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title: "Matrices y grafos"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 30
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/30-matrices-y-grafos
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# Capítulo 30 — Matrices y grafos

Una [matriz](#def-g12-matrix-matrix) es una tabla rectangular de números que se suman y se multiplican según reglas diseñadas para que el álgebra de matrices represente la composición de transformaciones lineales. Las matrices resuelven [sistemas lineales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/7-ecuaciones-de-rectas-y-sistemas-lineales#def-g10-lines-system), gobiernan sucesiones recurrentes acopladas y cuentan caminos en redes: son las matemáticas que hay detrás de los buscadores de internet y de los algoritmos de camino más corto.

## 30.1 Álgebra de matrices

**Definición 30.1 (Matriz).**

Una *matriz $m \times n$* es una tabla de [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) con $m$ filas y $n$ columnas: $A = (a_{ij})$, donde $a_{ij}$ es el coeficiente de la fila $i$ y la columna $j$. Dos matrices del mismo tamaño se suman coeficiente a coeficiente, y $\lambda A = (\lambda a_{ij})$.

**Definición 30.2 (Producto de matrices).**

Sea $A$ de tamaño $m \times n$ y sea $B$ de tamaño $n \times p$. El producto $AB$ es la [matriz](#def-g12-matrix-matrix) $m \times p$ cuyo coeficiente $(i,j)$ es

$$
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$

(la regla “fila $i$ de $A$ por columna $j$ de $B$”).

**Ejemplo 30.3.**

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$, mientras que $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$: *el producto de matrices no es conmutativo*.

**Proposición 30.4 (Reglas del álgebra de matrices).**

Siempre que los tamaños den sentido a los productos:

$$
(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,
$$

y la *[matriz](#def-g12-matrix-matrix) identidad* $I_n$ (unos en la diagonal y ceros fuera de ella) cumple $I_m A = A I_n = A$ para $A$ de tamaño $m \times n$.

**Demostración.** Todas son comprobaciones coeficiente a coeficiente a partir de la [Definición 30.2](#def-g12-matrix-product); la asociatividad, la única no trivial, se reduce a intercambiar dos sumas finitas: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj}
= \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right)
= \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$. ∎

**Definición 30.5 (Inversa).**

Una [matriz](#def-g12-matrix-matrix) cuadrada $A$ de tamaño $n$ es *invertible* si existe una [matriz](#def-g12-matrix-matrix) $B$ con $AB = BA = I_n$; esa $B$ es entonces única y se escribe $A^{-1}$.

**Proposición 30.6 (Inversa de una matriz 2×22\times22×2).**

Sea $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ y sea $\det A = ad - bc$ (el *determinante*). Entonces $A$ es [invertible](#def-g12-matrix-inverse) si y solo si $\det A \neq 0$, y en ese caso

$$
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.
$$

**Demostración.** Un cálculo da $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$; si $ad - bc \neq 0$, dividimos. Recíprocamente, si $ad - bc = 0$, las columnas de $A$ son proporcionales, y también lo son las de $AB$ sea cual sea $B$; pero las columnas de $I_2$ no son proporcionales, así que ninguna $B$ puede cumplir $AB = I_2$. ∎

**Método 30.7 (Sistemas lineales).**

El sistema $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ es la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) matricial $AX = Y$ con $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ e $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$. Si $\det A \neq 0$, su única solución es $X = A^{-1}Y$. El mismo formalismo sirve para $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas.

## 30.2 Potencias de matrices y sucesiones recurrentes

**Definición 30.8.**

Para una [matriz](#def-g12-matrix-matrix) cuadrada $A$ y $k \in \N$, $A^k = A \times \dots \times A$ ($k$ factores), con $A^0 = I$.

