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title: "Fonctions et variations"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 11
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations
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# Chapitre 11 — Fonctions et variations

Ce chapitre organise ce qu’il faut savoir sur les [fonctions](#def-g11-func-function) avant le calcul différentiel : la petite famille des *[fonctions de référence](#def-g11-func-reference)* dont les [graphiques](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) doivent être connus par cœur, le sens précis de *[croissante](#def-g11-func-monotone)* et *[décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)*, et le comportement des variations lorsque l’on combine des [fonctions](#def-g11-func-function).

## 11.1 Fonctions et courbes

**Définition 11.1 (Fonction, ensemble de définition, courbe).**

Une *fonction* $f$ associe à chaque nombre $x$ d’un ensemble $D \subseteq \R$ (son *ensemble de définition*) exactement un nombre $f(x)$. Sa *courbe* (ou [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph)) est l’ensemble des points $\bigl(x, f(x)\bigr)$ pour $x \in D$.

**Exemple 11.2.**

La formule $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ exige $x + 2 \geq 0$ (pour la racine carrée) et $x \neq 1$ (dénominateur non nul) : l’[ensemble de définition](#def-g11-func-function) est $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$.

## 11.2 Les fonctions de référence

Les cinq [fonctions](#def-g11-func-function) suivantes et leurs courbes doivent devenir des réflexes.

**Définition 11.3 (Fonctions de référence).**

$$
x \mapsto x^2 \text{ (carré)}, \quad
x \mapsto x^3 \text{ (cube)}, \quad
x \mapsto \sqrt{x}, \quad
x \mapsto \frac{1}{x}, \quad
x \mapsto \abs{x}.
$$

Leurs [ensembles de définition](#def-g11-func-function) sont $\R$, $\R$, $\intco{0}{+\infty}$, $\R \setminus \{0\}$ et $\R$ respectivement. La courbe de $x \mapsto \frac1x$ est une *hyperbole*.

![Les cinq courbes de référence : la parabole x2 et le cube x3 (à gauche) ; √ x, x et l’hyperbole 1x (à droite).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-d927af9605c1.svg)

![Les cinq courbes de référence : la parabole x2 et le cube x3 (à gauche) ; √ x, x et l’hyperbole 1x (à droite).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-11cf0cdba8a1.svg)

*Les cinq courbes de référence : la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $x^2$ et le cube $x^3$ (à gauche) ; $\sqrt x$, $\abs x$ et l’[hyperbole](#def-g11-func-reference) $\frac1x$ (à droite).*

## 11.3 Variations sur un intervalle

**Définition 11.4 (Croissante, décroissante).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$. La [fonction](#def-g11-func-function) $f$ est *croissante* sur $I$ si elle préserve l’ordre :

$$
\text{pour tous } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),
$$

et *[décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)* si elle inverse l’ordre ($u < v \implies
f(u) \geq f(v)$). Avec des inégalités strictes à droite, $f$ est *strictement* croissante (resp. [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)). Une [fonction](#def-g11-func-function) qui est croissante ou [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $I$ est *monotone* sur $I$.

**Méthode 11.5 (Démontrer une variation à partir de la définition).**

Prendre deux nombres arbitraires $u < v$ dans l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval), et déterminer le signe de la différence $f(v) - f(u)$, en général en la *factorisant*. Si le signe est constant sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval), conclure.

**Proposition 11.6 (Variations des fonctions de référence).**

1. $x^2$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{0}{+\infty}$ .
2. $x^3$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\R$ .
3. $\sqrt x$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{0}{+\infty}$ .
4. $\frac1x$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{0}{+\infty}$ (mais *pas* sur leur [réunion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) ).
5. $\abs x$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$ et strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{0}{+\infty}$ .

**Démonstration.** Soit $u < v$. On factorise $f(v) - f(u)$ dans chaque cas.

*1.* $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$. Sur $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ et $v + u > 0$ (car $v > u \geq 0$), donc $v^2 > u^2$. Sur $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$, donc $v^2 < u^2$.

