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title: "Geometría analítica"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 5
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica
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# Capítulo 5 — Geometría analítica

La gran idea de Descartes fue describir los puntos mediante parejas de números, convirtiendo los problemas de geometría en cálculos. Con solo dos fórmulas, la del [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) y la de la distancia, se puede demostrar que un triángulo es isósceles, que un cuadrilátero es un paralelogramo o que tres puntos están alineados, sin trazar ni una sola línea auxiliar.

## 5.1 Coordenadas en el plano

**Definición 5.1 (Sistema de coordenadas).**

Un *sistema de coordenadas* del plano consta de un origen $O$ y dos ejes graduados que pasan por $O$: el eje horizontal, o eje $x$, y el eje vertical, o eje $y$. Cada punto $M$ tiene entonces una única pareja de *coordenadas* $(x, y)$: su *abscisa* $x$ y su *ordenada* $y$. El sistema es *ortonormal* cuando los ejes son perpendiculares y llevan la misma unidad de longitud. Todos los sistemas de este capítulo son ortonormales.

![Cada punto del plano queda localizado por dos números: primero la abscisa (horizontal) y después la ordenada (vertical).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-9451968d4277.svg)

*Cada punto del plano queda localizado por dos números: primero la [abscisa](#def-g10-coordgeom-system) (horizontal) y después la [ordenada](#def-g10-coordgeom-system) (vertical).*

## 5.2 Punto medio de un segmento

**Proposición 5.2 (Fórmula del punto medio).**

Sean $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$. El *punto medio* $I$ del segmento $[AB]$ tiene [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system)

$$
I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).
$$

**Demostración.** Fijémonos en las [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) horizontales. Al ir de $A$ a $B$, la [abscisa](#def-g10-coordgeom-system) varía en $x_B - x_A$; el punto situado a mitad de camino tiene [abscisa](#def-g10-coordgeom-system)

$$
x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2}
= \frac{x_A + x_B}{2},
$$

la media de las dos [abscisas](#def-g10-coordgeom-system). El mismo cálculo vale para las [ordenadas](#def-g10-coordgeom-system). ∎

**Ejemplo 5.3.**

Con $A(-1, 4)$ y $B(5, -2)$, el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ es

$$
I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).
$$

La fórmula también funciona al revés: si $A(-1, 4)$ y el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) es $I(2, 1)$, entonces $B$ cumple $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ y $\frac{4 + y_B}{2} = 1$, luego $x_B = 5$ e $y_B = -2$: el punto $B$ es el *simétrico* de $A$ respecto de $I$.

## 5.3 Distancia entre dos puntos

**Teorema 5.4 (Fórmula de la distancia).**

En un [sistema ortonormal](#def-g10-coordgeom-system), la distancia entre $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$ es

$$
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
$$

**Demostración.** Sea $C$ el punto $(x_B, y_A)$: está a la misma altura que $A$ y tiene la misma [abscisa](#def-g10-coordgeom-system) que $B$, así que el triángulo $ACB$ tiene un ángulo recto en $C$. Sus catetos son segmentos horizontales y verticales, de longitudes $AC = \abs{x_B - x_A}$ y $CB = \abs{y_B - y_A}$. Por el teorema de Pitágoras,

$$
AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,
$$

y al tomar la raíz cuadrada (los dos miembros son no negativos) se obtiene la fórmula. ∎

![La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ACB, construido sobre un cateto horizontal y otro vertical.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-235b7a1fe84f.svg)

*La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo $ACB$, construido sobre un cateto horizontal y otro vertical.*

**Ejemplo 5.5.**

Con $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$:

$$
AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .
$$

Las distancias suelen dejarse en forma exacta (con la raíz); redondea solo al final, si hace falta una respuesta decimal.

**Observación 5.6.**

El orden de los puntos no importa: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$. ¡Pero no te olvides de los cuadrados! La distancia *no* es $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$.

## 5.4 Las fórmulas al servicio de la geometría

**Método 5.7 (Naturaleza de un triángulo).**

Dados tres puntos $A$, $B$, $C$ por sus [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system):

1. calcula los tres cuadrados de las longitudes $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ con la fórmula de la distancia (dejarlo en cuadrados evita las raíces);
2. dos cuadrados iguales $\Rightarrow$ el triángulo es *isósceles* ;
3. si el mayor de los cuadrados es la suma de los otros dos, el triángulo es *rectángulo* en el vértice opuesto al lado más largo, por el recíproco del teorema de Pitágoras.

