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title: "Funciones"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 3
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones
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# Capítulo 3 — Funciones

Una [función](#def-g10-functions-function) es una máquina que recibe un número y devuelve otro, siempre el mismo resultado para la misma entrada. Las funciones son los objetos centrales del análisis que irás construyendo en los próximos años (desde el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ch-g11-quad) en adelante); este capítulo monta el vocabulario ([dominio](#def-g10-functions-function), [imagen](#def-g10-functions-function), [gráfica](#def-g10-functions-graph), variación) y entrena la destreza esencial de leer información en una [gráfica](#def-g10-functions-graph).

## 3.1 Vocabulario: imágenes y antiimágenes

**Definición 3.1 (Función).**

Sea $D$ un conjunto de [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets). Una *función* $f$ definida en $D$ asocia a cada número $x \in D$ exactamente un [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets), que se escribe $f(x)$ y se llama *imagen* de $x$. El conjunto $D$ es el *dominio* de $f$. Escribimos

$$
f : x \longmapsto f(x).
$$

Si $f(x) = y$, se dice que $x$ es una *antiimagen* de $y$.

**Observación 3.2.**

Cada $x$ del [dominio](#def-g10-functions-function) tiene exactamente una [imagen](#def-g10-functions-function), pero un número $y$ puede tener varias antiimágenes o ninguna. Para $f(x) = x^2$: la [imagen](#def-g10-functions-function) de $3$ es $9$, y $9$ tiene dos antiimágenes, $3$ y $-3$; el número $-4$ no tiene ninguna.

**Ejemplo 3.3 (Hallar un dominio).**

Cuando una [función](#def-g10-functions-function) viene dada por una fórmula, su [dominio](#def-g10-functions-function) es el conjunto de los $x$ para los que la fórmula tiene sentido.

- $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ tiene sentido para todo $x$ : el [dominio](#def-g10-functions-function) es $\R$ .
- $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ exige $x - 2 \neq 0$ : el [dominio](#def-g10-functions-function) es $\R$ salvo $2$ .
- $h(x) = \sqrt{x - 3}$ exige $x - 3 \geq 0$ : el [dominio](#def-g10-functions-function) es $\intco{3}{+\infty}$ .

**Ejemplo 3.4 (Calcular imágenes y antiimágenes).**

Sea $f(x) = x^2 - 4x + 3$, definida en $\R$.

*[Imagen](#def-g10-functions-function) de $5$:* sustituimos $x = 5$: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$.

*Antiimágenes de $3$:* resolvemos $f(x) = 3$:

$$
x^2 - 4x + 3 = 3
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2 - 4x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 4) = 0,
$$

así que las antiimágenes de $3$ son $0$ y $4$.

## 3.2 La gráfica de una función

**Definición 3.5 (Gráfica).**

En un sistema de coordenadas, la *gráfica* (o *curva*) de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x, f(x))$ con $x$ en el [dominio](#def-g10-functions-function). Dicho de otro modo, un punto $(x, y)$ está en la gráfica exactamente cuando $y = f(x)$.

![Cómo se lee una imagen en una gráfica: se parte de x = 3 en el eje horizontal, se sube verticalmente hasta la curva y se va después en horizontal hasta el eje vertical para leer f(3) = -1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-7b566b99be89.svg)

*Cómo se lee una [imagen](#def-g10-functions-function) en una [gráfica](#def-g10-functions-graph): se parte de $x = 3$ en el eje horizontal, se sube verticalmente hasta la curva y se va después en horizontal hasta el eje vertical para leer $f(3) = -1$.*

**Método 3.6 (Leer una gráfica).**

Sobre la [gráfica](#def-g10-functions-graph) de $f$:

1. *[imagen](#def-g10-functions-function) de $a$* : sube verticalmente desde $x = a$ en el eje horizontal hasta la curva y ve después en horizontal hasta el eje vertical; el valor que leas allí es $f(a)$ ;
2. *antiimágenes de $b$* : traza la recta horizontal $y = b$ ; las antiimágenes son las abscisas de todos sus puntos de corte con la curva;
3. *soluciones de $f(x) = k$* : son las antiimágenes de $k$ ;
4. *soluciones de $f(x) \leq k$* : los $x$ para los que la curva está sobre la recta $y = k$ o por debajo de ella.

