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title: "Variables aleatorias y distribución binomial"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial
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# Capítulo 33 — Variables aleatorias y distribución binomial

Una [variable aleatoria](#def-g12-randvar-rv) asocia un número a cada resultado de un experimento: una ganancia, un recuento, una duración. Su [esperanza](#def-g12-randvar-exp) es el promedio a largo plazo de los valores que produce, y su [varianza](#def-g12-randvar-exp) mide su dispersión. La estrella de este capítulo es la [distribución binomial](#def-g12-randvar-binomial), que cuenta los éxitos en repeticiones [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep). Las [variables aleatorias](#def-g12-randvar-rv) y la [distribución binomial](#def-g12-randvar-binomial) aparecieron por primera vez en los Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#ch-g11-prob) y [19](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/19-la-distribucion-binomial#ch-g11-binom); este capítulo las repasa y las profundiza, ahora que disponemos de las herramientas combinatorias del [Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/27-combinatoria-y-conteo#ch-g12-comb).

## 33.1 Variables aleatorias discretas

**Definición 33.1 (Variable aleatoria, distribución).**

Una *variable aleatoria* sobre un [espacio muestral](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-model) finito $\Omega$ es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/11-funciones-y-variacion#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$. Su *distribución* (o ley) es el dato de sus valores posibles $x_1, \dots, x_k$ y de las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution)

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

**Definición 33.2 (Esperanza, varianza, desviación típica).**

La *esperanza* de $X$ es

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

y su *varianza* y su *[desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance)* son

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposición 33.3 (Fórmula de König–Huygens).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$.

**Demostración.** Escribimos $m = \E(X)$ y desarrollamos:

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**Proposición 33.4 (Transformación afín).**

Para $a, b \in \R$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**Demostración.** La primera es una reordenación de la suma que define la [esperanza](#def-g12-randvar-exp). Para la segunda, $aX + b$ se desvía de su [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) en $a(X - \E(X))$, y elevar al cuadrado multiplica por $a^2$. ∎

**Ejemplo 33.5 (Juegos equitativos).**

Un juego cuesta $2$ euros; se lanza un dado y el jugador recibe el valor que salga si es al menos $5$, y nada en caso contrario. La ganancia $G$ toma los valores $-2$ (con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac46$), $3$ ($\frac16$) y $4$ ($\frac16$):

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

En promedio, el jugador pierde $17$ céntimos por partida: el juego es desfavorable (como lo son casi todos los juegos reales).

## 33.2 Pruebas de Bernoulli y distribución binomial

**Definición 33.6 (Distribución de Bernoulli).**

Una *prueba de Bernoulli* es un experimento con dos resultados: *éxito* (con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $p$) y *fracaso* ($q = 1 - p$). El indicador $X$ del éxito ($X = 1$ si hay éxito y $0$ si hay fracaso) sigue la *[distribución](#def-g12-randvar-rv) de Bernoulli* $\mathcal B(p)$:

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(En efecto, $\E(X) = p$ y $\E(X^2) = p$, y König–Huygens da $\V(X) = p - p^2$.)

**Definición 33.7 (Distribución binomial).**

Repetimos $n$ veces, de manera independiente, una [prueba de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli), y sea $X$ el número total de éxitos. La [distribución](#def-g12-randvar-rv) de $X$ es la *distribución binomial* $\mathcal B(n, p)$.

![Tres pruebas de Bernoulli (E: éxito, F: fracaso): exactamente 32 = 3 de los 23 caminos dan dos éxitos (en rojo), cada uno con probabilidad p2(1-p), así que (X = 2) = 3p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-28a8db19c4ae.svg)

*Tres [pruebas de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) (E: éxito, F: fracaso): exactamente $\binom{3}{2} = 3$ de los $2^3$ caminos dan dos éxitos (en rojo), cada uno con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$, así que $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$.*

**Teorema 33.8.**

Si $X \sim \mathcal B(n, p)$, entonces, para $0 \leq k \leq n$:

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

y

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**Demostración.** Una [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) concreta de resultados con $k$ éxitos y $n-k$ fracasos tiene [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $p^k(1-p)^{n-k}$ por [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep); y el número de tales sucesiones es el número de maneras de colocar los $k$ éxitos entre las $n$ pruebas, es decir, $\binom nk$ ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/27-combinatoria-y-conteo#ch-g12-comb)). Sumando sobre las sucesiones sale la fórmula, y el teorema del binomio confirma que $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$.

