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title: "Funciones de referencia"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 4
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia
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# Capítulo 4 — Funciones de referencia

Un puñado de funciones sencillas (afín, cuadrado, inversa, raíz cuadrada, cubo) aparecen por todas partes, solas o combinadas. Saberse de memoria sus [gráficas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) y su variación convierte muchos problemas en un esbozo rápido. Este capítulo estudia cada una de ellas y demuestra su variación con la técnica de comparación del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#ch-g10-functions).

## 4.1 Funciones afines

**Definición 4.1 (Función afín).**

Una *función afín* es una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de la forma

$$
f(x) = mx + p,
$$

donde $m$ y $p$ son [números reales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets) fijos. Su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) es una recta: $m$ es la *pendiente* y $p$, la *ordenada en el origen* (la recta corta al eje vertical en $(0, p)$). Cuando $p = 0$, la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) es *lineal*: $f(x) = mx$ expresa una proporcionalidad.

**Proposición 4.2 (Pendiente y variación).**

Sea $f(x) = mx + p$.

1. Para dos entradas distintas cualesquiera $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (la [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) es la variación del resultado por unidad de variación de la entrada).
2. Si $m > 0$ , $f$ es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\R$ ; si $m < 0$ , estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) ; si $m = 0$ , constante.

**Demostración.** 1. Calculamos $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ y dividimos entre $v - u \neq 0$.

2. Si $u < v$, entonces $f(v) - f(u) = m(v-u)$ tiene el signo de $m$, puesto que $v - u > 0$: con $m$ positivo, $f(u) < f(v)$ ([creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations)); con $m$ negativo, $f(u) > f(v)$ ([decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations)). ∎

![Dos funciones afines: creciente para m = 1/2 > 0 y decreciente para m = -1 < 0. Al avanzar una unidad hacia la derecha, y varía en m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-9e20879f061b.svg)

*Dos funciones afines: [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) para $m = \frac12 > 0$ y [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) para $m = -1 < 0$. Al avanzar una unidad hacia la derecha, $y$ varía en $m$.*

**Ejemplo 4.3.**

Hallemos la [función afín](#def-g10-reffunc-affine) cuya [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) pasa por $A(1, 3)$ y $B(4, 9)$. La [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) es

$$
m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .
$$

Entonces $f(x) = 2x + p$, y $f(1) = 3$ da $2 + p = 3$, luego $p = 1$: $f(x) = 2x + 1$. Comprobación con $B$: $f(4) = 9$.

## 4.2 La función cuadrado

**Proposición 4.4 (Función cuadrado).**

La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2$, definida en $\R$:

1. es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoc{-\infty}{0}$ y estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intco{0}{+\infty}$ , con [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $0$ en $x = 0$ ;
2. cumple $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ : su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) , una *parábola* , es simétrica respecto del eje vertical.

**Demostración.** 1. Sea $0 \leq u < v$. Entonces

$$
f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,
$$

puesto que $v - u > 0$ y $v + u > 0$: $f$ es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intco{0}{+\infty}$. Si $u < v \leq 0$, entonces $v - u > 0$ pero $v + u < 0$, luego $f(v) - f(u) < 0$: estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations). Por último, $x^2 \geq 0 = f(0)$ para todo $x$.

2. $(-x)^2 = x^2$; así que los puntos $(x, x^2)$ y $(-x, x^2)$, simétricos respecto del eje vertical, están los dos en la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph). ∎

**Observación 4.5 (Cuadrados y orden).**

Como la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) cuadrado decrece en el lado negativo, elevar al cuadrado *invierte* el orden de los números negativos: $-3 < -2$, pero $9 > 4$. No eleves nunca al cuadrado los dos miembros de una desigualdad sin comprobar antes los signos.

## 4.3 La función inversa

**Proposición 4.6 (Función inversa).**

La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) $f(x) = \dfrac1x$, definida para $x \neq 0$:

1. es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{-\infty}{0}$ y estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{0}{+\infty}$ ;
2. cumple $f(-x) = -f(x)$ : su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) , una *hipérbola* , es simétrica respecto del origen.