**Ejemplo 5.8.**

Sean $A(0, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -3)$. Entonces

$$
\begin{align*}
AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\
AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\
BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 .
\end{align*}
$$

En primer lugar, $AB^2 = AC^2$, luego $AB = AC$: el triángulo es isósceles en $A$. Además $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$, así que por el recíproco del teorema de Pitágoras también es rectángulo en $A$.

**Método 5.9 (Reconocer un paralelogramo).**

Un cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo exactamente cuando sus diagonales $[AC]$ y $[BD]$ tienen el mismo [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint). Así pues: calcula los dos [puntos medios](#prop-g10-coordgeom-midpoint) con la fórmula correspondiente y compáralos.

**Ejemplo 5.10.**

Sean $A(-1, 0)$, $B(2, 2)$, $C(5, 1)$ y $D(2, -1)$. El [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$ es $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$; el de $[BD]$ es $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) =
(2, \frac12)$. Coinciden, así que $ABCD$ es un paralelogramo.

![ABCD es un paralelogramo porque sus dos diagonales comparten el punto medio I(2, 1/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-4496c905f6f2.svg)

*$ABCD$ es un paralelogramo porque sus dos diagonales comparten el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I(2, \frac12)$.*

## 5.5 Ejercicios

**Ejercicio 5.1 ★.**

Sean $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$. Calcula las [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) del [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ y la distancia $AB$.

**Solución de Ejercicio 5.1.**

[Punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint): $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$. Distancia:

$$
AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}
= 2\sqrt{13}.
$$

**Ejercicio 5.2 ★.**

Sean $A(3, -2)$ e $I(1, 2)$. Halla las [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) del punto $B$ tal que $I$ sea el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$.

**Solución de Ejercicio 5.2.**

Que $I$ sea el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ significa $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ y $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$, luego $x_B = -1$ e $y_B = 6$: $B(-1, 6)$.

**Ejercicio 5.3 ★.**

¿Cuál de los puntos $P(4, 1)$, $Q(-3, 2)$ y $R(0, -5)$ está más cerca del origen $O(0,0)$? Responde con distancias exactas.

**Solución de Ejercicio 5.3.**

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$. Como $13 < 17 < 25$ y la raíz cuadrada es [creciente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-variations), $Q$ es el más cercano al origen.

**Ejercicio 5.4 ★.**

Representa los puntos $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(7, 0)$ en papel cuadriculado y demuestra después con un cálculo que el triángulo $ABC$ es isósceles. ¿Es rectángulo?

**Solución de Ejercicio 5.4.**

Cuadrados de las longitudes:

$$
\begin{align*}
AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\
BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\
AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 .
\end{align*}
$$

$AB = BC$: el triángulo es isósceles en $B$. Además $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$: por el recíproco del teorema de Pitágoras también es rectángulo en $B$.

**Ejercicio 5.5 ★★.**

Sean $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, 1)$ y $D(1, -1)$.

1. Demuestra que $ABCD$ es un paralelogramo.
2. Calcula $AB$ y $BC$ . ¿Es $ABCD$ un rombo (todos los lados iguales)?
3. Calcula $AC$ y $BD$ . ¿Es $ABCD$ un rectángulo (diagonales iguales)?

**Solución de Ejercicio 5.5.**

*1.* [Punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$: $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$; [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BD]$: $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$. Mismo [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint): $ABCD$ es un paralelogramo.

*2.* $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ y $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$: $AB \neq BC$, no es un rombo.

*3.* $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ y $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$: $AC \neq BD$, no es un rectángulo. $ABCD$ es un paralelogramo sin más.

**Ejercicio 5.6 ★★.**

La circunferencia de centro $\Omega(2, 1)$ y radio $5$ está formada por todos los puntos que distan $5$ de $\Omega$. ¿Cuáles de los puntos $A(5, 5)$, $B(-1, -3)$, $C(6, 2)$ están sobre ella? ¿Cuáles en su interior? ¿Cuáles en su exterior?

**Solución de Ejercicio 5.6.**

Calculamos los cuadrados de las distancias a $\Omega(2,1)$ y los comparamos con $5^2 = 25$:

$$
\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad
\Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad
\Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .
$$

$A$ y $B$ están sobre la circunferencia; $C$ está dentro ($17 < 25$).

**Ejercicio 5.7 ★★.**

Sean $A(1, 1)$ y $B(7, 5)$. Halla todos los puntos $M(x, 0)$ del eje $x$ que equidistan de $A$ y de $B$. (Escribe $MA^2 = MB^2$ y despeja $x$.)

