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title: "Vectores, rectas y planos en el espacio"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 31
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/31-vectores-rectas-y-planos-en-el-espacio
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# Capítulo 31 — Vectores, rectas y planos en el espacio

La geometría del espacio se vuelve calculable en cuanto disponemos de [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) y [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): las rectas reciben representaciones paramétricas, los planos reciben ecuaciones cartesianas y el [producto escalar](#def-g12-space-dot) mide ángulos y distancias. Este capítulo construye esa caja de herramientas y la usa para resolver los problemas clásicos de [intersección](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) y de distancia.

## 31.1 Vectores en el espacio

Los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) del espacio obedecen a las mismas reglas que los del plano: se suman, se multiplican por un número y $\vect{AB} = \vect{CD}$ exactamente cuando $ABDC$ es un paralelogramo. En un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(O; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$, todo [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(x, y, z)$.

**Definición 31.1 (Vectores colineales y coplanarios).**

Dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) son *colineales* si uno es múltiplo del otro. Tres [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vec u, \vec v, \vec w$ son *coplanarios* si uno de ellos se puede escribir como combinación de los otros dos, digamos $\vec w = a\vec u + b\vec v$.

**Proposición 31.2.**

Si $\vec u, \vec v, \vec w$ no son [coplanarios](#def-g12-space-collinear), todo [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) del espacio se descompone de manera única como $x\vec u + y\vec v + z\vec w$.

**Idea de la demostración.** Por el [extremo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum) del [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) que queremos descomponer, trazamos la recta paralela a $\vec w$; corta al plano de $\vec u$ y $\vec v$ en un único punto, que separa el [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) en una componente contenida en ese plano (escrita de manera única como $x\vec u + y\vec v$, por geometría plana) y una componente en la dirección de $\vec w$. Unicidad: la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) de dos descomposiciones expresaría uno de los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) de los otros dos, en contra de que no sean [coplanarios](#def-g12-space-collinear). ∎

## 31.2 Rectas y planos

**Definición 31.3 (Representación paramétrica de una recta).**

La recta que pasa por $A(x_A, y_A, z_A)$ con [vector director](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction) $\vec u (a, b, c) \neq \vec 0$ es el conjunto de los puntos

$$
M(x_A + ta,\; y_A + tb,\; z_A + tc), \qquad t \in \R .
$$

**Definición 31.4 (Plano).**

El plano que pasa por $A$ y está dirigido por dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) no [colineales](#def-g12-space-collinear) $\vec u, \vec v$ es el conjunto de los puntos $M$ con $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$, con $(s, t) \in \R^2$.

![A la izquierda: la recta que pasa por A con dirección u, graduada por el parámetro t. A la derecha: el plano que pasa por A dirigido por u y v; todo punto M del plano se alcanza como AM = s u + t v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-fe0897e01060.svg)

![A la izquierda: la recta que pasa por A con dirección u, graduada por el parámetro t. A la derecha: el plano que pasa por A dirigido por u y v; todo punto M del plano se alcanza como AM = s u + t v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-7463ec207c91.svg)

*A la izquierda: la recta que pasa por $A$ con dirección $\vec u$, graduada por el parámetro $t$. A la derecha: el plano que pasa por $A$ dirigido por $\vec u$ y $\vec v$; todo punto $M$ del plano se alcanza como $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$.*

**Proposición 31.5 (Posiciones relativas).**

Dos planos distintos o son paralelos o se cortan en una recta. Una recta y un plano o son paralelos (posiblemente con la recta contenida en el plano) o se cortan en un único punto. Dos rectas del espacio pueden cortarse, ser estrictamente paralelas, ser la misma o *cruzarse* (sin ser coplanarias).

**Esquema.** Son enunciados de incidencia; cada análisis de casos se reduce, en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), a resolver un [sistema lineal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/7-ecuaciones-de-rectas-y-sistemas-lineales#def-g10-lines-system) y a contar sus soluciones; véase el [Método 31.10](#met-g12-space-intersections). ∎

## 31.3 Producto escalar

**Definición 31.6 (Producto escalar).**

El *producto escalar* de $\vec u$ y $\vec v$ es

$$
\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2
- \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),
$$

donde $\norm{\vec u}$ es la longitud de $\vec u$. Si los dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) son no nulos, $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo que forman; y en un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) *[ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)*,

$$
\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .
$$

Dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) son *[ortogonales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-orthogonal)* si su producto escalar es $0$.

