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title: "Sumas de variables aleatorias y la ley de los grandes números"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 34
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/34-sumas-de-variables-aleatorias-y-la-ley-de-los-grandes-numeros
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# Capítulo 34 — Sumas de variables aleatorias y la ley de los grandes números

¿Por qué acaban ganando siempre los casinos y por qué funcionan las encuestas? Porque los promedios de muchas cantidades aleatorias [independientes](#def-g12-sums-indep) fluctúan cada vez menos. Este capítulo lo demuestra: linealidad de la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp), aditividad de la [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) para variables [independientes](#def-g12-sums-indep), desigualdad de Bienaymé–Chebyshev y ley de los grandes números.

## 34.1 Sumas de variables aleatorias

Dadas dos [variables aleatorias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ sobre el mismo [espacio muestral](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-model) finito $\Omega$, la suma $X + Y$ es la [variable aleatoria](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$.

**Teorema 34.1 (Linealidad de la esperanza).**

Para cualesquiera [variables aleatorias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) $X, Y$ sobre $\Omega$ y $a, b \in \R$:

$$
\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .
$$

*No hace falta ninguna hipótesis de [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep).*

**Demostración.** Escribimos la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) como suma sobre los resultados: como $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$, agrupar términos da $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$. Entonces

$$
\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr)
= \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega)
+ \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere
$$

∎

**Definición 34.2 (Variables aleatorias independientes).**

$X$ e $Y$ son *independientes* si para todos los valores $x, y$:

$$
\P(X = x \text{ e } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).
$$

Varias variables $X_1, \dots, X_n$ son independientes si esta regla del producto vale para cualquier elección de valores de cualquier subfamilia.

**Proposición 34.3.**

Si $X$ e $Y$ son [independientes](#def-g12-sums-indep), $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$.

**Demostración.**

$$
\begin{aligned}
\E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ e } Y = y)
= \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\
&= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere
\end{aligned}
$$

∎

**Teorema 34.4 (Varianza de una suma).**

Si $X$ e $Y$ son *[independientes](#def-g12-sums-indep)*, entonces

$$
\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).
$$

Más en general, para $X_1, \dots, X_n$ [independientes](#def-g12-sums-indep): $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$.

**Demostración.** Usando König–Huygens ([Proposición 33.3](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#prop-g12-randvar-konig)) y la linealidad:

$$
\begin{align*}
\V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\
&= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2)
- \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\
&= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr),
\end{align*}
$$

y el último paréntesis se anula para variables [independientes](#def-g12-sums-indep) ([Proposición 34.3](#prop-g12-sums-prodexp)). El caso general se sigue por inducción. ∎

**Ejemplo 34.5 (La binomial, revisitada).**

Una variable binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ es una suma $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ variables de Bernoulli [independientes](#def-g12-sums-indep). Por tanto, estructuralmente:

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),
$$

con lo que recuperamos el [Teorema 33.8](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#thm-g12-randvar-binomial) sin ningún cálculo.

**Proposición 34.6 (Media muestral).**

Sean $X_1, \dots, X_n$ [independientes](#def-g12-sums-indep) y con la misma [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) que $X$ ([esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), y sea $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ su *media muestral*. Entonces

$$
\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad
\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.
$$

**Demostración.** La linealidad da $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$; la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) da $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$, y dividir entre $n$ multiplica la [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) por $\frac{1}{n^2}$ ([Proposición 33.4](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#prop-g12-randvar-affine)). ∎

El $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ es la *ley de la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada* fundamental: para reducir a la mitad las fluctuaciones de un promedio hay que cuadruplicar el tamaño de la [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample).

![La ley de la raíz cuadrada: cada vez que se cuadruplica el tamaño de la muestra, la desviación típica de la media solo se reduce a la mitad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-6dba91820ddb.svg)

*La ley de la [raíz](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/10-funciones-y-ecuaciones-de-segundo-grado#def-g11-quad-discriminant) cuadrada: cada vez que se cuadruplica el tamaño de la [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample), la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) solo se reduce a la mitad.*

## 34.2 Desigualdades de concentración

**Teorema 34.7 (Desigualdad de Markov).**

Si $X \geq 0$ y $a > 0$:

$$
\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.
$$

**Demostración.** En $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (con todos los términos no negativos), conservamos solo los términos con $x_i \geq a$: cada uno vale al menos $a\,p_i$, luego $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$. ∎

