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title: "Dérivation : un premier cours"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours
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# Chapitre 12 — Dérivation : un premier cours

À quelle vitesse une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) change-t-elle ? La réponse en un point unique est la *[dérivée](#def-g11-deriv-derivative)*, le nombre le plus utile de toutes les mathématiques appliquées. Ce chapitre la construit à partir des [taux de variation moyens](#def-g11-deriv-rate), la calcule pour les [fonctions de référence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-reference), et utilise son signe pour lire les variations d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function). Tout ce qui suit est étendu et approfondi dans le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ch-g12-deriv).

## 12.1 Le taux de variation moyen

**Définition 12.1 (Taux de variation moyen).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$, et $a \neq b$ dans $I$. Le *taux de variation moyen* de $f$ entre $a$ et $b$ est

$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$

C’est le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) de la *sécante* passant par les points $\bigl(a, f(a)\bigr)$ et $\bigl(b, f(b)\bigr)$ de la courbe.

**Exemple 12.2.**

Une voiture parcourt $140$ km entre 14 h et 16 h : sa vitesse [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-mean) est $\frac{140}{2} = 70$ km/h. Le compteur, en revanche, affiche une vitesse *instantanée* à chaque instant — c’est exactement la notion que la [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) rend précise.

## 12.2 La dérivée en un point

**Définition 12.3 (Dérivée en un point).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) contenant $a$. Pour $h \neq 0$, former le [taux de variation moyen](#def-g11-deriv-rate) entre $a$ et $a + h$ :

$$
r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

Si $r(h)$ se rapproche d’un unique nombre fixe lorsque $h$ se rapproche arbitrairement de $0$, on dit que $f$ est *dérivable en $a$* ; ce nombre est la *dérivée de $f$ en $a$*, notée $f'(a)$ :

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
$$

**Exemple 12.4.**

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$. Pour $h \neq 0$ :

$$
\frac{f(1+h) - f(1)}{h}
= \frac{(1+h)^2 - 1}{h}
= \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h}
= \frac{h(2 + h)}{h}
= 2 + h .
$$

Lorsque $h$ tend vers $0$, cela tend vers $2$ : la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $x^2$ est [dérivable](#def-g11-deriv-derivative) en $1$ et $f'(1) = 2$. Noter la stratégie : *simplifier le quotient jusqu’à ce que $h$ n’apparaisse plus au dénominateur*, puis faire $h \to 0$.

**Exemple 12.5 (Un point non dérivable).**

Soit $f(x) = \abs{x}$ et $a = 0$. Alors $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$, qui vaut $1$ pour $h > 0$ et $-1$ pour $h < 0$ : aucun nombre unique n’est approché, et $\abs x$ n’est pas [dérivable](#def-g11-deriv-derivative) en $0$. Sa courbe a un *coin* là.

## 12.3 La tangente

**Définition 12.6 (Tangente).**

Si $f$ est [dérivable](#def-g11-deriv-derivative) en $a$, la *tangente* à la courbe au point $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ est la droite passant par $A$ de [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $f'(a)$. Son [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est la position limite des [sécantes](#def-g11-deriv-rate) par $A$ : lorsque $h \to 0$, le second point $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ glisse le long de la courbe vers $A$, et le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) de la [sécante](#def-g11-deriv-rate) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$.

![La sécante par A et B = (a+h, f(a+h) ) a pour coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h. Lorsque B glisse vers A, la sécante bascule dans la tangente, dont le coefficient directeur est f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-058a9015fc77.svg)

*La [sécante](#def-g11-deriv-rate) par $A$ et $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ a pour [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Lorsque $B$ glisse vers $A$, la [sécante](#def-g11-deriv-rate) bascule dans la [tangente](#def-g11-deriv-tangent), dont le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) est $f'(a)$.*

**Exemple 12.7.**

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ ([Exemple 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint)), donc la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est

$$
y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .
$$

C’est la droite $d_2$ trouvée par pure algèbre dans l’[Exercice 10.11](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#exo-g11-quad-11).