**Proposición 31.7 (Propiedades).**

El [producto escalar](#def-g12-space-dot) es simétrico ($\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$), bilineal ($(a\vec u + b\vec v)\cdot \vec w = a\,\vec u\cdot\vec w +
b\,\vec v\cdot \vec w$) y cumple $\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2 \geq 0$.

**Demostración.** En un [sistema ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), las tres propiedades son inmediatas sobre la fórmula $xx' + yy' + zz'$, que a su vez se sigue de la fórmula que define el [producto escalar](#def-g12-space-dot) y del cálculo pitagórico de las longitudes: $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 + z^2$. ∎

**Definición 31.8 (Vector normal).**

Un *vector normal* de un plano $\mathcal P$ es un [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) no nulo ortogonal a todos los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) contenidos en $\mathcal P$ (basta con que sea ortogonal a dos direcciones no [colineales](#def-g12-space-collinear) de $\mathcal P$).

![Un vector normal n del plano P es ortogonal a todas las direcciones de P. El punto H, pie de la perpendicular trazada desde M_0, realiza la distancia de M_0 al plano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-space/fig-c59e2488424e.svg)

*Un [vector normal](#def-g12-space-normal) $\vec n$ del plano $\mathcal P$ es ortogonal a todas las direcciones de $\mathcal P$. El punto $H$, pie de la perpendicular trazada desde $M_0$, realiza la distancia de $M_0$ al plano.*

**Teorema 31.9 (Ecuación cartesiana de un plano).**

En un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), el plano que pasa por $A$ con [vector normal](#def-g12-space-normal) $\vec n(a, b, c)$ tiene por [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation)

$$
a x + b y + c z + d = 0,
$$

donde $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$. Recíprocamente, toda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de esa forma con $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ define un plano de [vector normal](#def-g12-space-normal) $(a, b, c)$.

**Demostración.** $M \in \mathcal P \iff \vect{AM} \perp \vec n \iff
a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, que desarrollado da la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation). Recíprocamente, tomamos un punto solución cualquiera $A$ de la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation); el mismo cálculo al revés muestra que el conjunto de soluciones es $\{M : \vect{AM}\cdot\vec n = 0\}$, el plano que pasa por $A$ y es normal a $\vec n$. ∎

**Método 31.10 (Intersecciones en la práctica).**

- *Recta $\cap$ plano* : sustituye las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) paramétricas de la recta en la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) del plano y despeja $t$ (una solución: un punto; $0 =$ algo no nulo: son paralelos; $0 = 0$ : la recta está contenida en el plano).
- *Plano $\cap$ plano* : resuelve el sistema de las dos ecuaciones parametrizando por una coordenada libre; la solución es una recta (o bien los planos son paralelos, cuando los [vectores normales](#def-g12-space-normal) son [colineales](#def-g12-space-collinear) ).
- *Comprobaciones de ortogonalidad* : una recta es perpendicular a un plano si y solo si su dirección es colineal con el [vector normal](#def-g12-space-normal) ; y dos planos son perpendiculares si y solo si sus [vectores normales](#def-g12-space-normal) son [ortogonales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-orthogonal) .

**Proposición 31.11 (Distancia de un punto a un plano).**

En un [sistema ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), la distancia de $M_0(x_0, y_0, z_0)$ al plano $\mathcal P : ax + by + cz + d = 0$ es

$$
\operatorname{dist}(M_0, \mathcal P)
= \frac{\abs{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
$$

**Demostración.** Sea $H$ la proyección ortogonal de $M_0$ sobre $\mathcal P$: el pie de la perpendicular, de modo que $\vect{HM_0}$ es colineal con el [vector normal](#def-g12-space-normal) unitario $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ y la distancia vale $\abs{\vect{HM_0}\cdot \frac{\vec n}{\norm{\vec n}}}$. Para cualquier $H \in \mathcal P$, $\vect{HM_0}\cdot\vec n = ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax_H + by_H + cz_H)
= ax_0 + by_0 + cz_0 + d$ (usando la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) en $H$), de donde sale la fórmula tras dividir entre $\norm{\vec n} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$. ∎

**Ejemplo 31.12.**

Distancia del origen al plano $x + 2y + 2z - 6 = 0$: $\frac{\abs{-6}}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac63 = 2$.

