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title: "Fonctions et équations du second degré"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 10
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre
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# Chapitre 10 — Fonctions et équations du second degré

Les [fonctions du second degré](#def-g11-quad-quadratic) sont les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) les plus simples après les linéaires, et les premières dont les [graphiques](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) sont véritablement courbes. Ce chapitre développe la boîte à outils complète pour elles : la [forme canonique](#thm-g11-quad-canonical), le [discriminant](#def-g11-quad-discriminant), le signe d’un trinôme, et la géométrie de la [parabole](#def-g11-quad-parabola).

## 10.1 La forme canonique

**Définition 10.1 (Fonction du second degré).**

Une *fonction du second degré* est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de la forme

$$
f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,
$$

où $a$, $b$, $c$ sont des [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets). L’expression $ax^2 + bx + c$ est aussi appelée un *trinôme du second degré*.

**Théorème 10.2 (Forme canonique).**

Toute [fonction du second degré](#def-g11-quad-quadratic) peut s’écrire d’exactement une façon comme

$$
f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta,
\qquad\text{où } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).
$$

C’est la *forme canonique* de $f$.

**Démonstration.** On *complète le carré*. Comme $a \neq 0$, [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) $a$ dans les deux premiers termes :

$$
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .
$$

Or $x^2 + \frac{b}{a}x$ est le début du carré $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$, donc $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 -
\frac{b^2}{4a^2}$. En substituant :

$$
f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
= a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,
$$

avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$. Évaluer en $x = \alpha$ annule le terme au carré, donc $\beta = f(\alpha)$. Unicité : [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) $a(x-\alpha)^2 + \beta$ et identifier les coefficients de $x$ force $\alpha = -\frac{b}{2a}$, puis $\beta$ est déterminé. ∎

**Exemple 10.3.**

Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Alors $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ et $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$, donc

$$
f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .
$$

Vérification en développant : $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 =
2x^2 - 8x + 3$.

**Proposition 10.4 (Extremum et variations).**

Soit $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.

1. Si $a > 0$ , alors $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{\alpha}$ et [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intco{\alpha}{+\infty}$ : $f$ a un *[minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ , atteint en $x = \alpha$ .
2. Si $a < 0$ , les variations sont inversées : $f$ a un *[maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema)* $\beta$ en $x = \alpha$ .

**Démonstration.** Supposons $a > 0$ et soit $\alpha \leq u < v$. Alors

$$
f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr)
= a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).
$$

Chaque facteur est positif : $a > 0$, $v - u > 0$, et $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ car $v > \alpha$ et $u \geq \alpha$. Donc $f(v) > f(u)$ : $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intco{\alpha}{+\infty}$. Pour $u < v \leq \alpha$ le dernier facteur est négatif, donc $f(v) < f(u)$ : $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) là. Enfin $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ pour tout $x$, donc $\beta = f(\alpha)$ est le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema). Le cas $a < 0$ s’obtient en appliquant ce qui précède à $-f$. ∎

**Exemple 10.5.**

Un fermier a $100$ mètres de clôture pour enfermer un champ rectangulaire contre un mur droit (pas de clôture le long du mur). Si $x$ est la largeur, l’aire enclose est $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. Ici $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ et $A(25) = 25 \times 50 =
1250$ : l’aire est maximale pour une largeur de $25$ m, donnant $1250$ m$^2$.

## 10.2 Racines et factorisation

**Définition 10.6 (Racine, discriminant).**

Une *racine* du trinôme $ax^2+bx+c$ est une solution de l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $ax^2 + bx + c = 0$. Le *discriminant* du trinôme est le nombre

$$
\Delta = b^2 - 4ac .
$$

**Théorème 10.7 (Résoudre ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0).**

1. Si $\Delta > 0$, l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) a deux [racines](#def-g11-quad-discriminant) distinctes $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},  \qquad  x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$$ et $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
2. Si $\Delta = 0$ , l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) a l’unique [racine](#def-g11-quad-discriminant) $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , et $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
3. Si $\Delta < 0$ , l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) n’a pas de solution réelle, et le trinôme ne se factorise pas avec des coefficients réels.

