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title: "Estadística descriptiva"
book: "Matemáticas de secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 8
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/8-estadistica-descriptiva
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# Capítulo 8 — Estadística descriptiva

La estadística resume una colección grande de números (notas, salarios, temperaturas) mediante unos pocos indicadores bien elegidos. Este capítulo presenta las dos familias de indicadores: los que localizan el *centro* de los datos ([media](#def-g10-stats-mean), [mediana](#def-g10-stats-median)) y los que miden su *dispersión* ([recorrido](#def-g10-stats-quartiles), [cuartiles](#def-g10-stats-quartiles)). Un tratamiento más profundo, con la desviación típica, llega en el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/17-estadistica-descriptiva#ch-g11-stat).

## 8.1 Datos y frecuencias

**Definición 8.1 (Serie estadística).**

Una *serie estadística* es una lista de valores $x_1, x_2, \dots, x_N$ observados en una población de tamaño $N$. Cuando un valor $x$ aparece $n$ veces, $n$ es su *frecuencia absoluta* y el cociente

$$
f = \frac{n}{N}
$$

es su *frecuencia relativa* (que a menudo se expresa como porcentaje). Las frecuencias relativas de todos los valores suman $1$.

**Ejemplo 8.2.**

Las notas de $20$ alumnos en una prueba sobre $5$ puntos:

| nota $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| frec. absoluta $n$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $5$ | $2$ |
| frec. relativa $f$ | $0.05$ | $0.10$ | $0.20$ | $0.30$ | $0.25$ | $0.10$ |

Comprobación: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ y las [frecuencias relativas](#def-g10-stats-series) suman $1$.

![El diagrama de barras de las notas de la prueba: una barra por valor, con altura igual a la frecuencia absoluta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-aa76dbae5c9d.svg)

*El diagrama de barras de las notas de la prueba: una barra por valor, con altura igual a la frecuencia absoluta.*

## 8.2 Medidas de centralización

**Definición 8.3 (Media).**

La *media* de la serie es

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.
$$

Si los valores $v_1, \dots, v_k$ aparecen con frecuencias absolutas $n_1, \dots, n_k$, el mismo número se calcula como la *media ponderada*

$$
\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.
$$

**Ejemplo 8.4.**

Para la prueba del [Ejemplo 8.2](#ex-g10-stats-frequencies):

$$
\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3
+ 5 \times 4 + 2 \times 5}{20}
= \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20}
= \frac{58}{20} = 2.9 .
$$

**Definición 8.5 (Mediana).**

La *mediana* es un valor que parte en dos mitades la serie *ordenada*: al menos la mitad de los valores son $\leq$ que la mediana y al menos la mitad son $\geq$ que ella. En la práctica, ordena los $N$ valores;

- si $N$ es impar, la mediana es el valor central, en la posición $\frac{N+1}{2}$ ;
- si $N$ es par, se toma el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de los dos valores centrales, en las posiciones $\frac N2$ y $\frac N2 + 1$ .

**Ejemplo 8.6.**

Serie ordenada de $7$ precios de vivienda (en miles): $120$, $150$, $160$, $180$, $210$, $240$, $900$. La [mediana](#def-g10-stats-median) es el $4$.o valor, $180$. La [media](#def-g10-stats-mean) es $\frac{1960}{7} = 280$, ¡mayor que $6$ de los $7$ precios! Un valor extremo ($900$) arrastra a la [media](#def-g10-stats-mean) mucho más que a la [mediana](#def-g10-stats-median): la [mediana](#def-g10-stats-median) es *robusta*; la [media](#def-g10-stats-mean), no.

## 8.3 Medidas de dispersión

**Definición 8.7 (Recorrido, cuartiles).**

Para una serie ordenada:

- el *recorrido* es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores;
- el *primer cuartil* $Q_1$ es el menor valor tal que al menos una cuarta parte ( $25\,\%$ ) de los valores son $\leq Q_1$ ; el *tercer cuartil* $Q_3$ es el menor valor tal que al menos tres cuartas partes ( $75\,\%$ ) de los valores son $\leq Q_3$ ;
- el *recorrido intercuartílico* $Q_3 - Q_1$ mide la dispersión de la mitad central de los datos.