**Demostración.** 1. Sea $0 < u < v$. Entonces

$$
f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,
$$

puesto que $u - v < 0$ y $uv > 0$: estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{0}{+\infty}$. En $\intoo{-\infty}{0}$, el mismo cociente tiene de nuevo $u - v < 0$ y $uv > 0$ (producto de dos negativos), así que $f$ también decrece allí.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$. ∎

**Observación 4.7.**

Cuidado: $\frac1x$ *no* es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en todo su [dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function). De $u = -1$ a $v = 1$ el valor salta de $-1$ a $1$. Hay que estudiar las dos ramas por separado.

![La parábola y = x2 (simétrica respecto del eje vertical) y la hipérbola y = 1x (dos ramas, simétricas respecto del origen).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-c9fe377b98a0.svg)

![La parábola y = x2 (simétrica respecto del eje vertical) y la hipérbola y = 1x (dos ramas, simétricas respecto del origen).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-7be6853a2a0e.svg)

*La parábola $y = x^2$ (simétrica respecto del eje vertical) y la hipérbola $y = \frac1x$ (dos ramas, simétricas respecto del origen).*

## 4.4 Raíz cuadrada y cubo

**Proposición 4.8 (Función raíz cuadrada).**

La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) $f(x) = \sqrt{x}$, definida en $\intco{0}{+\infty}$, es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations).

**Demostración.** Sea $0 \leq u < v$. Multiplicamos y dividimos por el *conjugado*:

$$
\sqrt v - \sqrt u
= \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u}
= \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,
$$

puesto que $v - u > 0$ y $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (obsérvese que $v > 0$, luego $\sqrt v > 0$). ∎

**Proposición 4.9 (Función cubo).**

La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) $f(x) = x^3$, definida en $\R$, es estrictamente [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) y su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) es simétrica respecto del origen.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![La raíz cuadrada (definida solo para x ≥ 0) y el cubo, las dos crecientes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-ec6a3c7fb7bc.svg)

![La raíz cuadrada (definida solo para x ≥ 0) y el cubo, las dos crecientes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-5d553e336fa1.svg)

*La raíz cuadrada (definida solo para $x \geq 0$) y el cubo, las dos [crecientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations).*

**Proposición 4.10 (Comparación de xxx, x2x^2x2 y x\sqrt xx​).**

Para $0 < x < 1$: $x^2 < x < \sqrt x$. Para $x > 1$: $\sqrt x < x < x^2$. En $x = 0$ y $x = 1$ los tres valores coinciden.

**Demostración.** Supongamos $0 < x < 1$. Multiplicando $x < 1$ por $x > 0$ se obtiene $x^2 < x$. Después, $x < \sqrt x$: como los dos miembros son positivos y elevar al cuadrado es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) sobre los positivos, esta desigualdad equivale a $x^2 < x$, que acabamos de demostrar. Para $x > 1$, multiplicando $x > 1$ por $x$ se obtiene $x^2 > x$, y $\sqrt x < x$ se sigue con el mismo argumento del cuadrado. ∎

![Las tres curvas se cortan en (0,0) y (1,1) e intercambian allí su orden: entre 0 y 1, x2 es la menor y √ x la mayor; a partir de 1 el orden se invierte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-2f2ec319808a.svg)

*Las tres curvas se cortan en $(0,0)$ y $(1,1)$ e intercambian allí su orden: entre $0$ y $1$, $x^2$ es la menor y $\sqrt x$ la mayor; a partir de $1$ el orden se invierte.*

**Método 4.11 (Comparar imágenes).**

Para comparar $f(a)$ y $f(b)$ con una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de referencia $f$:

1. sitúa $a$ y $b$ en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) donde se conozca la variación de $f$ ;
2. si $f$ crece allí, las imágenes quedan en el mismo orden que las entradas; si $f$ decrece, el orden se invierte;
3. si $a$ y $b$ no están en el mismo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) de monotonía, ocúpate primero de los signos (por ejemplo, para el cuadrado: una entrada negativa y otra positiva).