Para la [esperanza](#def-g12-randvar-exp), usando $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([Ejercicio 27.7](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/27-combinatoria-y-conteo#exo-g12-comb-7)):

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

La fórmula de la [varianza](#def-g12-randvar-exp) se demuestra igual con la identidad $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$, que da $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$, de donde $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$. (Una demostración estructural, la de la [varianza](#def-g12-randvar-exp) de una suma de variables [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep), llegará con el [Teorema 34.4](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/34-sumas-de-variables-aleatorias-y-la-ley-de-los-grandes-numeros#thm-g12-sums-variance).) ∎

![La distribución B(20, 0.3): media np = 6 y desviación típica √npq 2.05.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*La [distribución](#def-g12-randvar-rv) $\mathcal B(20, 0.3)$: [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) $np = 6$ y [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) $\sqrt{npq} \approx 2.05$.*

**Método 33.9 (Reconocer una situación binomial).**

Comprueba los tres ingredientes antes de escribir $X \sim \mathcal B(n,p)$: un *número fijo* $n$ de pruebas; *dos resultados* por prueba con la *misma* [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de éxito $p$; e *[independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)* de las pruebas (muestreo *con* reposición, o sobre una población grande). Usa después

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

para “al menos un éxito”, y una calculadora o tablas acumuladas para $\P(X \leq k)$ en general.

**Ejemplo 33.10.**

¿Cuántas veces hay que lanzar un dado para tener al menos un $99\,\%$ de [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de sacar un seis? Con $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$: $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ significa $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$, es decir, $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$: a partir de $n = 26$ lanzamientos.

## 33.3 Ejercicios

**Ejercicio 33.1 ★.**

Una [variable aleatoria](#def-g12-randvar-rv) $X$ toma los valores $-1, 0, 2, 5$ con [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$. Calcula $\E(X)$, $\V(X)$ y $\sigma(X)$.

**Solución de Ejercicio 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$. $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$, luego por König–Huygens $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ y $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$.

**Ejercicio 33.2 ★.**

Un examen tipo test tiene $10$ preguntas, cada una con $4$ opciones, de las que una es correcta. Un estudiante responde al azar de manera uniforme e independiente. Sea $X$ el número de respuestas correctas.

1. Da la [distribución](#def-g12-randvar-rv) de $X$ , $\E(X)$ y $\sigma(X)$ .
2. Calcula $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ y $\P(X \geq 1)$ .

**Solución de Ejercicio 33.2.**

*1.* Las $10$ preguntas son [pruebas de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) con $p = \frac14$: $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$, $\E(X) = 2.5$ y $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$.

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$;

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**Ejercicio 33.3 ★.**

Una compañía asegura a $n = 400$ clientes; cada uno presenta un parte durante el año con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $p = 0.05$, de manera independiente. Sea $X$ el número de partes. Identifica la [distribución](#def-g12-randvar-rv) de $X$ y calcula su [esperanza](#def-g12-randvar-exp) y su [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance).

**Solución de Ejercicio 33.3.**

Pruebas idénticas e [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$, luego $\E(X) = 20$ partes y

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**Ejercicio 33.4 ★★.**

En el juego del [Ejemplo 33.5](#ex-g12-randvar-game), el organizador quiere que el juego sea equitativo ($\E(G) = 0$) cambiando el precio de entrada $c$. Halla $c$. Calcula la [varianza](#def-g12-randvar-exp) de la ganancia en esa versión equitativa; ¿es lo mismo “equitativo” que “sin riesgo”?

**Solución de Ejercicio 33.4.**

El pago $P$ recibido cumple $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$, así que el precio equitativo es $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euros. La ganancia equitativa $G = P - \frac{11}6$ toma los valores $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ con [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac46, \frac16, \frac16$:

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

Un juego equitativo tiene ganancia *[media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean)* nula, pero sus resultados siguen fluctuando: equitativo no es lo mismo que sin riesgo.

**Ejercicio 33.5 ★★.**

Una jugadora de baloncesto encesta los tiros libres con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.7$. Lanza $8$ veces (tiros [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)). Calcula la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de que enceste: exactamente $6$; al menos $6$; al menos una vez. ¿Cuál es el número de canastas más probable?

**Solución de Ejercicio 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$.

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. Moda: $(n+1)p = 6.3$, así que el valor más probable es $k^* = 6$ ([Ejercicio 33.7](#exo-g12-randvar-7)).