*2.* $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$, et le second facteur égale $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ sauf si $u = v = 0$. Donc $v^3 > u^3$ dès que $v > u$.

*3.* Pour $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}
{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$.

*4.* Pour $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ car $u - v < 0$ et $uv > 0$ ; même calcul pour $u < v < 0$. Sur la [réunion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) l’assertion échoue : $-1 < 1$ mais $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$.

*5.* Sur $\intco{0}{+\infty}$, $\abs x = x$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) ; sur $\intoc{-\infty}{0}$, $\abs x = -x$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations). ∎

**Remarque 11.7.**

Le point 4 est un piège classique : « [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{0}{+\infty}$ » n’est *pas* la même chose que « [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\R \setminus \{0\}$ ». Les variations n’ont de sens que sur des [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval).

**Exemple 11.8 (Comparer sans calculer).**

Comme $\sqrt x$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone), $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; comme $x^2$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$, $(-3)^2 > (-2)^2$. La monotonie transforme les comparaisons d’[images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) en comparaisons d’arguments.

## 11.4 Nouvelles fonctions à partir d’anciennes

**Proposition 11.9 (Transformations).**

Soit $u$ une [fonction](#def-g11-func-function) définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ et $k \in \R$.

1. $u + k$ a les *mêmes* variations que $u$ sur $I$ ; sa courbe est celle de $u$ décalée verticalement de $k$ .
2. Pour $\lambda > 0$ , $\lambda u$ a les mêmes variations que $u$ ; pour $\lambda < 0$ , les variations sont inversées.
3. Si $u \geq 0$ sur $I$ , alors $\sqrt u$ a les mêmes variations que $u$ .
4. Si $u \neq 0$ et $u$ a un signe constant sur $I$ , alors $\frac1u$ a les variations *opposées* à celles de $u$ .

**Démonstration.** Soient $u < v$ dans $I$ (en abusant de notation, on compare des valeurs de $x$ $u < v$ ; écrire $s = u(x_1)$, $t = u(x_2)$ pour les [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $x_1 < x_2$).

*1.* $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : la différence des [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) est inchangée, donc son signe l’est aussi.

*2.* $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : le signe est conservé si $\lambda > 0$, inversé si $\lambda < 0$.

*3.* Si $u$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) et $x_1 < x_2$, alors $0 \leq s \leq t$, et $\sqrt{}$ étant [croissante](#def-g11-func-monotone) ([Proposition 11.6](#prop-g11-func-refvariations)) donne $\sqrt s \leq \sqrt t$. Même argument dans le cas décroissant.

*4.* Si $u$ est [croissante](#def-g11-func-monotone), $0 < s \leq t$ (ou $s \leq t < 0$), alors $\frac1s \geq \frac1t$ car $x \mapsto \frac1x$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) de chaque côté de $0$ : l’ordre est inversé. ∎

**Exemple 11.10.**

Étudier $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ sur $\R$. La [fonction](#def-g11-func-function) intérieure $u(x) = x^2 + 1$ est positive, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$ et [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{0}{+\infty}$ (un carré décalé). Par le point 3, $f$ a les mêmes variations : [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) puis [croissante](#def-g11-func-monotone), avec [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 1$.

![Transformations en action : décaler x2 de 1 vers le haut (rouge) conserve ses variations ; prendre la racine carrée (orange) les conserve encore, comme dans l’.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-func/fig-24fc77b45bdf.svg)

*Transformations en action : décaler $x^2$ de $1$ vers le haut (rouge) conserve ses variations ; prendre la racine carrée (orange) les conserve encore, comme dans l’[Exemple 11.10](#ex-g11-func-composite).*

## 11.5 Fonctions paires et impaires

**Définition 11.11 (Parité).**

Soit $f$ définie sur un [ensemble de définition](#def-g11-func-function) $D$ symétrique par rapport à $0$ (c’est-à-dire $-x \in D$ dès que $x \in D$). La [fonction](#def-g11-func-function) $f$ est *paire* si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$, et *impaire* si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$.