**Ejemplo 4.12.**

Comparemos $\dfrac{1}{2.3}$ y $\dfrac{1}{2.4}$: las dos entradas están en $\intoo{0}{+\infty}$, donde la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa decrece, y $2.3 < 2.4$, luego $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$. Comparemos $(-1.2)^2$ y $(-1.5)^2$: en $\intoc{-\infty}{0}$ el cuadrado decrece y $-1.5 < -1.2$, luego $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$; en efecto, $2.25 > 1.44$.

## 4.5 Ejercicios

**Ejercicio 4.1 ★.**

Para cada [función afín](#def-g10-reffunc-affine), da su [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) y su [ordenada en el origen](#def-g10-reffunc-affine) y di si es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) o [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations):

$$
f(x) = 3x - 2, \qquad
g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad
h(x) = 7, \qquad
k(x) = -x .
$$

**Solución de Ejercicio 4.1.**

$f$: [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) $3$, [ordenada en el origen](#def-g10-reffunc-affine) $-2$, [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations). $g$: [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) $-\frac12$, [ordenada en el origen](#def-g10-reffunc-affine) $4$, [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations). $h$: [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) $0$, [ordenada en el origen](#def-g10-reffunc-affine) $7$, constante. $k$: [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) $-1$, [ordenada en el origen](#def-g10-reffunc-affine) $0$, [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) (y lineal).

**Ejercicio 4.2 ★.**

Halla la [función afín](#def-g10-reffunc-affine) cuya [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) pasa por $(2, 1)$ y $(5, 10)$, y después la que pasa por $(-1, 4)$ y $(3, -4)$.

**Solución de Ejercicio 4.2.**

Por $(2,1)$ y $(5,10)$: [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$; después $1 = 3 \times 2 + p$ da $p = -5$: $f(x) = 3x - 5$.

Por $(-1,4)$ y $(3,-4)$: [pendiente](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} =
\frac{-8}{4} = -2$; después $4 = -2 \times (-1) + p$ da $p = 2$: $f(x) = -2x + 2$.

**Ejercicio 4.3 ★.**

Sin calculadora, compara:

$$
(3.1)^2 \text{ y } (3.2)^2; \qquad
(-2.7)^2 \text{ y } (-2.8)^2; \qquad
\frac{1}{5.1} \text{ y } \frac{1}{5.2}; \qquad
\sqrt{17} \text{ y } \sqrt{15}.
$$

**Solución de Ejercicio 4.3.**

$(3.1)^2 < (3.2)^2$: el cuadrado crece sobre los positivos.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$: el cuadrado decrece sobre los negativos y $-2.8 < -2.7$.

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$: la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa decrece sobre los positivos.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$: la raíz cuadrada crece.

**Ejercicio 4.4 ★.**

Usando la [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) de la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) cuadrado, resuelve $x^2 = 16$, después $x^2 \leq 16$ y después $x^2 > 9$.

**Solución de Ejercicio 4.4.**

$x^2 = 16$: dos soluciones, $x = 4$ y $x = -4$ (la recta horizontal $y = 16$ corta la parábola dos veces).

$x^2 \leq 16$: la parábola está por debajo de la recta entre los dos puntos de corte: $x \in \intcc{-4}{4}$.

$x^2 > 9$: la parábola está estrictamente por encima de $y = 9$ fuera de $\intcc{-3}{3}$: $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$.

**Ejercicio 4.5 ★.**

Sea $x \in \intoo{0}{1}$. Ordena los números $x$, $x^2$, $x^3$ y $\sqrt x$ de menor a mayor y comprueba tu respuesta con $x = 0.25$.

**Solución de Ejercicio 4.5.**

Para $0 < x < 1$, multiplicando $x < 1$ por $x$ repetidamente se obtiene $x^3 < x^2 < x$, y la [Proposición 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) da $x < \sqrt x$, luego

$$
x^3 < x^2 < x < \sqrt x .
$$

Comprobación con $x = 0.25$: $x^3 = 0.015625$, $x^2 = 0.0625$, $x = 0.25$, $\sqrt x = 0.5$.