**Solución de Ejercicio 5.7.**

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ y $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$. Igualando $MA^2 = MB^2$:

$$
x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74
\ \Longleftrightarrow\
12x = 72
\ \Longleftrightarrow\
x = 6 .
$$

El único punto de ese tipo es $M(6, 0)$.

**Ejercicio 5.8 ★★.**

Sean $A(0, 3)$ y $B(4, 1)$.

1. Calcula las [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) del [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ de $[AB]$ .
2. Comprueba que $M(2, 2) = I$ y verifica después, calculando $MA$ y $MB$ , que $M$ equidista de $A$ y de $B$ .
3. Halla un segundo punto, sobre el eje $y$ , que equidiste de $A$ y de $B$ .

**Solución de Ejercicio 5.8.**

*1.* $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

*2.* $M(2,2)$ es efectivamente $I$. Y $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$, $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$: el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) equidista de los dos extremos, como era de esperar.

*3.* Buscamos $N(0, y)$ con $NA^2 = NB^2$:

$$
(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2
\ \Longleftrightarrow\
9 - 6y = 16 + 1 - 2y
\ \Longleftrightarrow\
-4y = 8,
$$

luego $y = -2$: el punto $N(0, -2)$.

**Ejercicio 5.9 ★★.**

Se dan los puntos $A(-1, -1)$, $B(3, 1)$ y $C(11, 5)$. Calcula $AB$, $BC$ y $AC$ y deduce que $A$, $B$, $C$ están alineados. (Tres puntos están alineados exactamente cuando la mayor de las tres distancias es la suma de las otras dos.)

**Solución de Ejercicio 5.9.**

$$
\begin{align*}
AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\
BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\
AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 .
\end{align*}
$$

Entonces $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$: la desigualdad triangular es una igualdad, así que $B$ está sobre el segmento $[AC]$; los tres puntos están alineados.

**Ejercicio 5.10 ★★★.**

Sean $A(a, 0)$ y $B(0, b)$ con $a, b > 0$, y sea $I$ el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$. Demuestra con un cálculo que $OI = IA = IB$, donde $O$ es el origen. (Esto demuestra un teorema clásico: en un triángulo rectángulo, el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de la hipotenusa equidista de los tres vértices.)

**Solución de Ejercicio 5.10.**

El [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ es $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$. Entonces

$$
OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},
\qquad
IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2
= \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},
$$

y también $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 +
\left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$. Los tres cuadrados de las distancias coinciden, luego $OI = IA = IB$: el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de la hipotenusa del triángulo rectángulo $OAB$ equidista de los tres vértices (es el centro de su circunferencia circunscrita).

## 5.6 Problema: El puente de Descartes — ecuaciones de circunferencias y cómo saber dónde estás

**Problema 5.1.**

Problema de fin de semana — la circunferencia se convierte en una ecuación, los viejos teoremas en cálculos y tres balizas localizan un punto: trilateración por álgebra

En 1637, René Descartes tendió un puente entre dos continentes: toda curva de la geometría pasó a ser una *[ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation)* y toda cuestión geométrica, un cálculo. Este problema recorre el puente en los dos sentidos: deduce la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia a partir de la fórmula de la distancia ([Teorema 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)), vuelve a demostrar teoremas clásicos en tres líneas de álgebra y termina donde el puente soporta hoy más tráfico: calcular una posición a partir de señales de distancia, el corazón, en versión plana, del GPS.

**Parte I — La circunferencia recibe una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation).**

1. Un punto $M(x, y)$ está en la circunferencia de centro $\Omega(2, 1)$ y radio $5$ exactamente cuando $\Omega M = 5$. Eleva al cuadrado esa condición para obtener la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la circunferencia: $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$$
2. Comprueba la pertenencia: ¿cuáles de los puntos $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ están sobre la circunferencia, cuáles dentro y cuáles fuera?
3. Una circunferencia disfrazada: completa los cuadrados ([Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#pb-g10-algebra-1)) en $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ y da su centro y su radio.
4. Haz lo mismo con $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . ¿Qué revela la forma completada? Enuncia el criterio: ¿cuándo describe $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ una circunferencia, cuándo un único punto y cuándo nada en absoluto?
5. Corta la circunferencia de la pregunta 3 con la recta horizontal $y = 3$ : sustituye y resuelve. ¿Cuántos puntos salen y qué nombre geométrico recibe una recta así?

