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title: "Ecuaciones de rectas y sistemas lineales"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 7
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/7-ecuaciones-de-rectas-y-sistemas-lineales
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# Capítulo 7 — Ecuaciones de rectas y sistemas lineales

Una recta del plano de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) se describe mediante una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation), y dos rectas juntas forman un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son sus puntos de corte. Este capítulo conecta tres lenguajes (el geométrico de las rectas, el algebraico de las ecuaciones y el funcional de las funciones afines del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#ch-g10-reffunc)) y enseña las dos maneras habituales de resolver un [sistema lineal](#def-g10-lines-system).

## 7.1 La ecuación de una recta

**Teorema 7.1 (Ecuación explícita).**

En un [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system):

1. toda recta no vertical tiene una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la forma $$y = mx + p ,$$ con $m$ (la *pendiente*) y $p$ (la *[ordenada en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine)*) determinados de manera única; es la *ecuación explícita* de la recta;
2. toda recta vertical tiene una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x = c$ ;
3. un punto está sobre la recta exactamente cuando sus [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) satisfacen la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) .

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Proposición 7.2 (Pendiente a partir de dos puntos).**

La [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) de la recta (no vertical) que pasa por $A(x_A, y_A)$ y $B(x_B, y_B)$, con $x_A \neq x_B$, es

$$
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
\qquad
\text{(``lo que sube $y$ dividido entre lo que avanza $x$'').}
$$

**Demostración.** Los dos puntos cumplen $y = mx + p$, luego $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$; dividimos entre $x_B - x_A \neq 0$. ∎

![Tres tipos de rectas: inclinada (m ≠ 0), horizontal (m = 0) y vertical (sin ecuación explícita: su ecuación es x = c).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-9dbde51774b7.svg)

*Tres tipos de rectas: inclinada ($m \neq 0$), horizontal ($m = 0$) y vertical (sin [ecuación explícita](#thm-g10-lines-reduced): su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es $x = c$).*

**Método 7.3 (Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos).**

Dados $A$ y $B$ con $x_A \neq x_B$:

1. calcula la [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
2. escribe $y = mx + p$ y sustituye las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $A$ (o de $B$ ) para hallar $p$ ;
3. comprueba la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) final con el *otro* punto.

Si $x_A = x_B$, la recta es vertical: su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es $x = x_A$.

**Ejemplo 7.4.**

Recta que pasa por $A(1, 5)$ y $B(3, 1)$. [Pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine): $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$. Entonces $y = -2x + p$; el punto $A$ da $5 = -2 \times 1 + p$, luego $p = 7$. [Ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation): $y = -2x + 7$. Comprobación con $B$: $-2 \times 3 + 7 = 1$.

**Proposición 7.5 (Rectas paralelas).**

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine). Dos rectas paralelas distintas no tienen ningún punto común; dos rectas de [pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) distintas tienen exactamente uno.

**Demostración.** Sean $y = mx + p$ e $y = m'x + p'$ las dos rectas. Un punto común resuelve $mx + p = m'x + p'$, es decir, $(m - m')x = p' - p$. Si $m \neq m'$, esto tiene exactamente una solución, $x = \frac{p' - p}{m - m'}$: un punto de corte. Si $m = m'$, la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) queda $0 = p' - p$: sin solución cuando $p \neq p'$ (paralelas distintas) y con todo $x$ cuando $p = p'$ (la misma recta). Así pues, el paralelismo (no cortarse, o coincidir) equivale a $m = m'$. ∎

**Observación 7.6 (Vector director).**

La recta $y = mx + p$ sube $m$ unidades por cada unidad hacia la derecha, así que el [vector](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(1, m)$ es un *vector director* de la recta: la recta es paralela a $\vec u$. Dos rectas son paralelas exactamente cuando sus [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-vector) directores son [colineales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-collinear) ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#thm-g10-vectors-det)).

## 7.2 Sistemas lineales

**Definición 7.7 (Sistema lineal).**

Un *sistema de dos ecuaciones lineales* con las incógnitas $x$ e $y$ es una pareja de ecuaciones

$$
\begin{cases}
a x + b y = c \\
a' x + b' y = c'
\end{cases}
$$

que deben cumplirse *simultáneamente*. Una *solución* es una pareja $(x, y)$ que cumple las dos. Cada [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) describe una recta, así que resolver el sistema es hallar el corte de dos rectas.