## 12.4 Dérivées des fonctions de référence

**Proposition 12.8.**

Sur leurs ensembles de dérivabilité :

$$
(c)' = 0, \quad
(x)' = 1, \quad
(x^2)' = 2x, \quad
(x^3)' = 3x^2, \quad
\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).
$$

Plus généralement, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ pour tout entier $n \geq 1$.

**Démonstration.** Chaque démonstration suit la stratégie de l’[Exemple 12.4](#ex-g11-deriv-atpoint) : simplifier le taux, puis faire $h \to 0$. Fixer $a$ dans l’[ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function).

*Constante et identité.* $\frac{c - c}{h} = 0$ et $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ pour tout $h$ : les limites sont $0$ et $1$.

*Carré.* $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h
\to 2a$.

*Cube.* $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, donc le taux est $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$.

*Inverse.* Pour $a \neq 0$ et $h$ assez petit pour que $a + h \neq 0$ :

$$
\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right)
= \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)}
= \frac{-1}{a(a+h)}
\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.
$$

*Racine carrée.* Pour $a > 0$, multiplier par le conjugué :

$$
\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h}
= \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)}
= \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a}
\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.
$$

*Puissance générale.* Le motif $2a$, $3a^2$ se poursuit : en développant $(a+h)^n$, les termes après $a^n + n\,a^{n-1}h$ portent tous $h^2$, donc le taux tend vers $n\,a^{n-1}$. (Une induction complète est donnée dans le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ch-g12-deriv).) ∎

## 12.5 Règles de dérivation

**Théorème 12.9 (Opérations).**

Soient $u$ et $v$ [dérivables](#def-g11-deriv-derivative) sur $I$ et $\lambda \in \R$. Alors $u + v$, $\lambda u$, $uv$ sont [dérivables](#def-g11-deriv-derivative) sur $I$, de même que $\frac{u}{v}$ là où $v \neq 0$, et

$$
(u+v)' = u' + v', \qquad
(\lambda u)' = \lambda u', \qquad
(uv)' = u'v + uv', \qquad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Démonstration des trois premières règles.** Fixer $a \in I$ et abréger $\Delta u = u(a+h) - u(a)$, $\Delta v = v(a+h) - v(a)$.

*Somme.* Le taux de $u + v$ est $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h}
\to u'(a) + v'(a)$.

*Multiple.* Le taux de $\lambda u$ est $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$.

*Produit.* Ajouter et soustraire le terme mixte $u(a+h)\,v(a)$ :

$$
\begin{align*}
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
&= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\
&= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}.
\end{align*}
$$

Lorsque $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$, $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$, et $u(a+h) \to u(a)$ (son taux a une limite, donc $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$). Le taux tend donc vers $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$.

La règle du quotient se démontre de la même façon ; elle est *admise à ce niveau* et prouvée dans le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ch-g12-deriv). ∎

**Exemple 12.10.**

*Polynôme.* $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

$$
f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .
$$

*Quotient.* $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : avec $u = 2x + 1$, $v = x^2 + 1$,

$$
g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.
$$

*Produit.* $k(x) = x\sqrt x$ pour $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x}
= \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$.

## 12.6 Signe de la dérivée et variations

**Théorème 12.11 (Dérivée et variations).**

Soit $f$ [dérivable](#def-g11-deriv-derivative) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. Si $f' \geq 0$ sur $I$ , alors $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $I$ .
2. Si $f' \leq 0$ sur $I$ , alors $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $I$ .
3. Si $f' > 0$ sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule), alors $f$ est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $I$ .

**Démonstration.** L’intuition est claire — une courbe dont toutes les [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) pointent vers le haut doit monter — mais une démonstration rigoureuse nécessite le théorème des accroissements finis. Le résultat est *admis à ce niveau* ; voir le [Théorème 22.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#thm-g12-deriv-variations). ∎

**Proposition 12.12 (Extrema).**

Si $f'$ change de signe en $a$ de $+$ à $-$, alors $f$ a un [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local en $a$ ; de $-$ à $+$, un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local. En un tel point, $f'(a) = 0$ et la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est horizontale.