**Teorema 34.8 (Desigualdad de Bienaymé–Chebyshev).**

Para cualquier [variable aleatoria](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) $X$ y cualquier $\varepsilon > 0$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.
$$

**Demostración.** Aplicamos la desigualdad de Markov a la variable no negativa $Y = (X - \E(X))^2$ con $a = \varepsilon^2$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
= \P(Y \geq \varepsilon^2)
\leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere
$$

∎

![Concentración: Bienaymé–Chebyshev acota por (X)/ 2 la probabilidad de que X caiga en las colas (en rojo), a distancia al menos de su esperanza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-f1c91d470ce9.svg)

*Concentración: Bienaymé–Chebyshev acota por $\V(X)/\varepsilon^2$ la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de que $X$ caiga en las colas (en rojo), a distancia al menos $\varepsilon$ de su [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp).*

**Teorema 34.9 (Ley de los grandes números).**

Sean $X_1, \dots, X_n$ [independientes](#def-g12-sums-indep) y con la misma [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) ([esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$) y sea $M_n$ su [media muestral](#prop-g12-sums-mean). Para todo $\varepsilon > 0$:

$$
\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .
$$

La [media muestral](#prop-g12-sums-mean) se concentra alrededor de la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp).

**Demostración.** Bienaymé–Chebyshev aplicada a $M_n$, cuya [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) es $\mu$ y cuya [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) es $\frac{\sigma^2}{n}$ ([Proposición 34.6](#prop-g12-sums-mean)). ∎

**Observación 34.10.**

Este teorema es el puente entre la teoría de la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) y la estadística: la *frecuencia* de un [suceso](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-model) a lo largo de muchas repeticiones [independientes](#def-g12-sums-indep) se acerca a su *[probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution)* (basta tomar como $X_i$ el indicador del [suceso](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-model), con lo que $\mu = p$). Justifica estimar una [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) por simulación (*método de Montecarlo*) y una proporción de la población mediante una encuesta, y además de manera cuantitativa: véase el [Capítulo 35](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/35-variables-aleatorias-continuas#ch-g12-contdist).

**Método 34.11 (Usar Bienaymé–Chebyshev).**

Para garantizar $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ basta con que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$. La cota es burda (las fluctuaciones reales suelen ser mucho menores), pero perfectamente general: no exige nada sobre la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) más allá de que tenga [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) finita.

## 34.3 Ejercicios

**Ejercicio 34.1 ★.**

Se lanzan dos dados equilibrados; sea $S$ la suma. Usando la linealidad (¡y no la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) de $S$!), calcula $\E(S)$; calcula después $\V(S)$ usando la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep), sabiendo que un solo dado equilibrado tiene [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{35}{12}$.

**Solución de Ejercicio 34.1.**

Cada dado tiene [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$, así que por linealidad $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$. Los dados son [independientes](#def-g12-sums-indep), luego $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$.

**Ejercicio 34.2 ★.**

Sea $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$. Acota $\P(X \geq 75)$ con la desigualdad de Markov y después $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ con Bienaymé–Chebyshev. Compara.

**Solución de Ejercicio 34.2.**

$\E(X) = 50$ y $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$.

Markov ($X \geq 0$): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$.

Bienaymé–Chebyshev: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$, y esto acota incluso el [suceso](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-model) *bilateral*, del que $X \geq 75$ es la mitad. Aquí Chebyshev es mucho más fina porque aprovecha la [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp), y no solo la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean). (El valor verdadero de $\P(X \geq 75)$ es menor que $10^{-6}$: las dos cotas son burdas.)

**Ejercicio 34.3 ★.**

Se lanza una moneda equilibrada $n$ veces y $F_n$ denota la frecuencia de caras. ¿Cómo de grande tiene que ser $n$ para que, según la cota de Bienaymé–Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$?

**Solución de Ejercicio 34.3.**

$F_n$ es la [media muestral](#prop-g12-sums-mean) de $n$ variables de Bernoulli de parámetro $\frac12$, de [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2 = \frac14$. La cota

$$
\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right)
\leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}
$$

es $\leq 0.05$ en cuanto $n \geq 2000$.