**Método 8.8 (Hallar los cuartiles).**

Para una serie de $N$ valores ordenados:

1. calcula $\frac N4$ ; si no es entero, redondéalo *hacia arriba* al entero siguiente; $Q_1$ es el valor de esa posición;
2. calcula $\frac{3N}{4}$ ; redondea hacia arriba si hace falta; $Q_3$ es el valor de esa posición.

**Ejemplo 8.9.**

Tomemos los $11$ valores ordenados

$$
2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .
$$

[Mediana](#def-g10-stats-median): posición $\frac{11+1}{2} = 6$, así que la [mediana](#def-g10-stats-median) es $7$. $Q_1$: $\frac{11}{4} = 2.75$, que se redondea a $3$; el $3.$er valor es $5$. $Q_3$: $\frac{33}{4} = 8.25$, que se redondea a $9$; el $9.$o valor es $9$. [Recorrido](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 2 = 10$; [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles): $9 - 5 = 4$.

![El diagrama de caja del : la caja abarca el intervalo intercuartílico (Q_1, Q_3) y contiene la mitad central de los datos; los bigotes llegan a los valores extremos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-6a963aa259d9.svg)

*El diagrama de caja del [Ejemplo 8.9](#ex-g10-stats-quartiles): la caja abarca el [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-interval) intercuartílico $\intcc{Q_1}{Q_3}$ y contiene la mitad central de los datos; los bigotes llegan a los valores extremos.*

**Ejemplo 8.10 (Comparar dos grupos).**

Dos clases hacen el mismo examen (notas sobre $20$):

|  | [mediana](#def-g10-stats-median) | $Q_1$ | $Q_3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| clase A | $12$ | $10$ | $14$ |
| clase B | $12$ | $6$ | $17$ |

La misma [mediana](#def-g10-stats-median) y dispersiones muy distintas: la clase A es homogénea (la mitad de sus notas están en $\intcc{10}{14}$) y la clase B es heterogénea (su mitad central abarca $\intcc{6}{17}$). Los indicadores de centralización, por sí solos, nunca cuentan toda la historia.

**Observación 8.11.**

Ni la [media](#def-g10-stats-mean) ni la [mediana](#def-g10-stats-median) son “mejores”: la [media](#def-g10-stats-mean) usa todos los valores (y hace falta para calcular totales), la [mediana](#def-g10-stats-median) resiste los valores extremos. Un resumen serio de una serie da al menos un indicador de centralización *y* uno de dispersión.

## 8.4 Ejercicios

**Ejercicio 8.1 ★.**

Estos son los números de libros leídos en un año por $15$ alumnos:

$$
0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .
$$

Calcula la [media](#def-g10-stats-mean), la [mediana](#def-g10-stats-median) y el [recorrido](#def-g10-stats-quartiles) de esta serie.

**Solución de Ejercicio 8.1.**

Suma: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$, luego la [media](#def-g10-stats-mean) es $\frac{60}{15} = 4$. La serie ya está ordenada y $N = 15$ es impar: la [mediana](#def-g10-stats-median) es el $8$.o valor, $3$. [Recorrido](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 0 = 12$.

**Ejercicio 8.2 ★.**

Se ha lanzado un dado $50$ veces:

| resultado | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| frecuencia | $7$ | $9$ | $8$ | $10$ | $6$ | $10$ |

Calcula la [frecuencia relativa](#def-g10-stats-series) de cada resultado y el resultado medio.

**Solución de Ejercicio 8.2.**

[Frecuencias relativas](#def-g10-stats-series): $\frac{7}{50} = 0.14$, $\frac{9}{50} = 0.18$, $\frac{8}{50} = 0.16$, $\frac{10}{50} = 0.20$, $\frac{6}{50} = 0.12$, $\frac{10}{50} = 0.20$ (suman $1$). Resultado medio:

$$
\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4
+ 6 \times 5 + 10 \times 6}{50}
= \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50}
= \frac{179}{50} = 3.58 .
$$

**Ejercicio 8.3 ★.**

Halla la [mediana](#def-g10-stats-median), $Q_1$ y $Q_3$ de la serie ordenada

$$
1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),
$$

y dibuja el diagrama de caja correspondiente.

**Solución de Ejercicio 8.3.**

$N = 12$ (par): la [mediana](#def-g10-stats-median) es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) del $6$.o y el $7$.o valores, los dos iguales a $6$: [mediana](#def-g10-stats-median) $6$.

