---
title: "Suites : un premier cours"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 13
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours
---

# Chapitre 13 — Suites : un premier cours

Une [suite](#def-g11-seq-sequence) est une liste de nombres produits par une règle : les soldes successifs d’un compte d’épargne, les tailles d’une population année après année. Ce chapitre étudie les deux familles qui dominent les applications — les [suites](#def-g11-seq-sequence) *[arithmétiques](#def-g11-seq-arithmetic)*, qui croissent par pas égaux, et les [suites](#def-g11-seq-sequence) *[géométriques](#def-g11-seq-geometric)*, qui croissent par rapports égaux. La théorie rigoureuse des limites est développée dans le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#ch-g12-seq).

## 13.1 Définir une suite

**Définition 13.1 (Suite).**

Une *suite* $(u_n)$ associe à chaque entier $n \geq 0$ (ou $n \geq 1$) un [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) $u_n$, son *terme d’indice $n$*. Une suite peut être donnée

- *explicitement* , par une formule de $u_n$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $n$ : par exemple $u_n = n^2 + 1$ ;
- *par récurrence* , par son premier terme et une règle pour passer de chaque terme au suivant : par exemple $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

**Exemple 13.2.**

Pour $u_n = n^2 + 1$ : $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$, et $u_{10} = 101$ directement. Pour $u_0 = 3$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$ — chaque terme a besoin du précédent ; atteindre $u_{10}$ prend dix étapes (ou une formule générale, voir l’[Exercice 13.11](#exo-g11-seq-11)).

## 13.2 Suites arithmétiques

**Définition 13.3 (Suite arithmétique).**

Une [suite](#def-g11-seq-sequence) est *arithmétique* de *raison* $d$ si chaque terme s’obtient du précédent en ajoutant $d$ :

$$
u_{n+1} = u_n + d \quad \text{pour tout } n.
$$

De façon équivalente : la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante, égale à $d$.

**Théorème 13.4 (Terme général).**

Si $(u_n)$ est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) de premier terme $u_0$ et de raison $d$, alors

$$
u_n = u_0 + n\,d \quad \text{pour tout } n \geq 0,
\qquad\text{et plus généralement } u_n = u_p + (n - p)\,d .
$$

**Démonstration.** Pour aller de $u_0$ à $u_n$, la règle « ajouter $d$ » est appliquée $n$ fois : une étape donne $u_1 = u_0 + d$, deux étapes donnent $u_2 = u_0 + 2d$, et après $n$ étapes chaque application a contribué un $d$, donc $u_n = u_0 + nd$. (Ce « et ainsi de [suite](#def-g11-seq-sequence) » est rendu rigoureux par récurrence dans le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#ch-g12-seq).) La formule générale suit en comptant les $n - p$ étapes de $u_p$ à $u_n$. ∎

**Théorème 13.5 (Somme des entiers consécutifs).**

Pour tout entier $n \geq 1$ :

$$
1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
$$

Plus généralement, une somme de termes consécutifs d’une [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) égale

$$
(\text{nombre de termes}) \times
\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.
$$

**Démonstration.** Écrire la somme $S$ deux fois, la seconde à l’envers, et additionner colonne par colonne :

$$
\begin{array}{ccccccccc}
S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\
S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\
\hline
2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1)
\end{array}
$$

Il y a $n$ colonnes, chacune sommant à $n + 1$, donc $2S = n(n+1)$. Pour une [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) générale le même appariement fonctionne : premier $+$ dernier $=$ second $+$ avant-dernier $= \dots$, car avancer d’un pas à gauche ($+d$) est compensé par reculer d’un pas à droite ($-d$). ∎

**Exemple 13.6.**

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$. La somme des impairs $1 + 3 + \dots + 99$ ($50$ termes) est $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$.