## 31.4 Ejercicios

En todos los ejercicios, el [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) es [ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system).

**Ejercicio 31.1 ★.**

Sean $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 1)$ y $C(2, -1, 3)$. ¿Están alineados los puntos $A$, $B$ y $C$? Da una representación paramétrica de la recta $(AB)$.

**Solución de Ejercicio 31.1.**

$\vect{AB}(2, 1, -1)$ y $\vect{AC}(1, -1, 1)$ no son proporcionales ($\frac21 \neq \frac{1}{-1}$), así que los puntos no están alineados. Recta $(AB)$:

$$
(x, y, z) = (1 + 2t,\; t,\; 2 - t), \qquad t \in \R .
$$

**Ejercicio 31.2 ★.**

Determina una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) cartesiana del plano que pasa por $A(1, 1, 0)$ con [vector normal](#def-g12-space-normal) $\vec n(2, -1, 3)$. ¿Pertenece a él el punto $B(0, 2, 1)$?

**Solución de Ejercicio 31.2.**

$2(x - 1) - (y - 1) + 3(z - 0) = 0$, es decir,

$$
2x - y + 3z - 1 = 0 .
$$

Para $B(0,2,1)$: $0 - 2 + 3 - 1 = 0$: sí, $B$ está en el plano.

**Ejercicio 31.3 ★.**

Calcula el ángulo en $A$ (redondeado al grado) del triángulo de vértices $A(0,0,0)$, $B(1, 1, 0)$ y $C(1, 0, 1)$.

**Solución de Ejercicio 31.3.**

$\vect{AB}(1,1,0)$ y $\vect{AC}(1,0,1)$:

$$
\cos\widehat{A}
= \frac{\vect{AB}\cdot\vect{AC}}{\norm{\vect{AB}}\,\norm{\vect{AC}}}
= \frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2} = \frac12,
$$

luego $\widehat A = 60^\circ$.

**Ejercicio 31.4 ★★.**

Considera la recta $\mathcal D$ que pasa por $A(1, 2, 0)$ con dirección $\vec u(1, -1, 2)$, y el plano $\mathcal P : 2x + y - z + 1 = 0$. Determina $\mathcal D \cap \mathcal P$.

**Solución de Ejercicio 31.4.**

Puntos de $\mathcal D$: $(1 + t,\, 2 - t,\, 2t)$. Sustituyendo en la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de $\mathcal P$:

$$
2(1+t) + (2 - t) - 2t + 1 = 5 - t = 0 \iff t = 5 .
$$

Punto de [intersección](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) único: $(6, -3, 10)$.

**Ejercicio 31.5 ★★.**

Sean $\mathcal P : x - y + 2z = 1$ y $\mathcal Q : 2x + y + z = 4$. Demuestra que $\mathcal P$ y $\mathcal Q$ se cortan en una recta y da una representación paramétrica de esa recta.

**Solución de Ejercicio 31.5.**

Los [vectores normales](#def-g12-space-normal) $(1, -1, 2)$ y $(2, 1, 1)$ no son [colineales](#def-g12-space-collinear), así que los planos se cortan en una recta. Sumando las dos ecuaciones: $3x + 3z = 5$, luego $x = \frac53 - z$; y entonces la primera [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) da $y = x + 2z - 1 = \frac23 + z$. Con $z = t$:

$$
(x, y, z) = \left(\frac53 - t,\; \frac23 + t,\; t\right), \qquad t \in \R,
$$

una recta de [vector director](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-direction) $(-1, 1, 1)$. (Las dos ecuaciones se cumplen idénticamente.)

**Ejercicio 31.6 ★★.**

Demuestra que las rectas

$$
\mathcal D_1 : (x, y, z) = (1 + t,\; 2t,\; 3 - t), \qquad
\mathcal D_2 : (x, y, z) = (2 + s,\; 1 + s,\; 1 + 2s)
$$

se cruzan (no son coplanarias).