**Démonstration.** Si $f' \geq 0$ sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) se terminant en $a$ et $f' \leq 0$ sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) commençant en $a$, alors $f$ croît jusqu’à $f(a)$ et décroît ensuite ([Théorème 12.11](#thm-g11-deriv-variations)) : $f(a)$ est le plus grand au voisinage. Comme $f'$ change de signe en $a$ et y est définie, $f'(a) = 0$. ∎

**Méthode 12.13 (Étudier une fonction).**

1. Calculer $f'(x)$ et le simplifier — idéalement sous forme factorisée.
2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) (pour un $f'$ du second degré, utiliser le [Théorème 10.11](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#thm-g11-quad-sign) ).
3. Enregistrer les résultats dans un *[tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table)* : une ligne pour le signe de $f'$ , une ligne de flèches pour $f$ , avec les valeurs de $f$ aux points de retournement.
4. Conclure : extrema, nombre de solutions de $f(x) = k$ , inégalités.

**Exemple 12.14.**

Étudier $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\R$. D’abord, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : un trinôme de [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) $-1$ et $1$, positif à l’extérieur. Donc $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $\intoc{-\infty}{-1}$, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intcc{-1}{1}$, [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $\intco{1}{+\infty}$, avec un [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$.

![La courbe de f(x) = x3 - 3x + 1 () : tangentes horizontales (orange) au maximum local (-1, 3) et au minimum local (1, -1), où f' change de signe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-deriv/fig-7cf7eb7be937.svg)

*La courbe de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ([Exemple 12.14](#ex-g11-deriv-study)) : [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) horizontales (orange) au [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $(-1, 3)$ et au [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $(1, -1)$, où $f'$ change de signe.*

**Exemple 12.15 (Optimisation).**

Une boîte ouverte est fabriquée à partir d’une feuille de $12 \times 12$ cm en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin et en pliant. Son volume est $V(x) = x(12 - 2x)^2$ pour $0 < x < 6$. En développant, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$, donc

$$
V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).
$$

Sur $\intoo{0}{6}$, le facteur $x - 6$ est négatif, donc $V'(x)$ a le signe de $-(x-2)$ : positif avant $2$, négatif après. Le volume est maximal pour $x = 2$ cm, donnant $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm$^3$.

## 12.7 Exercices

**Exercice 12.1 ★.**

En utilisant la définition (taux de variation, puis $h \to 0$), calculer $f'(2)$ pour $f(x) = x^2$, puis $g'(1)$ pour $g(x) = x^2 + 3x$.

**Solution de Exercice 12.1.**

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 2$ :

$$
\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 4,
$$

donc $f'(2) = 4$. Pour $g(x) = x^2 + 3x$ en $a = 1$ : $g(1) = 4$ et

$$
\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h
\xrightarrow[h\to0]{} 5,
$$

donc $g'(1) = 5$.

**Exercice 12.2 ★.**

Dériver :

$$
f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad
g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad
h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .
$$

**Solution de Exercice 12.2.**

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (sur $\intoo{0}{+\infty}$).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x
= 6x^2 + 2x - 6$ (règle du produit).

**Exercice 12.3 ★.**

Donner l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) à la courbe de $f$ au point d’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $a$ :

$$
f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad
f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad
f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .
$$

**Solution de Exercice 12.3.**

$f(x) = x^2 - 3x$, $a = 2$ : $f(2) = -2$, $f'(x) = 2x - 3$ donc $f'(2) = 1$ ; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = -2 + (x - 2) = x - 4$.

$f(x) = \frac1x$, $a = 1$ : $f(1) = 1$, $f'(1) = -1$ ; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$.

$f(x) = \sqrt x$, $a = 4$ : $f(4) = 2$, $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} =
\frac14$ ; [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$.

**Exercice 12.4 ★.**

Dériver les quotients :

$$
f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad
g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad
h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .
$$

**Solution de Exercice 12.4.**

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (règle du quotient avec $u = 1$).

**Exercice 12.5 ★★.**

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ sur $\R$ ([tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table), extrema locaux).