## 13.3 Suites géométriques

**Définition 13.7 (Suite géométrique).**

Une [suite](#def-g11-seq-sequence) est *géométrique* de *raison* $q \neq 0$ si chaque terme s’obtient du précédent en multipliant par $q$ :

$$
u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{pour tout } n.
$$

De façon équivalente, lorsqu’aucun terme ne s’annule : le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant, égal à $q$.

**Théorème 13.8 (Terme général).**

Si $(u_n)$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de premier terme $u_0$ et de raison $q$, alors

$$
u_n = u_0\, q^n \quad \text{pour tout } n \geq 0,
\qquad\text{et plus généralement } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .
$$

**Démonstration.** Même comptage d’étapes que dans le [Théorème 13.4](#thm-g11-seq-arithgeneral) : de $u_0$ à $u_n$, la règle « multiplier par $q$ » est appliquée $n$ fois, contribuant un facteur $q^n$. ∎

**Théorème 13.9 (Somme géométrique).**

Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier $n \geq 0$ :

$$
1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.
$$

**Démonstration.** Soit $S = 1 + q + \dots + q^n$. Multiplier par $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$. Soustraire :

$$
S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr)
- \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},
$$

car chaque terme intermédiaire apparaît une fois dans chaque somme et s’annule. Donc $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$, et diviser par $1 - q \neq 0$ donne la formule. ∎

**Exemple 13.10.**

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 =
2047$ : doubler des grains de riz sur les cases d’un échiquier submerge n’importe quel grenier bien avant la $64$-ième case, où le total est $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$.

![Pas égaux contre rapports égaux : une suite arithmétique (u_n+1 = u_n + 0.9, bleu) suit une droite, une suite géométrique (u_n+1 = 1.2\,u_n, rouge) suit une courbe exponentielle qui finit par la dépasser.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-seq/fig-0be9b08cdf66.svg)

*Pas égaux contre rapports égaux : une [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ($u_{n+1} = u_n + 0.9$, bleu) suit une droite, une [suite géométrique](#def-g11-seq-geometric) ($u_{n+1} = 1.2\,u_n$, rouge) suit une courbe exponentielle qui finit par la dépasser.*

**Méthode 13.11 (Reconnaître le type d’une suite).**

Calculer $u_{n+1} - u_n$ et simplifier. Si le résultat est une constante $d$, la [suite](#def-g11-seq-sequence) est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic). Sinon calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (termes non nuls) et simplifier : une constante $q$ signifie [géométrique](#def-g11-seq-geometric). Si ni l’un ni l’autre n’est constant, la [suite](#def-g11-seq-sequence) n’est d’aucun des deux types — ne jamais conclure des seuls premiers termes.

**Exemple 13.12.**

Pour $u_n = 3 \times 5^n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ pour tout $n$ : [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $5$. Pour $u_n = n^2$ : $u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$, et $\frac{u_1}{u_0}$ n’est même pas défini — ni [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ni [géométrique](#def-g11-seq-geometric).

## 13.4 Monotonie

**Définition 13.13 (Suite monotone).**

Une [suite](#def-g11-seq-sequence) $(u_n)$ est *[croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)* si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, et *[décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)* si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.

**Méthode 13.14 (Étudier la monotonie).**

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Pour des [suites](#def-g11-seq-sequence) à termes positifs, on peut à la place comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.

**Exemple 13.15.**

Une [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) lorsque $d \geq 0$ ($u_{n+1} - u_n = d$), [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) lorsque $d \leq 0$. Une [suite géométrique](#def-g11-seq-geometric) avec $u_0 > 0$ et $q > 1$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) : $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; avec $u_0 > 0$ et $0 < q < 1$ elle est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations).

## 13.5 Comportement à long terme, informellement

Que devient $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Pour une [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) avec $d > 0$, les termes $u_0 + nd$ dépassent tout nombre fixé éventuellement. Pour une [suite géométrique](#def-g11-seq-geometric) avec $0 < q < 1$, les termes $u_0 q^n$ se contractent vers $0$ : multiplier à répétition par $0.9$, disons, érode toute valeur de départ. Et pour $q > 1$ les termes explosent, comme dans l’[Exemple 13.10](#ex-g11-seq-chessboard).