**Ejercicio 4.6 ★★.**

Resuelve gráficamente y después algebraicamente: $\dfrac1x = 2$ y $\dfrac1x < 2$ para $x > 0$. ¿Qué cambia si se admite también $x < 0$?

**Solución de Ejercicio 4.6.**

$\frac1x = 2$ tiene la única solución $x = \frac12$ (la hipérbola corta la recta horizontal $y = 2$ una sola vez, en la rama positiva).

Para $x > 0$: $\frac1x < 2$. Multiplicando por $x > 0$: $1 < 2x$, luego $x > \frac12$: conjunto de soluciones $\intoo{\frac12}{+\infty}$.

Si se admite $x < 0$: todo $x$ negativo cumple $\frac1x < 0 < 2$, así que el conjunto de soluciones completo es $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$.

**Ejercicio 4.7 ★★.**

Sabiendo que la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) cuadrado decrece en $\intoc{-\infty}{0}$ y crece en $\intco{0}{+\infty}$, acota $x^2$ cuando:

$$
\text{(a) } x \in \intcc{2}{5};
\qquad
\text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1};
\qquad
\text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.
$$

(En el caso (c), atención: el [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) de $x^2$ no está en un extremo.)

**Solución de Ejercicio 4.7.**

(a) En $\intcc{2}{5}$ todas las entradas son positivas y elevar al cuadrado es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations): $4 \leq x^2 \leq 25$.

(b) En $\intcc{-3}{-1}$, elevar al cuadrado es [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations): el cuadrado mayor viene de $-3$: $1 \leq x^2 \leq 9$.

(c) En $\intcc{-2}{3}$, el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) contiene el $0$, donde el cuadrado alcanza su [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) $0$; el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) es el mayor de $(-2)^2 = 4$ y $3^2 = 9$. Así pues, $0 \leq x^2 \leq 9$.

**Ejercicio 4.8 ★★.**

Una compañía de taxis cobra una cuota fija de $4$ más $1.5$ por kilómetro; otra no cobra cuota y pide $2$ por kilómetro. Modeliza cada precio con una [función afín](#def-g10-reffunc-affine) de la distancia $x$, representa las dos rectas y halla a partir de qué distancia sale más barata la primera compañía.

**Solución de Ejercicio 4.8.**

Primera compañía: $f(x) = 1.5x + 4$; segunda: $g(x) = 2x$. La primera es más barata cuando

$$
1.5x + 4 < 2x
\ \Longleftrightarrow\
4 < 0.5x
\ \Longleftrightarrow\
x > 8 .
$$

A partir de $8$ km, la primera compañía sale más barata; justo en $8$ km las dos cobran $16$.

**Ejercicio 4.9 ★★.**

Demuestra que para todos $a, b \geq 0$ se cumple $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. (Indicación: los dos miembros son no negativos, así que compara sus cuadrados.) ¿Cuándo hay igualdad?

**Solución de Ejercicio 4.9.**

Los dos miembros son no negativos, así que la desigualdad equivale a la que hay entre sus cuadrados:

$$
\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b
\qquad\text{y}\qquad
\left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .
$$

Como $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$, el segundo cuadrado es al menos el primero, lo que demuestra $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. Hay igualdad exactamente cuando $\sqrt a \sqrt b = 0$, es decir, cuando $a = 0$ o $b = 0$.

**Ejercicio 4.10 ★★★.**

Sea $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, definida para $x \neq 1$.

1. Demuestra que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ para todo $x \neq 1$ .
2. Deduce la variación de $f$ en $\intoo{1}{+\infty}$ a partir de la de la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa.

**Solución de Ejercicio 4.10.**

*1.* Reducimos el segundo miembro a común denominador:

$$
2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}
= f(x).
$$

*2.* En $\intoo{1}{+\infty}$, cuando $x$ crece, $x - 1$ crece y se mantiene positivo, luego $\frac{3}{x-1}$ decrece ([función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa, multiplicada por la constante positiva $3$), luego $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ decrece: $f$ es estrictamente [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{1}{+\infty}$.