**Ejercicio 34.4 ★★.**

Una inversora reparte su capital a partes iguales entre $n$ activos [independientes](#def-g12-sums-indep), cada uno con rentabilidad esperada $\mu = 5\,\%$ y [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) $\sigma = 20\,\%$. Calcula la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) y la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de la rentabilidad $M_n$ de la cartera, y el número de activos necesario para bajar la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) por debajo del $4\,\%$. ¿Qué principio financiero ilustra esto?

**Solución de Ejercicio 34.4.**

Por la [Proposición 34.6](#prop-g12-sums-mean), $\E(M_n) = 5\,\%$ (diversificar no cambia la rentabilidad esperada) y $\sigma(M_n) = \frac{20\,\%}{\sqrt n}$. Exigir $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ da $\sqrt n > 5$, es decir, $n \geq 26$. Este es el principio de la *diversificación*: repartir el capital entre riesgos [independientes](#def-g12-sums-indep) divide el riesgo (la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance)) entre $\sqrt n$ sin reducir la rentabilidad esperada.

**Ejercicio 34.5 ★★.**

Sean $X$ e $Y$ [independientes](#def-g12-sums-indep), las dos uniformes sobre $\{1, 2, 3\}$.

1. Da la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) de $S = X + Y$ y calcula $\E(S)$ y $\V(S)$ directamente a partir de ella.
2. Recupera los dos valores por linealidad y aditividad de la [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) .

**Solución de Ejercicio 34.5.**

*1.* Contando las $9$ parejas equiprobables: $S$ toma los valores $2, 3, 4, 5, 6$ con [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$. Por tanto, $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ y $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$, luego $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$.

*2.* Para una sola variable: $\E(X) = 2$, $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ y $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$. Entonces $\E(S) = 2 + 2 = 4$ y, por [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep), $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$. Los mismos valores.

**Ejercicio 34.6 ★★.**

Demuestra que la aditividad de la [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) puede fallar sin [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): calcula $\V(X + Y)$ para $Y = X$ y compáralo con $\V(X) + \V(Y)$. ¿Para qué variables $X$ se cumple $\V(2X) = 2\V(X)$?

**Solución de Ejercicio 34.6.**

Con $Y = X$: $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$, mientras que $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$. Los dos coinciden solo cuando $\V(X) = 0$, es decir, cuando $X$ es constante; así que la aditividad exige de verdad la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) (aquí $X$ depende de sí misma todo lo que se puede depender).

**Ejercicio 34.7 ★★.**

Se sospecha que un dado está trucado. Se lanza $1200$ veces y saca seis $260$ veces ($f = 0.2167$ en lugar de $\frac16 \approx 0.1667$). Bajo la hipótesis de que el dado es equilibrado, acota $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ con Bienaymé–Chebyshev y discute si la hipótesis de equilibrio es plausible.

**Solución de Ejercicio 34.7.**

Suponiendo el dado equilibrado, $F_n$ es la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) de $n = 1200$ variables de Bernoulli con $p = \frac16$ y $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$:

$$
\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right)
\leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .
$$

La desviación observada es exactamente $0.05$: un [suceso](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/18-probabilidad-y-variables-aleatorias#def-g11-prob-model) que un dado equilibrado produce con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) como mucho del $4.6\,\%$; y como Chebyshev es muy conservadora, la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) verdadera es mucho menor. La hipótesis de equilibrio no es plausible; lo más probable, con mucho, es que el dado esté trucado.

**Ejercicio 34.8 ★★★.**

*(Una desigualdad mejor para la moneda.)* Sean $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ y $F_n = \frac Xn$.

1. Demuestra que $p(1-p) \leq \frac14$ para $p \in \intcc{0}{1}$ .
2. Deduce la cota, independiente de la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) , $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq  \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
3. ¿A cuántas personas hay que encuestar para que la frecuencia observada quede a menos de $3$ puntos de la proporción verdadera con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) al menos $95\,\%$ , según esta cota? (Las encuestas reales usan estimaciones más finas, pero el orden de magnitud es correcto.)

**Solución de Ejercicio 34.8.**

*1.* $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$.

*2.* $F_n$ tiene [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $p$ y [varianza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$; Bienaymé–Chebyshev da

$$
\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},
$$

válido sea cual sea el $p$ desconocido.

*3.* Con $\varepsilon = 0.03$ y nivel $0.05$:

$$
\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05
\iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .
$$

Con esta cota burda bastan unas $5600$ personas (la respuesta clásica por [aproximación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-approx) normal está más cerca de $1100$; véase el [Capítulo 35](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/35-variables-aleatorias-continuas#ch-g12-contdist)).