**Solution de Exercice 12.5.**

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positif à l’extérieur de $\intcc{1}{3}$, négatif à l’intérieur. Donc $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $\intoc{-\infty}{1}$, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intcc{1}{3}$, [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $\intco{3}{+\infty}$, avec un [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ et un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$.

**Exercice 12.6 ★★.**

Étudier les variations de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$.

**Solution de Exercice 12.6.**

Sur $\intoo{-1}{+\infty}$ :

$$
f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2}
= \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
$$

Pour $x > -1$, $x + 3$ et $(x+1)^2$ sont tous deux positifs, donc $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $\intoc{-1}{1}$ et [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur $\intco{1}{+\infty}$, avec [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac{4}{2} = 2$.

**Exercice 12.7 ★★.**

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 5$.

1. Trouver le point de la courbe où la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est horizontale.
2. Trouver le ou les points où la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est parallèle à la droite $y = 2x + 1$ .

**Solution de Exercice 12.7.**

$f'(x) = 2x - 4$.

*1.* [Tangente](#def-g11-deriv-tangent) horizontale : $f'(x) = 0$ en $x = 2$ ; le point est $(2, f(2)) = (2, 1)$ (le sommet de la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola)).

*2.* Parallèle à $y = 2x + 1$ signifie pente $2$ : $2x - 4 = 2$, donc $x = 3$, donnant le point $(3, f(3)) = (3, 2)$.

**Exercice 12.8 ★★.**

Un enclos rectangulaire est construit contre un mur avec $60$ m de clôture (trois côtés). Exprimer l’aire en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de la largeur $x$, et utiliser la [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) pour trouver les dimensions d’aire maximale. (Comparer avec la méthode du sommet du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ch-g11-quad).)

**Solution de Exercice 12.8.**

Avec largeur $x$ (deux côtés clôturés) et longueur $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ sur $\intoo{0}{30}$. Alors $A'(x) = 60 - 4x$, positif avant $x = 15$ et négatif après : l’aire est maximale pour $x = 15$, donnant un enclos $15 \times 30$ m d’aire $450$ m$^2$. La formule du sommet $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} =
15$ du [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ch-g11-quad) donne la même réponse sans calcul différentiel.

**Exercice 12.9 ★★.**

Montrer que pour tout $x > 0$, $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$, en étudiant la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$.

**Solution de Exercice 12.9.**

Soit $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$. Alors

$$
f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},
$$

qui a le signe de $\sqrt x - 1$ : négatif sur $\intoo{0}{1}$, positif sur $\intoo{1}{+\infty}$. Donc $f$ décroît puis croît, avec [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = 1 - 1 = 0$. D’où $f(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$, c’est-à-dire $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$, avec égalité seulement en $x = 1$.

**Exercice 12.10 ★★.**

Une boîte cylindrique doit contenir $500$ cm$^3$. Son aire totale (deux disques plus le côté) est $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ avec $\pi r^2 h = 500$. Exprimer $S$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $r$ seul, et montrer que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$. En déduire le rayon qui minimise l’aire, sous forme exacte.

**Solution de Exercice 12.10.**

De $\pi r^2 h = 500$, $h = \frac{500}{\pi r^2}$, donc

$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r},
\qquad
S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.
$$

$S'(r) = 0$ lorsque $4\pi r^3 = 1000$, c’est-à-dire $r^3 = \frac{250}{\pi}$, donc $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ($\approx 4.3$ cm). Comme $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ est négatif avant cette valeur et positif après, c’est un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema).

**Exercice 12.11 ★★★.**

Combien de [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) à la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ passent par le point extérieur $P(1, -3)$ ? Déterminer leurs [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation). (Soit $a$ l’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) du point de contact et exprimer que la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $a$ passe par $P$.)

**Solution de Exercice 12.11.**

La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) à $y = x^2$ au point d’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $a$ est $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$. Elle passe par $P(1, -3)$ lorsque $-3 = 2a - a^2$, c’est-à-dire $a^2 - 2a - 3 = 0$, dont les [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) sont $a = 3$ et $a = -1$ ($\Delta = 16$). Il y a donc *deux* [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) par $P$ :

$$
y = 6x - 9 \quad (a = 3),
\qquad
y = -2x - 1 \quad (a = -1).
$$

**Exercice 12.12 ★★★.**

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (voir l’[Exemple 12.14](#ex-g11-deriv-study)). À l’aide du [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table), déterminer le nombre de solutions de l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ selon la valeur du réel $k$.