**Proposition 11.12 (Sens géométrique).**

La courbe d’une [fonction paire](#def-g11-func-parity) est symétrique par rapport à l’axe des $y$ ; la courbe d’une [fonction impaire](#def-g11-func-parity) est symétrique par rapport à l’origine.

**Démonstration.** Si $f$ est [paire](#def-g11-func-parity) et $(x, y)$ est sur la courbe (donc $y = f(x)$), alors $f(-x) = f(x) = y$ : le point miroir $(-x, y)$ est aussi sur la courbe. Si $f$ est [impaire](#def-g11-func-parity), $f(-x) = -y$ : le point $(-x, -y)$, symétrique de $(x,y)$ par rapport à l’origine, est sur la courbe. ∎

**Exemple 11.13.**

$x^2$ et $\abs x$ sont [paires](#def-g11-func-parity) ; $x^3$ et $\frac1x$ sont [impaires](#def-g11-func-parity) ; $f(x) = x^2 + x$ n’est ni l’une ni l’autre : $f(-1) = 0$ tandis que $f(1) = 2$, donc $f(-1) \neq \pm f(1)$. La parité divise le travail par deux : une [fonction paire](#def-g11-func-parity) ou [impaire](#def-g11-func-parity) n’a besoin d’être étudiée que sur $\intco{0}{+\infty}$.

## 11.6 Exercices

**Exercice 11.1 ★.**

Donner l’[ensemble de définition](#def-g11-func-function) de chaque [fonction](#def-g11-func-function) :

$$
f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad
h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .
$$

**Solution de Exercice 11.1.**

$f$ : il faut $3 - x \geq 0$, [ensemble de définition](#def-g11-func-function) $\intoc{-\infty}{3}$.

$g$ : il faut $x^2 - 4 \neq 0$, c’est-à-dire $x \neq \pm 2$ : [ensemble de définition](#def-g11-func-function) $\R \setminus \{-2, 2\}$.

$h$ : il faut $x \geq 0$ et $x \neq 5$ : [ensemble de définition](#def-g11-func-function) $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$.

**Exercice 11.2 ★.**

En utilisant les variations des [fonctions de référence](#def-g11-func-reference), comparer sans calculatrice :

$$
\sqrt{11} \text{ et } \sqrt{13}; \qquad
(-2.1)^2 \text{ et } (-2.05)^2; \qquad
\frac{1}{0.9} \text{ et } \frac{1}{1.1}; \qquad
(-1.01)^3 \text{ et } (-0.99)^3 .
$$

**Solution de Exercice 11.2.**

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ car $\sqrt{}$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) et $11 < 13$.

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ car $x^2$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{0}$ et $-2.1 < -2.05$.

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ car $\frac1x$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoo{0}{+\infty}$ et $0.9 < 1.1$.

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ car $x^3$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) et $-1.01 < -0.99$.

**Exercice 11.3 ★.**

Déterminer si chaque [fonction](#def-g11-func-function) est [paire](#def-g11-func-parity), [impaire](#def-g11-func-parity), ou ni l’une ni l’autre :

$$
f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad
g(x) = x^3 + x, \qquad
h(x) = x^2 + x^3, \qquad
k(x) = \frac{x}{x^2+1} .
$$

**Solution de Exercice 11.3.**

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : [paire](#def-g11-func-parity).

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : [impaire](#def-g11-func-parity).

$h(1) = 2$ et $h(-1) = 1 - 1 = 0$, donc $h(-1)$ n’est ni $h(1)$ ni $-h(1)$ : ni [paire](#def-g11-func-parity) ni [impaire](#def-g11-func-parity).

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : [impaire](#def-g11-func-parity).

**Exercice 11.4 ★.**

Une [fonction](#def-g11-func-function) $f$ a le comportement en variations suivant : [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intcc{-3}{1}$ de $f(-3) = -2$ à $f(1) = 4$, puis [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intcc{1}{5}$ jusqu’à $f(5) = 0$. Combien de solutions l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ a-t-elle sur $\intcc{-3}{5}$ ? Et $f(x) = 5$ ?