**Remarque 13.16.**

Ces affirmations peuvent être rendues parfaitement précises — « les termes finissent par rester à toute distance donnée de $0$ » — et prouvées. C’est la théorie des *limites*, le thème d’ouverture du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#ch-g12-seq).

## 13.6 Exercices

**Exercice 13.1 ★.**

Pour chaque [suite](#def-g11-seq-sequence), calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ :

$$
u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad
u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad
u_n = (-1)^n\,n .
$$

**Solution de Exercice 13.1.**

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$, $u_2 = \frac23$, $u_3 = \frac34$.

$u_0 = 5$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$, $u_2 = 37$, $u_3 = 109$.

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$, $u_2 = 2$, $u_3 = -3$.

**Exercice 13.2 ★.**

$(u_n)$ est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) avec $u_0 = 7$ et $d = -3$. Calculer $u_{10}$ et $u_{25}$. $(v_n)$ est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) avec $v_3 = 11$ et $v_8 = 26$. Trouver la raison et $v_0$.

**Solution de Exercice 13.2.**

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ et $u_{25} = 7 - 75 = -68$.

Pour $(v_n)$ : $v_8 = v_3 + 5d$ donne $26 = 11 + 5d$, donc $d = 3$ ; puis $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$.

**Exercice 13.3 ★.**

$(u_n)$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) avec $u_0 = 5$ et $q = 2$. Calculer $u_8$. $(v_n)$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) à termes positifs, $v_2 = 12$ et $v_4 = 48$. Trouver la raison et $v_0$.

**Solution de Exercice 13.3.**

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$.

Pour $(v_n)$ : $v_4 = v_2\, q^2$ donne $48 = 12 q^2$, donc $q^2 = 4$ et $q = 2$ (les termes sont positifs). Puis $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$.

**Exercice 13.4 ★.**

Calculer

$$
1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad
4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad
1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .
$$

**Solution de Exercice 13.4.**

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$.

$4 + 7 + \dots + 61$ est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) de raison $3$ avec $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ termes : somme $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$.

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $\frac12$ avec $11$ termes : $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right)
= \frac{2047}{1024}$.

**Exercice 13.5 ★.**

Déterminer si chaque [suite](#def-g11-seq-sequence) est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic), [géométrique](#def-g11-seq-geometric), ou ni l’une ni l’autre :

$$
u_n = 4n - 1; \qquad
v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad
w_n = n^2 + n .
$$

**Solution de Exercice 13.5.**

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) de raison $4$.

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n}
= \frac23$ : [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $\frac23$.

$w_0 = 0$, $w_1 = 2$, $w_2 = 6$ : les différences $2$ et $4$ diffèrent, donc non [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ; $\frac{w_1}{w_0}$ n’est même pas défini, et les rapports $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : ni l’un ni l’autre.

**Exercice 13.6 ★★.**

Un théâtre a $20$ rangées : $16$ sièges dans la première, et chaque rangée a $2$ sièges de plus que la précédente. Combien de sièges dans la dernière rangée ? Dans tout le théâtre ?

**Solution de Exercice 13.6.**

Les tailles des rangées sont [arithmétiques](#def-g11-seq-arithmetic) : premier terme $16$, raison $2$. La dernière ($20$-ième) rangée a $16 + 19 \times 2 = 54$ sièges. Le total est $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ sièges.

**Exercice 13.7 ★★.**

Une population de bactéries double toutes les heures ; à midi il y en a $500$. Combien y en a-t-il à 20 h ? Au bout de combien d’heures complètes la population dépasse-t-elle d’abord un million ? (Résoudre en essayant des puissances successives de $2$.)