## 34.4 Problema: La banca siempre gana

**Problema 34.1.**

Problema de fin de semana — la ley de los grandes números explica los casinos, las encuestas y los seguros, y de paso demuele la falacia del jugador

Un jugador de ruleta, después de $100$ tiradas, va *ganando* casi tantas veces como no. El casino, que gestiona un millón de tiradas, va ganando con una certeza que ningún tribunal pondría en duda. El mismo juego, la misma ventaja minúscula: la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) es $\sqrt n$, y es el asunto de este capítulo ([Proposición 34.6](#prop-g12-sums-mean), [Teorema 34.8](#thm-g12-sums-chebyshev), [Teorema 34.9](#thm-g12-sums-lln)). Este problema lleva la contabilidad del casino, dimensiona una encuesta electoral, pone precio a la diversificación y desmonta la falacia más cara de la historia del juego.

**Parte I — Soltura.**

1. Dos dados [independientes](#def-g12-sums-indep) : calcula $\V(X + Y)$ ( [Teorema 34.4](#thm-g12-sums-variance) ).
2. Lanza $100$ dados [independientes](#def-g12-sums-indep) y promedia los resultados: da la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) y la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de la [media muestral](#prop-g12-sums-mean) ( [Proposición 34.6](#prop-g12-sums-mean) ; para un solo dado, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
3. Una [variable aleatoria](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) no negativa tiene [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $2$ . ¿Qué dice la desigualdad de Markov ( [Teorema 34.7](#thm-g12-sums-markov) ) sobre $\P(X \geq 10)$ ?
4. Acota $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ para la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) de los dados de la pregunta 2 con Bienaymé–Chebyshev.
5. Las [esperanzas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) se suman siempre; las [varianzas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) , solo con [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) : exhibe $X$ e $Y$ dependientes (indicación: $Y = -X$ ) para los que $\V(X + Y) \neq \V(X) + \V(Y)$ .

**Parte II — La contabilidad de la banca.** Ruleta europea, apuesta de $1$ euro al rojo: se gana $+1$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{37}$ y se pierde $-1$ con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) $\frac{19}{37}$.

6. Calcula la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) y la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de la ganancia de una apuesta.
7. Un jugador hace $100$ apuestas [independientes](#def-g12-sums-indep) ; sea $G$ la ganancia total. Calcula $\E(G)$ y $\sigma(G)$ , y después el cociente $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . ¿Qué significa una deriva de un cuarto de [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) para las posibilidades que tiene el jugador de terminar la noche ganando?
8. El casino ve $1\,000\,000$ de apuestas. Calcula la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) y la [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de su recaudación total, y el mismo cociente. Interpreta el número $27$ .
9. Certifícalo con Chebyshev: acota la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de que el casino *pierda* dinero a lo largo del millón de apuestas.
10. Sistemas de apuestas: doblar tras las pérdidas, retirarse cuando se va ganando … Usando la linealidad de la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) ( [Teorema 34.1](#thm-g12-sums-linearity) ) sobre la [sucesión](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-sequence) (posiblemente aleatoria) de apuestas, explica por qué *toda* estrategia en un juego con ventaja negativa tiene ganancia esperada negativa. ¿Qué violaría un sistema ganador?
11. Enuncia qué promete la ley de los grandes números ( [Teorema 34.9](#thm-g12-sums-lln) ) sobre la frecuencia del rojo, y qué *no* promete sobre la siguiente tirada después de diez rojos seguidos. Nombra la falacia.
12. El punto más sutil: la ley funciona por *dilución* , no por compensación. Si los rojos acaban una noche $100$ por encima de lo esperado, ese excedente no se “devuelve” nunca: calcula qué le pasa en cambio a la *fracción* $\frac{100}{n}$ cuando $n = 10^6$ , y reescribe en una frase el error de la falacia del jugador.