**Solution de Exercice 11.4.**

Lire le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table). Sur $\intcc{-3}{1}$, $f$ monte de $-2$ à $4$ et croise la valeur $1$ exactement une fois ; sur $\intcc{1}{5}$ elle descend de $4$ à $0$ et croise $1$ une fois encore : l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $f(x) = 1$ a $2$ solutions. Le [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) de $f$ est $f(1) = 4 < 5$, donc $f(x) = 5$ n’a aucune solution.

**Exercice 11.5 ★★.**

En utilisant la [Méthode 11.5](#met-g11-func-variation) (signe de $f(v) - f(u)$), prouver que $f(x) = x^2 - 4x$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{2}{+\infty}$.

**Solution de Exercice 11.5.**

Soit $2 \leq u < v$. Alors

$$
f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u)
= (v - u)(u + v - 4).
$$

Les deux facteurs sont positifs : $v - u > 0$, et $u + v > 2 + 2 = 4$ car $u \geq 2$ et $v > 2$. Donc $f(v) > f(u)$ : $f$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{2}{+\infty}$.

**Exercice 11.6 ★★.**

Sans calculer aucune dérivée, donner les variations de

$$
\begin{gather*}
f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ sur } \intoc{-\infty}{5},
\qquad
g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ sur } \intco{0}{+\infty},
\\
h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ sur } \intco{0}{+\infty}.
\end{gather*}
$$

**Solution de Exercice 11.6.**

$f = \sqrt{u}$ avec $u(x) = 5 - x$ [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) et positive ou nulle sur $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) là ([Proposition 11.9](#prop-g11-func-transforms)).

$g = \frac1u$ avec $u(x) = x^2 + 1$ [croissante](#def-g11-func-monotone) et positive sur $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) là.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ est [croissante](#def-g11-func-monotone), multiplier par $-2 < 0$ inverse, ajouter $3$ ne change rien : $h$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intco{0}{+\infty}$.

**Exercice 11.7 ★★.**

Soit $f(x) = (x-2)^2 - 3$ sur $\R$.

1. Donner les variations de $f$ et son [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) .
2. En déduire les variations de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ et son [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) . (Noter $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

**Solution de Exercice 11.7.**

*1.* $f$ est sous [forme canonique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#thm-g11-quad-canonical) : [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-\infty}{2}$, [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{2}{+\infty}$, [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(2) = -3$.

*2.* $g = \frac{1}{u}$ avec $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$. Le décalage de $4$ conserve les variations de $f$, et $u \geq 1 > 0$. Prendre l’inverse les inverse : $g$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intoc{-\infty}{2}$ et [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intco{2}{+\infty}$, avec [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $g(2) = \frac{1}{1} = 1$.

**Exercice 11.8 ★★.**

La courbe d’une [fonction](#def-g11-func-function) $f$ passe par les points $(0, 1)$, $(2, 3)$ et $(4, 1)$, et $f$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intcc{0}{2}$ et [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intcc{2}{4}$. Croquer une courbe possible, puis croquer les courbes de $f + 2$, de $-f$, et de $2f$.

**Solution de Exercice 11.8.**

Toute courbe en forme de colline passant par les trois points convient. Puis : $f + 2$ passe par $(0,3)$, $(2,5)$, $(4,3)$, mêmes variations (décalage vertical) ; $-f$ passe par $(0,-1)$, $(2,-3)$, $(4,-1)$ avec des variations *inversées* (le pic devient une vallée) ; $2f$ passe par $(0,2)$, $(2,6)$, $(4,2)$, mêmes variations mais amplifiées verticalement.