![Resolución gráfica de f(x) = k: las soluciones x_1 y x_2 son las abscisas de los puntos de corte de la curva con la recta horizontal y = k. Aquí f(x) ≤ k se cumple en (x_1, x_2), donde la curva está por debajo de la recta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-d26495113fd4.svg)

*Resolución [gráfica](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = k$: las soluciones $x_1$ y $x_2$ son las abscisas de los puntos de corte de la curva con la recta horizontal $y = k$. Aquí $f(x) \leq k$ se cumple en $\intcc{x_1}{x_2}$, donde la curva está por debajo de la recta.*

**Ejemplo 3.7.**

¿Está el punto $A(2, 5)$ en la [gráfica](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = x^2 + 1$? Calculamos $f(2) = 4 + 1 = 5$: sí, porque $f(2)$ coincide con la ordenada de $A$. El punto $B(3, 8)$ no está en la [gráfica](#def-g10-functions-graph), porque $f(3) = 10 \neq 8$.

## 3.3 Variación de una función

**Definición 3.8 (Creciente, decreciente).**

Sea $f$ definida en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) $I$.

- $f$ es *creciente* en $I$ cuando, para todos $u, v \in I$ , si $u < v$ entonces $f(u) \leq f(v)$ : los resultados crecen con las entradas y la [gráfica](#def-g10-functions-graph) sube de izquierda a derecha.
- $f$ es *decreciente* en $I$ cuando $u < v$ implica $f(u) \geq f(v)$ : la [gráfica](#def-g10-functions-graph) baja de izquierda a derecha.

Con desigualdades estrictas $f(u) < f(v)$ (resp. $>$) se dice *estrictamente* creciente (resp. decreciente).

**Definición 3.9 (Tabla de variación).**

Una *tabla de variación* resume en qué [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) crece y decrece $f$, mediante las flechas $\nearrow$ y $\searrow$, y recoge los valores de $f$ en los puntos donde cambia el sentido.

**Ejemplo 3.10.**

Consideremos la [función](#def-g10-functions-function) cuya [gráfica](#def-g10-functions-graph) aparece abajo, en $\intcc{-2}{4}$.

![Una función definida en (-2, 4), creciente primero y decreciente después.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-0353dee9a0b8.svg)

*Una [función](#def-g10-functions-function) definida en $\intcc{-2}{4}$, [creciente](#def-g10-functions-variations) primero y [decreciente](#def-g10-functions-variations) después.*

Leyendo la [gráfica](#def-g10-functions-graph): $f$ crece desde $f(-2) = -1.5$ hasta su [máximo](#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 3$ y decrece después hasta $f(4) = -1.5$. Su [tabla de variación](#def-g10-functions-table) es

| $x$ | $-2$ |  | $1$ |  | $4$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $-1.5$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1.5$ |

**Ejemplo 3.11 (Demostrar una variación).**

Demostremos que $f(x) = 3x + 1$ es estrictamente [creciente](#def-g10-functions-variations) en $\R$. Tomamos $u < v$ cualesquiera y comparamos las imágenes:

$$
f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,
$$

porque $v - u > 0$. Luego $f(u) < f(v)$: la [función](#def-g10-functions-function) es estrictamente [creciente](#def-g10-functions-variations). El mismo cálculo con pendiente negativa, por ejemplo $g(x) = -2x + 5$, da $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$: estrictamente [decreciente](#def-g10-functions-variations).

