---
title: "Vectores"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 6
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores
---

# Capítulo 6 — Vectores

Un [vector](#def-g10-vectors-vector) codifica un desplazamiento: una dirección y una longitud, sin importar el punto de partida. Los [vectores](#def-g10-vectors-vector) dan demostraciones limpias de hechos geométricos y, en cuanto entran las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), los reducen a cálculos breves. Serán una herramienta clave en el [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/7-ecuaciones-de-rectas-y-sistemas-lineales#ch-g10-lines) y, más adelante, para el producto escalar del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/16-el-producto-escalar-en-el-plano#ch-g11-scal).

## 6.1 Traslaciones y vectores

**Definición 6.1 (Vector).**

Dados dos puntos $A$ y $B$, el *vector* $\vect{AB}$ representa el desplazamiento de $A$ a $B$: tiene una *dirección* (la de la recta $(AB)$, junto con el sentido en que se recorre, de $A$ hacia $B$) y una *longitud* (la distancia $AB$, que también se escribe $\norm{\vect{AB}}$). Dos vectores son *iguales* cuando codifican el mismo desplazamiento: $\vect{AB} = \vect{CD}$ significa que aplicar los dos desplazamientos a un punto cualquiera da el mismo resultado.

**Proposición 6.2 (Vectores iguales y paralelogramos).**

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exactamente cuando $ABDC$ (¡en este orden!) es un paralelogramo, quizá aplastado; equivalentemente, cuando $[AD]$ y $[BC]$ tienen el mismo [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Vectores iguales AB = CD: misma dirección, mismo sentido, misma longitud. El cuadrilátero ABDC es un paralelogramo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-999585eecc93.svg)

*[Vectores](#def-g10-vectors-vector) iguales $\vect{AB} = \vect{CD}$: misma dirección, mismo sentido, misma longitud. El cuadrilátero $ABDC$ es un paralelogramo.*

**Notación 6.3.**

Un [vector](#def-g10-vectors-vector) se nombra a menudo con una sola letra, $\vec u$ o $\vec v$, cuando los extremos no importan. El *[vector](#def-g10-vectors-vector) nulo* $\vec 0 = \vect{AA}$ es el desplazamiento que no mueve nada. El *opuesto* de $\vect{AB}$ es $\vect{BA}$: la misma longitud, el sentido contrario. Escribimos $\vect{BA} = -\vect{AB}$.

## 6.2 Suma de vectores

**Definición 6.4 (Suma de dos vectores).**

La *suma* $\vec u + \vec v$ es el desplazamiento que se obtiene efectuando $\vec u$ y después $\vec v$.

**Teorema 6.5 (Relación de Chasles).**

Para tres puntos cualesquiera $A$, $B$, $C$:

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.
$$

**Demostración.** Ir de $A$ a $B$ y después de $B$ a $C$ es un desplazamiento que lleva $A$ hasta $C$: es el desplazamiento codificado por $\vect{AC}$. ∎

**Observación 6.6 (Regla del paralelogramo).**

Para sumar dos [vectores](#def-g10-vectors-vector) trazados desde el mismo punto, $\vect{AB} + \vect{AC}$, completa el paralelogramo $ABDC$: la [suma](#def-g10-vectors-sum) es la diagonal $\vect{AD}$. En efecto, $\vect{AC} = \vect{BD}$, luego $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ por la relación de Chasles.

![Dos imágenes de la suma: punta con cola (relación de Chasles, a la izquierda) y regla del paralelogramo (a la derecha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3ca1613ca043.svg)

![Dos imágenes de la suma: punta con cola (relación de Chasles, a la izquierda) y regla del paralelogramo (a la derecha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3828ee349c85.svg)

*Dos imágenes de la [suma](#def-g10-vectors-sum): punta con cola (relación de Chasles, a la izquierda) y regla del paralelogramo (a la derecha).*

**Ejemplo 6.7 (Simplificar con Chasles).**

Simplifiquemos $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$: encadenando los desplazamientos queda $\vect{MQ}$. Simplifiquemos $\vect{AB} - \vect{AC}$: reescribimos la diferencia como [suma](#def-g10-vectors-sum) con el [vector](#def-g10-vectors-vector) opuesto,

$$
\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA}
= \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.
$$

## 6.3 Producto de un vector por un número

**Definición 6.8 (Producto por un escalar).**

Sean $\vec u$ un [vector](#def-g10-vectors-vector) no nulo y $k$ un [número real](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-sets). El [vector](#def-g10-vectors-vector) $k\vec u$ tiene la misma dirección que $\vec u$, longitud $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ y el mismo sentido que $\vec u$ si $k > 0$, o el contrario si $k < 0$. Para $k = 0$, $0\vec u = \vec 0$.