**Exercice 11.9 ★★.**

Montrer que la [fonction](#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ peut s’écrire $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$, et en déduire ses variations sur $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solution de Exercice 11.9.**

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$. Sur $\intoo{-1}{+\infty}$, $u(x) = x + 1$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) et positive, donc $\frac1u$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), $-\frac1u$ est [croissante](#def-g11-func-monotone), et ajouter $2$ ne change rien : $f$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Exercice 11.10 ★★.**

Vrai ou faux (justifier ou donner un contre-exemple) :

1. La somme de deux [fonctions croissantes](#def-g11-func-monotone) sur $I$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $I$ .
2. Le produit de deux [fonctions croissantes](#def-g11-func-monotone) sur $I$ est croissant sur $I$ .
3. Si $f$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $I$ , alors $f^2$ ( $= f \times f$ ) est [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $I$ .

**Solution de Exercice 11.10.**

*1. Vrai.* Si $u < v$, alors $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ est une somme de deux nombres positifs ou nuls.

*2. Faux.* $f(x) = g(x) = x$ sont [croissantes](#def-g11-func-monotone) sur $\R$, mais leur produit $x^2$ n’est pas croissant sur $\R$ (il décroît sur $\intoc{-\infty}{0}$). (L’assertion devient vraie si les deux [fonctions](#def-g11-func-function) sont aussi positives ou nulles.)

*3. Faux.* Même contre-exemple : $f(x) = x$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\R$ mais $f^2(x) = x^2$ ne l’est pas.

**Exercice 11.11 ★★★.**

Soit $f(x) = x + \frac{1}{x}$ pour $x > 0$.

1. Montrer que pour $0 < u < v$ , $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
2. En déduire que $f$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{0}{1}$ et strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{1}{+\infty}$ .
3. Conclure que $x + \frac1x \geq 2$ pour tout $x > 0$ , avec égalité seulement en $x = 1$ .

**Solution de Exercice 11.11.**

*1.* Pour $0 < u < v$ :

$$
f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u
= (v - u) + \frac{u - v}{uv}
= (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right)
= (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.
$$

*2.* Toujours $v - u > 0$ et $uv > 0$. Si $0 < u < v \leq 1$, alors $uv < 1$, donc $uv - 1 < 0$ et $f(v) < f(u)$ : $f$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{0}{1}$. Si $1 \leq u < v$, alors $uv > 1$ et $f(v) > f(u)$ : $f$ est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{1}{+\infty}$.

*3.* $f$ décroît avant $1$ et croît après, donc $f(x) \geq f(1) = 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité exactement en $x = 1$. (Cette inégalité réapparaît sous de nombreuses formes ; comparer l’[Exemple 10.3](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ex-g11-quad-canonical) et les inégalités de tangente du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ch-g12-deriv).)

## 11.7 Problème : la fabrique des symétries

**Problème 11.1.**

Devoir du week-end — toute fonction est une partie paire plus une partie impaire : règles de parité, jeu des transformations, et des minimums gagnés sans dérivée

Certaines [fonctions](#def-g11-func-function) sont symétriques par rapport à un miroir, d’autres par rapport à un demi-tour, la plupart ne le sont ni d’une façon ni de l’autre — et pourtant un petit miracle algébrique affirme que *toute* [fonction](#def-g11-func-function) est, d’une seule manière, la somme d’un morceau symétrique en miroir et d’un morceau symétrique par demi-tour. Ce problème démontre le miracle, joue au jeu des transformations sur les courbes de référence ([Proposition 11.9](#prop-g11-func-transforms)), et se referme sur la technique de factorisation de la différence de l’[Exercice 11.11](#exo-g11-func-11), qui remporte des problèmes de minimisation un chapitre entier avant l’arrivée de la dérivée.