**Démonstration.** Partir de la [forme canonique](#thm-g11-quad-canonical) calculée dans le [Théorème 10.2](#thm-g11-quad-canonical) :

$$
ax^2+bx+c
= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}
= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],
$$

car $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} =
a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

*1.* Si $\Delta > 0$, alors $\frac{\Delta}{4a^2} =
\left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ et le crochet est une différence de deux carrés :

$$
ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)
= a(x - x_2)(x - x_1).
$$

Un produit est nul exactement lorsqu’un de ses facteurs est nul, d’où les deux [racines](#def-g11-quad-discriminant), distinctes car $\sqrt\Delta \neq 0$.

*2.* Si $\Delta = 0$, le crochet est $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$, qui s’annule seulement en $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

*3.* Si $\Delta < 0$, alors $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, donc le crochet est un carré plus un nombre positif : il ne s’annule jamais, et l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) n’a pas de solution réelle. Une factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ produirait des [racines](#def-g11-quad-discriminant), donc aucune n’existe. ∎

**Exemple 10.8.**

Résoudre $2x^2 - 8x + 3 = 0$. Ici $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$, donc deux [racines](#def-g11-quad-discriminant) :

$$
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4}
= 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.
$$

Pour $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, pas de solution réelle.

**Proposition 10.9 (Somme et produit des racines).**

Si $\Delta \geq 0$ et $x_1, x_2$ sont les [racines](#def-g11-quad-discriminant) (égales lorsque $\Delta = 0$), alors

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},
\qquad
x_1 x_2 = \frac{c}{a} .
$$

Réciproquement, deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les solutions de $x^2 - sx + p = 0$.

**Démonstration.** Développer la factorisation du [Théorème 10.7](#thm-g11-quad-roots) :

$$
a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .
$$

Identifier les coefficients avec $ax^2 + bx + c$ donne $-a(x_1+x_2) = b$ et $a\,x_1x_2 = c$. Pour la réciproque, si $u + v = s$ et $uv = p$, alors $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$, donc $u$ et $v$ en sont les [racines](#def-g11-quad-discriminant). ∎

**Exemple 10.10.**

Trouver deux nombres de somme $10$ et de produit $21$. Ils résolvent $x^2 - 10x + 21 = 0$ ; $\Delta = 100 - 84 = 16$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ et $3$. *Repérage rapide de [racines](#def-g11-quad-discriminant) :* comme les coefficients de $x^2 - 5x + 4$ satisfont $1 - 5 + 4 = 0$, le nombre $1$ est [racine](#def-g11-quad-discriminant), et l’autre est $\frac{c}{a} = 4$ (leur produit doit être $\frac ca$).

## 10.3 Signe d’un trinôme

**Théorème 10.11 (Signe d’un trinôme).**

Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$.

1. Si $\Delta > 0$ , avec [racines](#def-g11-quad-discriminant) $x_1 < x_2$ : $f(x)$ a le signe de $a$ à l’extérieur de $\intcc{x_1}{x_2}$ , et le signe de $-a$ sur $\intoo{x_1}{x_2}$ .
2. Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ , et s’annule en $x_0$ .
3. Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x$ .

En bref : *un trinôme a le signe de $a$, sauf entre ses [racines](#def-g11-quad-discriminant)*.

**Démonstration.** *1.* Écrire $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ et suivre les signes des facteurs. Si $x < x_1$ : $x - x_1$ et $x - x_2$ sont tous deux négatifs, leur produit est positif, donc $f(x)$ a le signe de $a$. Si $x_1 < x < x_2$ : les facteurs ont des signes opposés, le produit est négatif, et $f(x)$ a le signe de $-a$. Si $x > x_2$ : les deux facteurs sont positifs et $f(x)$ a à nouveau le signe de $a$.

*2.* $f(x) = a(x - x_0)^2$ et $(x-x_0)^2 > 0$ pour $x \neq x_0$.

*3.* D’après la démonstration du [Théorème 10.7](#thm-g11-quad-roots), $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 +
\left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$, et le crochet est toujours positif. ∎

**Méthode 10.12 (Résoudre des inéquations du second degré).**

Pour résoudre $ax^2 + bx + c \leq 0$ (ou $\geq$, $<$, $>$) :

1. calculer $\Delta$ et les [racines](#def-g11-quad-discriminant) , s’il y en a ;
2. dresser le [tableau de signes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-signtable) en utilisant le [Théorème 10.11](#thm-g11-quad-sign) (signe de $a$ à l’extérieur des [racines](#def-g11-quad-discriminant) ) ;
3. lire le ou les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de solutions, en veillant à ce que les [racines](#def-g11-quad-discriminant) elles-mêmes soient incluses (inégalité large) ou non (stricte).