## 4.6 Problema: Las leyes de la naturaleza hablan en funciones de referencia

**Problema 4.1.**

Problema de fin de semana — las distancias de frenado crecen como $v^2$, las palancas obedecen a $1/d$, los planetas siguen $a^{3/2}$: leer la física con las funciones de referencia

Abre un libro de física y verás las mismas [gráficas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) en todas las páginas: la parábola, la hipérbola, la curva de la raíz. La naturaleza escribe sus leyes con las funciones de referencia de este capítulo, y conocer sus formas ([Proposición 4.4](#prop-g10-reffunc-square), [Proposición 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse), [Proposición 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt), [Proposición 4.9](#prop-g10-reffunc-cube)) basta para frenar un coche, equilibrar una palanca y cronometrar los planetas. El gran final es la tercera ley de Kepler, leída directamente en los datos del sistema solar.

**Parte I — La ley cuadrática del frenado.** Una regla práctica para la distancia de frenado de un coche sobre asfalto seco: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ metros, a una velocidad de $v$ km/h.

1. Calcula las distancias de frenado a $30$ , $50$ , $90$ y $130$ km/h.
2. Al doblar la velocidad, ¿por cuánto queda multiplicada la distancia de frenado? Explícalo con el comportamiento de escala de la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) cuadrado y compruébalo con $50 \to 100$ km/h.
3. Investigación de un accidente: las marcas de frenada miden $50$ m. ¿De qué velocidad acusa la fórmula al conductor (redondeando al km/h)? ¿Qué [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de referencia ha respondido, y en qué [dominio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) es inequívoca la lectura ( [Proposición 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) )?
4. Compara la distancia adicional que causa *un* km/h más a velocidad baja y a velocidad alta: calcula $d(31) - d(30)$ y $d(91) - d(90)$ . ¿Qué propiedad de la parábola ( [Proposición 4.4](#prop-g10-reffunc-square) ) ilustran las dos respuestas?
5. En una frenada real hay que añadir el tiempo de reacción, un segundo aproximadamente, durante el cual el coche recorre $0.28v$ metros: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Calcula $D(50)$ y $D(130)$ . ¿Cuál de los dos términos, el afín o el cuadrático, domina a velocidad urbana? ¿Y en autopista?

**Parte II — Las hipérbolas de la vida diaria.**

6. Una palanca está en equilibrio cuando fuerza $\times$ distancia es igual a los dos lados. Un niño de $60$ kg se sienta a $2$ m del punto de apoyo; la fuerza que equilibra a distancia $d$ del otro lado es $F(d) = \frac{120}{d}$ (en equivalentes de kilogramo). Calcula $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
7. ¿Qué dice la variación de la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa ( [Proposición 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse) ) sobre las palancas? ¿Y por qué se esconde en la cola de la hipérbola la bravata de Arquímedes (“dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra”)? ¿Qué prohíbe $d = 0$ ?
8. El sonido y la luz se atenúan con el *cuadrado* de la distancia: a $1$ m de una lámpara la intensidad es de $100$ unidades; dala a $2$ , $3$ y $10$ m. Explica el exponente $2$ con una esfera: ¿sobre qué superficie se ha repartido la luz a distancia $d$ (problema de la lápida de Arquímedes, en el volumen anterior)?
9. Un autobús para la excursión escolar cuesta $600$ euros, a repartir a partes iguales entre $n$ participantes. Haz una tabla del coste por cabeza para $n = 10, 20, 30$ , halla cuántos participantes lo bajan a $25$ euros o menos y di qué promete, y qué se niega a dar, la forma de la hipérbola cuando $n$ crece.
10. Producir $x$ carteles cuesta $2x + 3$ euros ( $3$ euros de preparación). Demuestra que el coste *medio* por cartel es $a(x) = 2 + \frac3x$ , describe su variación e interpreta económicamente su asíntota horizontal. (Compara con el álgebra del [Ejercicio 4.10](#exo-g10-reffunc-10) .)