**Definición 6.9 (Colinealidad).**

Dos [vectores](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ y $\vec v$ son *colineales* cuando tienen la misma dirección, es decir, cuando $\vec v = k \vec u$ para algún real $k$ (o cuando uno de ellos es $\vec 0$).

**Observación 6.10.**

La colinealidad es el lenguaje vectorial del paralelismo y de la alineación:

- las rectas $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas exactamente cuando $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ son [colineales](#def-g10-vectors-collinear) ;
- los puntos $A$ , $B$ , $C$ están alineados exactamente cuando $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ son [colineales](#def-g10-vectors-collinear) .

## 6.4 Coordenadas de un vector

**Definición 6.11 (Coordenadas de un vector).**

En un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), las *[coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)* del [vector](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ son los números que describen el desplazamiento:

$$
\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).
$$

Un [vector](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ mueve cada punto $a$ unidades en horizontal y $b$ unidades en vertical.

**Proposición 6.12 (Cálculo con coordenadas).**

Sean $\vec u\,(a, b)$ y $\vec v\,(c, d)$, y sea $k \in \R$.

1. $\vec u = \vec v$ exactamente cuando $a = c$ y $b = d$ ;
2. $\vec u + \vec v$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(a + c,\ b + d)$ ;
3. $k\vec u$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(ka,\ kb)$ ;
4. $\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (en un [sistema ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) ).

**Demostración.** Los puntos 1 a 3 reformulan, coordenada a coordenada, lo que hacen los desplazamientos: por ejemplo, efectuar $\vec u$ y después $\vec v$ mueve un punto en horizontal primero $a$ y luego $c$, o sea $a + c$ en total. El punto 4 es la fórmula de la distancia del [Teorema 5.4](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#thm-g10-coordgeom-distance) aplicada a un segmento que representa $\vec u$. ∎

**Teorema 6.13 (Criterio de colinealidad).**

Dos [vectores](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ y $\vec v\,(c, d)$ son [colineales](#def-g10-vectors-collinear) si y solo si

$$
ad - bc = 0 .
$$

**Demostración.** Si $\vec v = k\vec u$, entonces $c = ka$ y $d = kb$, luego $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$. Lo mismo ocurre si $\vec u = k \vec v$ o si alguno de los dos [vectores](#def-g10-vectors-vector) es nulo.

Recíprocamente, supongamos $ad - bc = 0$ con $\vec u \neq \vec 0$, digamos $a \neq 0$ (el caso $b \neq 0$ es análogo). Tomamos $k = \frac{c}{a}$; entonces $c = ka$, y de $ad = bc = b(ka)$ se obtiene, dividiendo entre $a \neq 0$, $d = kb$. Luego $\vec v = k\vec u$. ∎

**Ejemplo 6.14.**

¿Son [colineales](#def-g10-vectors-collinear) $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec v\,(-6, 4)$? Calculamos $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$: sí, y en efecto $\vec v = -2\vec u$. Para $\vec u\,(3, -2)$ y $\vec w\,(1, 5)$: $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$: no son [colineales](#def-g10-vectors-collinear).

**Método 6.15 (Alineación y paralelismo).**

Para demostrar que tres puntos $A$, $B$, $C$ están alineados:

1. calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$ y de $\vect{AC}$ ;
2. comprueba el criterio $ad - bc = 0$ del [Teorema 6.13](#thm-g10-vectors-det) ;
3. concluye: los [vectores](#def-g10-vectors-vector) son [colineales](#def-g10-vectors-collinear) y comparten el punto $A$ , así que los tres puntos están alineados.