$Q_1$: $\frac{12}{4} = 3$, así que $Q_1$ es el $3$.er valor: $4$.

$Q_3$: $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, así que $Q_3$ es el $9$.o valor: $8$.

Diagrama de caja: caja de $4$ a $8$ con la barra de la [mediana](#def-g10-stats-median) en $6$ y bigotes de $1$ a $11$.

**Ejercicio 8.4 ★.**

La [media](#def-g10-stats-mean) de $24$ notas de un examen es $11.5$. Un $25$.o alumno hace el examen y saca $19$. ¿Cuál es la nueva [media](#def-g10-stats-mean) de la clase?

**Solución de Ejercicio 8.4.**

Las $24$ notas suman $24 \times 11.5 = 276$. Con la nueva nota, el total es $276 + 19 = 295$ para $25$ alumnos: nueva [media](#def-g10-stats-mean) $\frac{295}{25} = 11.8$.

**Ejercicio 8.5 ★★.**

Un alumno tiene una [media](#def-g10-stats-mean) de $12$ después de $5$ exámenes, todos con el mismo peso. ¿Qué nota en el $6$.o examen subiría la [media](#def-g10-stats-mean) a $13$? ¿Es alcanzable una [media](#def-g10-stats-mean) de $14$ (las notas son sobre $20$)?

**Solución de Ejercicio 8.5.**

Total actual: $5 \times 12 = 60$. Una [media](#def-g10-stats-mean) de $13$ en $6$ exámenes exige un total de $78$, así que la $6$.a nota debe ser $78 - 60 = 18$. Una [media](#def-g10-stats-mean) de $14$ exigiría $84 - 60 = 24 > 20$: no es alcanzable.

**Ejercicio 8.6 ★★.**

Inventa una serie de $7$ valores no negativos cuya [mediana](#def-g10-stats-median) sea $10$ y cuya [media](#def-g10-stats-mean) sea mayor que $20$; después otra cuya [mediana](#def-g10-stats-median) sea $10$ y cuya [media](#def-g10-stats-mean) sea menor que $6$. ¿Por qué la [media](#def-g10-stats-mean) de una serie así nunca puede ser menor que $\frac{40}{7}$? ¿Qué muestran estos ejemplos?

**Solución de Ejercicio 8.6.**

[Media](#def-g10-stats-mean) mayor que $20$: por ejemplo, $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$, con [mediana](#def-g10-stats-median) $10$ (el $4$.o valor ordenado) y [media](#def-g10-stats-mean) $\frac{166}{7} \approx 23.7$.

[Media](#def-g10-stats-mean) menor que $6$: por ejemplo, $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$, con [mediana](#def-g10-stats-median) $10$ y [media](#def-g10-stats-mean) $\frac{40}{7} \approx 5.7$.

La [media](#def-g10-stats-mean) no puede bajar de $\frac{40}{7}$: para que la [mediana](#def-g10-stats-median) (el $4$.o valor ordenado) sea $10$, los valores de las posiciones $4$ a $7$ deben ser todos $\geq 10$, así que el total es al menos $40$ y la [media](#def-g10-stats-mean), al menos $\frac{40}{7}$; el segundo ejemplo es el extremo.

Estos ejemplos muestran que la [media](#def-g10-stats-mean) y la [mediana](#def-g10-stats-median) son en gran medida independientes: conocer una dice poco de la otra, y por eso un buen resumen informa de las dos.

**Ejercicio 8.7 ★★.**

En una empresa, los $9$ empleados cobran $1800$ cada uno al mes y el director cobra $12000$.

1. Calcula el salario medio y el salario mediano.
2. ¿Qué indicador describe mejor un salario “típico” aquí? ¿Por qué?

**Solución de Ejercicio 8.7.**

*1.* [Media](#def-g10-stats-mean): $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$. [Mediana](#def-g10-stats-median): ordenados, los $10$ salarios son nueve valores $1800$ y luego $12000$; la [mediana](#def-g10-stats-median) es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) del $5$.o y el $6$.o valores, los dos $1800$: [mediana](#def-g10-stats-median) $1800$.

*2.* La [mediana](#def-g10-stats-median) ($1800$) describe el salario típico: es lo que cobran realmente $9$ de cada $10$ empleados. La [media](#def-g10-stats-mean) ($2820$) está tirada hacia arriba por el único salario alto y no coincide con la nómina de nadie.