**Solution de Exercice 12.12.**

D’après l’[Exemple 12.14](#ex-g11-deriv-study), $f$ croît jusqu’au [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(-1) = 3$, décroît jusqu’au [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = -1$, puis croît à nouveau ; pour $x$ grand positif (resp. négatif), $x^3$ domine et $f$ prend des valeurs arbitrairement grandes (resp. petites). En lisant les droites horizontales $y = k$ sur le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) :

- $k > 3$ ou $k < -1$ : la droite rencontre la courbe une fois — $1$ solution ;
- $k = 3$ ou $k = -1$ : la droite touche un point de retournement et croise une autre branche — $2$ solutions ;
- $-1 < k < 3$ : la droite croise les trois branches — $3$ solutions.

## 12.8 Problème : les trois métiers de la tangente

**Problème 12.1.**

Devoir du week-end — le miroir parabolique démontré, la machine à trouver les racines de Newton, et la poutre la plus résistante du tronc

Une [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) trace des [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) ; le talent paraît modeste. Ce problème montre la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) exerçant trois métiers à la fois : elle démontre le théorème du phare laissé en suspens au [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) (tout rayon parallèle à l’axe d’une [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) se réfléchit en passant par le [foyer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1)), elle fait tourner l’algorithme de résolution d’[équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) le plus rapide en usage courant — présent dans chaque calculatrice et dans chaque réseau de neurones — et elle trouve la poutre rectangulaire la plus résistante qu’un tronc rond puisse fournir.

**Partie I — Aisance avec les [tangentes](#def-g11-deriv-tangent).**

1. Dériver $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ et $g(x) = x^3 - 12x$ ( [Théorème 12.9](#thm-g11-deriv-rules) ) ; et retrouver $\left(x^2\right)'$ en $x = 1$ à partir de la définition (taux de variation, puis $h \to 0$ ).
2. Déterminer la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) à $y = x^3 - 12x$ en $a = 2$ . Qu’a-t-elle de particulier, et qu’est-ce que cela signale ( [Proposition 12.12](#prop-g11-deriv-extrema) ) ?
3. Établir l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) générale de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) à la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ au point $(a, a^2)$ : $$y = 2ax - a^2 .$$
4. Où cette [tangente](#def-g11-deriv-tangent) coupe-t-elle l’axe des ordonnées ? En déduire la recette du dessinateur : pour tracer la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en un point $P$ de hauteur $h$ sur la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) , joindre $P$ au point de l’axe situé à la profondeur … sous l’origine. L’énoncer.
5. Construire le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) complet de $g(x) = x^3 - 12x$ (signe de $g'$ , extremums locaux et leurs valeurs, [Méthode 12.13](#met-g11-deriv-study) ).

**Partie II — Le théorème du miroir.** Soit $P(a, a^2)$ un point de la [parabole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-parabola) $y = x^2$ (avec $a \neq 0$), $F\left(0, \frac14\right)$ le [foyer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1), et $T$ le point où la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $P$ coupe l’axe des ordonnées (question 4). On rappelle du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) que $PF = a^2 + \frac14$.

6. Calculer la distance $FT$ .
7. En déduire que le triangle $FPT$ est isocèle en $F$ . Quels sont donc les deux angles égaux ?
8. Le rayon incident qui passe par $P$ , parallèle à l’axe, est parallèle à la droite $(TF)$ (tous deux verticaux). À l’aide des angles alternes-internes, montrer que la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $P$ fait des *angles égaux* avec le rayon vertical incident et avec le segment $[PF]$ .
9. Physique : la lumière se réfléchit sur une courbe comme sur sa [tangente](#def-g11-deriv-tangent) , en repartant sous le même angle qu’à l’arrivée (loi de la réflexion). En déduire le *théorème du miroir* : tout rayon parallèle à l’axe se réfléchit en passant par le [foyer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) — et, en renversant le temps, une ampoule placée au [foyer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) envoie un faisceau parallèle. L’antenne et le phare du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) sont désormais des théorèmes.
10. Vérifier numériquement le triangle isocèle pour $a = 1$ : calculer $T$ , $FP$ et $FT$ .