**Método 30.9 (Casos diagonal más nilpotente y diagonalizable).**

Dos maneras estándar de calcular $A^k$:

- Si $A = \lambda I + N$ con $N^2 = 0$ , el teorema del binomio (válido aquí porque $I$ y $N$ conmutan) se reduce a dos términos: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ .
- Si se encuentra una [matriz](#def-g12-matrix-matrix) [invertible](#def-g12-matrix-inverse) $P$ con $A = PDP^{-1}$ y $D$ diagonal, entonces $A^k = P D^k P^{-1}$ , y $D^k$ se calcula coeficiente a coeficiente. (Hallar tal $P$ de manera sistemática es la teoría de la *diagonalización* , que se desarrolla en la universidad; a este nivel, $P$ viene dada.)

**Ejemplo 30.10 (Sucesiones acopladas).**

Sean $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ y $v_{n+1} = u_n + 3v_n$. Tomando $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$, obtenemos $X_{n+1} = AX_n$, luego $X_n = A^n X_0$. Las sucesiones auxiliares $s_n = u_n + v_n$ y $d_n = u_n - v_n$ cumplen $s_{n+1} = 4s_n$ y $d_{n+1} = 2d_n$, así que $s_n = 4^n s_0$, $d_n = 2^n d_0$ y

$$
u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad
v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.
$$

(Entre bastidores: $(1,1)$ y $(1,-1)$ son direcciones propias de $A$.)

## 30.3 Grafos y caminos

**Definición 30.11 (Grafo, matriz de adyacencia).**

Un *grafo* consta de vértices $1, 2, \dots, n$ y de aristas que unen ciertos pares de vértices (pares ordenados si el grafo es *dirigido*). Su *matriz de adyacencia* es la [matriz](#def-g12-matrix-matrix) $n \times n$ $M$ con $m_{ij} = 1$ si hay una arista de $i$ a $j$, y $0$ en caso contrario. Un *camino* de longitud $k$ de $i$ a $j$ es una [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) de $k$ aristas consecutivas que lleva de $i$ a $j$.

![M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix Un grafo dirigido y su matriz de adyacencia (): m_ij = 1 exactamente cuando hay una arista de i a j.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-783722c7530e.svg)

*$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Un [grafo](#def-g12-matrix-graph) dirigido y su [matriz de adyacencia](#def-g12-matrix-graph) ([Ejercicio 30.6](#exo-g12-matrix-6)): $m_{ij} = 1$ exactamente cuando hay una arista de $i$ a $j$.*

**Teorema 30.12 (Recuento de caminos).**

El número de caminos de longitud $k$ del vértice $i$ al vértice $j$ es el coeficiente $(i,j)$ de $M^k$.

**Demostración.** Inducción sobre $k$. Para $k = 1$ es la definición de $M$. Supongamos el resultado para $k$. Un camino de longitud $k+1$ de $i$ a $j$ es un camino de longitud $k$ de $i$ a cierto vértice $l$, seguido de una arista de $l$ a $j$; por los principios de la suma y del producto, su número es

$$
\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}.
\qedhere
$$

∎

**Ejemplo 30.13.**

Para el [grafo](#def-g12-matrix-graph) triángulo ($3$ vértices, todos los pares unidos), $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ y $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$: desde cada vértice hay $2$ caminos de longitud $2$ que vuelven a él (por uno u otro vecino) y $1$ hacia cada uno de los otros vértices.

## 30.4 Ejercicios

**Ejercicio 30.1 ★.**

Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula $A + B$, $AB$, $BA$ y $A^2$.

**Solución de Ejercicio 30.1.**

$$
A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad
AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad
BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
$$

Observa que $AB \neq BA$.

**Ejercicio 30.2 ★.**

Determina si las matrices siguientes son [invertibles](#def-g12-matrix-inverse) y calcula las inversas cuando existan:

$$
A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad
B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
$$

**Solución de Ejercicio 30.2.**

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. $\det B = 12 - 12 = 0$: $B$ no es [invertible](#def-g12-matrix-inverse).

**Ejercicio 30.3 ★.**

Resuelve por inversión matricial el sistema $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$

**Solución de Ejercicio 30.3.**

El sistema es $AX = Y$ con la $A$ del [Ejercicio 30.2](#exo-g12-matrix-2) e $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$:

$$
X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}:
\qquad x = -7,\ y = 3 .
$$

**Ejercicio 30.4 ★★.**

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ con $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

1. Comprueba que $N^2 = 0$ y que $I$ y $N$ conmutan.
2. Deduce $A^k$ para todo $k \in \N$ y verifica la fórmula para $k=2$ mediante un cálculo directo.