**Solution de Exercice 13.7.**

Après $n$ heures la population est $500 \times 2^n$. À 20 h, $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ bactéries. Il faut $500 \times 2^n >
10^6$, c’est-à-dire $2^n > 2000$ : comme $2^{10} = 1024$ et $2^{11} = 2048$, la population dépasse d’abord un million après $11$ heures complètes, à 23 h.

**Exercice 13.8 ★★.**

Chaque mois, un épargnant dépose $100$ euros sur un compte qui rapporte $0.2\,\%$ d’intérêts par mois sur le solde existant (les intérêts sont crédités juste avant le dépôt). Soit $c_n$ le solde juste après le $n$-ième dépôt, donc $c_1 = 100$ et $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$. Calculer $c_2$ et $c_3$, et expliquer pourquoi $(c_n)$ n’est ni [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ni [géométrique](#def-g11-seq-geometric).

**Solution de Exercice 13.8.**

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ et $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$. Les différences $c_2 - c_1 = 100.20$ et $c_3 - c_2 \approx 100.40$ ne sont pas égales, donc $(c_n)$ n’est pas [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ; les rapports $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ et $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ ne sont pas égaux non plus, donc ce n’est pas [géométrique](#def-g11-seq-geometric). (Les récurrences mixtes « multiplier puis ajouter » comme celle-ci se résolvent par l’astuce de [suite](#def-g11-seq-sequence) auxiliaire de l’[Exercice 13.11](#exo-g11-seq-11).)

**Exercice 13.9 ★★.**

Étudier la monotonie des [suites](#def-g11-seq-sequence)

$$
u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad
v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),
$$

où $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. (Pour $(v_n)$, comparer $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ à $1$.)

**Solution de Exercice 13.9.**

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : négatif pour $n \leq 3$, positif pour $n \geq 4$. Donc $(u_n)$ décroît jusqu’à $u_4 = 16 - 32 = -16$, puis croît : elle n’est pas [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone).

$(v_n)$ a des termes positifs et

$$
\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n}
= \frac{3}{n+1},
$$

qui est $> 1$ pour $n \leq 1$, $= 1$ pour $n = 2$, et $< 1$ pour $n \geq 3$ : la [suite](#def-g11-seq-sequence) croît jusqu’à $v_2 = v_3 = \frac92$, puis décroît.

**Exercice 13.10 ★★.**

La somme des $n$ premiers termes d’une [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) avec $u_0 = 3$ et $d = 4$ égale $903$. Trouver $n$. (Mettre en place une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du second degré en $n$ et utiliser le [Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ch-g11-quad).)

**Solution de Exercice 13.10.**

Les $n$ premiers termes sont $u_0, \dots, u_{n-1}$, avec $u_0 = 3$ et $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$. Leur somme est

$$
n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,
$$

donc $2n^2 + n - 903 = 0$. Ici $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 =
7225 = 85^2$, et $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (la [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) négative est rejetée). Vérification : $21 \times 43 = 903$.

**Exercice 13.11 ★★★.**

Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

1. Calculer $u_1, u_2, u_3$ et conjecturer une formule pour $u_n$ .
2. Soit $v_n = u_n - 1$ . Montrer que $(v_n)$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) , donner sa raison et son premier terme.
3. En déduire une formule explicite pour $u_n$ et vérifier la conjecture.

**Solution de Exercice 13.11.**

*1.* $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$ : chaque terme est un de plus que $4, 8, 16$, ce qui suggère $u_n = 2^{n+1} + 1$.

*2.* Avec $v_n = u_n - 1$ :

$$
v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,
$$

donc $(v_n)$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $2$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 1 = 2$.

*3.* D’où $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ et $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$, confirmant la conjecture. (Le nombre $1$ soustrait dans $v_n$ est le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) de $x \mapsto 2x - 1$ ; la même idée réapparaît pour $u_{n+1} = au_n + b$ dans le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#ch-g12-seq).)