**Partie III — La machine de Newton.** Pour résoudre $f(x) = 0$, Newton proposait ceci : partir d’une estimation $x_0$, suivre la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $x_0$ jusqu’à l’axe, et prendre son point d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) comme estimation suivante.

11. Établir la formule de la méthode : $$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$$
12. L’appliquer à $f(x) = x^2 - 2$ à partir de $x_0 = 1$ : calculer $x_1$, $x_2$, $x_3$ sous forme de fractions exactes. Quelle suite vieille de deux mille ans — et quelle machine du [Problème 3.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) — vient-on de reconstruire ? Démontrer l’identité qui explique la coïncidence : $$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x +  \frac2x\right).$$
13. Résoudre $x^3 = 100$ (le croisement des plans d’épargne du [Problème 4.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#pb-g10-reffunc-1) ) : appliquer deux pas de Newton à $f(x) = x^3 - 100$ à partir de $x_0 = 5$ (quatre décimales), et comparer avec le $\sqrt[3]{100}$ de la calculatrice.
14. Sabotage : essayer de lancer la méthode sur $f(x) = x^3 - 12x$ en $x_0 = 2$ . Qu’est-ce qui échoue, et pourquoi (question 2) ? Énoncer la mise en garde pratique.
15. À la question 12, le nombre de décimales exactes est passé d’environ $1$ à $3$ puis à $6$ . Comparer avec la dichotomie (division d’un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) par deux à chaque pas) et dire en une phrase pourquoi calculatrices, récepteurs GPS et entraînement des réseaux de neurones fonctionnent tous sur l’idée de Newton.

**Partie IV — La poutre la plus résistante.** On scie une poutre rectangulaire de largeur $w$ et de hauteur $d$ dans un tronc rond de diamètre $30$ cm, de sorte que $w^2 + d^2 = 900$. La rigidité d’une poutre est proportionnelle à $w d^2$ (la hauteur compte double : les solives se posent sur chant !).

16. Exprimer la rigidité en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $w$ seul : $S(w) = 900w - w^3$ , sur quel [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ?
17. Dériver, construire le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) , et déterminer les valeurs optimales de $w$ et $d$ (valeurs exactes, puis au millimètre).
18. Montrer que les proportions optimales vérifient $d = w\sqrt2$ — le vieux rapport des charpentiers. (Anecdote en prime : partager le diamètre du tronc en trois parts égales et élever des perpendiculaires jusqu’au cercle construit exactement ce rectangle.)
19. Le choix naïf est la poutre *carrée* ( $w = d$ ). Calculer sa rigidité et celle de la poutre optimale, et donner le gain du charpentier en pourcentage.
20. Pour finir — les trois métiers de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) , une phrase pour chacun : géométrie (le théorème du miroir), calcul numérique (la machine de Newton), optimisation (la poutre), tous mus par le même objet. Et l’annonce : l’an prochain, la convexité — de quel côté de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) se tient la courbe — viendra affûter les trois.

**Solution de Problème 12.1.**

**1.** $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$. Par la définition : $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : la [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) de $x^2$ en $1$ vaut $2$.

**2.** $g(2) = 8 - 24 = -16$ et $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est la droite horizontale $y = -16$. Une [tangente](#def-g11-deriv-tangent) horizontale signale un point critique — ici un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local, comme le confirme le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) de la question 5.

**3.** [Coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $2a$ en $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$.

**4.** En $x = 0$ : $y = -a^2$ : la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) coupe l’axe à la profondeur $a^2$ sous l’origine — exactement aussi bas *au-dessous* de zéro que $P$ se trouve au-dessus. Recette : pour tracer la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en un point de hauteur $h$, le joindre au point de l’axe situé à la profondeur $h$ sous l’origine. (Aucune [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) n’est nécessaire à la planche à dessin.)