**Parte II — Viejos teoremas en tres líneas.**

6. El teorema de la circunferencia del volumen anterior (un ángulo recto en toda semicircunferencia), demostrado de nuevo por álgebra: sean $A(-r, 0)$ y $B(r, 0)$ los extremos de un diámetro y $M(x, y)$ un punto cualquiera de la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$ . Calcula $MA^2 + MB^2$ y concluye con el recíproco de Pitágoras que $\widehat{AMB}$ es recto.
7. El teorema de la mediana: con $A(-a, 0)$ y $B(a, 0)$ (de modo que el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ es el origen $I$), demuestra que para todo punto $M(x, y)$: $$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$$
8. Deduce el lugar geométrico de los puntos $M$ con $MA^2 + MB^2 = 26$ cuando $AB = 6$ : ¿qué curva, con qué centro y qué radio?
9. Otro lugar geométrico: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; halla todos los puntos con $MA = 2\,MB$ . (Eleva al cuadrado, desarrolla, completa los cuadrados: aparece una circunferencia famosa, que Apolonio ya conocía sin [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) .)
10. En una o dos frases: ¿qué cambia el puente de Descartes en la *manera* de demostrar teoremas? Compara la pregunta 6 con la demostración mediante un rectángulo del teorema de la circunferencia del volumen anterior (un ángulo recto en toda semicircunferencia).

**Parte III — Tres balizas te encuentran.** Tu posición $M(x, y)$ es desconocida. La baliza $P(0, 0)$ mide tu distancia y obtiene $5$; la baliza $Q(6, 0)$ obtiene también $5$.

11. Escribe las dos ecuaciones de circunferencia, réstalas y observa cómo se cancelan los cuadrados: ¿qué [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) sencilla sobrevive? Combínala con una de las circunferencias para hallar las *dos* posiciones candidatas.
12. Una tercera baliza, $R(0, 8)$ , mide tu distancia y obtiene $5$ . Calcula su distancia a cada candidata y decide dónde estás.
13. Explica por qué restar dos ecuaciones de circunferencia da *siempre* la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de una recta (¿qué términos se cancelan?) y qué recta es esa, geométricamente, cuando las dos circunferencias se cortan en dos puntos.
14. El posicionamiento por satélite real funciona en el espacio y con relojes imperfectos: cada satélite aporta (a través del tiempo de viaje de la señal) una distancia y, por tanto, una esfera. ¿Cuántas incógnitas tiene un receptor (la posición *y* el error de su propio reloj) y por qué el GPS escucha entonces al menos a *cuatro* satélites?
15. Precisión: supón que la distancia de la baliza $P$ es realmente $5.1$ en lugar de $5$ (todo lo demás igual). Rehaz la resta de la pregunta 11 para hallar el nuevo $x$ y cuantifica cuánto se ha desplazado la estimación. (Compara con las ideas sobre el presupuesto de errores del [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#pb-g10-numbers-1) .)

**Parte IV — La caja de herramientas del topógrafo.**

16. El camino más corto para ir a beber: un campamento en $A(1, 5)$ , un establo en $B(7, 3)$ y un río recto a lo largo del eje $y = 0$ . Para ir de $A$ al río y después a $B$ andando lo menos posible: refleja $B$ respecto del río en $B'$ y halla dónde corta el segmento $[AB']$ al río. Da el punto de corte y la longitud total mínima. (La idea es la del ejercicio del rebote de billar del volumen anterior, ahora totalmente calculable.)
17. Confirma que es mínima frente a una rival: calcula el camino total pasando por $Q(3, 0)$ y comprueba que pierde frente a tu respuesta.
18. Clasifica por completo el cuadrilátero $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ : ¿paralelogramo?, ¿rombo?, ¿rectángulo?, ¿cuadrado? ( [Método 5.9](#met-g10-coordgeom-parallelogram) , [Método 5.7](#met-g10-coordgeom-triangle) ; compara también las diagonales.)
19. Dados $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , halla $D$ tal que $ABCD$ sea un paralelogramo (el truco del [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de las diagonales del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los medios giros, ahora en fórmulas).
20. Final: tres herramientas, la fórmula del [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) , la de la distancia y la resta de ecuaciones de circunferencia. Di, para cada una, qué tipo de pregunta ha resuelto en este problema y qué añaden a la caja los dos capítulos siguientes (direcciones y [pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) : los vectores y las ecuaciones de rectas).

**Solución de Problema 5.1.**

**1.** $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ por la fórmula de la distancia ([Teorema 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)); elevar al cuadrado es inofensivo, porque los dos miembros son positivos.