**Ejercicio 8.8 ★★.**

Los $12$ chicos de una clase miden de [media](#def-g10-stats-mean) $168$ cm; las $18$ chicas de la misma clase miden de [media](#def-g10-stats-mean) $163$ cm. Calcula la estatura [media](#def-g10-stats-mean) de toda la clase. (Cuidado: *no* es el [punto medio](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $168$ y $163$; hay que ponderar las [medias](#def-g10-stats-mean) por los tamaños de los grupos.)

**Solución de Ejercicio 8.8.**

Estatura total: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm para $30$ alumnos, así que la [media](#def-g10-stats-mean) es $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Está más cerca de la [media](#def-g10-stats-mean) de las chicas porque son más numerosas ([media](#def-g10-stats-mean) ponderada, con pesos $12$ y $18$).

**Ejercicio 8.9 ★★★.**

Una serie de $N$ valores $x_1, \dots, x_N$ tiene [media](#def-g10-stats-mean) $\bar x$. Cada valor se transforma en $y_i = a x_i + b$ con $a$ y $b$ números fijos.

1. Demuestra que la [media](#def-g10-stats-mean) de la nueva serie es $a \bar x + b$ .
2. Las temperaturas de una semana, en grados Celsius, tienen [media](#def-g10-stats-mean) $20$ . ¿Cuál es su [media](#def-g10-stats-mean) en grados Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

**Solución de Ejercicio 8.9.**

*1.* La nueva [media](#def-g10-stats-mean) es

$$
\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N}
= \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N}
= \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N}
= a \bar x + b .
$$

*2.* Con $a = 1.8$ y $b = 32$: [media](#def-g10-stats-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$ grados Fahrenheit.

## 8.5 Problema: La persona media no existe

**Problema 8.1.**

Problema de fin de semana — media contra mediana: valores atípicos, curvas de notas, el almacén en la carretera y la cabina diseñada para nadie

En 1950, la Fuerza Aérea estadounidense midió a $4\,000$ pilotos en diez dimensiones corporales y construyó la cabina para el *hombre medio*. Le servía, como descubrió un teniente contando, prácticamente a nadie. La estadística resume multitudes con números sueltos, y cada resumen dice la verdad sobre algo y miente sobre otra cosa. Este problema lleva a juicio a la [media](#def-g10-stats-mean) y a la [mediana](#def-g10-stats-median) ([Definición 8.3](#def-g10-stats-mean), [Definición 8.5](#def-g10-stats-median)), deja que cada una enseñe en qué es la mejor y cierra el caso de la cabina.

**Parte I — Dos resúmenes en el banquillo.**

1. En una calle se venden siete casas, en miles de euros: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ y un caserón de $1\,200$ . Calcula el precio medio y el precio mediano. ¿Qué número describe “una casa de esta calle”?
2. Quita el caserón y vuelve a calcular los dos. ¿Cuánto se ha movido cada resumen? Enuncia la moraleja sobre los valores atípicos.
3. Una tabla del censo: de $100$ familias, $20$ no tienen hijos, $25$ tienen uno, $30$ tienen dos, $15$ tienen tres y $10$ tienen cuatro. Calcula el número medio de hijos. Ninguna familia “tiene $1.7$ hijos”, así que ¿qué cantidad real codifica la [media](#def-g10-stats-mean) ? (Multiplícala por $100$ .)
4. Para las quince notas $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : halla la [mediana](#def-g10-stats-median) y los [cuartiles](#def-g10-stats-quartiles) $Q_1$ y $Q_3$ ( [Método 8.8](#met-g10-stats-quartiles) ).
5. Para la misma serie, da el [recorrido](#def-g10-stats-quartiles) y el [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles) . ¿Qué mide cada uno?