**Solución de Ejercicio 31.6.**

Las direcciones $\vec u_1(1, 2, -1)$ y $\vec u_2(1, 1, 2)$ no son [colineales](#def-g12-space-collinear), así que las rectas no son paralelas. Que se cortaran exigiría

$$
1 + t = 2 + s, \qquad 2t = 1 + s, \qquad 3 - t = 1 + 2s .
$$

Las dos primeras dan $t = 1 + s$ y $2(1+s) = 1 + s$, luego $s = -1$ y $t = 0$; pero entonces la tercera dice $3 = -1$, absurdo. Sin punto común y sin ser paralelas: las rectas se cruzan.

**Ejercicio 31.7 ★★.**

Sea $\mathcal P : 2x - y + 2z - 3 = 0$.

1. Calcula la distancia de $M_0(3, 1, 1)$ a $\mathcal P$ .
2. Determina las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de la proyección ortogonal $H$ de $M_0$ sobre $\mathcal P$ y comprueba la distancia $M_0H$ .

**Solución de Ejercicio 31.7.**

*1.* $\operatorname{dist} = \dfrac{\abs{2\cdot3 - 1 + 2\cdot1 - 3}}
{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}$.

*2.* $H = M_0 + t\,\vec n$ con $\vec n(2, -1, 2)$, eligiendo $t$ de modo que $H \in \mathcal P$:

$$
2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(1 + 2t) - 3 = 4 + 9t = 0 \iff t = -\frac49 .
$$

Por tanto, $H\left(\frac{19}{9}, \frac{13}{9}, \frac19\right)$, y

$$
M_0H = \norm{t\,\vec n} = \frac49 \times 3 = \frac43,
$$

que coincide con la fórmula de la distancia.

**Ejercicio 31.8 ★★★.**

El cubo $ABCDEFGH$ tiene lado $1$; elige [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de modo que $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$ (con $C = B + D$, $F = B + E$, $G = B + D + E$ y $H = D + E$ como [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) desde $A$).

1. Demuestra que la diagonal $(AG)$ es ortogonal al plano $(BDE)$ .
2. Calcula la distancia de $A$ al plano $(BDE)$ y el punto por el que $(AG)$ lo atraviesa.

**Solución de Ejercicio 31.8.**

[Coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system): $G(1,1,1)$, y el plano $(BDE)$ pasa por $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$ y $E(0,0,1)$.

*1.* El plano $(BDE)$ tiene [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x + y + z = 1$ (la cumplen los tres puntos, que además no están alineados), así que $\vec n(1,1,1)$ es normal a él. Como $\vect{AG} = (1,1,1) = \vec n$, la diagonal $(AG)$ es ortogonal al plano $(BDE)$.

*2.* Distancia desde $A(0,0,0)$: $\frac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$. La recta $(AG)$ es $(t, t, t)$; corta al plano cuando $3t = 1$: en el punto $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$, el baricentro del triángulo $BDE$.

**Ejercicio 31.9 ★★★.**

*(Volumen de un tetraedro.)* Sean $A(1,1,1)$, $B(2,1,0)$, $C(0,2,1)$ y $D(2,2,2)$.

1. Comprueba que $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ y $\vect{AD}$ no son [coplanarios](#def-g12-space-collinear) (los puntos forman un tetraedro de verdad).
2. Halla un [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $\vec n$ ortogonal a la vez a $\vect{BC}$ y a $\vect{BD}$ , y deduce una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) cartesiana del plano $(BCD)$ .
3. Calcula la distancia de $A$ al plano $(BCD)$ y el área del triángulo $BCD$ , usando la fórmula $\text{Área} = \frac12\sqrt{\norm{\vec u}^2\norm{\vec v}^2 -  (\vec u \cdot \vec v)^2}$ para el triángulo generado por $\vec u$ y $\vec v$ .
4. Deduce el volumen del tetraedro ( $V = \frac13 \times \text{área de la base} \times  \text{altura}$ ).

**Solución de Ejercicio 31.9.**

*1.* $\vect{AB}(1, 0, -1)$, $\vect{AC}(-1, 1, 0)$ y $\vect{AD}(1, 1, 1)$. Si $\vect{AD} = a\vect{AB} + b\vect{AC}$, las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) dan $a - b = 1$, $b = 1$ y $-a = 1$: las dos primeras obligan a $a = 2$, en contradicción con $a = -1$. No son [coplanarios](#def-g12-space-collinear).