## 3.4 Extremos

**Definición 3.12 (Máximo, mínimo).**

Sea $f$ definida en $D$ y sea $a \in D$. El valor $f(a)$ es el *máximo* de $f$ en $D$ cuando $f(x) \leq f(a)$ para todo $x \in D$; es el *mínimo* cuando $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in D$. En una [gráfica](#def-g10-functions-graph) son el punto más alto y el más bajo de la curva.

**Ejemplo 3.13.**

Demostremos que $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ tiene [mínimo](#def-g10-functions-extrema) $2$ en $\R$, alcanzado en $x = 1$. Para todo $x$, el cuadrado $(x-1)^2$ es $\geq 0$, luego $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$; y $f(1) = 0 + 2 = 2$, así que el valor $2$ se alcanza de verdad. Las dos cosas juntas demuestran que $2$ es el [mínimo](#def-g10-functions-extrema).

![La curva de f(x) = (x-1)2 + 2 nunca baja de la recta discontinua y = 2 y la toca en x = 1: el mínimo de f es 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-functions/fig-87e2c2026d31.svg)

*La curva de $f(x) = (x-1)^2 + 2$ nunca baja de la recta discontinua $y = 2$ y la toca en $x = 1$: el [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de $f$ es $2$.*

## 3.5 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

Sea $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calcula las imágenes de $0$, $2$, $-1$ y $\frac12$.

**Solución de Ejercicio 3.1.**

$f(0) = 1$; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 -
\tfrac32 + 1 = 0$.

**Ejercicio 3.2 ★.**

Da el [dominio](#def-g10-functions-function) de cada [función](#def-g10-functions-function):

$$
f(x) = 5x - 2, \qquad
g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad
h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad
k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.
$$

**Solución de Ejercicio 3.2.**

$f$: sin ninguna restricción, [dominio](#def-g10-functions-function) $\R$.

$g$: exige $x + 4 \neq 0$, [dominio](#def-g10-functions-function) $\R$ salvo $-4$.

$h$: exige $2x - 6 \geq 0$, es decir, $x \geq 3$: [dominio](#def-g10-functions-function) $\intco{3}{+\infty}$.

$k$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ no se anula nunca, [dominio](#def-g10-functions-function) $\R$.

**Ejercicio 3.3 ★.**

Sea $f(x) = x^2 - 2x$. Halla todas las antiimágenes de $0$, de $3$ y de $-1$.

**Solución de Ejercicio 3.3.**

*Antiimágenes de $0$:* $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$, luego $0$ y $2$.

*Antiimágenes de $3$:* $x^2 - 2x = 3$, es decir, $x^2 - 2x - 3 = 0$, o sea $(x-3)(x+1) = 0$ (compruébalo desarrollando), luego $3$ y $-1$.

*Antiimágenes de $-1$:* $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$, luego la única [antiimagen](#def-g10-functions-function) $1$.

**Ejercicio 3.4 ★.**

¿Pertenece el punto $A(-1, 4)$ a la [gráfica](#def-g10-functions-graph) de $f(x) = x^2 - 2x + 1$? ¿Y el punto $B(2, 1)$? Justifica con un cálculo.

**Solución de Ejercicio 3.4.**

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$: sí, $A(-1, 4)$ está en la [gráfica](#def-g10-functions-graph). $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$: sí, $B(2, 1)$ también está en la [gráfica](#def-g10-functions-graph).

**Ejercicio 3.5 ★.**

Una [función](#def-g10-functions-function) $g$ definida en $\intcc{-3}{5}$ tiene la [tabla de variación](#def-g10-functions-table)

| $x$ | $-3$ |  | $0$ |  | $3$ |  | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $g$ | $1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $4$ | $\searrow$ | $0$ |

1. ¿Cuáles son el [máximo](#def-g10-functions-extrema) y el [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de $g$ en $\intcc{-3}{5}$ ?
2. Compara $g(-1)$ y $g(-0.5)$ sin conocer sus valores.
3. ¿Cuántas soluciones puede tener como mucho la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $g(x) = 0$ en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de la tabla?