**Solución de Ejercicio 30.4.**

*1.* $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$, e $I$ conmuta con cualquier [matriz](#def-g12-matrix-matrix).

*2.* Como los dos términos conmutan, se aplica el teorema del binomio y todos los términos que contienen $N^2$ se anulan:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.
$$

Comprobación para $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2
= \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$, y la fórmula da $2^2 = 4$ y $2 \times 2 = 4$. ✓

**Ejercicio 30.5 ★★.**

Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ y sea $F_n$ la [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) de Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$). Demuestra por inducción que, para $n \geq 1$,

$$
A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},
$$

y deduce la identidad $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$. (Indicación: los [determinantes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-det) se multiplican: $\det(MN) = \det M \det N$, cosa que puedes comprobar para matrices $2\times2$.)

**Solución de Ejercicio 30.5.**

*Inducción.* Para $n = 1$: $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$. Supongamos la fórmula para $n$; entonces

$$
A^{n+1} = A^n A
= \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.
$$

*Identidad.* Para matrices $2\times2$, desarrollando se ve que $\det(MN) = \det M \det N$; por tanto, $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$, y $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$. (Es la *identidad de Cassini*.)

**Ejercicio 30.6 ★★.**

Un [grafo](#def-g12-matrix-graph) dirigido sobre los vértices $\{1, 2, 3\}$ tiene las aristas $1\to2$, $2\to3$, $3\to1$ y $1\to3$.

1. Escribe la [matriz de adyacencia](#def-g12-matrix-graph) $M$ y calcula $M^2$ y $M^3$ .
2. ¿Cuántos caminos de longitud $3$ van de $1$ a $1$ ? Enuméralos.

**Solución de Ejercicio 30.6.**

*1.* Ordenando los vértices $1, 2, 3$:

$$
M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad
M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad
M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.
$$

*2.* $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$: hay exactamente un camino cerrado de longitud $3$ en el vértice $1$, a saber, $1 \to 2 \to 3 \to 1$. (El camino $1 \to 3 \to 1$ solo tiene longitud $2$, y $1 \to 3$, luego $3\to1$, luego $1\to3$ termina en $3$.)

**Ejercicio 30.7 ★★.**

Una empresa de coches compartidos mueve vehículos entre dos ciudades $A$ y $B$. Cada semana, el $80\,\%$ de los coches que están en $A$ se quedan en $A$ y el $20\,\%$ pasa a $B$; el $30\,\%$ de los coches que están en $B$ pasa a $A$ y el $70\,\%$ se queda. Sean $a_n$ y $b_n$ las proporciones de la flota en cada ciudad.

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-matrix/fig-8ee5ea63de42.svg)

1. Escribe $X_{n+1} = MX_n$ con $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ e identifica $M$ .
2. Halla las proporciones de equilibrio (resuelve $MX = X$ con $a + b = 1$ ).
3. Demuestra que $c_n = a_n - 0.6$ cumple $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ y concluye que el reparto de la flota [converge](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-limit) hacia el equilibrio.

**Solución de Ejercicio 30.7.**

*1.* $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$ y $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$: $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$.

*2.* $MX = X$ da $0.8a + 0.3b = a$, es decir, $0.3b = 0.2a$, luego $b = \frac23 a$; y con $a + b = 1$: $a = 0.6$ y $b = 0.4$.

*3.* Usando $b_n = 1 - a_n$: $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$, luego

$$
c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .
$$

Por tanto, $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$: $a_n \to 0.6$ y $b_n \to 0.4$, sea cual sea el reparto inicial.

**Ejercicio 30.8 ★★★.**

Sean $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

1. Calcula $P^{-1}$ y después $D = P^{-1}AP$ , y comprueba que $D$ es diagonal.
2. Deduce una fórmula cerrada para $A^n$ y compárala con el [Ejemplo 30.10](#ex-g12-matrix-coupled) .