*2.* $\vect{BC}(-2, 1, 1)$ y $\vect{BD}(0, 1, 2)$. Resolviendo $\vec n \cdot \vect{BC} = \vec n \cdot \vect{BD} = 0$: de $b + 2c = 0$ sale $b = -2c$; y entonces $-2a - 2c + c = 0$ da $c = -2a$. Con $a = 1$: $\vec n(1, 4, -2)$. Plano por $B(2,1,0)$:

$$
x + 4y - 2z - 6 = 0 .
$$

*3.* Distancia desde $A(1,1,1)$: $\dfrac{\abs{1 + 4 - 2 - 6}}{\sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{21}}$. Área de $BCD$: $\norm{\vect{BC}}^2 = 6$, $\norm{\vect{BD}}^2 = 5$ y $\vect{BC}\cdot\vect{BD} = 3$, luego

$$
\text{Área} = \frac12\sqrt{6 \times 5 - 9} = \frac{\sqrt{21}}{2}.
$$

*4.*

$$
V = \frac13 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{3}{\sqrt{21}}
= \frac12 .
$$

## 31.5 Problema: Cortar el cubo en rodajas

**Problema 31.1.**

Problema de fin de semana — un plano corta un cubo formando un hexágono perfecto, un tetraedro regular se esconde en las esquinas y el ángulo de la diagonal da forma a todos los diamantes

Al cortar un cubo uno espera cuadrados y rectángulos; y, sin embargo, un corte famoso produce un *hexágono regular*, y cuatro cortes hábiles en las esquinas dejan atrás un *tetraedro regular*. Las dos sorpresas, y el ángulo de $109.5^\circ$ que veneran los átomos de carbono, caen ante la caja de herramientas de este capítulo: rectas paramétricas, ecuaciones de planos y [producto escalar](#def-g12-space-dot) ([Teorema 31.9](#thm-g12-space-planeeq), [Proposición 31.11](#prop-g12-space-distance)). Usa en todo momento el cubo del [Ejercicio 31.8](#exo-g12-space-8): lado $1$, $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $C(1,1,0)$, $F(1,0,1)$, $H(0,1,1)$, $G(1,1,1)$.

**Parte I — Soltura.**

1. Escribe la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) del plano que pasa por $B(1,0,0)$ con [vector normal](#def-g12-space-normal) $(1,1,1)$ , una representación paramétrica de la recta que pasa por $A$ dirigida por $(1,1,1)$ y su punto de [intersección](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) .
2. Calcula la distancia de $A$ a ese plano ( [Proposición 31.11](#prop-g12-space-distance) ).
3. ¿Son [ortogonales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-orthogonal) los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) $(1,-1,0)$ y $(1,1,-2)$ ?
4. ¿Posición relativa de los planos $x + y + z = 1$ y $2x + 2y + 2z = 5$ ? ¿Y de la recta que pasa por $A$ dirigida por $(1,1,0)$ respecto del primer plano?
5. Enumera los [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de las seis aristas $[BC], [CD], [DH], [HE], [EF], [FB]$ del cubo y comprueba que los seis cumplen la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x + y + z = \frac32$ .

**Parte II — La sección hexagonal.** Sea $P$ el plano $x + y + z = \frac32$.

6. Demuestra que $P$ es perpendicular a la diagonal grande $(AG)$ y pasa por el centro del cubo.
7. Calcula las distancias entre [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) consecutivos de la pregunta 5 al recorrer la sección: ¿qué encuentras?
8. Calcula el ángulo del polígono de la sección en uno de sus vértices (dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) de aristas consecutivas y un [producto escalar](#def-g12-space-dot) ). Concluye: la sección es un *hexágono regular* .
9. Calcula el perímetro y el área del hexágono, y compara el área con la de una cara del cubo. (Para que conste: la mayor sección plana del cubo unidad es el rectángulo diagonal $1 \times \sqrt2$ , de área $\sqrt2$ ; el hexágono regular se lleva la plata.)
10. ¿Por dónde atraviesa la diagonal $(AG)$ al plano $P$ ? Comprueba que el punto de paso es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AG]$ .
11. Desliza el corte: describe las secciones $x + y + z = c$ a medida que $c$ crece de $0$ a $3$ ; calcula la sección para $c = \frac12$ (¿qué polígono?, ¿de qué tamaño?) y narra la metamorfosis que pasa por tu hexágono en $c = \frac32$ .
12. ¿Por qué ningún plano puede cortar un cubo en un polígono de *siete* lados? (¿Dónde tiene que estar cada lado de la sección?)