**Solución de Ejercicio 3.5.**

*1.* El mayor valor de la tabla es $4 = g(3)$ ([máximo](#def-g10-functions-extrema)) y el menor es $-2 = g(0)$ ([mínimo](#def-g10-functions-extrema)).

*2.* En $\intcc{-3}{0}$ la [función](#def-g10-functions-function) decrece y $-1 < -0.5$, luego $g(-1) \geq g(-0.5)$.

*3.* En cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de monotonía, $g$ toma cada valor como mucho una vez, así que $g(x) = 0$ tiene como mucho una solución por [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval): como mucho $3$ soluciones en total. (Aquí $0$ está entre $-2$ y $1$, entre $-2$ y $4$, y entre $0$ y $4$, así que hay exactamente tres.)

**Ejercicio 3.6 ★★.**

Sea $f(x) = -2x + 7$. Demuestra, comparando $f(u)$ y $f(v)$ para $u < v$, que $f$ es estrictamente [decreciente](#def-g10-functions-variations) en $\R$.

**Solución de Ejercicio 3.6.**

Sea $u < v$. Entonces

$$
f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,
$$

puesto que $v - u > 0$. Luego $f(v) < f(u)$: $f$ es estrictamente [decreciente](#def-g10-functions-variations) en $\R$.

**Ejercicio 3.7 ★★.**

Demuestra que la [función](#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2 + 6x + 11$ tiene un [mínimo](#def-g10-functions-extrema) en $\R$ y da su valor y el punto donde se alcanza. (Indicación: escribe $f(x) = (x + 3)^2 + c$ con la constante $c$ adecuada.)

**Solución de Ejercicio 3.7.**

Completamos el cuadrado: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, luego

$$
f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .
$$

Para todo $x$, $(x+3)^2 \geq 0$, luego $f(x) \geq 2$; y $f(-3) = 0 + 2 = 2$. El [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de $f$ es $2$, alcanzado en $x = -3$.

**Ejercicio 3.8 ★★.**

Un jardín rectangular tiene perímetro $40$ m. Sea $x$ su anchura, en metros.

1. Expresa el largo y después el área $A(x)$ en [función](#def-g10-functions-function) de $x$ . ¿Para qué valores de $x$ tiene sentido?
2. Calcula $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ y $A(16)$ . ¿Qué conjeturas sobre la forma de área máxima?

**Solución de Ejercicio 3.8.**

*1.* Largo $+$ ancho $= 20$, así que el largo es $20 - x$ y

$$
A(x) = x(20 - x).
$$

Las dos dimensiones han de ser positivas: $0 < x < 20$.

*2.* $A(4) = 64$, $A(8) = 96$, $A(10) = 100$, $A(12) = 96$, $A(16) = 64$. Los valores suben hasta $x = 10$ y bajan después de forma simétrica: parece que el área es máxima para $x = 10$, es decir, para un jardín *cuadrado*. (El [Capítulo 10](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#ch-g11-quad) demuestra esta conjetura.)

**Ejercicio 3.9 ★★.**

Sea $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$, definida en $\R$.

1. Demuestra que $0 < f(x) \leq 1$ para todo $x$ real.
2. ¿Tiene $f$ [máximo](#def-g10-functions-extrema) en $\R$ ? ¿Y [mínimo](#def-g10-functions-extrema) ? Justifica la respuesta.

**Solución de Ejercicio 3.9.**

*1.* Para todo $x$: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, luego $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ es positivo; y como $x^2 + 1 \geq 1$, al tomar inversos (los dos miembros son positivos) se obtiene $f(x) \leq 1$.