**Solución de Ejercicio 30.8.**

*1.* $\det P = -2$, luego $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$. Entonces

$$
AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad
D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

*2.* De $A = PDP^{-1}$, una inducción inmediata da $A^n = PD^nP^{-1}$ con $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$, así que

$$
A^n = P D^n P^{-1}
= \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot
\frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}
= \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\
4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.
$$

Aplicar $A^n$ a $X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ reproduce exactamente las fórmulas del [Ejemplo 30.10](#ex-g12-matrix-coupled).

## 30.5 Problema: La matriz que se sabe Fibonacci (y el tiempo que va a hacer)

**Problema 30.1.**

Problema de fin de semana — una sola matriz $2 \times 2$ lleva dentro todo Fibonacci, una matriz de Markov predice el tiempo a largo plazo y un vector propio vale mil millones de dólares

Una [matriz](#def-g12-matrix-matrix) es una máquina que se come un estado y devuelve el siguiente; y sus *potencias* guardan, por tanto, futuros enteros. Este problema abre con la asombrosa [matriz](#def-g12-matrix-matrix) cuyas potencias enumeran los números de Fibonacci (y demuestran sus identidades a línea por identidad), lleva después el tiempo atmosférico, visto como cadena de Markov, hasta su estado estacionario, y cierra con el [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) propio sobre el que se construyó un buscador ([Teorema 30.12](#thm-g12-matrix-walks), [Método 30.9](#met-g12-matrix-powers)).

**Parte I — Soltura.**

1. Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ : calcula $AB$ y $BA$ . ¿Veredicto sobre la conmutatividad?
2. Invierte $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ ( [Proposición 30.6](#prop-g12-matrix-inverse2x2) ) y usa la inversa para resolver $2x + y = 4$ , $5x + 3y = 7$ .
3. Sea $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : calcula $N^2$ y deduce que $(I + N)^n = I + nN$ para todo $n$ .
4. El [grafo](#def-g12-matrix-graph) triángulo (tres vértices, todos los pares unidos): escribe su [matriz de adyacencia](#def-g12-matrix-graph) $A$ , calcula $A^3$ e interpreta los coeficientes diagonales ( [Teorema 30.12](#thm-g12-matrix-walks) ).
5. Para $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12 \end{pmatrix}$ : da $D^n$ y su comportamiento cuando $n \to \infty$ .

**Parte II — La [matriz](#def-g12-matrix-matrix) de Fibonacci.** Sea $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y sean $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ los números de Fibonacci del [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#pb-g11-seq-1).

6. Calcula $F^2$ , $F^3$ y $F^4$ , y conjetura la forma general de $F^n$ en términos de números de Fibonacci.
7. Demuestra por inducción la conjetura $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}  \end{pmatrix}$ .
8. Toma [determinantes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-det) en los dos miembros (el [determinante](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-det) de un producto es el producto de los [determinantes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-det) ; compruébalo con matrices $2 \times 2$ si nunca lo has visto): deduce la *identidad de Cassini* $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ , el motor del cuadrado que se desvanece, demostrada en una línea.
9. A partir de $F^{m+n} = F^m F^n$, lee los coeficientes superiores derechos y deduce la *fórmula de adición* $$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$$ Compruébala para $m = n = 3$.
10. Deduce de la fórmula de adición (por inducción sobre $k$ ) que $F_n$ [divide](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/29-aritmetica#def-g12-arith-divides) a $F_{kn}$ , y verifícalo en $F_3 \mid F_6$ y $F_3 \mid F_9$ .
11. Para calcular $F_{100}$ no hace falta multiplicar $100$ matrices: basta elevar al cuadrado repetidamente ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) y combinar. ¿Cuántos productos de matrices bastan y de qué antiguo truco de multiplicación del volumen anterior se trata, ascendido a las matrices?