**Método 7.8 (Sustitución).**

1. Despeja una incógnita en una de las ecuaciones, la que resulte más cómoda; por ejemplo, expresa $y$ en [función](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-function) de $x$ ;
2. sustituye esa expresión en la *otra* [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) , que pasa a contener solo $x$ ;
3. resuelve en $x$ y calcula después $y$ con el paso 1;
4. comprueba la pareja en las dos ecuaciones de partida.

**Ejemplo 7.9.**

Resolvamos $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ por sustitución. La segunda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) da $y = 3x - 3$. Sustituimos en la primera:

$$
x + 2(3x - 3) = 8
\ \Longleftrightarrow\
x + 6x - 6 = 8
\ \Longleftrightarrow\
7x = 14
\ \Longleftrightarrow\
x = 2 ,
$$

y entonces $y = 3 \times 2 - 3 = 3$. La solución es la pareja $(2, 3)$. Comprobación: $2 + 2 \times 3 = 8$ y $3 \times 2 - 3 = 3$.

**Método 7.10 (Reducción).**

1. Multiplica cada [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) por un número bien elegido para que una incógnita quede con coeficientes opuestos en las dos ecuaciones;
2. suma las ecuaciones: esa incógnita desaparece;
3. resuelve la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) con una sola incógnita que queda y sustituye hacia atrás para hallar la otra;
4. comprueba la pareja en las dos ecuaciones de partida.

**Ejemplo 7.11.**

Resolvamos $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ por reducción. Para eliminar $y$, multiplicamos la primera [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) por $2$ y la segunda por $3$:

$$
\begin{cases}
4x + 6y = 14 \\
15x - 6y = 24
\end{cases}
$$

Sumándolas: $19x = 38$, luego $x = 2$. Sustituyendo en $2x + 3y = 7$: $4 + 3y = 7$, luego $y = 1$. Solución: $(2, 1)$. Comprobación en la segunda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation): $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$.

![Un sistema lineal visto geométricamente: cada ecuación es una recta, y la solución (2,1) del es su punto de corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-f7a419123493.svg)

*Un [sistema lineal](#def-g10-lines-system) visto geométricamente: cada [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es una recta, y la solución $(2,1)$ del [Ejemplo 7.11](#ex-g10-lines-elimination) es su punto de corte.*

**Observación 7.12 (¿Cuántas soluciones?).**

Igual que dos rectas, un [sistema lineal](#def-g10-lines-system) tiene en general exactamente una solución (rectas no paralelas) y, excepcionalmente, ninguna (rectas paralelas distintas) o infinitas (dos veces la misma recta). El criterio del [Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#thm-g10-vectors-det) decide: el sistema tiene solución única exactamente cuando $ab' - a'b \neq 0$.

**Ejemplo 7.13 (Modelizar con un sistema).**

Tres cuadernos y dos bolígrafos cuestan $8$; un cuaderno y cuatro bolígrafos cuestan $6$. Sea $x$ el precio de un cuaderno e $y$ el de un bolígrafo:

$$
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \\
x + 4y = 6 .
\end{cases}
$$

De la segunda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation), $x = 6 - 4y$; sustituyendo, $3(6 - 4y) + 2y = 8$, luego $18 - 10y = 8$, de donde $y = 1$ y después $x = 2$. Un cuaderno cuesta $2$ y un bolígrafo, $1$.

## 7.3 Ejercicios

**Ejercicio 7.1 ★.**

Para cada recta, indica la [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) y la [ordenada en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine), y represéntala:

$$
y = 2x - 3, \qquad
y = -\tfrac13 x + 1, \qquad
y = 4, \qquad
x = -2 .
$$

**Solución de Ejercicio 7.1.**

$y = 2x - 3$: [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$, [ordenada en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-3$. $y = -\frac13 x + 1$: [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-\frac13$, [ordenada en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $1$. $y = 4$: [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $0$, [ordenada en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $4$ (recta horizontal). $x = -2$: recta vertical, sin [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) y sin [ecuación explícita](#thm-g10-lines-reduced).

**Ejercicio 7.2 ★.**

¿Pertenece el punto $A(2, 7)$ a la recta $y = 3x + 1$? ¿Y $B(-1, -1)$? ¿Y el punto $C(4, 13)$?

**Solución de Ejercicio 7.2.**

$3 \times 2 + 1 = 7$: sí, $A$ está sobre la recta. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$: $B$ no lo está. $3 \times 4 + 1 = 13$: sí, $C$ está sobre la recta.