**Parte II — Curvas de notas y clases fusionadas.**

6. A partir del [Ejercicio 8.9](#exo-g10-stats-9) : desplazar todos los valores en $+b$ desplaza en $+b$ la [media](#def-g10-stats-mean) , la [mediana](#def-g10-stats-median) y los [cuartiles](#def-g10-stats-quartiles) ; multiplicarlos por $a$ los multiplica por $a$ . ¿Qué les ocurre al [recorrido](#def-g10-stats-quartiles) y al [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles) con un desplazamiento? ¿Y con un cambio de escala? Justifícalo.
7. Un examen tiene [media](#def-g10-stats-mean) $9$ (sobre $20$ ) y el profesor quiere [media](#def-g10-stats-mean) $12$ . Se proponen dos correcciones: sumar $3$ puntos a todo el mundo o multiplicar cada nota por $\frac43$ . Calcula qué le ocurre a un alumno con $6$ y a otro con $18$ con cada corrección. ¿A quién favorece cada una y cuál tiene un problema de techo?
8. La clase A ( $20$ alumnos) tiene [media](#def-g10-stats-mean) $12$ ; la clase B ( $30$ alumnos) tiene [media](#def-g10-stats-mean) $10$ . Calcula la [media](#def-g10-stats-mean) de los $50$ alumnos juntos y explica por qué no es $11$ (la lección de la [media](#def-g10-stats-mean) ponderada del problema de fin de semana del volumen anterior sobre la [media](#def-g10-stats-mean) armónica, llevada al aula).
9. Comprueba que las [medianas](#def-g10-stats-median) se niegan a este juego: calcula las [medianas](#def-g10-stats-median) de $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{0, 10\}$ , después la [mediana](#def-g10-stats-median) de la lista fusionada, y compárala con la [media](#def-g10-stats-mean) ponderada por tamaños de las dos [medianas](#def-g10-stats-median) .
10. Patinaje artístico: cinco jueces puntúan $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calcula la [media](#def-g10-stats-mean) , la [mediana](#def-g10-stats-median) y la *[media](#def-g10-stats-mean) recortada* (se descartan la nota más baja y la más alta y se promedian las demás). ¿Por qué recortan casi todos los deportes con jueces?

**Parte III — Leer distribuciones.**

11. Dos fábricas producen tornillos de longitud [media](#def-g10-stats-mean) $50$ mm. Fábrica A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fábrica B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Necesitas tornillos intercambiables: ¿qué fábrica eliges y qué estadístico ha decidido?
12. En un ambulatorio, la espera [mediana](#def-g10-stats-median) es de $10$ minutos, pero la espera [media](#def-g10-stats-mean) es de $25$ . ¿Qué forma de los datos delata esta pareja de números? Construye un conjunto de cinco valores con exactamente esa [mediana](#def-g10-stats-median) y esa [media](#def-g10-stats-mean) .
13. “Tu bebé está en el percentil 75 de estatura”: ¿qué significa esa frase? ¿Y puede estar por encima de la [media](#def-g10-stats-mean) todo niño de una ciudad? ¿Y por encima de la [mediana](#def-g10-stats-median) ? Explica la diferencia.
14. Clase A: mín $4$ , $Q_1\,8$ , [mediana](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,13$ , máx $17$ . Clase B: mín $2$ , $Q_1\,9$ , [mediana](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,12$ , máx $19$ . Compara: nota típica, homogeneidad de la mitad central y salvajismo de los extremos.
15. La lista del periodista: un titular dice “salario medio en TechCorp: $5\,000$ euros”. Enumera las tres preguntas que este problema te ha enseñado a hacer antes de creer que el titular dice algo sobre un empleado típico.

**Parte IV — El caso de la cabina.**

16. Fabrica tus propias pruebas: construye cinco precios de vivienda con [media](#def-g10-stats-mean) $300$ y [mediana](#def-g10-stats-median) $200$ (miles de euros).
17. La [media](#def-g10-stats-mean) es el punto de equilibrio: demuestra a partir de la definición que las desviaciones respecto de la [media](#def-g10-stats-mean) siempre se cancelan, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , y compruébalo con tu conjunto de datos de la pregunta 16.
18. La [mediana](#def-g10-stats-median) es la que minimiza los recados: hay tiendas en los kilómetros $1$ , $3$ , $4$ , $9$ y $13$ de una carretera, y un almacén debe minimizar la *distancia total* a las cinco tiendas. Calcula esa distancia total con el almacén en la [mediana](#def-g10-stats-median) ( $4$ ), en la [media](#def-g10-stats-mean) ( $6$ ) y en $5$ . ¿Quién gana? (Es un hecho general: la [mediana](#def-g10-stats-median) minimiza la distancia total en [valor absoluto](https://one-course.com/books/math/2/es/chapter/1-numeros-y-conjuntos-de-numeros#def-g10-numbers-abs) ; prueba con cualquier otro punto.)
19. La cabina, resuelta: supón que un piloto tiene un $30\,\%$ de probabilidad de estar “cerca de la [media](#def-g10-stats-mean) ” en una dimensión corporal, de forma independiente en las $10$ dimensiones. Estima la probabilidad de estar cerca de la [media](#def-g10-stats-mean) en *las diez* y concilia el resultado con lo que encontró el teniente entre $4\,000$ pilotos. ¿Qué construyó la Fuerza Aérea en lugar de la cabina [media](#def-g10-stats-mean) ?
20. Final, el manual de uso, una línea para cada caso: cuando lo que importa son los totales (un presupuesto, una cosecha), usa la …; cuando importa el individuo típico (salarios, tiempos de espera), usa la …; cuando importa la equidad de la dispersión, informa de los …; cuando amenaza la contaminación, usa la … Cierra el caso con el título del problema.