*2.* [Máximo](#def-g10-functions-extrema): $f(0) = 1$ y $f(x) \leq 1$ para todo $x$, luego $1$ es el [máximo](#def-g10-functions-extrema), alcanzado en $0$. [Mínimo](#def-g10-functions-extrema): $f(x) > 0$ siempre, pero ningún valor de $x$ da $0$ (un cociente de números no nulos no es nulo) y $f$ toma valores tan próximos a $0$ como se quiera para $x$ grande; así que $f$ no tiene [mínimo](#def-g10-functions-extrema).

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

Sea $f(x) = x^2$ en $\R$.

1. Sea $0 \leq u < v$ . Factoriza $f(v) - f(u)$ y deduce que $f$ es estrictamente [creciente](#def-g10-functions-variations) en $\intco{0}{+\infty}$ .
2. Adapta el argumento para demostrar que $f$ es estrictamente [decreciente](#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$ .

**Solución de Ejercicio 3.10.**

*1.* $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Si $0 \leq u < v$, entonces $v - u > 0$ y $v + u > 0$ (suma de un número no negativo y uno positivo), luego $f(v) - f(u) > 0$: $f$ es estrictamente [creciente](#def-g10-functions-variations) en $\intco{0}{+\infty}$.

*2.* Si $u < v \leq 0$, sigue siendo $v - u > 0$, pero ahora $v + u < 0$ (suma de un número no positivo y uno negativo), luego $f(v) - f(u) < 0$: $f$ es estrictamente [decreciente](#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$.

## 3.6 Problema: Máquinas alimentadas con su propio resultado

**Problema 3.1.**

Problema de fin de semana — puntos fijos, iteración y tres máquinas célebres: la de Herón, la que eleva al cuadrado y la del granizo, todavía sin resolver

Una [función](#def-g10-functions-function) es una máquina: entra un número, sale un número. Los experimentos más interesantes consisten en alimentar la máquina con *su propio resultado*, una y otra vez; entonces dominan dos preguntas: ¿acaba el proceso en algún sitio (un *[punto fijo](#pb-g10-functions-1)*)?, ¿y cómo lo lleva hasta allí la variación de la máquina? Una de las máquinas de este problema lleva dos mil años puliendo raíces cuadradas; otra custodia el problema sin resolver más famoso que ofrecen las matemáticas elementales.

**Parte I — La máquina de Herón.** Consideremos la [función](#def-g10-functions-function)

$$
f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).
$$

1. Da el [dominio](#def-g10-functions-function) de $f$ y calcula $f(1)$ , $f(2)$ y $f\!\left(\frac32\right)$ como fracciones exactas.
2. Halla todas las antiimágenes de $\frac32$ : resuelve $f(x) = \frac32$ (quita el denominador y usa los métodos del [Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#pb-g10-algebra-1) ).
3. Un *punto fijo* de $f$ es un número al que la máquina no cambia: $f(x) = x$ . Halla los dos [puntos fijos](#pb-g10-functions-1) de $f$ . ¿Qué viejo conocido custodia el positivo?
4. Partiendo de $x = 1$ , alimenta la máquina con su propio resultado tres veces y anota los resultados exactos. ¿Qué sucesión del problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad has reconstruido? ¿Y qué era “la receta de Herón” en el lenguaje de las funciones?
5. En un mismo dibujo, esboza la [gráfica](#def-g10-functions-graph) de $f$ (para $x > 0$ ) y la recta diagonal $y = x$ . ¿Dónde están los [puntos fijos](#pb-g10-functions-1) en ese dibujo? (Compara con el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros: la temperatura que marcaba lo mismo en las dos escalas era la misma idea.)