## 13.7 Problème : la tour de Brahma et les lapins de Fibonacci

**Problème 13.1.**

Devoir du week-end — deux récurrences légendaires : la tour qui met fin au monde, la suite qui croît comme l’or, et l’astuce de la suite auxiliaire qui dompte les emprunts

Deux [suites](#def-g11-seq-sequence) règnent sur le folklore mathématique. L’une compte les déplacements de la tour de Brahma — soixante-quatre disques d’or dont le transfert, dit la légende, mettra fin au monde. L’autre compte les lapins de Fibonacci et cache le nombre d’or. Ni l’une ni l’autre n’est [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic), ni l’une ni l’autre n’est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) — et toutes deux cèdent aux armes de ce chapitre : les récurrences, les sommes [géométriques](#def-g11-seq-geometric) ([Théorème 13.9](#thm-g11-seq-geomsum)) et l’astuce de la [suite](#def-g11-seq-sequence) auxiliaire de l’[Exercice 13.11](#exo-g11-seq-11), qui calcule aussi votre crédit immobilier.

**Partie I — La tour de Brahma.** Le casse-tête : $n$ disques de tailles [décroissantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sont empilés sur la tige A ; il s’agit de transporter toute la pile sur la tige C, un disque à la fois, sans jamais poser un disque plus grand sur un plus petit (la tige B peut servir d’appoint). On note $h_n$ le nombre minimal de déplacements.

1. Jouer (avec des pièces de monnaie) et relever $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ .
2. Expliquer la stratégie qui justifie la récurrence $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : que doit-il se passer avant, puis après le déplacement du plus grand disque ?
3. Résoudre la récurrence par l’astuce de l’ [Exercice 13.11](#exo-g11-seq-11) : poser $v_n = h_n + 1$ , montrer que $(v_n)$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) , et conclure $h_n = 2^n - 1$ .
4. La tour de la légende compte $64$ disques, et les moines déplacent un disque par seconde. En utilisant $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ , estimer la durée du transfert en années (une année vaut environ $3 \times 10^7$ secondes ; comparer avec l’ [Exemple 13.10](#ex-g11-seq-chessboard) , le même géant dans une autre histoire). Faut-il s’inquiéter ?
5. Pourquoi aucune stratégie ne peut-elle faire mieux que $2^n - 1$ déplacements ? Montrer que *toute* solution vérifie $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : que doit-il être vrai des $n$ disques supérieurs juste avant, puis juste après le déplacement du disque du bas ?

**Partie II — Fibonacci.** On pose $F_1 = F_2 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (chaque terme est la somme des deux précédents — la règle du décompte des rythmes du volume précédent, ici sous son nom européen).

6. Écrire $F_1$ jusqu’à $F_{12}$ .
7. Montrer que $(F_n)$ n’est ni [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ni [géométrique](#def-g11-seq-geometric) , mais qu’elle est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) à partir de $n = 2$ ( [Méthode 13.14](#met-g11-seq-monotonicity) et la récurrence).
8. Démontrer l’identité des sommes $$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$ par télescopage : écrire chaque $F_k$ sous la forme $F_{k+2} - F_{k+1}$ et regarder la somme s’effondrer. La vérifier pour $n = 6$.
9. Démontrer l’identité des carrés $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ , en télescopant à l’aide de $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . Vérifier pour $n = 4$ . ( [Image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) : des carrés de côtés $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ pavent un rectangle — le squelette de la célèbre spirale de Fibonacci.)
10. L’identité de Cassini affirme que $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . La vérifier pour $n = 4, 5, 6$ — et y reconnaître le moteur du tour du carré évanoui joué dans le problème des aires du volume précédent.
11. Déduire de la récurrence que $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : Fibonacci double au moins tous les deux pas — elle croît au moins aussi vite qu’une [suite géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $\sqrt2$ .
12. Calculer les rapports $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ pour $n = 3$ à $10$ (trois décimales). En admettant qu’ils se stabilisent sur une limite $L$ , passer la relation $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ à la limite et résoudre : quel nombre du [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#pb-g10-algebra-1) les lapins vénèrent-ils ?