El mismo cálculo con $\vect{AB}$ y $\vect{CD}$ demuestra que las rectas $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas.

**Ejemplo 6.16.**

Sean $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ y $C(7, 11)$. Entonces $\vect{AB}\,(2, 3)$ y $\vect{AC}\,(6, 9)$, y $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$: los puntos están alineados (de hecho, $\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

![Puntos alineados: AC es un múltiplo de AB.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-1e83277b8c55.svg)

*Puntos alineados: $\vect{AC}$ es un múltiplo de $\vect{AB}$.*

## 6.5 Ejercicios

**Ejercicio 6.1 ★.**

Simplifica usando la relación de Chasles:

$$
\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad
\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad
\vect{AC} - \vect{BC}, \qquad
\vect{AB} + \vect{CA}.
$$

**Solución de Ejercicio 6.1.**

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$.

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$.

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$.

**Ejercicio 6.2 ★.**

Sean $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(-1, 4)$. Calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$, $\vect{BC}$ y $\vect{AC}$, y comprueba sobre las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

**Solución de Ejercicio 6.2.**

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$. Comprobación: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$, coordenada a coordenada.

**Ejercicio 6.3 ★.**

Sean $\vec u\,(2, -3)$ y $\vec v\,(-1, 4)$. Da las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vec u + \vec v$, $3\vec u$ y $2\vec u - \vec v$, y calcula $\norm{\vec u}$.

**Solución de Ejercicio 6.3.**

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$.

$3\vec u = (6, -9)$.

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$.

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

**Ejercicio 6.4 ★.**

En cada caso, di si $\vec u$ y $\vec v$ son [colineales](#def-g10-vectors-collinear):

$$
\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9);
\qquad
\text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10);
\qquad
\text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).
$$

**Solución de Ejercicio 6.4.**

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$: [colineales](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = \frac32 \vec u$).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$: [colineales](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$).

(c) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$: no son [colineales](#def-g10-vectors-collinear).

**Ejercicio 6.5 ★.**

Sean $A(0, 2)$, $B(4, 0)$, $C(6, 3)$. Halla las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) del punto $D$ tal que $ABCD$ sea un paralelogramo, es decir, tal que $\vect{AB} = \vect{DC}$.

**Solución de Ejercicio 6.5.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ y $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$. La condición $\vect{AB} = \vect{DC}$ da $6 - x_D = 4$ y $3 - y_D = -2$, luego $D(2, 5)$.

**Ejercicio 6.6 ★★.**

Sean $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, -1)$.

1. Calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) del punto $M$ tal que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
2. ¿Qué es el cuadrilátero $ABMC$ ? Justifícalo.

**Solución de Ejercicio 6.6.**

*1.* $\vect{AB}\,(3, 2)$ y $\vect{AC}\,(6, -2)$, luego $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ y $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$.

*2.* Por la regla del paralelogramo, $\vect{AM} = \vect{AB} +
\vect{AC}$ significa que $ABMC$ es un paralelogramo ($M$ es el cuarto vértice, opuesto a $A$). Se puede comprobar: $\vect{AB}\,(3,2)$ y $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ son iguales.

**Ejercicio 6.7 ★★.**

Sean $A(1, -1)$, $B(4, 1)$, $C(10, 5)$. ¿Están alineados los puntos $A$, $B$, $C$? La misma pregunta para $A(0, 3)$, $B(2, 2)$, $C(8, -1)$.

**Solución de Ejercicio 6.7.**

Primer trío: $\vect{AB}\,(3, 2)$, $\vect{AC}\,(9, 6)$; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$: alineados ($\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

Segundo trío: $\vect{AB}\,(2, -1)$, $\vect{AC}\,(8, -4)$; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$: también alineados ($\vect{AC} = 4\vect{AB}$).

**Ejercicio 6.8 ★★.**

Sean $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(6, 1)$, $D(2, -1)$. Demuestra que $(AB)$ y $(CD)$ son paralelas y después que $ABCD$ es un paralelogramo. ¿Cuál de las dos comprobaciones implica la otra?