**Ejercicio 7.3 ★.**

Halla la [ecuación explícita](#thm-g10-lines-reduced) de la recta que pasa por:

$$
\text{(a) } A(0, 2) \text{ y } B(3, 8);
\qquad
\text{(b) } A(-1, 5) \text{ y } B(2, -4);
\qquad
\text{(c) } A(4, 1) \text{ y } B(4, 6).
$$

**Solución de Ejercicio 7.3.**

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ y $p = y_A = 2$ (el punto $A$ está sobre el eje $y$): $y = 2x + 2$.

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$; después $5 = -3 \times (-1) + p$ da $p = 2$: $y = -3x + 2$.

(c) $x_A = x_B = 4$: recta vertical $x = 4$.

**Ejercicio 7.4 ★.**

De entre las rectas $y = 3x - 1$, $y = -3x + 2$, $y = 3x + 5$, $y = \frac{6x + 2}{2}$, ¿cuáles son paralelas entre sí? ¿Cuáles son en realidad iguales?

**Solución de Ejercicio 7.4.**

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$. Las rectas de [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $3$ son $y = 3x - 1$, $y = 3x + 5$ e $y = 3x + 1$: esas tres son paralelas entre sí; ninguna pareja de ellas coincide (las [ordenadas en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) son distintas) y ninguna es paralela a $y = -3x + 2$.

**Ejercicio 7.5 ★.**

Resuelve por sustitución:

$$
\begin{cases}
y = 2x - 1 \\
3x + y = 9
\end{cases}
\qquad\text{y después}\qquad
\begin{cases}
x - y = 4 \\
2x + 3y = 3 .
\end{cases}
$$

**Solución de Ejercicio 7.5.**

Primer sistema: sustituimos $y = 2x - 1$ en $3x + y = 9$: $3x + 2x - 1 = 9$, luego $5x = 10$, $x = 2$ y después $y = 3$. Solución: $(2, 3)$.

Segundo sistema: de $x - y = 4$, $x = y + 4$. Entonces $2(y + 4) + 3y = 3$, luego $5y = -5$, $y = -1$ y después $x = 3$. Solución: $(3, -1)$.

**Ejercicio 7.6 ★.**

Resuelve por reducción:

$$
\begin{cases}
x + y = 10 \\
x - y = 4
\end{cases}
\qquad\text{y después}\qquad
\begin{cases}
3x + 2y = 12 \\
2x + 5y = 8 .
\end{cases}
$$

**Solución de Ejercicio 7.6.**

Primer sistema: sumando las ecuaciones se elimina $y$: $2x = 14$, $x = 7$; después $7 + y = 10$ da $y = 3$. Solución: $(7, 3)$.

Segundo sistema: multiplicamos la primera [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) por $5$ y la segunda por $-2$:

$$
\begin{cases}
15x + 10y = 60 \\
-4x - 10y = -16
\end{cases}
$$

Sumando: $11x = 44$, luego $x = 4$; después $3 \times 4 + 2y = 12$ da $y = 0$. Solución: $(4, 0)$.

**Ejercicio 7.7 ★★.**

Determina, sin resolverlos, cuántas soluciones tiene cada sistema:

$$
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = -6
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = 1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
x + y = 0 .
\end{cases}
$$

**Solución de Ejercicio 7.7.**

Calculamos $ab' - a'b$ en cada caso.

Primero: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$, y la segunda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es $-2$ veces la primera: dos veces la misma recta, infinitas soluciones.

Segundo: de nuevo $ab' - a'b = 0$, pero los segundos miembros no están en la razón $-2$ ($1 \neq -6$): dos rectas paralelas distintas, sin solución.

Tercero: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$: exactamente una solución.

**Ejercicio 7.8 ★★.**

Se vendieron doscientas entradas para una obra de teatro del instituto, unas a $5$ (infantiles) y otras a $9$ (de adulto), con una recaudación total de $1352$. ¿Cuántas entradas de cada clase se vendieron?

**Solución de Ejercicio 7.8.**

Sea $x$ el número de entradas infantiles e $y$ el de entradas de adulto:

$$
\begin{cases}
x + y = 200 \\
5x + 9y = 1352 .
\end{cases}
$$

De la primera [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation), $x = 200 - y$; sustituyendo, $5(200 - y) + 9y = 1352$, luego $1000 + 4y = 1352$, $y = 88$ y después $x = 112$. Así pues, $112$ entradas infantiles y $88$ de adulto. Comprobación: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$.