**Parte III — La armonía de Kepler.** Para cada planeta, sea $a$ su distancia media al Sol (en unidades astronómicas, Tierra $= 1$) y $T$ su periodo (en años). Datos: Marte $a = 1.52$, $T = 1.88$; Júpiter $a = 5.20$, $T = 11.86$; Saturno $a = 9.54$, $T = 29.4$.

11. Calcula $a^3$ y $T^2$ para la Tierra, Marte y Júpiter. ¿Qué observó Kepler en 1618?
12. Enuncia la ley como una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) : $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Pruébala con Saturno.
13. Dos predicciones: un asteroide orbita a $a = 4$ UA; halla su periodo (los números salen enteros). Un cometa vuelve cada $27$ años; halla su distancia media (busca un cubo perfecto).
14. ¿Qué tres funciones de referencia trenza esta ley? ¿Y cuál es su regla de escala: si $a$ se multiplica por $4$ , qué le ocurre a $T$ ? (Compruébalo con el asteroide frente a la Tierra.)
15. Kepler leyó esta ley en los datos de Tycho Brahe setenta años antes de que la gravitación de Newton la explicara. En una frase: ¿qué dice este episodio sobre el poder de reconocer una [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de referencia en una tabla de números?

**Parte IV — La liebre y la tortuga.**

16. Ordena $\sqrt x$ , $x$ y $x^2$ en $\intoo{0}{1}$ y en $\intoo{1}{+\infty}$ ( [Proposición 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) ) y comprueba las dos ordenaciones en $x = 0.25$ y en $x = 4$ .
17. Resuelve $\sqrt x > x$ por completo (para $x \geq 0$ , eleva al cuadrado con cuidado y termina con una [tabla de signos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-signtable) ).
18. Entra el cubo: ordena $x$ , $x^2$ , $x^3$ en $x = 0.5$ y en $x = 2$ y halla todos los puntos donde se cortan las funciones cuadrado y cubo.
19. Dos planes de ahorro pagan, al cabo de $t$ años, $100\sqrt t$ euros (plan A) o $10 t^2$ euros (plan B). Demuestra que B adelanta a A cuando $t^3 = 100$ y da el momento del cruce con precisión de un mes. ¿Moraleja sobre raíces frente a potencias a largo plazo?
20. Final: para cada ley de este problema (el frenado con $v^2$ , la palanca con $1/d$ , la lámpara con $1/d^2$ , Kepler con $a^{3/2}$ , el plan A con $\sqrt t$ ), di en una frase qué rasgo de su [gráfica](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph) de referencia lleva el significado físico (subida cada vez más pronunciada, asíntota vertical, esfera que se expande, exponente de escala, crecimiento que se aplana). Conclusión: las funciones de referencia son el alfabeto; la naturaleza escribe con ellas.

**Solución de Problema 4.1.**

**1.** $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m.

**2.** Doblar $v$ dobla $\frac v{10}$ y multiplica su cuadrado por $4$: $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$. El doble de velocidad, cuatro veces la distancia: el comportamiento de escala de la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) cuadrado.

**3.** $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ da $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$, luego $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h. Ha respondido la raíz cuadrada; la lectura es inequívoca porque las velocidades son positivas y en $\intco{0}{+\infty}$ la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) cuadrado sube estrictamente ([Proposición 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt): una única [antiimagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) positiva).

**4.** $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, mientras que $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: el mismo $+1$ km/h cuesta tres veces más distancia a velocidad alta. La parábola no solo sube: se vuelve cada vez más *empinada*; su ritmo de subida crece con $x$.

**5.** $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m. En ciudad, el término afín (la reacción) es la parte mayor; en autopista, el término cuadrático lo aplasta: lo afín crece de manera constante, los cuadrados se disparan.