**Parte III — Encuestas.**

13. A partir del [Ejercicio 34.8](#exo-g12-sums-8) : ¿a cuántas personas hay que encuestar para que la frecuencia observada caiga a menos de $3$ puntos de la verdad con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) al menos $95\,\%$ , según la cota de Chebyshev independiente de la [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) ?
14. Los institutos de sondeos reales usan unas $1\,100$ personas para un margen de $\pm 3$ puntos al $95\,\%$ : su fórmula es $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}{\varepsilon^2}$ con $p(1-p) \leq \frac14$ . Evalúala y explica la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) con la pregunta 13 (¿qué es lo que Chebyshev no sabe sobre la forma de las fluctuaciones?).
15. Para reducir a la mitad el margen de error, ¿cómo tiene que crecer la [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) ? Partiendo de $\pm 3$ puntos con $1\,100$ personas, ¿qué [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) da $\pm 1.5$ puntos?
16. El clásico contraintuitivo: el tamaño de [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample) necesario no ha usado en ningún momento el tamaño de la población; $1\,100$ personas bastan para una ciudad o para un continente. Señala el lugar del modelo donde el tamaño de la población está ausente y da la analogía culinaria que emplean los encuestadores.

**Parte IV — Diversificación.**

17. La aseguradora del [Problema 33.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#pb-g12-randvar-1) gana $30n$ euros en [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) con $n$ pólizas, con una [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de los siniestros de unos $315\sqrt n$ . ¿A partir de qué $n$ supera por fin el beneficio esperado a una [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) de los siniestros? ¿Qué está haciendo el $\sqrt n$ por la aseguradora?
18. La rentabilidad anual de una acción fluctúa con $\sigma = 20\,\%$ . Reparte el dinero a partes iguales entre $25$ acciones *[independientes](#def-g12-sums-indep)* como esa: calcula la $\sigma$ de la cartera. En finanzas se dice que la diversificación es la única comida gratis; ¿en qué consiste exactamente esa comida?
19. Supón ahora que las $25$ acciones están perfectamente correlacionadas (se mueven todas a la vez): ¿cuál es la $\sigma$ de la cartera? Compara los dos [extremos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/22-derivacion-y-convexidad#def-g12-deriv-extremum) y di qué hipótesis alquila en secreto todo [argumento](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/28-numeros-complejos#def-g12-complex-argument) a favor de la diversificación, y qué pasó cuando falló en todo el sistema en 2008.
20. Final: la sinfonía del $\sqrt n$ : las sumas fluctúan como $\sqrt n$ mientras sus [medias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) se asientan como $\frac{1}{\sqrt n}$ ; toca el tema a lo largo de los cuatro sectores de este problema (casino, encuestas, seguros y carteras), nombra a los dos infractores habituales (la falacia del jugador y la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) fingida) y da la mirada hacia delante: la *forma* de las fluctuaciones, la campana, es la estrella [continua](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity) del capítulo siguiente, y su teorema completo corona los volúmenes universitarios.

**Solución de Problema 34.1.**

**1.** $\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y) = \frac{35}{12} +
\frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ ([independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)).

**2.** $\E(\bar X) = 3.5$; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$: la [media](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) de cien dados se pega al $3.5$ con menos de una quinta parte de punto de holgura.

**3.** $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$.

**4.** $\P \leq \frac{\V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25}
\approx 0.117$: como mucho, en torno al $12\,\%$.

**5.** Con $Y = -X$: $\V(X + Y) = \V(0) = 0$, mientras que $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X) > 0$: las variables perfectamente anticorrelacionadas se cancelan; sumar [varianzas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) es un privilegio de la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep).

**6.** $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37}
\approx -0.027$; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$.

**7.** $\E(G) = -2.70$ y $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$: la deriva es de solo $0.27\sigma$. El ruido de la noche aplasta a la ventaja: una amplia minoría de jugadores (en torno al $40\,\%$, según dice la campana) sale ganando, que es exactamente lo que hace que vuelvan.

**8.** Recaudación del casino: [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp) $+27\,027$ euros y [desviación típica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-variance) $\approx 1\,000$: el beneficio está $27$ desviaciones típicas por encima de cero. A $27\sigma$, “el casino podría perder este año” no es un riesgo, es un error de redondeo.

**9.** $\P(\text{pérdida}) = \P(G \geq 27\,027$ para los jugadores$)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$: hasta la más tosca de las desigualdades del libro garantiza a la banca un $99.86\,\%$; la verdad es astronómicamente más fuerte.