**2.** $A$: $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$: está sobre la circunferencia. $B$: $16 + 9 = 25$: también. $D$: $4 + 9 = 13 < 25$: está dentro.

**3.** $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ y $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$, así que la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) queda $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$: centro $(3, -2)$, radio $5$.

**4.** $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$: una suma de cuadrados nunca es negativa, así que ningún punto la cumple: el conjunto vacío. En general, $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ es una circunferencia de radio $\sqrt c$ si $c > 0$, el único punto $(h, k)$ si $c = 0$ y el vacío si $c < 0$.

**5.** Con $y = 3$: $(x - 3)^2 + 25 = 25$, luego $(x - 3)^2 = 0$: el único punto $(3, 3)$. Un solo punto de contacto: la recta es *tangente* a la circunferencia.

**6.** $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2
= 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (usando $x^2 + y^2 = r^2$). Como $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$, el triángulo $AMB$ cumple $MA^2 + MB^2 = AB^2$: es rectángulo en $M$ (recíproco de Pitágoras); tres líneas, tal como se prometía.

**7.** $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2
= 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$, y $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$. Identidad demostrada.

**8.** $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ da $MI^2 = 4$: la circunferencia de centro el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ y radio $2$.

**9.** $MA^2 = 4\,MB^2$: $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$, es decir, $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$, o bien $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$; completando cuadrados, $(x - 4)^2 + y^2 = 4$: la circunferencia de centro $(4, 0)$ y radio $2$ (la *circunferencia de Apolonio* de razón $2$).

**10.** El puente convierte las construcciones en cálculos: sin rectángulo auxiliar y sin distinción de casos, un desarrollo y el teorema cae solo. El precio: los cálculos llevan menos intuición geométrica; la demostración clásica muestra el *porqué* y la algebraica, el *que*. Un matemático en activo conserva las dos.

**11.** $x^2 + y^2 = 25$ y $(x - 6)^2 + y^2 = 25$. Restando: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$, es decir, $12x - 36 = 0$: $x = 3$. Después $9 + y^2 = 25$: $y = \pm 4$. Candidatas: $(3, 4)$ y $(3, -4)$.

**12.** De $(3, 4)$ a $R(0, 8)$: $\sqrt{9 + 16} = 5$: encaja. De $(3, -4)$: $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$: no encaja. Estás en $(3, 4)$.

**13.** Las dos ecuaciones llevan el mismo $x^2 + y^2$ (o con coeficientes iguales tras [desarrollar](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-expand)): al restar se cancelan los cuadrados y queda una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de primer grado, o sea, una recta. Cuando las circunferencias se cortan dos veces, esa recta pasa por los dos puntos de corte: es la recta de la cuerda común.

**14.** Cuatro incógnitas: las tres [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) más el error del reloj del receptor (un reloj barato, corregido por las matemáticas). Cada satélite aporta una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation), así que cuatro satélites dan cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas; más satélites mejoran la precisión.

**15.** La resta da ahora $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$: un error de $10$ cm en una distancia ha desplazado la estimación unos $8$ cm. Los errores se propagan por todas las fórmulas: la prudencia de la aritmética de [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) del [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#pb-g10-numbers-1), ahora con [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system).

**16.** $B'(7, -3)$. La recta $(AB')$ tiene [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ y corta a $y = 0$ en $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$: hay que beber en $P(4.75,\ 0)$. Longitud mínima: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

**17.** Pasando por $Q(3, 0)$: $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 >
10$. Gana la línea recta reflejada.

**18.** [Puntos medios](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de las diagonales: $[AC]$: $(3, 3)$; $[BD]$: $(3, 3)$; iguales: paralelogramo. Lados: $AB = \sqrt{10} = AD$: rombo. Diagonales: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$: no es un rectángulo y, por tanto, tampoco un cuadrado. Veredicto: un rombo, y nada más.

**19.** $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$: entonces $[AC]$ y $[BD]$ comparten el [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac52, 1\right)$.

**20.** Fórmula del [punto medio](#prop-g10-coordgeom-midpoint): paralelogramos y centros (preguntas 18 y 19). Fórmula de la distancia: circunferencias, lugares geométricos, naturaleza de triángulos, caminos más cortos (preguntas 1 a 9 y 16). Resta de ecuaciones de circunferencia: la recta que localiza una posición (preguntas 11 a 15). Lo que falta en la caja: un álgebra limpia de las *direcciones* (los vectores) y de las *[pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine)* (las ecuaciones de rectas y los sistemas); los dos capítulos siguientes proporcionan exactamente eso.