**Parte II — Por qué la máquina no puede fallar.**

6. Para $0 < u < v$, demuestra, reduciendo a común denominador, que $$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$$ y deduce la variación de $f$ en $\intoo{0}{+\infty}$: [decreciente](#def-g10-functions-variations) hasta un punto y [creciente](#def-g10-functions-variations) después. ¿Qué punto? (Misma técnica que en el [Ejercicio 3.10](#exo-g10-functions-10).)
7. Deduce que en $\intoo{0}{+\infty}$ la [función](#def-g10-functions-function) $f$ tiene un [mínimo](#def-g10-functions-extrema) , que vale exactamente $\sqrt2$ y se alcanza en $\sqrt2$ . ¿Qué dice esto sobre *todos* los resultados de la máquina (con entradas positivas)?
8. Demuestra que si $x > \sqrt2$ , entonces $\sqrt2 < f(x) < x$ : una estimación demasiado grande siempre mejora y nunca se pasa de largo. (Para $f(x) < x$ , compara $\frac2x$ con $x$ .)
9. Reúne las preguntas 6 a 8 en la [tabla de variación](#def-g10-functions-table) de $f$ en $\intoo{0}{+\infty}$ ( [Definición 3.9](#def-g10-functions-table) ), [mínimo](#def-g10-functions-extrema) incluido.
10. Una segunda máquina: $g(x) = x^2$ . Sus [puntos fijos](#pb-g10-functions-1) son $0$ y $1$ (compruébalo). Itera $g$ cuatro veces desde $x = 0.9$ y otras cuatro desde $x = 1.1$ (con calculadora, tres decimales). Un [punto fijo](#pb-g10-functions-1) atrae y el otro repele: ¿cuál es cuál?

**Parte III — La máquina del granizo.** Sobre los [números enteros](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) positivos definimos $h(n) = \frac n2$ si $n$ es par y $h(n) = 3n + 1$ si $n$ es impar. Bajo $h$, los números rebotan como granizos dentro de una nube de tormenta.

11. Calcula el vuelo completo de $7$ bajo $h$ , hasta llegar a $1$ . ¿Cuántos pasos tarda y hasta qué altura sube?
12. Empieza el vuelo de $27$ y calcula diez pasos. (Su vuelo completo dura $111$ pasos y llega hasta $9\,232$ , partiendo de $27$ .) ¿Qué lección sobre las reglas sencillas enseñan $7$ y $27$ ?
13. Explica por qué todo vuelo que alcanza una potencia de $2$ se precipita directamente hasta $1$ , y qué ocurre en $1$ (calcula $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). ¿Tiene $h$ algún [punto fijo](#pb-g10-functions-1) entre los enteros positivos? ¿Qué forma en su lugar el final de todos los vuelos observados?
14. La *conjetura de Collatz* afirma que todo número de partida acaba llegando a $1$ . Los ordenadores la han verificado mucho más allá de $10^{20}$ ; nadie la ha demostrado. ¿Qué dos tipos de hallazgo la *refutarían* ? ¿Y por qué una verificación masiva sigue sin cerrar el caso (el problema de fin de semana del volumen anterior sobre el oráculo de las cerillas ya tocó esta campana)?
15. “Las matemáticas todavía no están maduras para estas preguntas”, dijo Paul Erdős de esta conjetura. En una frase: ¿qué separa la máquina del granizo de la de Herón, donde las preguntas 6 a 8 lo resolvieron todo?

**Parte IV — Manual de uso de las máquinas.**

16. [Dominios](#def-g10-functions-function) como [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) (en el lenguaje del [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#pb-g10-numbers-1) ): da los [dominios](#def-g10-functions-function) de $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
17. Volvamos a la $f$ de Herón: halla las antiimágenes exactas de $3$ (resuelve $f(x) = 3$ completando el cuadrado).
18. Se lanza una piedra hacia arriba: su altura es $H(t) = 20t - 5t^2$ metros al cabo de $t$ segundos. ¿En qué [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de tiempo tiene sentido físico la fórmula? Completa el cuadrado para hallar la altura máxima y el instante en que se alcanza ( [Definición 3.12](#def-g10-functions-extrema) ) y da la [tabla de variación](#def-g10-functions-table) .
19. ¿Durante cuánto tiempo está la piedra al menos a $15$ m de altura? (Resuelve $H(t) \geq 15$ con una [tabla de signos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-signtable) , [Método 2.17](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#met-g10-algebra-signtable) .)
20. Final: este problema ha puesto en marcha cuatro máquinas: la de Herón, la que eleva al cuadrado, la del granizo y la altura de la piedra. En dos o tres frases, di qué tiene toda [función](#def-g10-functions-function) (un [dominio](#def-g10-functions-function) , una regla, una [gráfica](#def-g10-functions-graph) ) y cuáles son las dos grandes preguntas que este problema ha hecho a cada una (¿dónde acaba la iteración?, ¿cómo varía la [función](#def-g10-functions-function) ?), preguntas que los capítulos siguientes retoman una a una.