**Exemple 10.13.**

Résoudre $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$. Ici $\Delta = 9 + 16 = 25$, et les [racines](#def-g11-quad-discriminant) sont $\frac{-3 \pm 5}{-2}$, c’est-à-dire $x_1 = -1$ et $x_2 = 4$. Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est négatif à l’extérieur des [racines](#def-g11-quad-discriminant) et positif entre elles. Avec l’inégalité large, l’ensemble des solutions est $\intcc{-1}{4}$.

## 10.4 La parabole

**Définition 10.14 (Parabole).**

Le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) d’une [fonction du second degré](#def-g11-quad-quadratic) $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ est une *parabole* de *sommet* $S(\alpha, \beta)$. Elle s’ouvre vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$, et est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$.

**Remarque 10.15.**

La symétrie est facile à vérifier : pour tout $h$, $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$, donc deux points à égale distance horizontale de la droite $x = \alpha$ ont la même hauteur.

![Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut (a > 0) par rapport à l’axe des x : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet S a pour abscisse = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-9863916135b2.svg)

![Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut (a > 0) par rapport à l’axe des x : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet S a pour abscisse = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-5eb7a968df56.svg)

![Les trois positions d’une parabole tournée vers le haut (a > 0) par rapport à l’axe des x : deux racines, une racine double, aucune racine. Le sommet S a pour abscisse = -b/2a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-a1f1afe408b0.svg)

*Les trois positions d’une [parabole](#def-g11-quad-parabola) tournée vers le haut ($a > 0$) par rapport à l’axe des $x$ : deux [racines](#def-g11-quad-discriminant), une [racine](#def-g11-quad-discriminant) double, aucune [racine](#def-g11-quad-discriminant). Le sommet $S$ a pour [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $\alpha = -\frac{b}{2a}$.*

![Signe d’un trinôme tourné vers le bas (a < 0) avec deux racines : le signe de -a entre les racines (hachuré), le signe de a à l’extérieur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-quad/fig-159a96c2a7c7.svg)

*Signe d’un trinôme tourné vers le bas ($a < 0$) avec deux [racines](#def-g11-quad-discriminant) : le signe de $-a$ entre les [racines](#def-g11-quad-discriminant) (hachuré), le signe de $a$ à l’extérieur.*

**Méthode 10.16 (Lire une parabole).**

Pour croquer $f(x) = ax^2+bx+c$ : trouver l’orientation (signe de $a$), le sommet $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$, l’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) $(0, c)$ avec l’axe des $y$, et les [racines](#def-g11-quad-discriminant), s’il y en a. L’axe de symétrie $x = -\frac{b}{2a}$ place alors chaque point calculé en double.

**Exemple 10.17.**

Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : tournée vers le haut, sommet $(2, -1)$, coupe l’axe des $y$ en $(0,3)$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $1$ et $3$ (repérées : $1 - 4 + 3 = 0$). Par symétrie, le point $(4, 3)$ est aussi sur la courbe, miroir de $(0, 3)$.

## 10.5 Exercices

**Exercice 10.1 ★.**

Résoudre les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation)

$$
x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad
x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad
9x^2 - 6x + 1 = 0 .
$$

**Solution de Exercice 10.1.**

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{5 \pm 1}{2}$, c’est-à-dire $2$ et $3$.

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-3 \pm 5}{4}$, c’est-à-dire $\frac12$ et $-2$.

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, pas de solution réelle.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$, une (double) [racine](#def-g11-quad-discriminant) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$.

**Exercice 10.2 ★.**

Écrire sous [forme canonique](#thm-g11-quad-canonical) et donner le sommet de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) :

$$
f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad
g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad
h(x) = 3x^2 + 6x .
$$

**Solution de Exercice 10.2.**

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : sommet $(3, 2)$.

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1
= -2(x-1)^2 + 3$ : sommet $(1, 3)$.

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr)
= 3(x+1)^2 - 3$ : sommet $(-1, -3)$.