**Partie I — Aisance avec la parité.**

1. [Paire](#def-g11-func-parity) , [impaire](#def-g11-func-parity) , ou ni l’une ni l’autre ( [Définition 11.11](#def-g11-func-parity) ) ? Justifier dans chaque cas : $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
2. Énoncer la signification géométrique de chaque verdict ( [Proposition 11.12](#prop-g11-func-paritysym) ) : quelle symétrie possède la courbe d’une [fonction paire](#def-g11-func-parity) ? Celle d’une [fonction impaire](#def-g11-func-parity) ?
3. Les parités se multiplient comme des signes : démontrer que le produit de deux [fonctions impaires](#def-g11-func-parity) est pair, et compléter toute la table de multiplication ( [paire](#def-g11-func-parity) $\times$ [paire](#def-g11-func-parity) , [paire](#def-g11-func-parity) $\times$ [impaire](#def-g11-func-parity) , [impaire](#def-g11-func-parity) $\times$ [impaire](#def-g11-func-parity) ).
4. Conséquences rapides : si $f$ est [impaire](#def-g11-func-parity) et définie en $0$ , que vaut $f(0)$ ? Si $f$ est [paire](#def-g11-func-parity) avec $f(3) = 7$ , que vaut $f(-3)$ ? Et montrer que la seule [fonction](#def-g11-func-function) à la fois [paire](#def-g11-func-parity) et [impaire](#def-g11-func-parity) est la [fonction](#def-g11-func-function) nulle.
5. Quelle portion de la courbe d’une [fonction paire](#def-g11-func-parity) détermine la courbe entière ? Donner une [fonction](#def-g11-func-function) qui n’est ni [paire](#def-g11-func-parity) ni [impaire](#def-g11-func-parity) , et expliquer ce qui échoue.

**Partie II — Le théorème de décomposition.** Pour une [fonction](#def-g11-func-function) $f$ définie sur un ensemble symétrique par rapport à $0$, on pose

$$
E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2},
\qquad
O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .
$$

6. Calculer $E$ et $O$ pour $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ , et vérifier : $E$ [paire](#def-g11-func-parity) , $O$ [impaire](#def-g11-func-parity) , $E + O = f$ .
7. Démontrer l’énoncé général : pour toute $f$ , la [fonction](#def-g11-func-function) $E$ est [paire](#def-g11-func-parity) , $O$ est [impaire](#def-g11-func-parity) , et $f = E + O$ — *toute [fonction](#def-g11-func-function) se scinde en une partie [paire](#def-g11-func-parity) et une partie [impaire](#def-g11-func-parity)* .
8. Démontrer l’unicité de la décomposition : si $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ avec $E_i$ [paire](#def-g11-func-parity) et $O_i$ [impaire](#def-g11-func-parity) , appliquer la question 4 à $E_1 - E_2$ .
9. Décomposer $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (pour $x \neq \pm 1$ ) : mettre $E$ et $O$ au même dénominateur $1 - x^2$ et simplifier.
10. Un coup d’œil en avant, une phrase pour chacun : les parties [paire](#def-g11-func-parity) et [impaire](#def-g11-func-parity) de la [fonction](#def-g11-func-function) exponentielle seront les [fonctions](#def-g11-func-function) jumelles de l’an prochain (cosinus et sinus hyperboliques) ; et le même instinct — scinder un objet en morceaux symétriques et traiter chacun avec sa propre symétrie — fait tourner l’analyse du son et des signaux des volumes universitaires. Pourquoi une telle décomposition est-elle *utile* , en général ?

**Partie III — Le jeu des transformations.**

11. En partant de la courbe de $x \mapsto x^2$ , décrire précisément les courbes de $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ ( [Proposition 11.9](#prop-g11-func-transforms) ).
12. Réduire $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ à une formule par morceaux sur les trois [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) découpés par $-2$ et $2$ , et décrire sa courbe (elle a un fond plat resté célèbre).
13. Quelles transformations respectent la parité ? Trancher, avec démonstration ou contre-exemple : translation horizontale $f(x - 3)$ ; translation verticale $f(x) + 2$ ; dilatation verticale $2 f(x)$ (le tout appliqué à une [fonction](#def-g11-func-function) $f$ [paire](#def-g11-func-parity) ).
14. Résoudre $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ à l’aide de la formule par morceaux de la question 12.
15. Rétro-ingénierie : une [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) a pour sommet $(2, -3)$ et passe par $(0, 1)$ . Reconstituer son [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) sous [forme canonique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#thm-g11-quad-canonical) .