**Ejercicio 33.6 ★★.**

Una aerolínea sabe que cada pasajero con reserva se presenta con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.9$, de manera independiente. Un vuelo tiene $100$ plazas y la aerolínea vende $104$ billetes. Expresa, mediante una [distribución binomial](#def-g12-randvar-binomial), la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de que se presenten más pasajeros que plazas hay, y acótala numéricamente con una calculadora (da la expresión exacta).

**Solución de Ejercicio 33.6.**

El número de pasajeros que se presentan es $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$; el vuelo tiene sobreventa efectiva cuando $X \geq 101$:

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

Vender un $4\,\%$ más de billetes que plazas provoca un incidente solo en torno al $0.6\,\%$ de los vuelos: la economía que hay detrás de la sobreventa.

**Ejercicio 33.7 ★★.**

Sea $X \sim \mathcal B(n, p)$. Demuestra que

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

y deduce que la [distribución](#def-g12-randvar-rv) crece hasta $k^* = \floor{(n+1)p}$ y decrece después (la *moda* de la binomial).

**Solución de Ejercicio 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

usando $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$. Este cociente es $\geq 1$ si y solo si $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$, si y solo si $np - k p \geq k - kp + 1 - p$, si y solo si $k \leq (n+1)p - 1$. Así que las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) crecen estrictamente mientras $k + 1 \leq (n+1)p$ y decrecen después: el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) se alcanza en $k^* = \floor{(n+1)p}$ (compartido con $k^* - 1$ cuando $(n+1)p$ es entero).

**Ejercicio 33.8 ★★★.**

*(San Petersburgo, domesticado.)* Se lanza una moneda equilibrada hasta que sale cara, pero como mucho $10$ veces. Sea $N$ el número de lanzamientos empleados; el jugador recibe $2^N$ euros si ha salido cara, y $0$ en caso contrario.

1. Da la [distribución](#def-g12-randvar-rv) de $N$ restringida a los resultados ganadores: $\P(\text{la primera cara sale en el lanzamiento } k) = 2^{-k}$ para $1 \leq k \leq 10$ , y comprueba la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) total de ganar.
2. Calcula la ganancia esperada. ¿En qué se convertiría sin el tope de $10$ lanzamientos?

**Solución de Ejercicio 33.8.**

*1.* Que la primera cara salga en el lanzamiento $k$ significa $k-1$ cruces y después cara: [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$, para $1 \leq k \leq 10$. [Probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) total de ganar: $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (el juego solo se pierde con diez cruces seguidas).

*2.* Ganancia esperada:

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euros}.
$$

Sin el tope, la suma $\sum_{k\geq1} 1$ diverge: la ganancia esperada es infinita, aunque el juego casi siempre paga una cantidad pequeña; es la famosa *paradoja de San Petersburgo*, que muestra que la [esperanza](#def-g12-randvar-exp), por sí sola, no mide el valor de un juego.

## 33.4 Problema: El vuelo con sobreventa

**Problema 33.1.**

Problema de fin de semana — las aerolíneas venden más plazas de las que tienen, las fábricas aceptan lotes que apenas han inspeccionado y la distribución binomial arbitra las dos cosas

Una aerolínea con $100$ plazas vende alegremente $105$ billetes: en torno al $10\,\%$ de los pasajeros no se presenta nunca, y las plazas vacías no dan dinero. ¿Hasta dónde puede apretar la aerolínea antes de que los pasajeros a los que deniega el embarque se coman el beneficio? La [distribución binomial](#def-g12-randvar-binomial) ([Teorema 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) responde con decimales, y la misma maquinaria inspecciona lotes de fábrica, pone precio a las rifas y mantiene solventes a las aseguradoras. Decidir cuando algo se repite: ese es el oficio diario de la binomial.

**Parte I — Soltura.**

1. Da la tabla completa de la [distribución](#def-g12-randvar-rv) del número $X$ de seises en tres lanzamientos de un dado.
2. Calcula $\E(X)$ y $\V(X)$ ( [Definición 33.2](#def-g12-randvar-exp) ).
3. Un puesto de feria cobra $1$ euro por tres lanzamientos y paga $2$ euros por cada seis obtenido. Calcula la ganancia esperada: ¿juego equitativo?
4. Práctica con la lista de comprobación ( [Método 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ): ¿es binomial el número de corazones en $5$ cartas sacadas *sin* reposición? ¿Y con reposición? Justifícalo.
5. Para $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : da $\E(X)$ y $\sigma(X)$ , y después $\E(S)$ y $\sigma(S)$ para la puntuación $S = 5X - 10$ ( [Proposición 33.4](#prop-g12-randvar-affine) ).