**Parte III — El tetraedro escondido.**

13. Calcula el volumen del tetraedro de esquina $ABDE$ (base, altura y la fórmula del tercio que el volumen anterior admitió sin demostrar; el [Ejercicio 31.9](#exo-g12-space-9) calcula volúmenes así en general).
14. Los cuatro vértices $B$ , $D$ , $E$ , $G$ : calcula las seis distancias dos a dos y concluye que $BDEG$ es un tetraedro *regular* . Obtén después su volumen restando al cubo los tetraedros de las esquinas.
15. Calcula la distancia del centro del cubo al plano $(BDE)$ .
16. El ángulo del diamante: calcula el ángulo que forman las diagonales $\vect{AG}$ y $\vect{BH}$ del cubo. Su suplementario, de unos $109.5^\circ$ , es el ángulo entre enlaces en el diamante y en el metano; ¿por qué eligen cuatro pares de electrones alrededor de un átomo de carbono los vértices del tetraedro de la pregunta 14?

**Parte IV — Genuinamente tridimensional.**

17. Halla por dónde atraviesa la recta que pasa por $B(1,0,0)$ dirigida por $(0,1,1)$ el plano $P$ del hexágono.
18. Demuestra que las rectas $(AB)$ y $(EG)$ ni se cortan ni son paralelas: *se cruzan* , el fenómeno que no puede ocurrir en un plano.
19. Calcula la proyección ortogonal de $B$ sobre $P$ (camina desde $B$ siguiendo la normal hasta llegar al plano) y comprueba que tu punto cumple la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de $P$ .
20. Final: el equipo del topógrafo del espacio: rectas paramétricas para atravesar, [vectores normales](#def-g12-space-normal) para ángulos y distancias y ecuaciones de planos para las secciones; y el cubo como terreno de juego donde produjeron un hexágono, un tetraedro regular, el ángulo del diamante y un par de rectas que se cruzan. Una frase para cada cosa.

**Solución de Problema 31.1.**

**1.** Plano: $x + y + z = 1$. Recta: $(t, t, t)$. [Intersección](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion): $3t = 1$: $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$.

**2.** $\dfrac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} =
\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}$.

**3.** $1 - 1 + 0 = 0$: sí, son [ortogonales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-orthogonal).

**4.** Mismo [vector normal](#def-g12-space-normal) $(1,1,1)$, pero $\frac52 \neq 1$: planos estrictamente paralelos. La recta: $(1,1,0) \cdot (1,1,1) = 2 \neq 0$: no es paralela al plano, así que lo atraviesa en un punto.

**5.** [Puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint): $\left(1, \frac12, 0\right)$, $\left(\frac12, 1, 0\right)$, $\left(0, 1, \frac12\right)$, $\left(0, \frac12, 1\right)$, $\left(\frac12, 0, 1\right)$ y $\left(1, 0, \frac12\right)$: en todos, la suma de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) vale $\frac32$.

**6.** El [vector normal](#def-g12-space-normal) de $P$ es $(1,1,1)$, la dirección de $(AG)$: perpendicular. El centro $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$ tiene suma de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $\frac32$: está en $P$.

**7.** Los [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) consecutivos se diferencian en [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) como $\left(-\frac12, \frac12, 0\right)$: longitud $\frac{\sqrt2}{2}$ cada vez; seis lados iguales.

**8.** En $\left(\frac12, 1, 0\right)$: [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/15-vectores-y-rectas-en-el-plano#def-g11-vect-vector) de arista $\left(\frac12, -\frac12, 0\right)$ y $\left(-\frac12, 0, \frac12\right)$: [producto escalar](#def-g12-space-dot) $-\frac14$ y [normas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-dot) $\frac{\sqrt2}{2}$: $\cos = -\frac12$: ángulo de $120^\circ$. Lados iguales y ángulos iguales de $120^\circ$: un hexágono regular.

