoriza por completo sobre $\C$ . Deduce el corolario aplicable al mundo real (todo polinomio real se factoriza en piezas reales de primer y segundo grado) y señala la pregunta 12 como ejemplo.
20. Final: el retrato de $\C$ , una frase para cada cosa: los números se vuelven puntos; el producto se vuelve giro y dilatación; las [raíces de la unidad](#def-g12-complex-rootsofunity) se vuelven polígonos regulares; De Moivre convierte potencias en identidades trigonométricas; y la clausura algebraica garantiza que ninguna [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) necesitará nunca un mundo mayor. Coda: ¿qué dos números célebres se encontraron en la pregunta 10?

**Solución de Problema 28.1.**

**1.** $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu$. $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu$. $\abs{3 + 4\iu} = 5$.

**2.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$; $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$; $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$.

**3.** $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} =
16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$.

**4.** $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$: $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$. Y $\Delta = 4 - 20 = -16$: $z = 1 \pm 2\iu$.

**5.** $z \mapsto \iu z$: giro de un cuarto de vuelta alrededor del origen. $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$: la circunferencia de centro $1 + \iu$ y radio $2$.

**6.** $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$, y los cinco puntos $\eu^{2\iu k\pi/5}$ son distintos: son las cinco soluciones de $z^5 = 1$. Están sobre la circunferencia unidad a ángulos iguales de $72^\circ$: un pentágono regular con un vértice en $1$.

**7.** $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ cumple $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$, y $\omega \neq 1$: $S = 0$. (El punto de equilibrio del pentágono es su centro.)

**8.** $\omega^4 = \overline\omega$ y $\omega^3 = \overline{\omega^2}$: emparejando [conjugados](#def-g12-complex-conjugate), la [parte real](#def-g12-complex-def) de la suma se lee $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$.

**9.** $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$, luego $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$, es decir, $4c^2 + 2c - 1 = 0$: $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ (la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) positiva, porque $72^\circ$ es agudo): $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$.

**10.** Numéricamente, $c \approx 0.30902$: coincide con la calculadora. Y $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} =
\frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (racionalizando): $c = \frac{1}{2\varphi}$. El pentágono es áureo de arriba abajo: su diagonal corta a su lado en la [razón](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-geometric) $\varphi$, la autosemejanza sin fin del pentagrama.

**11.** Las raíces cuadradas se construyen con compás (la máquina de la semicircunferencia de la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) geométrica del volumen anterior), así que un número construido a partir de racionales solo con raíces cuadradas, como $\cos 72^\circ$, es construible; las raíces cúbicas no lo son, y $\cos 20^\circ$ necesita una: el pentágono se rinde y la trisección resiste. El criterio de Gauss resuelve el caso de todos los polígonos regulares; su polígono de 17 lados, a los diecinueve años, le hizo elegir las matemáticas.

**12.** $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$: las raíces cuartas tienen [módulo](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2$ y [argumentos](#def-g12-complex-argument) $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$: los cuatro números $\pm 1 \pm \iu$. Emparejando [conjugados](#def-g12-complex-conjugate): $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ y $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$: la factorización del [Ejercicio 28.8](#exo-g12-complex-8).

**13.** $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta +
3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta$; y por De Moivre esto es igual a $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$. [Partes reales](#def-g12-complex-def): $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta)
= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$; y las [partes imaginarias](#def-g12-complex-def) entregan $\sin 3\theta$ de propina.

**14.** Es la [parte real](#def-g12-complex-def) de $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$: la suma vale $0$; exactamente la pregunta 8, vista a través del núcleo del [Ejercicio 28.9](#exo-g12-complex-9).

**15.** $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$: las raíces son $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$; $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$; y $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$.

**16.** $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$: la aplicación gira el plano $45^\circ$ y lo dilata por $\sqrt2$. El cuadrado unidad se convierte en un cuadrado inclinado de lado $\sqrt2$: el doble de área y un octavo de vuelta girado.

**17.** $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} =
z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$: se toman raíces cuadradas. Potencias de $1 + \iu$: $1 + \iu$, $2\iu$, $-2 + 2\iu$, $-4$: cada una girada $45^\circ$ más y $\sqrt2$ veces más larga; una espiral hacia fuera por los [módulos](#def-g12-complex-modulus) $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$

**18.** $\mathrm{j}$ es una [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cúbica de la unidad distinta de $1$, así que (con el [argumento](#def-g12-complex-argument) de la pregunta 7 y $n = 3$) $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$. Criterio sobre el triángulo estándar: $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} +
\mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 =
1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0$: se cumple, como exige el triángulo equilátero $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$.

**19.** Sobre $\C$, un polinomio real se descompone en factores de primer grado; sus raíces no reales vienen en parejas conjugadas (basta conjugar la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation)), y cada pareja se multiplica dando un polinomio real de segundo grado $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$: de ahí la factorización real en piezas de grado $1$ y de grado $2$; la pregunta 12 la realizó sobre $z^4 + 4$.

**20.** Puntos; giro y dilatación; polígonos regulares; identidades trigonométricas por desarrollo; y un mundo cerrado donde toda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de grado $n$ tiene sus $n$ raíces. Coda: en la pregunta 10, el pentágono de $\pi$ le dio la mano al número áureo; los dos invitados más célebres de Euclides, presentados por fin por una suma de cinco flechas igual a cero.