**Parte II — El vuelo con sobreventa.** Plazas: $100$. Billetes vendidos: $105$. Cada titular de un billete se presenta con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $0.9$, de manera independiente; sea $X$ el número de los que se presentan.

6. Modelo: justifica $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ con la lista de comprobación, y confiesa el punto más débil del modelo (¿de verdad son [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) las ausencias? piensa en los grupos y en las tormentas).
7. Calcula $\E(X)$ y $\sigma(X)$ .
8. Se deniega el embarque a alguien cuando $X \geq 101$ : escribe $\P(X \geq 101)$ como suma explícita de cinco términos binomiales.
9. Evalúa la suma (con calculadora): ¿en qué fracción de los vuelos se queda en tierra al menos un pasajero?
10. El dinero: los cinco billetes de más aportan $5 \times 200 = 1\,000$ euros; y cada pasajero al que se deniega el embarque cuesta $800$ euros de indemnización. Calcula el número esperado de pasajeros dejados en tierra, $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , la indemnización esperada y el veredicto sobre la política de la aerolínea.
11. Diseño: el regulador tolera $\P(\text{denegación de embarque}) < 5\,\%$ . Probando con $n = 105, 106, 107, \dots$ billetes, halla el mayor $n$ permitido.
12. El atajo de la campana: para $n = 105$ , calcula la [puntuación z](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#pb-g11-stat-1) del umbral de denegación, $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ , y compara la estimación tosca (“unas $2\sigma$ , así que en torno al $2$ – $3\,\%$ en la cola superior”) con tu respuesta exacta. (La curva que hay detrás de este atajo es la estrella de los capítulos siguientes.)

**Parte III — La puerta de la fábrica.** Un lote de piezas se acepta si una [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) de $20$ contiene como mucho una pieza defectuosa.

13. Si la tasa real de piezas defectuosas es del $2\,\%$ (un lote honrado), calcula la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de que se acepte.
14. Si la tasa es del $10\,\%$ (un lote malo), vuelve a calcularla.
15. Nombra los dos riesgos del procedimiento (el lote honrado rechazado; el lote malo aceptado), lee sus valores en las preguntas 13 y 14 y di qué único cambio mejora los dos a la vez, y a qué precio.
16. Detrás de esa mejora: demuestra que la *frecuencia* observada de piezas defectuosas $\frac Xn$ en una [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) de tamaño $n$ tiene [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ , y concluye cómo escala la precisión con el tamaño de la [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) (una vieja conocida: el $\frac{1}{\sqrt n}$ del año 10).

**Parte IV — Juegos, rifas y reservas.**

17. El juego de San Petersburgo con tope del [Ejercicio 33.8](#exo-g12-randvar-8) tiene una ganancia esperada de $10$ euros. Contrástalo en un párrafo con la paradoja sin tope que apareció en el [Problema 18.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#pb-g11-prob-1) : ¿qué domestica exactamente el tope y qué precio sería ahora equitativo?
18. Una rifa benéfica vende $200$ papeletas a $2$ euros; premios: una cesta de $100$ euros y dos de $50$ euros. Calcula la ganancia esperada de una papeleta y el margen de la rifa; compáralo con el margen de la banca en la ruleta europea, de $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . ¿Por qué le sale gratis a la rifa?
19. Una aseguradora tiene $1\,000$ pólizas [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) : [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de siniestro $0.01$ cada una, cuantía del siniestro $10\,000$ euros y prima $130$ euros. Calcula el beneficio anual esperado *y* la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) del total de siniestros. Compara los dos números: ¿a qué obliga esa comparación a las aseguradoras reales?
20. Final: la binomial como árbitro de decisiones: la lista de comprobación para reconocerla; la brújula $\E \pm \sigma$ ; las [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de cola como precio del riesgo; y las dos advertencias permanentes (la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) es una afirmación sobre el modelo, y lo que arruina son las colas raras, no las [medias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) ). Una frase para cada cosa, más la mirada hacia delante: la ley de los grandes números y la campana, en los capítulos siguientes, completan el reglamento del árbitro.

**Solución de Problema 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$: $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$, $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$, $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$, $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$.

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$; $\V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$.

**3.** Pago esperado $2\,\E(X) = 1$ euro frente a una apuesta de $1$ euro: ganancia $0$; exactamente equitativo (una rareza).