**Solución de Problema 8.1.**

**1.** [Media](#def-g10-stats-mean): $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ mil euros; [mediana](#def-g10-stats-median): el cuarto de los siete precios ordenados, $230$. La [mediana](#def-g10-stats-median) describe la calle: seis de las siete casas no cuestan nada parecido a $364$.

**2.** Sin el caserón: [media](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,350}{6} = 225$, [mediana](#def-g10-stats-median) $\frac{220 + 230}{2} = 225$. La [media](#def-g10-stats-mean) ha caído unos $139$; la [mediana](#def-g10-stats-median), $5$. Un solo valor extremo puede arrastrar la [media](#def-g10-stats-mean) a donde sea; la [mediana](#def-g10-stats-median) apenas se entera: es *robusta*.

**3.** [Media](#def-g10-stats-mean) $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times
30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$. Ninguna familia tiene $1.7$ hijos, pero $1.7 \times 100 = 170$ *sí* es el número total exacto de hijos: la [media](#def-g10-stats-mean) codifica el total, repartido a partes iguales; ese es su verdadero talento.

**4.** $N = 15$: [mediana](#def-g10-stats-median) $=$ $8$.o valor $= 11$; $Q_1 =$ $4$.o valor $= 8$; $Q_3 =$ $12$.o valor $= 14$.

**5.** [Recorrido](#def-g10-stats-quartiles) $19 - 4 = 15$: la dispersión completa, extremos incluidos. [Recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles) $14 - 8 = 6$: la anchura de la mitad central, o sea, la dispersión sin el ruido de los extremos.

**6.** Un desplazamiento $+b$ mueve *todos* los valores, así que las diferencias entre valores ([recorrido](#def-g10-stats-quartiles), [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles)) no cambian: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$. Un cambio de escala de razón $a$ multiplica todas las diferencias por $a$: el [recorrido](#def-g10-stats-quartiles) y el [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles) quedan multiplicados por $\abs a$.

**7.** Corrección aditiva: $6 \to 9$ y $18 \to 21$; el alumno flojo gana un $50\,\%$ y el fuerte, un $17\,\%$, y el $21$ solo se sale ligeramente de la escala de $20$ puntos. Multiplicativa: $6 \to 8$ y $18 \to 24$; se conservan las razones, pero $24$ es imposible en una escala de $20$: el problema del techo. Las correcciones aditivas favorecen a los de abajo; las multiplicativas hacen estallar a los de arriba.

**8.** Total de notas: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$, así que la [media](#def-g10-stats-mean) conjunta es $\frac{540}{50} = 10.8$: los treinta alumnos de la clase B pesan más que los veinte de la A; las [medias](#def-g10-stats-mean) se fusionan por [media](#def-g10-stats-mean) *ponderada*, nunca por [media](#def-g10-stats-mean) simple.

**9.** [Mediana](#def-g10-stats-median) de $A$: $2$; la de $B$: $5$. Lista fusionada $\{0, 1, 2, 3, 10\}$: [mediana](#def-g10-stats-median) $2$. La [media](#def-g10-stats-mean) de las [medianas](#def-g10-stats-median) ponderada por tamaños sería $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$: las [medianas](#def-g10-stats-median) no llevan ningún total, así que no existe fórmula de fusión; hay que reordenar la lista entera.