**Solución de Ejercicio 6.8.**

$\vect{AB}\,(4, 2)$ y $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$: los dos [vectores](#def-g10-vectors-vector) son *iguales*, así que $ABCD$ es un paralelogramo y, en particular, $(AB) \parallel (CD)$. La propiedad de paralelogramo es la más fuerte: implica el paralelismo (la colinealidad de los [vectores](#def-g10-vectors-vector)), pero no al revés.

**Ejercicio 6.9 ★★.**

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el punto definido por $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$. Con $A(0,0)$, $B(6, 3)$, $C(2, 5)$ (para que los cálculos sean sencillos):

1. calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $I$ ;
2. sea $J$ tal que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calcula las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $J$ ;
3. demuestra que $(IJ)$ es paralela a $(AC)$ .

**Solución de Ejercicio 6.9.**

*1.* $\vect{AB}\,(6, 3)$, luego $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} =
(4, 2)$ e $I(4, 2)$.

*2.* $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$, luego $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ y $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3},
\frac{11}{3}\right)$.

*3.* $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) =
\left(\frac23, \frac53\right)$ y $\vect{AC}\,(2, 5)$. Criterio de colinealidad:

$$
\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :
$$

los [vectores](#def-g10-vectors-vector) son [colineales](#def-g10-vectors-collinear), así que $(IJ)$ es paralela a $(AC)$. (Tanto $I$ como $J$ están a un tercio del camino hacia $B$ desde su lado: el pequeño triángulo $IBJ$ es una reducción de $ABC$.)

**Ejercicio 6.10 ★★★.**

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cualquiera y sean $I$, $J$, $K$, $L$ los [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Usando [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $A(x_A, y_A)$, etc., demuestra que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ y concluye que los [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de los lados de *cualquier* cuadrilátero forman un paralelogramo.

**Solución de Ejercicio 6.10.**

Los [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) son

$$
I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad
J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad
K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad
L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).
$$

Primeras [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de los dos [vectores](#def-g10-vectors-vector):

$$
x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
\qquad
x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
$$

y el mismo cálculo vale para las segundas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). Por tanto, $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (los dos valen $\frac12\vect{AC}$) e $IJKL$ es un paralelogramo, sea cual sea el aspecto del cuadrilátero $ABCD$.

## 6.6 Problema: El álgebra de las flechas

**Problema 6.1.**

Problema de fin de semana — gimnasia con Chasles, el baricentro demostrado en dos líneas y fuerzas en equilibrio: para qué sirven de verdad los vectores

En el volumen anterior se demostró que las medianas de un triángulo se cortan a dos tercios de su longitud, con un ingenioso paralelogramo escondido dentro del triángulo (problema de fin de semana del volumen anterior sobre el baricentro). Los [vectores](#def-g10-vectors-vector) lo vuelven a demostrar en dos líneas y regalan además la concurrencia. Para eso sirve esta nueva álgebra: los teoremas se convierten en cálculos con flechas. Este problema entrena el cálculo (Chasles ante todo), entrega la demostración de dos líneas, extiende Varignon ([Ejercicio 6.10](#exo-g10-vectors-10)) y termina donde nacieron los [vectores](#def-g10-vectors-vector): las fuerzas y las velocidades.

**Parte I — Gimnasia con Chasles.**

1. Simplifica usando la relación de Chasles ( [Teorema 6.5](#thm-g10-vectors-chasles) ): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
2. El truco del origen: demuestra que para *cualquier* punto $O$ se cumple $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
3. Demuestra las dos caracterizaciones del [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ de $[AB]$: $$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0  \qquad\text{y}\qquad  \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right)  \ \text{para cualquier } O .$$
4. Usando $\vect{AB} = \vect{DC}$ , vuelve a hallar el cuarto vértice $D$ del paralelogramo $ABCD$ con $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , y compara con la respuesta obtenida mediante el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) en el [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#pb-g10-coordgeom-1) .
5. Sumar un [vector](#def-g10-vectors-vector) fijo $\vec u$ a todos los puntos del plano efectúa, ¿qué transformación? La que se descubrió con dos espejos en el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos espejos y con dos medios giros en el problema de fin de semana del volumen anterior sobre los medios giros. Calcula la [imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de $(1, 2)$ con $\vec u = (3, -1)$ .