**Parte III — La máquina del tiempo atmosférico.** En cierta ciudad, tras un día soleado el siguiente es soleado con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.8$; y tras un día de lluvia, es soleado con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.4$. Codificamos la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-rv) del día como una columna $\binom{p_{\text{sol}}}{p_{\text{lluvia}}}$ y la evolución mediante

$$
M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.
$$

12. Comprueba que cada columna de $M$ suma $1$ y explica por qué toda máquina del tiempo tiene que cumplir esa propiedad.
13. Hoy hace sol. Calcula la previsión para mañana y para pasado mañana.
14. Halla el *estado estacionario* : la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-rv) $v$ con $Mv = v$ (y con coeficientes que sumen $1$ ). ¿Qué proporción de días es soleada a largo plazo?
15. Parte de un día de lluvia, $\binom01$ , y aplica $M$ cuatro veces, siguiendo en cada paso la distancia al estado estacionario. ¿Por qué factor se encoge la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) en cada paso y de qué tipo de convergencia se trata?
16. PageRank en miniatura: tres páginas, con enlaces $A \to B$ , $A \to C$ , $B \to C$ y $C \to A$ . Un navegante aleatorio sigue un enlace saliente elegido al azar de manera uniforme. Escribe la [matriz](#def-g12-matrix-matrix) de transición, halla el estado estacionario y ordena las páginas.
17. Interpreta la clasificación: ¿por qué puntúa $C$ tan alto como $A$ pese a recibir enlaces de menos páginas? ¿Qué mide realmente el estado estacionario? (El PageRank de verdad añade un factor de amortiguación para los callejones sin salida y los saltos; la idea del [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) propio es exactamente esta.)

**Parte IV — Los dividendos de la diagonal.**

18. Dos cantidades acopladas obedecen a $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ y $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ , es decir, a la [matriz](#def-g12-matrix-matrix) $A$ del [Ejercicio 30.8](#exo-g12-matrix-8) . Usando la diagonalización de ese ejercicio ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ ), da la fórmula cerrada de $u_n$ cuando $u_0 = 1$ y $v_0 = 0$ , y contrástala con el cálculo directo para $n = 1, 2, 3$ .
19. En una o dos frases: ¿qué le *hace* la diagonalización a un sistema acoplado? ¿Y en qué sentido el estado estacionario de Markov de la pregunta 14 es también una historia de [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) propios?
20. Final: las tres caras de la [matriz](#def-g12-matrix-matrix) este fin de semana: la contabilidad (sistemas e inversas), la combinatoria (caminos y enlaces contados por las potencias) y la evolución (Fibonacci, el tiempo, la web: futuros que se leen en las direcciones propias). Una frase para cada una, más la mirada hacia delante: el álgebra lineal de los volúmenes universitarios convierte cada una de esas caras en una teoría.

**Solución de Problema 30.1.**

**1.** $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ y $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$: el producto de matrices no es conmutativo; $B$ intercambia columnas por la derecha y filas por la izquierda.

**2.** [Determinante](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-det) $6 - 5 = 1$: la inversa es $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$. Aplicándola a $\binom{4}{7}$: $x = 12 - 7 = 5$ e $y = -20 + 14 = -6$.

**3.** $N^2 = 0$. Entonces $(I + N)^n = I + nN$ por inducción: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$.

**4.** $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0
\end{pmatrix}$, y $A^3$ tiene coeficientes diagonales iguales a $2$: desde cada vértice hay exactamente dos caminos cerrados de longitud $3$ (el triángulo [recorrido](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva#def-g10-stats-quartiles) en un sentido o en el otro); el teorema del recuento en acción.

**5.** $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n}
\end{pmatrix}$: una dirección estalla y la otra se apaga; los destinos diagonales son sucesiones geométricas independientes.

**6.** $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$: Fibonacci por todas partes; la conjetura es la del enunciado.

**7.** Si $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &
F_{n-1}\end{pmatrix}$, entonces

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix} :
$$

la herencia; y el caso base $n = 1$ es la propia $F$, con el convenio $F_0 = 0$ (que prolonga la recurrencia hacia atrás).