**Ejercicio 7.9 ★★.**

Sea $d$ la recta $y = 2x - 3$ y sea $A(1, 4)$.

1. Da la [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) de la recta $d'$ paralela a $d$ que pasa por $A$ .
2. Calcula el punto de corte de $d'$ con el eje $x$ .

**Solución de Ejercicio 7.9.**

*1.* Paralela significa misma [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$: $y = 2x + p$ con $4 = 2 \times 1 + p$, luego $p = 2$: $d'\colon y = 2x + 2$.

*2.* Sobre el eje $x$, $y = 0$: $2x + 2 = 0$ da $x = -1$. El punto de corte es $(-1, 0)$.

**Ejercicio 7.10 ★★★.**

Sean $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ y $C(2, 4)$.

1. Halla las ecuaciones de las medianas del triángulo $ABC$ que parten de $A$ y de $B$ (una mediana une un vértice con el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) del lado opuesto).
2. Calcula su punto de corte $G$ y comprueba que $G$ está también sobre la tercera mediana. (Deberías encontrar que las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $G$ son las medias de las de $A$ , $B$ y $C$ .)

**Solución de Ejercicio 7.10.**

*1.* [Punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$: $A' = \left(\frac{6+2}{2},
\frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$. La mediana desde $A(0,0)$ tiene [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$: [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y = \frac34 x$.

[Punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$: $B' = (1, 2)$. La mediana desde $B(6, 2)$ tiene [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$: es la recta horizontal $y = 2$.

*2.* Corte: $\frac34 x = 2$ da $x = \frac83$, luego $G\left(\frac83, 2\right)$. La tercera mediana une $C(2,4)$ con el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$, $C' = (3, 1)$; su [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) es $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$, [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $y = -3x + 10$. En $x = \frac83$: $y = -8 + 10 = 2$: $G$ está sobre ella. Y, en efecto, $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$: el baricentro promedia las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de los vértices.

## 7.4 Problema: Una solución, ninguna o infinitas

**Problema 7.1.**

Problema de fin de semana — dos rectas tienen tres destinos posibles, un determinante decide entre ellos y el libro de texto más antiguo del mundo ya lo sabía

Dos ecuaciones lineales, dos incógnitas: la pareja de rectas que dibujan puede cortarse una vez, no cortarse nunca o ser una sola y misma recta, y *todo* [sistema lineal](#def-g10-lines-system) hereda uno de esos tres destinos. Este problema los clasifica, presenta al número que decide (un viejo conocido del capítulo de [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-vector)), resuelve los faisanes y conejos de hace dos mil años de los *Nueve capítulos* chinos y termina con los vértices de una región: el primer paso de la optimización que hoy usan todas las compañías aéreas y todas las fábricas.

**Parte I — La recta, con soltura.**

1. Halla la [ecuación explícita](#thm-g10-lines-reduced) de la recta que pasa por $(1, 2)$ y $(3, 8)$ ( [Método 7.3](#met-g10-lines-through) ).
2. De entre $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ e $y = -x + 7$ : ¿qué dos rectas son paralelas ( [Proposición 7.5](#prop-g10-lines-parallel) ) y dónde se cortan las parejas no paralelas? (Calcula uno de los cortes.)
3. La recta que pasa por $(2, 1)$ y $(2, 5)$ : ¿por qué no tiene [ecuación explícita](#thm-g10-lines-reduced) $y = mx + p$ y cuál es su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) ?
4. ¿Está el punto $(4, 11)$ sobre la recta $y = 3x - 1$ ? ¿Y $(-1, -5)$ ?
5. La recta que pasa por $(0, 3)$ con [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-2$ : da su [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) , sus dos cortes con los ejes y el área del triángulo que recorta en el primer cuadrante.

**Parte II — Tres destinos.**

6. Resuelve por sustitución ( [Método 7.8](#met-g10-lines-substitution) ): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
7. Resuelve por reducción ( [Método 7.10](#met-g10-lines-elimination) ): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
8. Clasifica, e interpreta con rectas, los dos sistemas $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}  \qquad\text{y}\qquad  \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$$ Enuncia la tricotomía completa: rectas que se cortan, paralelas o idénticas; una solución, ninguna o infinitas.
9. Para el sistema general $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , el número que decide es $ad - bc$ : el mismo determinante que la prueba de colinealidad del [Problema 6.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#pb-g10-vectors-1) . Explica la coincidencia (¿qué dos [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-vector) son [colineales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-collinear) exactamente cuando las rectas son paralelas o idénticas?) y evalúa $ad - bc$ en los tres sistemas de las preguntas 7 y 8.
10. ¿Para qué valor de $m$ no tiene solución $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ ? Resuelve el sistema para todos los demás valores de $m$ … o, al menos, explica cómo lo harías.