**Exercice 10.3 ★.**

Résoudre les inéquations

$$
x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad
2x^2 + x + 3 > 0, \qquad
-x^2 + 6x - 9 \geq 0 .
$$

**Solution de Exercice 10.3.**

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ et $5$ ; coefficient dominant positif, donc le trinôme est négatif strictement entre les [racines](#def-g11-quad-discriminant) : l’ensemble des solutions est $\intoo{-2}{5}$.

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ et $a = 2 > 0$ : toujours positif, l’ensemble des solutions est $\R$.

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : il est $\geq 0$ seulement là où $(x-3)^2 \leq 0$, c’est-à-dire en $x = 3$. L’ensemble des solutions est $\{3\}$.

**Exercice 10.4 ★.**

Sans calculer $\Delta$, trouver une [racine](#def-g11-quad-discriminant) évidente, puis l’autre :

$$
x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad
2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad
x^2 + 4x - 5 = 0 .
$$

(Indication : tester $x = 1$ et $x = -1$, puis utiliser le produit des [racines](#def-g11-quad-discriminant).)

**Solution de Exercice 10.4.**

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$, donc $1$ est [racine](#def-g11-quad-discriminant) ; le produit des [racines](#def-g11-quad-discriminant) est $6$, donc l’autre [racine](#def-g11-quad-discriminant) est $6$.

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$, donc $1$ est [racine](#def-g11-quad-discriminant) ; le produit est $\frac{c}{a} = -\frac72$, donc l’autre [racine](#def-g11-quad-discriminant) est $-\frac72$.

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$, donc $1$ est [racine](#def-g11-quad-discriminant) ; le produit est $-5$, donc l’autre [racine](#def-g11-quad-discriminant) est $-5$.

**Exercice 10.5 ★★.**

Trouver deux nombres dont la somme est $14$ et le produit $45$. Puis trouver les dimensions d’un rectangle de périmètre $34$ et d’aire $60$.

**Solution de Exercice 10.5.**

Les deux nombres résolvent $x^2 - 14x + 45 = 0$ ([Proposition 10.9](#prop-g11-quad-vieta)) ; $\Delta = 196 - 180 = 16$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ et $5$.

Pour le rectangle : la moitié du périmètre donne longueur $+$ largeur $= 17$, et l’aire donne leur produit $60$. Ils résolvent $x^2 - 17x + 60 = 0$ ; $\Delta = 289 - 240 = 49$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ et $5$. Le rectangle est $12 \times 5$.

**Exercice 10.6 ★★.**

Soit $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$, où $m$ est un paramètre réel. Pour quelles valeurs de $m$ l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 0$ a-t-elle exactement une solution ? Aucune solution ?

**Solution de Exercice 10.6.**

$\Delta = (m-2)^2 - 4$. Exactement une solution lorsque $\Delta = 0$ : $(m-2)^2 = 4$, donc $m - 2 = \pm 2$, c’est-à-dire $m = 0$ ou $m = 4$. Aucune solution lorsque $\Delta < 0$ : $(m-2)^2 < 4$, c’est-à-dire $-2 < m - 2 < 2$, soit $0 < m < 4$.

**Exercice 10.7 ★★.**

Une balle est lancée vers le haut ; sa hauteur après $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (en mètres). Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ? Pendant quel [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de temps la balle est-elle à au moins $16$ m de hauteur ?

**Solution de Exercice 10.7.**

Le sommet est en $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$, et $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : hauteur maximale $21$ m, atteinte après $2$ secondes.

$h(t) \geq 16$ signifie $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$, c’est-à-dire (en divisant par $-5$, ce qui inverse l’inégalité) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$. Les [racines](#def-g11-quad-discriminant) de $t^2-4t+3$ sont $1$ et $3$ ($1 - 4 + 3 = 0$, produit $3$), donc $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ exactement sur $\intcc{1}{3}$ : la balle est à au moins $16$ m de hauteur entre les instants $t = 1$ s et $t = 3$ s.

**Exercice 10.8 ★★.**

Résoudre l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ en posant $X = x^2$ (une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) *bicarrée*).

**Solution de Exercice 10.8.**

Avec $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$, $\Delta = 169 - 144 = 25$, donc $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ ou $4$. Retour à $x$ : $x^2 = 9$ donne $x = \pm 3$, et $x^2 = 4$ donne $x = \pm 2$. L’ensemble des solutions est $\{-3, -2, 2, 3\}$.