**8.** $\det F = -1$, luego $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$; y directamente $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$: Cassini, en una línea. (La regla del producto para [determinantes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-det) $2 \times 2$ es un desarrollo agradable de cinco minutos.)

**9.** Coeficiente superior derecho de $F^m F^n$: $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$; coeficiente superior derecho de $F^{m+n}$: $F_{m+n}$. Para $m = n = 3$: $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$.

**10.** Para $k = 1$ es trivial. Si $F_n \mid F_{kn}$, la fórmula de adición con $m = kn$ da $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$: los dos términos son múltiplos de $F_n$. Así que $F_n \mid F_{kn}$ para todo $k$: comprueba que $F_3 = 2$ [divide](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/29-aritmetica#def-g12-arith-divides) a $F_6 = 8$ y a $F_9 = 34$.

**11.** $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$: siete elevaciones al cuadrado ($F^2, F^4, \dots, F^{64}$) más dos combinaciones; nueve productos en lugar de noventa y nueve. Es el truco de la tabla de duplicaciones de los escribas egipcios, elevado de los números a las matrices: escribe $100$ en binario y multiplica las duplicaciones que necesites.

**12.** $0.8 + 0.2 = 1$ y $0.4 + 0.6 = 1$: mañana tendrá que hacer *algún* tiempo; cada columna es una [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-rv) de [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) completa, así que las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) se conservan.

**13.** Mañana: $\binom{0.8}{0.2}$. Pasado mañana: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$.

**14.** $Mv = v$ con $v = \binom{s}{r}$ y $s + r = 1$: $0.8s + 0.4r = s$ da $0.4r = 0.2s$, luego $s = 2r$ y $v = \binom{2/3}{1/3}$. A largo plazo, dos de cada tres días son soleados, haga hoy el tiempo que haga.

**15.** Partiendo de $\binom01$: las componentes de sol son $0.4$, $0.56$, $0.624$ y $0.6496$; las [diferencias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) con $\frac23$ son $0.267$, $0.107$, $0.043$ y $0.017$: cada paso multiplica la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) por exactamente $0.4$ (el segundo valor propio de la máquina): convergencia geométrica hacia el estado estacionario.

**16.** Columnas (desde $A$, $B$ y $C$): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\
\frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$. Estado estacionario: $v_A = v_C$, $v_B = \frac{v_A}{2}$ y $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$; imponiendo que sumen $1$: $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$. Clasificación: $A$ y $C$ empatan en el primer puesto y $B$ queda última.

**17.** $C$ recibe *todo* el tráfico de $B$ y la mitad del de $A$, y lo devuelve entero a $A$: el estado estacionario mide dónde *pasa el tiempo* el navegante, no cuántos enlaces apuntan hacia una página; un enlace desde una página popular pesa más que varios desde páginas desiertas. Esa ponderación recursiva es exactamente la idea fundacional de Google; la amortiguación se encarga de las trampas y de los callejones sin salida.

**18.** $A^n = P D^n P^{-1}$ da $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ (y $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$). Comprobación: $u_1 = 3$, $u_2 = 10$ y $u_3 = 36$; y directamente: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to (36, 28)$: coincide.

**19.** La diagonalización cambia a unas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) en las que el sistema acoplado se deshace en sucesiones geométricas independientes: cada valor propio corre su propia carrera. El estado estacionario de Markov es el [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) propio de valor propio $1$, y la velocidad de convergencia de la pregunta 15 es el valor propio siguiente: la máquina del tiempo era, desde el principio, una historia de valores propios.

**20.** Contabilidad: un sistema es una sola [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) matricial, que se resuelve con una sola inversa. Combinatoria: las potencias de la [matriz de adyacencia](#def-g12-matrix-graph) cuentan caminos, enlaces y conexiones. Evolución: las potencias de la máquina llevan los estados hasta sus destinos, y las direcciones propias (la dirección áurea de Fibonacci, el estado estacionario del tiempo, el [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) de clasificación de la web) son esos destinos. El álgebra lineal, en los volúmenes universitarios, es la ciencia de exactamente esto.