**4.** Sin reposición, las extracciones son dependientes (las posibilidades de la segunda carta dependen de la primera): no es binomial; falla la casilla de la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) de la lista. Con reposición: $n = 5$ fijo, $p = \frac14$ constante y extracciones [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): binomial.

**5.** $\E(X) = 6$ y $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx 2.05$. $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$.

**6.** Número fijo de $n = 105$ pruebas (los billetes), cada una con dos resultados (se presenta o no) y la misma $p = 0.9$, supuestas [independientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): binomial. La confesión: las familias pierden los vuelos *juntas* y las tormentas vacían aviones enteros; la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) es el acto de fe del modelo, y las ausencias correlacionadas engordan las colas más de lo que promete la binomial.

**7.** $\E(X) = 94.5$; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{9.45} \approx 3.07$.

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$.

**9.** $\approx 0.0167$: en torno a un vuelo de cada sesenta deja a alguien en tierra.

**10.** $\E(\text{dejados en tierra}) \approx 0.023$ pasajeros por vuelo: indemnización esperada $\approx 19$ euros, frente a $1\,000$ euros de ingresos adicionales. Sobrevender cinco billetes es rentabilísimo; de ahí que lo haga toda aerolínea.

**11.** De la tabla de [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de cola: $n = 105$: $1.7\,\%$; $n = 106$: $4.0\,\%$; $n = 107$: $8.1\,\%$. La mayor venta que cumple la [norma](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#def-g11-scal-dot) es de $n = 106$ billetes.

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$: el umbral está dos desviaciones típicas por encima de la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean), y la regla aproximada de la campana (“cola superior de $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$”) se queda cerca del $1.7\,\%$ exacto; la curva suave que persigue a la binomial es la protagonista de los capítulos que vienen.

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19} \approx 0.94$: el lote honrado pasa el $94\,\%$ de las veces.

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19} \approx 0.39$: el lote malo se cuela aun así el $39\,\%$ de las veces.

**15.** Riesgo del productor: que se rechace un lote bueno ($\approx 6\,\%$); riesgo del consumidor: que se acepte un lote malo ($\approx 39\,\%$). Una [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) mayor (con un umbral de aceptación proporcional) reduce los dos, a costa de más inspección: la calidad tiene una línea de presupuesto.

**16.** $\V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{\V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$: [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Cuadruplica la [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) y reducirás el ruido a la mitad: la ley del $\frac{1}{\sqrt n}$ de los [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de fluctuación del año 10, ahora demostrada.

**17.** El tope limita el pago a $2^{10} = 1024$ euros, así que cada una de las diez rondas aporta exactamente $1$ euro de [esperanza](#def-g12-randvar-exp): $\E = 10$. La [esperanza](#def-g12-randvar-exp) infinita del juego sin tope venía enteramente de pagos astronómicamente raros y astronómicamente grandes; poner un tope es confesar que ningún banco paga $2^{50}$ euros. Precio equitativo de una papeleta del juego con tope: $10$ euros; y de repente ya no hay paradoja que valga.

**18.** Premio esperado por papeleta: $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ euro frente a una papeleta de $2$ euros: margen del $50\,\%$, dieciocho veces el $2.7\,\%$ de la ruleta. La rifa sobrevive porque sus jugadores están donando a sabiendas: la “pérdida” es justamente el objetivo.

**19.** Siniestros esperados: $1\,000 \times 0.01 \times 10\,000 = 100\,000$; primas: $130\,000$: beneficio esperado de $30\,000$ euros. [Desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) del total de siniestros: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99} \approx 31\,500$ euros; un solo año malo corriente se come todo el beneficio esperado. De ahí las reservas de capital, el reaseguro y carteras mucho mayores que mil pólizas: las aseguradoras viven de la ley de los grandes números y guardan reservas contra su lentitud.

**20.** Primero, la lista de comprobación ($n$ fijo, la misma $p$, la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) *afirmada*) o no hay binomial que valga. Después, navega con $\E \pm \sigma$: las [medias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) sitúan y las desviaciones avisan. Después, pon precio a las colas: las denegaciones de embarque, los lotes malos y los años ruinosos viven más allá de $2\sigma$. Advertencias: la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) es una promesa del que modeliza, no del mundo; y la [esperanza](#def-g12-randvar-exp) ignora justamente lo que te destruye. Las páginas que le faltan al reglamento (con qué rapidez se asientan las frecuencias y qué forma toman las fluctuaciones) son los dos capítulos siguientes.