**10.** Cada euro apostado, se apueste cuando se apueste y como se apueste, tiene una rentabilidad esperada de $-\frac{1}{37}$ de sí mismo; por linealidad, la ganancia total esperada es $-\frac{1}{37} \times
(\text{total apostado})$, negativa para toda estrategia que apueste algo. Un sistema ganador violaría la linealidad de la [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp): ninguna secuencia ingeniosa de apuestas malas produce una buena. (Los sistemas de doblar se limitan a cambiar muchas ganancias pequeñas por pérdidas raras y catastróficas.)

**11.** El teorema dice que la *frecuencia* del rojo a lo largo de $n$ tiradas [converge](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/20-sucesiones#def-g12-seq-limit) (en [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution)) a $\frac{18}{37}$. No dice nada de la tirada $n + 1$: la ruleta no tiene memoria, y tras diez rojos la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de rojo sigue siendo $\frac{18}{37}$. Creer lo contrario es la *falacia del jugador*, y la pregunta 12 muestra qué le pasa de verdad a las rachas.

**12.** El excedente de $100$ rojos no se devuelve: las tiradas futuras son copias equitativas y el excedente esperado sigue siendo $100$. Pero $\frac{100}{10^6} = 0.0001$: una centésima de punto. El error de la falacia en una frase: *la ley de los grandes números diluye los accidentes pasados en un océano de pruebas nuevas; nunca manda a la ruleta a cobrar deudas.*

**13.** $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ personas.

**14.** $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$: cinco veces menos. Chebyshev vale para *cualquier* [distribución](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-rv) y paga su universalidad con holgura; el $1.96$ de los encuestadores sale de la forma real, de campana, de las fluctuaciones, que se concentran mucho más.

**15.** El margen es proporcional a $\frac{1}{\sqrt n}$: reducirlo a la mitad cuadruplica la [muestra](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-sample), unas $4\,400$ personas para $\pm 1.5$ puntos. La precisión se paga a precios cuadráticos.

**16.** El modelo consiste en $n$ extracciones [independientes](#def-g12-sums-indep) con [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de éxito $p$: el tamaño $N$ de la población no aparece jamás (muestrear una fracción minúscula de una población grande y bien mezclada es justamente lo que codifica la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)). La analogía de los encuestadores: para probar la sopa basta una cucharada bien removida, tanto si la olla da de comer a diez como a diez mil. La trampa está en el removido (un marco de muestreo sesgado, como la encuesta del volumen anterior que engañó a todo un país), no en la olla.

**17.** $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$: a partir de un centenar de pólizas, la deriva adelanta al ruido, y cada póliza adicional ensancha la [diferencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/13-sucesiones-un-primer-curso#def-g11-seq-arithmetic) por la ley del $\sqrt n$; agrupar riesgos *es* el modelo de negocio.

**18.** Partes iguales e [independientes](#def-g12-sums-indep): $\sigma_{\text{cartera}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$: la misma rentabilidad esperada con una quinta parte de la fluctuación. La comida gratis: reducir el riesgo sin coste alguno en [esperanza](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/33-variables-aleatorias-y-distribucion-binomial#def-g12-randvar-exp), por el simple hecho de promediar azares [independientes](#def-g12-sums-indep).

**19.** Perfectamente correlacionadas: la cartera es una sola acción con $25$ disfraces: $\sigma = 20\,\%$, sin reducción ninguna. La diversificación alquila la *[independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)*; y cuando una crisis correlaciona todo (2008: todas las apuestas inmobiliarias eran una sola apuesta), la protección del $\sqrt n$ se evapora exactamente cuando hace falta.

**20.** Las sumas derivan como $n$ y fluctúan como $\sqrt n$, así que las [medias](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#def-g11-stat-mean) se asientan como $\frac{1}{\sqrt n}$: el casino ingresa la deriva a lo largo de un millón de tiradas; el encuestador compra $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de ruido con un presupuesto de llamadas; la aseguradora crece más deprisa que sus propios siniestros a partir de $n > 110$; la inversora divide el riesgo entre $\sqrt{25}$. Los infractores: el jugador que cree en deudas (solo hay dilución) y el financiero que cree en la [independencia](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/32-probabilidad-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) (a veces solo hay una apuesta). La forma universal de las fluctuaciones, la campana, es la estrella del capítulo [continuo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/21-limites-y-continuidad#def-g12-limcont-continuity), y su teorema, el teorema central del límite, es la cima de la [probabilidad](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/9-probabilidad-y-muestreo#def-g10-proba-distribution) de los volúmenes universitarios.