**Parte II — El baricentro, tercera demostración.** Definimos el punto $G$ de un triángulo $ABC$ por la elegante condición

$$
\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .
$$

6. Con el truco del origen, demuestra que esta condición determina $G$ de forma única: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}\right)$ para cualquier $O$ ; así que las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $G$ son las *medias* de las de los vértices (el problema de fin de semana del volumen anterior sobre el baricentro ya lo vio numéricamente).
7. Demuestra que $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ y que, llamando $K$ al [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ , $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . Concluye: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ ; el teorema de los dos tercios, demostrado de nuevo.
8. ¿Por qué las medianas desde $B$ y desde $C$ pasan por el *mismo* $G$ sin ningún cálculo adicional? Compara en una frase cada una de las tres demostraciones disponibles de este teorema: el paralelogramo escondido, las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) y los [vectores](#def-g10-vectors-vector) .
9. Comprobación numérica: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calcula $G$ , después $K$ , y verifica $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ con el criterio de colinealidad ( [Teorema 6.13](#thm-g10-vectors-det) ).
10. La física lee $G$ como el punto de equilibrio de tres masas iguales situadas en los vértices. Duplica la masa en $A$ (masas $2, 1, 1$ ): el punto de equilibrio pasa a ser $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . Calcula $G'$ para el triángulo de la pregunta 9 y compara su posición con la de $G$ .

**Parte III — La colinealidad en acción.**

11. ¿Son [colineales](#def-g10-vectors-collinear) $\vec u(3, -2)$ y $\vec v(-6, 4)$ ? ¿Y $\vec w(2, 5)$ y $\vec z(4, 9)$ ? Decídelo con el criterio del determinante.
12. ¿Están alineados los puntos $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ ?
13. Más allá de Varignon ( [Ejercicio 6.10](#exo-g10-vectors-10) ): en cualquier cuadrilátero $ABCD$ , las *bimedianas* unen los [puntos medios](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de lados opuestos ( $[IK]$ y $[JL]$ ). Usando [vectores](#def-g10-vectors-vector) de posición ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ , etc.), demuestra que las dos bimedianas tienen el mismo [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) , de [vector](#def-g10-vectors-vector) de posición $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} +  \vect{OD}\right)$ : el baricentro del cuadrilátero.
14. Tales en una línea: $M$ y $N$ son los puntos definidos por $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ y $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Calcula $\vect{MN}$ en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de $\vect{BC}$ y deduce el paralelismo y la razón.
15. Generaliza la pregunta 14 a una razón cualquiera $k$ y explica en una frase cómo el cálculo vectorial absorbe de golpe el teorema de la base media y el teorema de Tales.

**Parte IV — Fuerzas y velocidades.**

16. Una barca es empujada por una corriente de $3$ km/h hacia el este mientras rema a $4$ km/h hacia el norte. Da el [vector](#def-g10-vectors-vector) velocidad resultante, su módulo y describe el rumbo real. (Aparece un trío de números muy antiguo.)
17. Sobre una anilla actúan tres fuerzas: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calcula la resultante. ¿Qué hace la anilla? ¿Y por qué la [suma](#def-g10-vectors-sum) de las flechas a lo largo de cualquier polígono *cerrado* es siempre $\vec 0$ (Chasles)?
18. Sobre un gancho actúan dos fuerzas, $\vec u(4, -1)$ y $\vec v(-1, 3)$ . ¿Qué tercera fuerza mantiene el gancho en equilibrio?
19. Una nadadora cruza un río apuntando en perpendicular a la orilla a $2$ m/s; la corriente va a $1.5$ m/s. Da la velocidad resultante y su módulo. El río mide $50$ m de ancho: ¿cuánto dura la travesía y a qué distancia río abajo llega la nadadora?
20. Final: un mismo objeto con tres disfraces: flecha de desplazamiento, pareja de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) y fuerza o velocidad. Enumera los tres teoremas clásicos que este problema ha vuelto a demostrar con álgebra vectorial y nombra la única magnitud geométrica que los [vectores](#def-g10-vectors-vector) de este capítulo todavía no saben medir; la herramienta que lo arregla llega con el producto escalar, el año que viene.