**Exercice 10.9 ★★.**

Pour quelles valeurs de $x$ le point $M(x, x^2)$ de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ est-il strictement sous la droite $y = x + 2$ ? Interpréter sur un croquis.

**Solution de Exercice 10.9.**

La condition est $x^2 < x + 2$, c’est-à-dire $x^2 - x - 2 < 0$. Comme $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ ([racines](#def-g11-quad-discriminant) $-1$ et $2$), l’inégalité est réalisée strictement entre les [racines](#def-g11-quad-discriminant) : $x \in \intoo{-1}{2}$. Sur un croquis, la [parabole](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ passe sous la droite $y = x+2$ exactement entre leurs deux points d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) $(-1, 1)$ et $(2, 4)$.

**Exercice 10.10 ★★.**

La somme d’un nombre positif et de son inverse est $\frac{13}{6}$. Trouver le nombre. (Se ramener à une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du second degré.)

**Solution de Exercice 10.10.**

Soit $x > 0$ tel que $x + \frac1x = \frac{13}{6}$. Multiplier par $6x > 0$ : $6x^2 + 6 = 13x$, c’est-à-dire $6x^2 - 13x + 6 = 0$. Alors $\Delta = 169 - 144 = 25$ et $x = \frac{13 \pm 5}{12}$, d’où $x = \frac32$ ou $x = \frac23$. Les deux sont positifs et inverses l’un de l’autre, comme attendu : le nombre est $\frac32$ (ou $\frac23$).

**Exercice 10.11 ★★★.**

Soit $\mathcal P$ la [parabole](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ et soit $d_m$ la droite $y = mx - 1$, où $m$ est un paramètre réel.

1. Pour quelles valeurs de $m$ $\mathcal P$ et $d_m$ se coupent-elles en deux points ? Un point ? Aucun point ?
2. Lorsqu’elles se touchent en exactement un point, calculer le point de contact. (Dans le [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#ch-g11-deriv) on reconnaîtra $d_m$ comme la tangente à $\mathcal P$ en ce point.)

**Solution de Exercice 10.11.**

*1.* Les [intersections](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) correspondent aux solutions de $x^2 = mx - 1$, c’est-à-dire $x^2 - mx + 1 = 0$, dont le [discriminant](#def-g11-quad-discriminant) est $\Delta = m^2 - 4$. Deux points lorsque $\abs{m} > 2$ ; exactement un lorsque $m = \pm 2$ ; aucun lorsque $-2 < m < 2$.

*2.* Pour $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$, donc l’unique point de contact est $(1, 1)$. Pour $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$, point de contact $(-1, 1)$. Dans les deux cas la droite rencontre la [parabole](#def-g11-quad-parabola) en un seul point sans la traverser — c’est la tangente en ce point, et en effet sa pente $m = \pm 2$ égale la valeur en $x = \pm 1$ de la dérivée $2x$ de $x^2$ ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#ch-g11-deriv)).

## 10.6 Problème : le point secret de la parabole

**Problème 10.1.**

Devoir du week-end — foyer et directrice : pourquoi les antennes paraboliques, les phares de voiture et les ponts suspendus dessinent tous la même courbe, dont il n’existe au fond qu’un seul exemplaire

Toute antenne parabolique de balcon vise son récepteur sur un point intérieur bien précis ; tout phare de voiture cache son ampoule au même endroit privilégié. Ce point — le *[foyer](#pb-g11-quad-1)* — est un secret que la [parabole](#def-g11-quad-parabola) garde depuis la géométrie grecque, et la formule de distance suffit à l’en extraire. Chemin faisant, ce problème fait travailler le [discriminant](#def-g11-quad-discriminant), envoie des projectiles par-dessus des murs, suspend un pont, et démontre pour finir un fait étonnant : à un agrandissement près, *il n’existe qu’une seule [parabole](#def-g11-quad-parabola) au monde*.

