---
title: "Trigonométrie : le cercle trigonométrique"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 14
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique
---

# Chapitre 14 — Trigonométrie : le cercle trigonométrique

La trigonométrie commence dans les triangles rectangles, mais sa vraie demeure est le *cercle trigonométrique*, où le [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) et le [sinus](#def-g11-trigo-cossin) deviennent des [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) d’un [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) arbitraire. Ce chapitre met en place le [radian](#def-g11-trigo-radian), l’enroulement de la droite réelle autour du cercle, les valeurs exactes à connaître par cœur, et les symétries qui engendrent toutes les identités classiques. L’étude de $\cos$ et $\sin$ comme [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) — variations, [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#def-g11-deriv-derivative) — est menée dans le [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#ch-g12-trigo).

## 14.1 Radians et enroulement

**Définition 14.1 (Radian).**

Soit $\mathcal C$ le cercle de rayon $1$ centré à l’origine $O$, et $I(1, 0)$. La mesure en *radians* d’un angle au centre de $\mathcal C$ est la longueur de l’arc qu’il découpe sur $\mathcal C$. Comme le cercle complet a pour circonférence $2\pi$ :

$$
360^\circ = 2\pi \text{ rad},
\qquad
180^\circ = \pi \text{ rad},
\qquad
1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .
$$

**Méthode 14.2 (Convertir).**

Degrés et [radians](#def-g11-trigo-radian) sont proportionnels : multiplier par $\frac{\pi}{180}$ pour passer des degrés aux [radians](#def-g11-trigo-radian), par $\frac{180}{\pi}$ dans l’autre sens. Par exemple $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$, et $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

**Définition 14.3 (Enrouler la droite sur le cercle).**

À chaque [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) $t$, associer le point $M(t)$ de $\mathcal C$ obtenu en parcourant une distance $\abs t$ le long du cercle depuis $I$, dans le sens trigonométrique si $t \geq 0$, dans le sens horaire si $t < 0$. Comme la circonférence est $2\pi$, les nombres $t$ et $t + 2k\pi$ ($k \in \Z$) atteignent le même point : $M(t + 2k\pi) = M(t)$.

**Exemple 14.4.**

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$, le sommet du cercle ; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) =
(0, -1)$ ; et $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) =
M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

## 14.2 Cosinus et sinus

**Définition 14.5 (Cosinus et sinus).**

Pour tout réel $t$, le *cosinus* et le *sinus* de $t$ sont les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) du point $M(t)$ du cercle trigonométrique :

$$
M(t) = (\cos t,\ \sin t).
$$

![Le cercle trigonométrique : le nombre réel t, enroulé dans le sens trigonométrique depuis I, arrive au point M(t) dont les coordonnées définissent t et t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-ed4ec1d99063.svg)

*Le cercle trigonométrique : le [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) $t$, enroulé dans le sens trigonométrique depuis $I$, arrive au point $M(t)$ dont les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) *définissent* $\cos t$ et $\sin t$.*

**Proposition 14.6 (Premières propriétés).**

Pour tous $t \in \R$ et $k \in \Z$ :

$$
-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad
-1 \leq \sin t \leq 1, \qquad
\cos^2 t + \sin^2 t = 1,
$$

$$
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .
$$

**Démonstration.** $M(t)$ est sur le cercle unité, donc ses [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) sont entre $-1$ et $1$, et elles satisfont l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle $x^2 + y^2 = 1$, qui est l’identité $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. La périodicité reformule $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ([Définition 14.3](#def-g11-trigo-winding)). ∎

**Exemple 14.7.**

Si $\sin t = \frac35$ et $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ (deuxième quadrant), alors $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, donc $\cos t = \pm\frac45$ ; dans le deuxième quadrant l’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) est négative, d’où $\cos t = -\frac45$.

Les valeurs à connaître par cœur :

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Remarque 14.8.**

Un moyen mnémotechnique : les [sinus](#def-g11-trigo-cossin) se lisent $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2},
\frac{\sqrt4}{2}$, et les [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) sont la même liste inversée.

## 14.3 Angles associés

**Proposition 14.9 (Angles associés).**

Pour tout $t \in \R$ :

$$
\begin{aligned}
\cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\
\cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\
\cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, &
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t .
\end{aligned}
$$

**Démonstration.** Chaque ligne exprime une symétrie du cercle.

$M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ : l’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) est inchangée, l’ordonnée change de signe.

$M(\pi - t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $y$ : marcher en arrière depuis $\pi$ de $t$ arrive à l’opposé (horizontalement) de marcher en avant depuis $0$ de $t$. L’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) change de signe, l’ordonnée est inchangée.

$M(\pi + t)$ est diamétralement opposé à $M(t)$ (un demi-tour) : les deux [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) changent de signe.