**6.** $F(0.5) = 240$, $F(1) = 120$, $F(3) = 40$.

**7.** La [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa decrece: cuanto más lejos del punto de apoyo, menor es la fuerza necesaria; con un brazo de palanca suficientemente largo ($d$ enorme), cualquier fuerza, por pequeña que sea, equilibra cualquier carga. La bravata de Arquímedes vive en la cola de la hipérbola, que se acerca a $0$ sin llegar nunca. Y $d = 0$ es el valor prohibido: sin brazo no hay palanca; es la asíntota vertical.

**8.** $\frac{100}{4} = 25$ a $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ a $3$ m y $1$ a $10$ m. A distancia $d$, la luz se ha repartido sobre una esfera de área $4\pi d^2$ (problema de la lápida de Arquímedes, en el volumen anterior): la misma energía dividida entre un área que crece como $d^2$; de ahí el inverso del *cuadrado*.

**9.** $60$, $30$ y $20$ euros por cabeza para $n = 10, 20, 30$. Para $\frac{600}{n} \leq 25$ hacen falta $n \geq 24$ participantes. La hipérbola promete partes cada vez más baratas a medida que $n$ crece, y se niega a llegar nunca a $0$: el autobús nunca es gratis.

**10.** $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$: [decreciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations) en $\intoo{0}{+\infty}$ (la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) inversa desplazada), acercándose a la asíntota $y = 2$. En términos económicos: repartir los $3$ euros fijos entre más carteles empuja el coste unitario hacia los $2$ euros incompresibles de material; economías de escala, con un suelo infranqueable.

**11.** Tierra: $a^3 = 1$, $T^2 = 1$. Marte: $1.52^3 \approx 3.51$ y $1.88^2 \approx 3.53$. Júpiter: $5.20^3 \approx 140.6$ y $11.86^2 \approx 140.7$. Lo que observó Kepler: $T^2 = a^3$ para todos los planetas; una sola ley para todo el cielo.

**12.** $T = \sqrt{a^3}$: para Saturno, $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ años, frente a los $29.4$ observados: la ley se cumple con un error de una décima.

**13.** Asteroide: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ años. Cometa: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$, luego $a = 9$ UA.

**14.** El cuadrado ($T^2$), el cubo ($a^3$) y la raíz cuadrada (para despejar $T$). Escala: multiplicar $a$ por $4$ multiplica $T$ por $4\sqrt4 = 8$, como confirma el asteroide (a cuatro veces la distancia de la Tierra, ocho veces su periodo).

**15.** Una tabla de números, contrastada con las formas de unas pocas funciones de referencia, dio una ley del universo setenta años antes de que nadie supiera *por qué* se cumplía: reconocer la [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) es la mitad de la ciencia.

**16.** En $\intoo{0}{1}$: $x^2 < x < \sqrt x$; en $\intoo{1}{+\infty}$: $\sqrt x < x < x^2$. Comprobaciones: en $x = 0.25$, $0.0625 < 0.25 < 0.5$; en $x = 4$, $2 < 4 < 16$.

**17.** Para $x \geq 0$ los dos miembros son $\geq 0$, así que $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$.

**18.** En $x = 0.5$: $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$. En $x = 2$: $2 < 4 < 8$: el orden se invierte. Cortes de $x^2$ y $x^3$: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$, en $x = 0$ y $x = 1$.

**19.** $10t^2 = 100\sqrt t$ da $t^2 = 10\sqrt t$; elevando al cuadrado, $t^4 = 100t$, luego $t^3 = 100$ y $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ años, unos $4$ años y $8$ meses. (Los dos planes pagan entonces unos $215$ euros.) Moraleja: las raíces esprintan al principio, las potencias ganan todos los maratones.

**20.** Frenado: lo *empinada* que se vuelve la parábola es el peligro de la velocidad. Palanca: la *asíntota vertical* en $0$ y la cola larga son la ventaja del mecánico. Lámpara: el $d^2$ de la *esfera que se expande* fija la atenuación. Kepler: el *exponente* $\frac32$ es el tempo del sistema solar. Plan A: el *aplanamiento* de la raíz es el destino del ahorrador lento. Cinco [gráficas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-graph), cinco leyes: el alfabeto de la naturaleza, en efecto.