**Partie III — L’astuce de la [suite](#def-g11-seq-sequence) auxiliaire, à la banque.**

13. Généraliser l’ [Exercice 13.11](#exo-g11-seq-11) : pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$ , poser $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) ). Montrer que $v_n = u_n - \ell$ est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $a$ , et conclure $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
14. Un emprunt : $10\,000$ euros à $1\,\%$ d’intérêt mensuel, remboursé $300$ euros par mois, si bien que la dette obéit à $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . Appliquer la question 13 (le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) d’abord !) pour obtenir une formule explicite de $d_n$ .
15. À la calculatrice, déterminer le premier mois où la dette est éteinte, et le montant total remboursé. Combien l’emprunt lui-même a-t-il coûté ?
16. Une ville de $50\,000$ habitants croît de $2\,\%$ par an et accueille en outre $1\,000$ nouveaux venus : $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . Donner la formule explicite et la population au bout de $10$ ans.

**Partie IV — Les deux familles royales.**

17. Calculer $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ ( [Théorème 13.5](#thm-g11-seq-intsum) — la somme du petit Gauss du volume précédent, désormais officielle), puis $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ ( [Théorème 13.9](#thm-g11-seq-geomsum) ).
18. Calculer la somme de la [suite arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) $7, 12, 17, \dots, 502$ (combien de termes ?).
19. Plan d’épargne : $100$ euros déposés chaque mois, rapportant $0.5\,\%$ par mois ; après le $n$ -ième dépôt, le solde vaut $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . Calculer le solde après $5$ ans ( $n = 60$ ).
20. Pour finir — la trousse du dompteur de [suites](#def-g11-seq-sequence) : description explicite contre description par récurrence ; les deux familles royales et leurs formules de somme ; la [suite](#def-g11-seq-sequence) auxiliaire qui transforme les récurrences affines en récurrences [géométriques](#def-g11-seq-geometric) ; et Fibonacci, premier citoyen hors des deux familles, domptée aujourd’hui par des identités et attendant les matrices de l’an prochain et les limites pour être capturée tout à fait. Une phrase pour chacun.

**Solution de Problème 13.1.**

**1.** $h_1 = 1$, $h_2 = 3$, $h_3 = 7$.

**2.** Pour déplacer le plus grand disque, les $n$ disques posés dessus doivent d’abord migrer sur la tige libre ($h_n$ déplacements) ; le grand disque traverse ($1$ déplacement) ; les $n$ disques doivent ensuite remonter par-dessus lui ($h_n$ déplacements) : $h_{n+1} = 2h_n + 1$.

**3.** $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : la [suite](#def-g11-seq-sequence) est [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $2$ avec $v_1 = 2$, donc $v_n = 2^n$ et $h_n = 2^n - 1$.

**4.** $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ secondes ; en divisant par $3 \times 10^7$ secondes par an, on trouve environ $6 \times 10^{11}$ ans — six cents milliards d’années, quarante fois l’âge de l’[univers](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-events). Les moines peuvent prendre des pauses café.

**5.** Dans toute solution licite, considérons le premier déplacement du disque du bas : à cet instant, les $n$ autres disques doivent tous se trouver sur l’unique tige restante (il a fallu au moins $h_n$ déplacements pour les y amener), et après le dernier déplacement du disque du bas ils doivent tous revenir par-dessus lui (au moins $h_n$ de plus) : toute solution exige donc au moins $2h_n + 1$ déplacements. La récurrence est un plancher autant qu’un plafond : $2^n - 1$ est optimal.