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** [Dominio](#def-g10-functions-function): $x \neq 0$ (se divide entre $x$). $f(1) =
\frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 +
\frac43\right) = \frac{17}{12}$.

**2.** $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ da $x^2 + 2 = 3x$, es decir, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: las antiimágenes de $\frac32$ son $1$ y $2$, tal como anunciaba la pregunta 1.

**3.** $f(x) = x$ da $x + \frac2x = 2x$, luego $\frac2x = x$ y $x^2 = 2$: los [puntos fijos](#pb-g10-functions-1) son $\sqrt2$ y $-\sqrt2$. El positivo es la diagonal del cuadrado unidad, irracional por el problema de fin de semana del volumen anterior sobre la irracionalidad.

**4.** $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: las aproximaciones de $\sqrt2$ de Herón. Su receta “haz la media de la estimación con $2/$estimación” es exactamente *iterar la [función](#def-g10-functions-function) $f$*, y el número que persigue el proceso es el [punto fijo](#pb-g10-functions-1) de $f$.

**5.** Los [puntos fijos](#pb-g10-functions-1) son los cortes de la [gráfica](#def-g10-functions-graph) con la diagonal $y = x$: volver a meter los resultados hace caminar el punto por la [gráfica](#def-g10-functions-graph) hacia ese corte. En el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros, la lectura $-40^\circ$ era esa misma idea de cortar la diagonal, para la [función](#def-g10-functions-function) de conversión.

**6.** $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u
= \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right)
= \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$. Para $0 < u < v \leq \sqrt2$: $uv < 2$, el paréntesis es negativo y $f(v) < f(u)$: [decreciente](#def-g10-functions-variations). Para $\sqrt2 \leq u < v$: $uv > 2$: [creciente](#def-g10-functions-variations). El punto de cambio es $\sqrt2$.

**7.** [Decreciente](#def-g10-functions-variations) antes de $\sqrt2$ y [creciente](#def-g10-functions-variations) después: $f$ alcanza su [mínimo](#def-g10-functions-extrema) en $\sqrt2$, y vale $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$. Consecuencia: todo resultado de la máquina (con entrada positiva) es al menos $\sqrt2$; tras una vuelta de manivela, las estimaciones viven en $\intco{\sqrt2}{+\infty}$.

**8.** Si $x > \sqrt2$, entonces $x^2 > 2$, luego $\frac2x < x$ y la media $f(x)$ de $x$ y $\frac2x$ es menor que $x$; además $f(x) \geq \sqrt2$ por la pregunta 7, con igualdad solo en $x = \sqrt2$. Así pues, $\sqrt2 < f(x) < x$: cada iteración mejora estrictamente sin pasarse de largo, y la sucesión de la pregunta 4 se desliza hasta $\sqrt2$.

**9.** En $\intoo{0}{+\infty}$: [decreciente](#def-g10-functions-variations) desde $+\infty$ (cerca de $0$) hasta el [mínimo](#def-g10-functions-extrema) $\sqrt2$ en $x = \sqrt2$, y [creciente](#def-g10-functions-variations) después sin límite.