**Partie I — Aisance avec les trinômes.**

1. Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ , puis $2x^2 + x - 6 = 0$ , puis $x^2 + x + 1 = 0$ ( [Théorème 10.7](#thm-g11-quad-roots) ).
2. Écrire $2x^2 - 4x - 6$ sous forme factorisée et sous [forme canonique](#thm-g11-quad-canonical) ( [Théorème 10.2](#thm-g11-quad-canonical) ). Avec la forme développée, vous disposez maintenant de trois costumes d’une même [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) : dire quelle caractéristique chacun affiche d’un coup d’œil ( [racines](#def-g11-quad-discriminant) , sommet, [ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) ).
3. Résoudre $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ avec la règle des signes ( [Théorème 10.11](#thm-g11-quad-sign) ).
4. Viète en enquêteur ( [Proposition 10.9](#prop-g11-quad-vieta) , qui prolonge Babylone au [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#pb-g10-algebra-1) ) : trouver deux nombres de somme $7$ et de produit $12$ en écrivant leur [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) . Puis : une [racine](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 5x + c = 0$ vaut $2$ ; déterminer $c$ et l’autre [racine](#def-g11-quad-discriminant) sans rien résoudre.
5. Pour quelles valeurs de $m$ l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x^2 + mx + 9 = 0$ a-t-elle une [racine](#def-g11-quad-discriminant) double ? Aucune [racine](#def-g11-quad-discriminant) ? Deux [racines](#def-g11-quad-discriminant) ?

**Partie II — Le [foyer](#pb-g11-quad-1) dévoilé.** On travaille sur la [parabole](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$, le point $F\left(0, \frac14\right)$ et la droite horizontale $\delta$ d’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y = -\frac14$.

6. Pour un point $P(x, x^2)$ de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) , [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ et montrer que c’est le carré parfait $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . En déduire $PF$ .
7. Calculer la distance de $P$ à la droite $\delta$ , et conclure : *tout point de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) est exactement aussi loin de $F$ que de $\delta$* . ( $F$ est le *foyer* , $\delta$ la *directrice* .)
8. Démontrer la réciproque : un point $P(x, y)$ vérifiant $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ satisfait nécessairement $y = x^2$ . (Élever les deux distances au carré et simplifier.) La [parabole](#def-g11-quad-parabola) est donc un *lieu géométrique* , exactement comme le cercle l’était au [Problème 5.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#pb-g10-coordgeom-1) : équidistance d’un point et d’une droite, au lieu d’un seul point.
9. Pour la [parabole](#def-g11-quad-parabola) plus ouverte $y = \frac{x^2}{4f}$ (avec $f > 0$ ), adapter la question 6 pour montrer que le [foyer](#pb-g11-quad-1) est $(0, f)$ et la [directrice](#pb-g11-quad-1) $y = -f$ . Application : une antenne parabolique mesure $60$ cm de large et $9$ cm de profondeur — son bord passe par $(30, 9)$ . Déterminer $f$ : à quelle hauteur au-dessus du sommet faut-il suspendre le récepteur ?
10. La raison pour laquelle les antennes fonctionnent : les rayons qui arrivent parallèlement à l’axe se réfléchissent tous *en passant par le [foyer](#pb-g11-quad-1)* (et une ampoule placée au [foyer](#pb-g11-quad-1) envoie un faisceau parallèle — un phare est une antenne fonctionnant à l’envers). Expliquer pourquoi l’équidistance de la question 7 rend ce fait plausible (penser aux rayons comme à des fronts d’onde qui avancent), et dire quel outil, à venir au [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#ch-g11-deriv) (voir l’ [Exercice 10.11](#exo-g11-quad-11) ), change la plausibilité en démonstration.

**Partie III — Les [paraboles](#def-g11-quad-parabola) au travail.**

11. Un ballon suit la trajectoire $y = x - \frac{x^2}{20}$ ( $x$ et $y$ en mètres). Déterminer son point de chute, l’ [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de son point le plus haut et la hauteur maximale ( [Proposition 10.4](#prop-g11-quad-variations) ).
12. Sur la même trajectoire, un mur se dresse en $x = 4$ . Calculer la hauteur du ballon à cet endroit : passe-t-il au-dessus d’un mur de $3$ m ? D’un mur de $4$ m ?
13. Une arche parabolique franchit $40$ m avec une hauteur maximale de $10$ m : en [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) centrées, $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . Un camion de $7$ m de haut peut-il passer à $10$ m du centre ? À $15$ m ?
14. La recette d’un théâtre, pour un billet à $p$ euros, vaut $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (la demande baisse quand le prix monte). Déterminer le prix qui maximise la recette, ainsi que ce [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) .
15. Les câbles porteurs du Golden Gate sont paraboliques avec une excellente précision (une charge de tablier uniforme produit une [parabole](#def-g11-quad-parabola) — une chaîne suspendue librement, *non* : sa courbe, la chaînette, réclame l’exponentielle de l’an prochain). Avec une portée de $1\,280$ m et une flèche de $143$ m, le câble suit $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ depuis le centre. À quelle hauteur au-dessus de son point le plus bas le câble se trouve-t-il en $x = 320$ m ?