**6.** $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$.

**7.** Pas [arithmétique](#def-g11-seq-arithmetic) ($2 - 1 = 1$ mais $3 - 2 = 1$ et $5 - 3 = 2$ : les différences changent) ; pas [géométrique](#def-g11-seq-geometric) ($\frac21 = 2$ mais $\frac32 = 1.5$). [Croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) : pour $n \geq 2$, $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$.

**8.** $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, donc

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots +
(F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

Pour $n = 6$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$.

**9.** $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} -
F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ; la somme télescope en $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (avec $F_0 = 0$) : la somme des carrés vaut $F_n F_{n+1}$. Pour $n = 4$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 =
3 \times 5$.

**10.** $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : alternance de $\pm 1$. Cet écart d’une unité entre $F_{n+1} F_{n-1}$ et $F_n^2$ est exactement l’unité d’aire gagnée ou perdue par le magicien : découper un carré $F_n \times F_n$ en pièces réassemblées en un rectangle $F_{n+1} \times F_{n-1}$ doit créer ou avaler une unité — la mince fente.

**11.** $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (la [suite](#def-g11-seq-sequence) est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)) : au moins un doublement tous les deux indices — une croissance au moins [géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $\sqrt2$ par indice.

**12.** $1.5$ ; $1.667$ ; $1.6$ ; $1.625$ ; $1.615$ ; $1.619$ ; $1.618$ ; $1.618$. Si $r_n \to L$ : en divisant $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ par $F_{n+1}$ on obtient $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$, donc $L = 1 + \frac1L$, c’est-à-dire $L^2 = L + 1$ : $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$, le nombre d’or du [Problème 2.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#pb-g10-algebra-1). Les lapins se multiplient en or.

**13.** $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ; comme $\ell = a\ell + b$, cela vaut $a(u_n - \ell) = a v_n$ : [suite géométrique](#def-g11-seq-geometric) de raison $a$. D’où $v_n = a^n v_0$ et $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$.

**14.** [Point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) : $\ell = 1.01\ell - 300$ donne $\ell = 30\,000$. Donc $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000
= 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$.

**15.** $d_n \leq 0$ exige $1.01^n \geq 1.5$ : $1.01^{40} \approx 1.489$, $1.01^{41} \approx 1.504$ : c’est la $41$-ième mensualité qui éteint la dette (et elle est un peu inférieure à $300$). Total remboursé : un peu moins de $41 \times 300 = 12\,300$ euros — les $10\,000$ empruntés ont coûté environ $2\,300$ euros d’intérêts.

**16.** [Point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$, donc $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$. Au bout de $10$ ans : $1.02^{10} \approx 1.219$, d’où $p_{10} \approx 71\,900$ habitants.

**17.** $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ; et $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$.

**18.** De $7$ à $502$ par pas de $5$ : $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ termes ; somme $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$.

**19.** Solde $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1}
{1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx
6\,977$ euros — dont $6\,000$ déposés et environ $977$ gagnés : les sommes [géométriques](#def-g11-seq-geometric) sont la langue maternelle de la banque.

**20.** Les formules explicites répondent instantanément à « que vaut $u_{1000}$ ? » ; les récurrences décrivent la façon dont les systèmes évoluent réellement — tout l’art consiste à convertir les secondes en premières. Les [suites arithmétiques](#def-g11-seq-arithmetic) ajoutent, les [géométriques](#def-g11-seq-geometric) multiplient, et chaque famille possède sa formule de somme (l’appariement de Gauss ; l’astuce du doublement). L’astuce du [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) et de la [suite](#def-g11-seq-sequence) auxiliaire convertit toute récurrence affine en récurrence [géométrique](#def-g11-seq-geometric) — emprunts, populations et tour y ont tous cédé. Fibonacci n’obéit à aucune des deux familles, et pourtant des identités télescopiques ont capturé ses sommes et ses carrés ; son portrait complet (une formule exacte, la limite dorée) attend des outils plus puissants.