**Solución de Problema 6.1.**

**1.** $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (reordenando la tercera [suma](#def-g10-vectors-sum)).

**2.** $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ por Chasles.

**3.** $I$ es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ exactamente cuando $\vect{IA} = -\vect{IB}$, es decir, $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$. Entonces, para cualquier $O$: $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$, luego $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$; y recíprocamente.

**4.** $\vect{AB} = (4, 2)$, y $D$ cumple $\vect{DC} = \vect{AB}$: $D = C - (4, 2) = (2, -2)$; el mismo $D$ que en el [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#pb-g10-coordgeom-1), una línea más rápido.

**5.** La traslación de [vector](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$, exactamente la transformación que producen dos espejos paralelos o dos medios giros. [Imagen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de $(1, 2)$: $(4, 1)$.

**6.** Desarrollando cada $\vect{GX}$ como $\vect{GO} + \vect{OX}$: $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$, luego $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$: uno y solo un punto así, cuyas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) son las medias de las de los tres vértices.

**7.** $\vect{AB} + \vect{AC} =
(\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$, de donde $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$. La fórmula del [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) (pregunta 3, vista desde $A$) da $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$. Comparando: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$; $G$ está sobre la mediana $[AK]$, a dos tercios del camino desde $A$.

**8.** La condición que define $G$ trata a $A$, $B$ y $C$ por igual, así que el mismo cálculo desde $B$ o desde $C$ coloca el *mismo* $G$ a dos tercios de esas medianas: la concurrencia sale gratis. La demostración con el paralelogramo era ingeniosa, pero improvisada para el caso; las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) calculan, pero oscurecen; los [vectores](#def-g10-vectors-vector) hacen visible la simetría y reducen la demostración a dos líneas.

**9.** $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$; $K(4, 4)$; $\vect{AG} = (2, 2)$ y $\vect{AK} = (3, 3)$: determinante $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$, [colineales](#def-g10-vectors-collinear), y en efecto $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$.

**10.** $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) =
(2.5,\ 2.5)$: atraído desde $G(3,3)$ hacia el vértice duplicado $A(1,1)$, como debe hacer un punto de equilibrio.

**11.** $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$: [colineales](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$: no [colineales](#def-g10-vectors-collinear).

**12.** $\vect{AB} = (2, 3)$, $\vect{AC} = (6, 9)$: determinante $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$: alineados.

**13.** $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ y $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$, así que el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[IK]$ tiene [vector](#def-g10-vectors-vector) de posición $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} +
\vect{OC} + \vect{OD})$; y el cálculo para $[JL]$ da exactamente el mismo [vector](#def-g10-vectors-vector). Las dos bimedianas (y, por Varignon, las diagonales del paralelogramo $IJKL$) comparten ese centro: el baricentro del cuadrilátero.

**14.** $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} =
\frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$: luego $(MN) \parallel (BC)$ y $MN = \frac13 BC$.

**15.** Con $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ y $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$: $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$; una sola línea que contiene el teorema de la base media ($k = \frac12$) y el de Tales (cualquier $k$): la razón atraviesa la resta sin inmutarse.

**16.** Resultante $(3, 4)$, módulo $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: la barca avanza realmente hacia el nordeste, tirando al norte, siguiendo la hipotenusa del triángulo $3$–$4$–$5$.

**17.** $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$: la anilla no se mueve; está en equilibrio. A lo largo de un polígono cerrado $A_1 A_2 \dots A_n A_1$, Chasles condensa la [suma](#def-g10-vectors-sum) en $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$: dar la vuelta te devuelve al punto de partida.

**18.** $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$.

**19.** Resultante $(1.5,\ 2)$, módulo $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Travesía: $50$ m a $2$ m/s en la dirección transversal: $25$ s; deriva: $1.5 \times 25 = 37.5$ m río abajo.

**20.** Demostrados de nuevo este fin de semana: el teorema de los dos tercios del baricentro (pregunta 7), el centro de las bimedianas y de Varignon (pregunta 13) y Tales con la base media (preguntas 14 y 15). Lo que las flechas todavía no saben hacer: medir *ángulos* (y, con ellos, longitudes en direcciones arbitrarias); el producto escalar del curso que viene es justo el instrumento que falta.