**Partie IV — Droites, tangentes et la dernière surprise.**

16. Compléter l’ [Exercice 10.11](#exo-g11-quad-11) : les droites $y = mx - 1$ passant par le point extérieur $(0, -1)$ rencontrent $y = x^2$ selon le signe d’un [discriminant](#def-g11-quad-discriminant) . Déterminer les deux tangentes issues de $(0, -1)$ et leurs points de contact.
17. Considérons maintenant les droites $y = mx + 1$ passant par le point *intérieur* $(0, 1)$ : calculer le [discriminant](#def-g11-quad-discriminant) de l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) d’ [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) et montrer que toute droite de ce type coupe la [parabole](#def-g11-quad-parabola) en deux points. Morale : depuis l’intérieur, pas de tangente — exactement comme pour un cercle.
18. La corde focale : couper $y = x^2$ par la droite horizontale passant par le [foyer](#pb-g11-quad-1) , $y = \frac14$ . Quelle est la longueur de la corde ? Vérifier la règle générale (bonne à retenir pour les antennes) : pour $y = \frac{x^2}{4f}$ , la corde passant par le [foyer](#pb-g11-quad-1) et parallèle à la [directrice](#pb-g11-quad-1) a pour longueur $4f$ .
19. La dernière surprise : appliquer l’agrandissement $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ à la [parabole](#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ et montrer que l’ [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) est exactement $y = \frac{x^2}{k}$ . En déduire : toute [parabole](#def-g11-quad-parabola) $y = \frac{x^2}{4f}$ est un agrandissement de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) unité — contrairement aux cercles et aux ellipses de proportions différentes, *toutes les [paraboles](#def-g11-quad-parabola) sont semblables* .
20. Pour finir : le portrait de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) en cinq lignes — une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) à trois costumes (question 2), un lieu géométrique (questions 7 et 8), un réflecteur d’ingénieur (questions 9 et 10), une trajectoire de projectile et un câble de pont (questions 11 à 15), et une courbe unique à un agrandissement près (question 19). Une phrase pour chacune.

**Solution de Problème 10.1.**

**1.** $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $2$ et $3$. $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$, [racines](#def-g11-quad-discriminant) $\frac{-1 \pm 7}{4}$, soit $\frac32$ et $-2$. $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : aucune solution réelle.

**2.** $\Delta = 16 + 48 = 64$ : [racines](#def-g11-quad-discriminant) $3$ et $-1$, donc $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; [forme canonique](#thm-g11-quad-canonical) $2(x - 1)^2 - 8$. La forme factorisée montre les [racines](#def-g11-quad-discriminant), la [forme canonique](#thm-g11-quad-canonical) le sommet $(1, -8)$, la forme développée l’[ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $-6$.

**3.** [Racines](#def-g11-quad-discriminant) $1$ et $3$, coefficient dominant négatif : le trinôme est $\geq 0$ *entre* les [racines](#def-g11-quad-discriminant), soit $x \in \intcc{1}{3}$.

**4.** Les deux nombres sont les [racines](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 7x + 12 = 0$ : $3$ et $4$. Si $2$ est [racine](#def-g11-quad-discriminant) de $x^2 - 5x + c$, l’autre [racine](#def-g11-quad-discriminant) $r$ vérifie $2 + r = 5$ (la somme), donc $r = 3$, et $c = 2 \times 3 = 6$ (le produit) : Viète le lit sans calcul.

**5.** $\Delta = m^2 - 36$ : [racine](#def-g11-quad-discriminant) double pour $m = \pm 6$ ([racine](#def-g11-quad-discriminant) $\mp 3$) ; aucune [racine](#def-g11-quad-discriminant) pour $-6 < m < 6$ ; deux [racines](#def-g11-quad-discriminant) pour $\abs m > 6$.

**6.** $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2
= x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16}
= \left(x^2 + \frac14\right)^2$. D’où $PF = x^2 + \frac14$ (les deux facteurs étant positifs).