**Parte III — Los Nueve capítulos.**

11. De los *Nueve capítulos sobre el arte matemático* (China, hace unos 2000 años): en una jaula hay faisanes y conejos, con $35$ cabezas y $94$ patas en total. ¿Cuántos hay de cada?
12. Un puesto de zumos mezcla un jarabe con un $60\,\%$ de fruta y una bebida con un $20\,\%$ para obtener $30$ L al $35\,\%$ de fruta. ¿Cuántos litros de cada uno?
13. Un número de dos cifras tiene suma de cifras $12$ ; al intercambiarlas, disminuye en $18$ . Halla el número, usando para plantear el sistema el álgebra de las cifras del problema de fin de semana del volumen anterior sobre las cifras.
14. En la panadería, $3$ cafés y $2$ cruasanes cuestan $9.10$ euros; $2$ cafés y $3$ cruasanes cuestan $8.90$ euros. Resuelve con elegancia: ¿qué te dicen directamente *sumar* las dos ecuaciones y *restarlas* ?
15. Un puesto del mercado anuncia: $2$ manzanas $+ 1$ pera por $5$ euros, y $4$ manzanas $+ 2$ peras por $9$ euros. Resuelve o, mejor dicho, explica qué revela el destino del sistema sobre la aritmética del puesto.

**Parte IV — Mandan los vértices.**

16. La recta $y = 3x - 1$ parte el plano en dos. ¿De qué lado está el origen? Describe el conjunto $y > 3x - 1$ y cómo se comprueba si un punto pertenece a él.
17. Dibuja la región definida por las cuatro restricciones $$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4,  \qquad y \leq 2x + 1,$$ y calcula sus cuatro vértices.
18. El beneficio de un taller es $P = 3x + 2y$ sobre la región de la pregunta 17. Evalúa $P$ en los cuatro vértices. Admitiendo que el [máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) de una cantidad lineal así sobre una región de este tipo se alcanza siempre en un vértice (imagina las rectas $3x + 2y =$ constante barriendo el plano), da el plan de producción óptimo.
19. Los dos taxis del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros, como sistema: escribe y resuelve $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ e interpreta la solución.
20. Final, el diccionario: una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $\leftrightarrow$ una recta; un sistema $\leftrightarrow$ dos rectas con tres destinos, decididos por $ad - bc$ ; muchas inecuaciones $\leftrightarrow$ una región cuyos vértices llevan el óptimo. Enúncialo en tres frases: acabas de recorrer el vestíbulo del *álgebra lineal* y de la *programación lineal* , que se construyen enteras en los volúmenes universitarios.

**Solución de Problema 7.1.**

**1.** [Pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$; pasando por $(1, 2)$: $y = 3x - 1$.

**2.** $y = 3x - 1$ e $y = 3x + 4$: misma [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine), paralelas (y distintas). Cortando $y = 3x - 1$ con $y = -x + 7$: $3x - 1 = -x + 7$ da $x = 2$, $y = 5$: el punto $(2, 5)$.

**3.** Los dos puntos comparten $x = 2$: la recta es vertical, de [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) $x = 2$. Una forma explícita $y = mx + p$ responde a “un $y$ por cada $x$”, cosa que una recta vertical se niega a hacer: su [pendiente](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) sería infinita.

**4.** $3 \times 4 - 1 = 11$: sí, $(4, 11)$ está sobre la recta. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$: no.

**5.** $y = -2x + 3$; corta a los ejes en $(0, 3)$ y $\left(\frac32, 0\right)$. Área del triángulo: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$.

**6.** Sustituyendo: $3x + 2x - 3 = 7$, $x = 2$, $y = 1$: solución $(2, 1)$.

**7.** Sumando: $7x = 7$, $x = 1$; después $3y = 6$, $y = 2$: solución $(1, 2)$.

**8.** Primer sistema: la segunda [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) es el doble de la primera: una recta contada dos veces, con infinitas soluciones (todos los puntos de $2x - y = 3$). Segundo sistema: los primeros miembros son proporcionales, pero los segundos no ($2 \times 3 = 6 \neq 1$): dos rectas paralelas, sin solución. Tricotomía: [pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) distintas $\to$ un corte; [pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) iguales y [ordenadas en el origen](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) distintas $\to$ paralelas, ninguna solución; todo igual $\to$ la misma recta, infinitas soluciones.