**10.** [Media](#def-g10-stats-mean): $\frac{31.3}{5} = 6.26$. [Mediana](#def-g10-stats-median): $5.4$. [Media](#def-g10-stats-mean) recortada: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$. Un juez entusiasta (o corrupto) ha movido la [media](#def-g10-stats-mean) casi un punto; la [mediana](#def-g10-stats-median) y la [media](#def-g10-stats-mean) recortada se han encogido de hombros: de ahí las reglas de recorte de los deportes con jueces.

**11.** Fábrica A: la mitad central cabe en $0.2$ mm; fábrica B, en $4$ mm. Misma [media](#def-g10-stats-mean), fiabilidad opuesta: compra en A. Ha decidido el [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles); las [medias](#def-g10-stats-mean) solas comparan centros, nunca regularidad.

**12.** Una [mediana](#def-g10-stats-median) muy por debajo de la [media](#def-g10-stats-mean) delata una *cola larga por la derecha*: casi todas las esperas cortas y unas pocas catastróficas. Ejemplo: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$, con [mediana](#def-g10-stats-median) $10$ y [media](#def-g10-stats-mean) $\frac{125}{5} = 25$.

**13.** Significa que el $75\,\%$ de los bebés de esa edad son más bajos (y el $25\,\%$, más altos): es un puesto, no una talla. “Todos los niños por encima de la [media](#def-g10-stats-mean)” es imposible: si todos los valores superaran a la [media](#def-g10-stats-mean), su promedio superaría a la [media](#def-g10-stats-mean), que es él mismo: contradicción. Pero *casi* todos sí pueden estarlo: un solo niño muy bajo puede mantener la [media](#def-g10-stats-mean) por debajo de todos los demás. Por encima de la *[mediana](#def-g10-stats-median)*: nunca más de la mitad, por definición. A los puestos no se los puede halagar; a los promedios, sí.

**14.** Nota típica: la misma, [mediana](#def-g10-stats-median) $11$ en las dos. Homogeneidad de la mitad central: B es más compacta ([recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles) $3$ frente a $5$). Extremos: B es más salvaje ([recorrido](#def-g10-stats-quartiles) $17$ frente a $13$). B es una clase de alumnos parecidos con unos pocos valores atípicos; A está repartida de manera uniforme.

**15.** (1) ¿Es $5\,000$ la [media](#def-g10-stats-mean) o la [mediana](#def-g10-stats-median), y me pueden dar la [mediana](#def-g10-stats-median)? (2) ¿Cuál es la dispersión (los [cuartiles](#def-g10-stats-quartiles)), para saber hasta qué punto lo “típico” es típico? (3) ¿A quién se ha contado: tamaño de la muestra y forma de elegirla (la lección sobre encuestas del problema de fin de semana del volumen anterior sobre cómo mienten los datos)?

**16.** Por ejemplo, $100, 150, 200, 250, 800$: [mediana](#def-g10-stats-median) $200$, [media](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,500}{5} = 300$.

**17.** $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x -
N\bar x = 0$. Comprobación: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$. La [media](#def-g10-stats-mean) es el punto donde se equilibran las desviaciones: el centro de gravedad de los datos (el $G$ del problema de fin de semana del volumen anterior sobre el baricentro, en una dimensión).

**18.** En la [mediana](#def-g10-stats-median) $4$: $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. En la [media](#def-g10-stats-mean) $6$: $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. En $5$: $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. Gana la [mediana](#def-g10-stats-median): alejarse de ella siempre deja atrás más tiendas de las que acerca, así que el total solo puede crecer.

**19.** $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$: unos seis pilotos *por millón*. Entre $4\,000$ pilotos, el número esperado es $0.02$, es decir, cero, tal como encontró el teniente Daniels. La Fuerza Aérea dejó de diseñar para el hombre medio y lo hizo todo ajustable: asientos, pedales, correas; diseñar para la *dispersión*, no para el centro.

**20.** Totales: la *[media](#def-g10-stats-mean)*. Individuo típico: la *[mediana](#def-g10-stats-median)*. Equidad de la dispersión: los *[cuartiles](#def-g10-stats-quartiles)* (y el [recorrido intercuartílico](#def-g10-stats-quartiles)). Contaminación: la *[media](#def-g10-stats-mean) recortada*. Y la frase de cierre: la persona [media](#def-g10-stats-mean) no existe, pero la persona [mediana](#def-g10-stats-median) casi sí.