**Partie IV — Des [minimums](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) sans dérivée.**

16. Reprendre l’ [Exercice 11.11](#exo-g11-func-11) pour $g(x) = x + \dfrac4x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : montrer que $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , localiser le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) et donner sa valeur.
17. Application : parmi tous les rectangles d’aire $16$ , lequel a le plus petit périmètre ? (Écrire $P = 2\left(x +  \frac{16}{x}\right)$ et employer la machine de la question 16.) Une vieille connaissance conclut.
18. Déterminer les variations de $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ sur $\R$ tout entier, en combinant un argument de composition sur $\intco{0}{+\infty}$ et un argument de parité pour le reste.
19. Le point le plus proche : déterminer le point de la courbe $y = \sqrt x$ le plus proche de $(3, 0)$ . (Minimiser le carré de la distance — un trinôme du second degré en $x$ — et expliquer pourquoi minimiser le carré est légitime.)
20. Pour finir, la visite de la fabrique : les courbes de référence sont la matière première ; les transformations, les machines ; la parité et la décomposition, le contrôle qualité ; la factorisation de la différence, le banc de mesure. Une phrase sur chacun — et nommer l’outil de puissance que livre le chapitre suivant.

**Solution de Problème 11.1.**

**1.** $x^4 - 3x^2$ : [paire](#def-g11-func-parity) ($(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 -
3x^2$). $x^3 - x$ : [impaire](#def-g11-func-parity). $x^2 + x$ : ni l’une ni l’autre ($f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ et $\neq -f(1)$). $\abs x$ : [paire](#def-g11-func-parity). $\frac1x$ : [impaire](#def-g11-func-parity).

**2.** [Paire](#def-g11-func-parity) : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (un miroir). [Impaire](#def-g11-func-parity) : symétrique par rapport à l’origine (un demi-tour).

**3.** Si $f$ et $g$ sont [impaires](#def-g11-func-parity) : $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : le produit est pair. Table : [paire](#def-g11-func-parity) $\times$ [paire](#def-g11-func-parity) $=$ [paire](#def-g11-func-parity) ; [paire](#def-g11-func-parity) $\times$ [impaire](#def-g11-func-parity) $=$ [impaire](#def-g11-func-parity) ; [impaire](#def-g11-func-parity) $\times$ [impaire](#def-g11-func-parity) $=$ [paire](#def-g11-func-parity) — la règle des signes, transposée aux parités.

**4.** [Impaire](#def-g11-func-parity) en $0$ : $f(0) = -f(0)$, donc $f(0) = 0$. [Paire](#def-g11-func-parity) : $f(-3) = f(3) = 7$. À la fois [paire](#def-g11-func-parity) et [impaire](#def-g11-func-parity) : $f(x) = f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$, donc $2f(x) = 0$ : $f$ est la [fonction](#def-g11-func-function) nulle.

**5.** La moitié droite ($x \geq 0$) détermine entièrement une [fonction paire](#def-g11-func-parity) : la moitié gauche en est le miroir. Ni [paire](#def-g11-func-parity) ni [impaire](#def-g11-func-parity) : $x^2 + x$ (question 1) — ses deux symétries échouent en $x = 1$.

**6.** $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 +
1)}{2} = x^2 + 1$ ([paire](#def-g11-func-parity)), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) -
(-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ ([impaire](#def-g11-func-parity)) ; leur somme vaut $f$.

**7.** $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : $E$ est [paire](#def-g11-func-parity). $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : $O$ est [impaire](#def-g11-func-parity). Et $E(x) + O(x) = f(x)$ par addition directe : toute [fonction](#def-g11-func-function) se scinde.

**8.** De $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ on tire $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$. Le membre de gauche est pair, celui de droite impair — cette [fonction](#def-g11-func-function) est donc les deux à la fois, donc nulle (question 4) : $E_1 = E_2$ et $O_1 = O_2$. Une seule décomposition.