**9.** Los [vectores](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-vector) directores de las rectas son $(-b, a)$ y $(-d, c)$ (o bien las [pendientes](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/4-funciones-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-\frac ab$ y $-\frac cd$), [colineales](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#def-g10-vectors-collinear) exactamente cuando $ad - bc = 0$: el determinante del [Problema 6.1](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/6-vectores#pb-g10-vectors-1) en un nuevo oficio. Valores: pregunta 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$: solución única. Pregunta 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ en los dos casos: paralelas-o-idénticas, y son los términos independientes los que separan los dos casos.

**10.** $ad - bc = 6 - 2m$: se anula para $m = 3$. Ahí, $x + 3y = 3$ frente a $2x + 6y = 7$: doblando la primera queda $2x + 6y = 6 \neq 7$, luego son paralelas y *no hay solución*. Para $m \neq 3$, la reducción da la solución única $y = \frac{1}{6 - 2m}$ y después $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$.

**11.** $f + c = 35$, $2f + 4c = 94$; dividiendo entre dos, $f + 2c = 47$, luego $c = 12$ y $f = 23$: veintitrés faisanes y doce conejos, la misma respuesta que dan los *Nueve capítulos*.

**12.** $x + y = 30$ y $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$; restando $0.2 \times$ la primera, $0.4x = 4.5$: $x = 11.25$ L de jarabe e $y = 18.75$ L de bebida.

**13.** Cifras $a$ y $b$: $a + b = 12$ y $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$, luego $a - b = 2$: $a = 7$, $b = 5$; el número es $75$.

**14.** Sumando: $5c + 5r = 18$, luego $c + r = 3.60$: un café más un cruasán. Restando: $c - r = 0.20$. De ahí, $c = 1.90$ y $r = 1.70$ euros: el atajo simétrico lo ha resuelto sin ninguna sustitución.

**15.** Doblando el primer anuncio se obtienen $4$ manzanas $+ 2$ peras $= 10$ euros, pero el puesto cobra $9$: el sistema es incompatible, rectas paralelas y conjunto de soluciones vacío. Veredicto: las dos afirmaciones de precio no pueden ser ciertas a la vez; o se esconde un descuento, o se esconde un error de cuentas.

**16.** En el origen: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$: cierto, así que $(0,0)$ está en la región $y > 3x - 1$ (por encima de la recta). Cualquier punto se comprueba sustituyéndolo: quedará por encima o por debajo según la desigualdad sea cierta o falsa.

**17.** Vértices: $(0, 0)$; $(4, 0)$ (los ejes y $x + y = 4$); $(0, 1)$ (el eje y $y = 2x + 1$); y el corte de $x + y = 4$ con $y = 2x + 1$: $x = 1$, $y = 3$: $(1, 3)$.

**18.** $P(0,0) = 0$; $P(4, 0) = 12$; $P(0, 1) = 2$; $P(1, 3) = 9$. [Máximo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/3-funciones#def-g10-functions-extrema) en el vértice $(4, 0)$: el plan $x = 4$, $y = 0$ rinde $12$; mandan los vértices, como dejan ver las rectas paralelas $3x + 2y = c$ al barrer la región.

**19.** $1.5x + 3 = 2x$ da $x = 6$, $y = 12$: a los seis kilómetros los dos taxis cobran doce euros; el punto de equilibrio del problema de fin de semana del volumen anterior sobre los dos termómetros, ahora convertido en la solución única de un sistema.

**20.** Las soluciones de una [ecuación](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/2-algebra-ecuaciones-e-inecuaciones#def-g10-algebra-equation) lineal dibujan una recta; un sistema superpone dos rectas, y $ad - bc$ dice de un vistazo si se cortan una vez (si es no nulo) o si caen en los casos paralelas-o-idénticas (si es nulo). Si en lugar de eso apilamos inecuaciones, las soluciones forman una región poligonal cuyos vértices llevan cualquier óptimo lineal. El álgebra lineal generaliza el determinante a cualquier número de incógnitas; la programación lineal industrializa los vértices.