**5.** $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positive sur $\intoo{-\infty}{-2}$, négative sur $\intoo{-2}{2}$, positive au-delà. $g$ croît jusqu’à un [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $g(-2) = 16$, décroît jusqu’à un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $g(2) = -16$, puis croît de nouveau.

**6.** $F\left(0, \frac14\right)$ et $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$.

**7.** $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : le triangle est isocèle en $F$, donc les angles à la base sont égaux : $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$.

**8.** Le rayon incident en $P$ est vertical, donc parallèle à la droite $(TF)$ (l’axe des ordonnées). La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $(TP)$ coupe ces deux parallèles, si bien que l’angle entre le rayon et la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) est égal à $\widehat{FTP}$ (angles alternes-internes) — lequel égale $\widehat{FPT}$, l’angle entre $[PF]$ et la [tangente](#def-g11-deriv-tangent). Angles égaux de part et d’autre de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $P$.

**9.** D’après la loi de la réflexion, le rayon qui arrive verticalement en $P$ repart selon la droite formant l’angle égal de l’autre côté — c’est-à-dire, d’après la question 8, selon $[PF]$ : par le [foyer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1), quel que soit $a$. En renversant le sens, la lumière née en $F$ quitte chaque point du miroir parallèlement à l’axe. Les antennes collectent, les phares éclairent : démontré.

**10.** Pour $a = 1$ : [tangente](#def-g11-deriv-tangent) $y = 2x - 1$, $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} =
\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : isocèle, comme promis.

**11.** La [tangente](#def-g11-deriv-tangent) en $x_n$ a pour [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; elle coupe $y = 0$ en $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

**12.** $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : les [approximations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) de $\sqrt2$ dues à Héron, c’est-à-dire la machine à [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) du [Problème 3.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1). Identité : $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x}
= \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — la recette de Héron *est* la méthode de Newton appliquée à $x^2 - 2$, avec deux millénaires d’avance.

**13.** $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3}
\approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33}
\approx 4.6417$. Calculatrice : $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — quatre décimales exactes en deux pas.

**14.** $f'(2) = 0$ : la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) au point de départ est horizontale (question 2) et ne coupe jamais l’axe — la formule divise par zéro. Mise en garde : lancer Newton à l’écart des points critiques (et, plus généralement, assez près de la [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) cherchée).

**15.** La dichotomie gagne un chiffre binaire par pas ; Newton *double* grossièrement le nombre de décimales exactes à chaque pas ($1 \to 3 \to 6$ ici). Lorsque chaque pas coûte cher — des millions de paramètres, une navigation en temps réel — doubler l’emporte sur avancer pas à pas, et c’est pourquoi la droite [tangente](#def-g11-deriv-tangent) tourne à l’intérieur de tant de silicium.

**16.** $d^2 = 900 - w^2$, donc $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$, pour $0 < w < 30$.

**17.** $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ en $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ($S' > 0$ avant, $< 0$ après : c’est un [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema)). Alors $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

**18.** $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$, donc $d = w\sqrt2$ : la hauteur vaut la largeur multipliée par $\sqrt2$ — le rapport des charpentiers (et la construction par tiers du diamètre le livre au compas, sans la moindre algèbre sur le chantier).

**19.** Poutre carrée : $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, de rigidité $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$. Poutre optimale : $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$. Gain : environ $8.9\,\%$ de rigidité en plus pour le même tronc — la [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) paie la scierie.

**20.** Géométrie : les angles égaux de la [tangente](#def-g11-deriv-tangent) ont fait d’un paraboloïde un collecteur de lumière. Calcul numérique : glisser le long des [tangentes](#def-g11-deriv-tangent) résout les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) en doublant les décimales. Optimisation : une [dérivée](#def-g11-deriv-derivative) qui s’annule a trouvé le rectangle le plus résistant du tronc. Un seul objet, trois métiers — et la convexité de l’an prochain dira en outre de quel côté de chaque [tangente](#def-g11-deriv-tangent) se tient la courbe.