**9.** $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 +
x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{1}{1 - x^2}$, et $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2}
= \frac{x}{1 - x^2}$. Vérification : $E$ est [paire](#def-g11-func-parity), $O$ est [impaire](#def-g11-func-parity), et leur somme vaut $\frac{1 + x}{1 - x^2} =
\frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$.

**10.** Parce que chaque morceau obéit à une symétrie, la moitié du travail (et la moitié des données) suffit pour chacun : on résout d’un côté, on recopie en miroir de l’autre — et beaucoup d’opérations (intégration, séries, analyse du signal) traitent les morceaux symétriques bien plus simplement que les [fonctions](#def-g11-func-function) brutes.

**11.** $(x-3)^2$ : translatée de $3$ vers la droite. $x^2 + 2$ : translatée de $2$ vers le haut. $(x-3)^2 + 2$ : les deux. $-x^2$ : retournée vers le bas. $2x^2$ : dilatée verticalement d’un facteur $2$ (cuvette plus étroite).

**12.** Pour $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$. Pour $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$. Pour $x \leq -2$ : $-2x$. La courbe descend avec un [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $-2$, court à plat à la hauteur $4$ entre $-2$ et $2$, puis remonte avec un [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $2$ : une vallée à fond plat.

**13.** Translation verticale : $f(x) + 2$ reste [paire](#def-g11-func-parity) ($f(-x) + 2 = f(x) + 2$). Dilatation verticale : $2f(x)$ reste [paire](#def-g11-func-parity). Translation horizontale : $(x - 3)^2$ n’est pas [paire](#def-g11-func-parity) ($f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$) : glisser latéralement détruit le miroir.

**14.** Sur le fond plat la valeur est $4 \neq 6$. Pour $x \geq 2$ : $2x = 6$, donc $x = 3$. Pour $x \leq -2$ : $-2x = 6$, donc $x = -3$. Solutions : $\pm 3$.

**15.** $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ avec $f(0) = 4a - 3 = 1$ : $a = 1$, donc $f(x) = (x - 2)^2 - 3$.

**16.** $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv}
= (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : négatif pour $u < v$ avec $uv < 4$, positif avec $uv > 4$ : $g$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{0}{2}$ et [croissante](#def-g11-func-monotone) sur $\intco{2}{+\infty}$ ; [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) en $x = 2$, de valeur $g(2) = 4$.

**17.** Côtés $x$ et $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$, minimal (machine de la question 16 avec $4 \to 16$, point de retournement $\sqrt{16} = 4$) en $x = 4$ : le *carré* $4 \times 4$, de périmètre $16$ — la réponse de Didon, désormais démontrée pour toute longueur réelle de côté.

**18.** Sur $\intco{0}{+\infty}$ : $x \mapsto x^2 + 1$ est [croissante](#def-g11-func-monotone) et $\sqrt{\phantom{x}}$ l’est aussi, donc la composée est [croissante](#def-g11-func-monotone). Et $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ est [paire](#def-g11-func-parity), donc par symétrie en miroir elle décroît sur $\intoc{-\infty}{0}$. [Minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $h(0) = 1$.

**19.** Carré de la distance de $(x, \sqrt x)$ à $(3, 0)$ : $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$, minimal en $x = \frac52$ : point le plus proche $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$, à la distance $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Minimiser $d^2$ est légitime parce que l’élévation au carré est strictement [croissante](#def-g11-func-monotone) sur les nombres positifs : $d$ et $d^2$ atteignent leur creux au même endroit.

**20.** Matière première : les courbes de référence, sues par cœur. Machines : translations, retournements et dilatations, qui assemblent de nouvelles courbes à partir des anciennes. Contrôle qualité : la parité et la décomposition pair-impair, qui divisent par deux toute étude. Banc de mesure : la factorisation de $f(v) - f(u)$, qui lit directement variations et [minimums](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema). L’outil de puissance du chapitre suivant : la *dérivée*, qui les lit d’un coup d’œil.