**10.** $g(x) = x$ da $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$: [puntos fijos](#pb-g10-functions-1) $0$ y $1$. Desde $0.9$: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$, deslizándose hacia $0$. Desde $1.1$: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$, escapando hacia el infinito. El [punto fijo](#pb-g10-functions-1) $0$ atrae y el $1$ repele: una diferencia de un pelo al principio, destinos opuestos.

**11.** $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to
13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: dieciséis pasos, con una cima en $52$.

**12.** $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to
47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$: todavía subiendo tras diez pasos, camino de una cima de $9\,232$ y de un vuelo de $111$ pasos. Lección: una regla de dos líneas puede producir un comportamiento que nadie sabe prever de un vistazo; números vecinos ($26$, $27$, $28$) tienen vuelos disparatadamente distintos.

**13.** Una potencia de $2$ se va dividiendo entre dos por toda su escalera: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$. Abajo del todo, $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: el vuelo entra en el ciclo $4 \to 2 \to 1 \to 4$. Un [punto fijo](#pb-g10-functions-1) exigiría $\frac n2 = n$ (solo $n = 0$) o $3n + 1 = n$ (negativo): no hay ninguno entre los enteros positivos; lo que forman los vuelos observados no es un [punto fijo](#pb-g10-functions-1), sino ese pequeño *ciclo*.

**14.** Un contraejemplo sería o bien un vuelo que crece para siempre (sin volver nunca a $1$), o bien un segundo ciclo disjunto de $4 \to 2 \to 1$. Verificar hasta $10^{20}$ deja infinitos números sin comprobar: exactamente la lección de las regiones del círculo del problema de fin de semana del volumen anterior sobre el oráculo de las cerillas; que algo se cumpla en un número finito de casos no demuestra nada sobre todos.

**15.** En la máquina de Herón había *estructura*: una diferencia factorizada (pregunta 6) que revelaba la variación, un [mínimo](#def-g10-functions-extrema), un cerco; la regla del granizo, que cambia según la paridad, no ofrece ningún asidero parecido: nadie ha encontrado la estructura que la domestique.

**16.** $\sqrt{x - 3}$: exige $x - 3 \geq 0$: $\intco{3}{+\infty}$. $\frac{1}{x^2 - 9}$: exige $x \neq \pm 3$: $\R$ salvo $-3$ y $3$. $\sqrt{9 - x^2}$: exige $x^2 \leq 9$: $\intcc{-3}{3}$.

**17.** $f(x) = 3$ da $x + \frac2x = 6$, luego $x^2 - 6x + 2 = 0$, es decir, $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ o $x = 3 + \sqrt7$ (los dos positivos: dos antiimágenes exactas).

**18.** La fórmula tiene sentido físico mientras la piedra está en el aire: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ para $t \in \intcc{0}{4}$. Completando el cuadrado: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: [máximo](#def-g10-functions-extrema) de $20$ m en $t = 2$ s. Variación: [creciente](#def-g10-functions-variations) en $\intcc{0}{2}$ de $0$ a $20$ y [decreciente](#def-g10-functions-variations) en $\intcc{2}{4}$ de vuelta a $0$.

**19.** $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff
(t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: dos segundos completos por encima de $15$ m.

**20.** Cada máquina tiene un [dominio](#def-g10-functions-function) (donde la regla está permitida), una regla (la fórmula o el cambio según la paridad) y una [gráfica](#def-g10-functions-graph) o una tabla que la muestra entera. A cada una le hemos hecho las dos grandes preguntas: *adónde lleva la repetición* ([puntos fijos](#pb-g10-functions-1), ciclos, atracción: resuelto para Herón, abierto para el granizo) y *cómo se mueve el resultado con la entrada* (variación, extremos: la cima de la piedra, el [mínimo](#def-g10-functions-extrema) de Herón). Los capítulos siguientes afinan las dos: primero las funciones de referencia y, en cursos posteriores, las derivadas para medir la variación y los límites para certificar dónde aterrizan las iteraciones.