**9.** Perímetro $6 \times \frac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4.24$. Área $6 \times \frac{\sqrt3}{4} \times \frac12 = \frac{3\sqrt3}{4}
\approx 1.30$: mayor que una cara (de área $1$); una rodaja más grande que cualquier lado de la caja, y solo el rectángulo diagonal ($\sqrt2 \approx 1.41$) la supera.

**10.** $(t,t,t)$ corta a $P$ en $t = \frac12$: el centro, que es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AG]$ ($A$ en $t = 0$ y $G$ en $t = 1$).

**11.** Para $c = \frac12$: el plano corta las tres aristas de la esquina de $A$ en $\left(\frac12,0,0\right)$, $\left(0,\frac12,0\right)$ y $\left(0,0,\frac12\right)$: un triángulo equilátero de lado $\frac{\sqrt2}{2}$. A medida que $c$ crece, el triángulo crece, sus esquinas se van truncando hasta formar un hexágono (regular exactamente en $c = \frac32$) y después la figura se encoge simétricamente hasta volver a ser un triángulo en la esquina de $G$: la metamorfosis del corte de un cristal.

**12.** Cada lado de la sección es la [intersección](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interunion) del plano de corte con una *cara* del cubo, y un plano corta a una cara (un polígono plano) a lo sumo en un segmento: como mucho, $6$ lados. Siete es imposible; de tres a seis se dan todos (las preguntas 8 y 11 muestran dos de esos casos).

**13.** Base $ABD$: triángulo rectángulo de área $\frac12$; altura $AE = 1$: volumen $\frac13 \times \frac12 \times 1 = \frac16$.

**14.** Cada pareja de entre $B, D, E, G$ se [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) exactamente en dos [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), y en $1$ cada una: las seis distancias valen $\sqrt2$; regular. El cubo se descompone en $BDEG$ más cuatro tetraedros de esquina congruentes con $ABDE$: volumen $1 - 4 \times \frac16 = \frac13$.

**15.** Plano $(BDE)$: $x + y + z = 1$; centro $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$: distancia $\frac{\abs{\frac32 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{2\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{6}$.

**16.** $\vect{AG} = (1,1,1)$ y $\vect{BH} = (-1,1,1)$: $\cos\theta = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac13$: $\theta \approx 70.5^\circ$, con suplementario $\approx 109.5^\circ$. Cuatro pares de electrones se repelen entre sí y se separan todo lo posible alrededor del carbono: el óptimo son los vértices del tetraedro regular, cuyas direcciones centro-vértice se cortan exactamente con ese ángulo; el diamante es la pregunta 14 cristalizada.

**17.** $(1, t, t)$ en $P$: $1 + 2t = \frac32$: $t = \frac14$: el punto $\left(1, \frac14, \frac14\right)$.

**18.** $(AB)$: puntos $(t, 0, 0)$; $(EG)$: puntos $(s, s, 1)$. Que se cortaran exigiría $0 = 1$ en la tercera coordenada: nunca. Que fueran paralelas exigiría que $(1,0,0)$ y $(1,1,0)$ fueran [colineales](#def-g12-space-collinear): tampoco. Ni se cortan ni son paralelas: se cruzan; dos pasillos en plantas distintas.

**19.** $B + t(1,1,1) = (1 + t, t, t)$ en $P$: $1 + 3t = \frac32$: $t = \frac16$: proyección $\left(\frac76, \frac16, \frac16\right)$, cuya suma de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) es $\frac32$: está en $P$, como debía ser.

**20.** Las rectas paramétricas atraviesan (preguntas 1, 10 y 17); los [vectores normales](#def-g12-space-normal) miden ángulos y distancias (preguntas 2, 8, 15 y 16); las ecuaciones de planos tallan secciones (la metamorfosis del triángulo al hexágono). Y el terreno de juego pagó con creces la visita: un hexágono regular en una caja de cuadrados, un tetraedro regular en las esquinas, el ángulo del diamante y dos rectas que se ignoran; geometría que solo el espacio puede ofrecer.