**7.** La distance de $P(x, x^2)$ à la droite horizontale $y = -\frac14$ vaut $x^2 + \frac14$ — exactement $PF$. Tout point de la [parabole](#def-g11-quad-parabola) est donc équidistant du [foyer](#pb-g11-quad-1) et de la [directrice](#pb-g11-quad-1).

**8.** $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ et $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$. L’égalité donne $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 +
\frac1{16}$, donc $x^2 = y$ : le lieu est exactement la [parabole](#def-g11-quad-parabola). Un point et une droite engendrent la courbe, comme un point et une distance engendraient le cercle.

**9.** Pour $y = \frac{x^2}{4f}$, le même développement avec $F(0, f)$ donne $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2
= \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : la distance à $F$ égale la distance à $y = -f$. Antenne : $9 = \frac{30^2}{4f}$ donne $4f = 100$, soit $f = 25$ cm : le récepteur se suspend à un quart de mètre au-dessus du sommet — hors de la cuvette de $9$ cm, comme le montrent les antennes réelles.

**10.** Un front d’onde qui arrive parallèlement à l’axe a parcouru des distances égales pour atteindre le niveau de la [directrice](#pb-g11-quad-1) ; l’équidistance convertit « même distance à la [directrice](#pb-g11-quad-1) » en « même distance à $F$ » : tous les signaux réfléchis arrivent en $F$ *en phase*, et se renforcent — c’est là qu’il faut écouter. La démonstration honnête réclame le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) de la tangente en chaque point — la dérivée du [Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#ch-g11-deriv), entrevue à l’[Exercice 10.11](#exo-g11-quad-11).

**11.** $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : chute en $x = 20$ m. Sommet à mi-parcours : $x = 10$, de hauteur $y(10) = 10 - 5 = 5$ m.

**12.** $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m : le ballon passe au-dessus du mur de $3$ m avec de la marge, et s’écrase sur celui de $4$ m.

**13.** $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : le camion passe à $10$ m du centre. $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m : il ne passe pas à $15$ m.

**14.** $R(p) = -2p^2 + 120p$ : sommet en $p = \frac{120}{4} = 30$ euros, pour une recette $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ euros.

**15.** $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2
= \frac{143}{4} \approx 36$ m au-dessus du point le plus bas.

**16.** $x^2 = mx - 1$ donne $x^2 - mx + 1 = 0$, avec $\Delta = m^2 - 4$ : deux points pour $\abs m > 2$, aucun pour $\abs m < 2$, tangence pour $m = \pm 2$ avec contact en $x = \frac m2 = \pm 1$ : tangentes $y = 2x - 1$ en $(1, 1)$ et $y = -2x - 1$ en $(-1, 1)$.

**17.** $x^2 = mx + 1$ donne $\Delta = m^2 + 4 > 0$ pour tout $m$ : toujours deux [intersections](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion). Depuis un point intérieur, toute droite traverse la courbe deux fois — les tangentes ne se mènent que de l’extérieur, exactement comme pour les cercles.

**18.** $y = \frac14$ coupe $y = x^2$ en $x = \pm\frac12$ : corde de longueur $1$. Pour $y = \frac{x^2}{4f}$ : $y = f$ donne $x^2 = 4f^2$, soit $x = \pm 2f$, d’où une longueur $4f$ — la largeur focale vaut quatre fois la distance focale (les concepteurs d’antennes l’appellent le *latus rectum*).

**19.** Un point de $y = x^2$ s’écrit $(a, a^2)$ ; son [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) est $(X, Y) = (ka, ka^2)$, et $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} =
ka^2 = Y$ : la courbe [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) est exactement $y = \frac{x^2}{k}$. En choisissant $k = 4f$ on atteint toutes les [paraboles](#def-g11-quad-parabola) : elles sont toutes des agrandissements d’une seule courbe maîtresse. (Les cercles sont eux aussi tous semblables — mais pas les ellipses : l’aplatissement compte, l’agrandissement non.)

**20.** Une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) à trois costumes lisibles ; le lieu des points équidistants d’un point et d’une droite ; le réflecteur qui rassemble en son [foyer](#pb-g11-quad-1) les rayons parallèles et le câble qui porte un tablier uniforme ; la trajectoire de tout ballon lancé ; et, à un agrandissement près, une courbe unique — une seule [parabole](#def-g11-quad-parabola), partout.