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à la diagonale $y = x$, qui échange les deux [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system). ∎

![Les quatre points associés : M(-t) est le miroir de M(t) par rapport à l’axe des x, M(π - t) par rapport à l’axe des y, et M(π + t) est diamétralement opposé. Toute identité de la se lit sur ce dessin.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-da7bcec307c7.svg)

*Les quatre points associés : $M(-t)$ est le miroir de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$, $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$, et $M(\pi + t)$ est diamétralement opposé. Toute identité de la [Proposition 14.9](#prop-g11-trigo-associated) se lit sur ce dessin.*

**Exemple 14.10.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right)
= -\cos\frac\pi3 = -\frac12$, et $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right)
= -\sin\frac\pi6 = -\frac12$. Le tableau de cinq valeurs, étendu par les symétries, couvre tout le cercle.

## 14.4 Résoudre des équations trigonométriques

**Théorème 14.11 (Les équations cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos acost=cosa et sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin asint=sina).**

Pour des réels $t$ et $a$ :

$$
\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = -a + 2k\pi
\quad (k \in \Z),
$$

$$
\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{ou}\ t = \pi - a + 2k\pi
\quad (k \in \Z).
$$

**Démonstration.** Deux points du cercle trigonométrique ont la même [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) exactement lorsqu’ils sont égaux ou symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des $x$ ; par la [Proposition 14.9](#prop-g11-trigo-associated), le symétrique de $M(a)$ est $M(-a)$. Donc $\cos t = \cos a$ signifie $M(t) = M(a)$ ou $M(t) = M(-a)$, c’est-à-dire $t = \pm a$ à un multiple de $2\pi$ près. De même, des ordonnées égales signifient des points égaux ou symétriques par rapport à l’axe des $y$, et le symétrique de $M(a)$ est $M(\pi - a)$. ∎

**Méthode 14.12 (Résoudre cos⁡t=c\cos t = ccost=c sur un intervalle).**

1. Trouver *un* angle $a$ avec $\cos a = c$ , d’après le tableau des valeurs connues.
2. Écrire les solutions générales $t = \pm a + 2k\pi$ ( [Théorème 14.11](#thm-g11-trigo-equations) ).
3. Choisir les entiers $k$ qui tombent dans l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) demandé, et lister les solutions.

Procéder de même pour $\sin t = c$ avec $t = a + 2k\pi$ ou $t = \pi - a + 2k\pi$.

**Exemple 14.13.**

Résoudre $\cos t = \frac12$ sur $\intoc{-\pi}{\pi}$. Une solution de $\cos a = \frac12$ est $a = \frac{\pi}{3}$. Les solutions générales sont $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ et $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$. Dans $\intoc{-\pi}{\pi}$, seul $k = 0$ contribue : $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$.

Résoudre $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ sur $\intco{0}{2\pi}$. Un angle est $a = -\frac\pi4$ ; les solutions sont $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ et $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Dans $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{4}$ (pour $k = 1$) et $t = \frac{5\pi}{4}$.

![Résoudre t = 1/2 : la droite verticale x = 1/2 (orange) coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l’axe des x — d’où les deux familles de solutions t = ± π3 + 2kπ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-trigo/fig-073ce0f8bd3d.svg)

*Résoudre $\cos t = \frac12$ : la droite verticale $x = \frac12$ (orange) coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l’axe des $x$ — d’où les deux familles de solutions $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$.*

## 14.5 Exercices

**Exercice 14.1 ★.**

Convertir en [radians](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$, $45^\circ$, $120^\circ$, $270^\circ$. Convertir en degrés : $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$, $\frac{2\pi}{9}$.

**Solution de Exercice 14.1.**

En [radians](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.

En degrés : $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$, $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$, $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$, $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$.

**Exercice 14.2 ★.**

Placer sur le cercle trigonométrique les points $M(t)$ pour

$$
t = \frac{2\pi}{3},\quad
t = -\frac{\pi}{4},\quad
t = \frac{17\pi}{6},\quad
t = -\frac{7\pi}{2},
$$

après avoir réduit chacun à une valeur dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ modulo $2\pi$.

**Solution de Exercice 14.2.**

$\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{4}$ sont déjà dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : deuxième et quatrième quadrants respectivement.

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : deuxième quadrant, près de l’axe des $x$ négatif.

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : le sommet du cercle, $(0, 1)$.

**Exercice 14.3 ★.**

En utilisant le tableau et les [angles associés](#prop-g11-trigo-associated), donner les valeurs exactes de

$$
\cos\frac{3\pi}{4}, \quad
\sin\frac{5\pi}{6}, \quad
\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad
\sin\frac{4\pi}{3}, \quad
\cos\frac{11\pi}{6} .
$$

**Solution de Exercice 14.3.**

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right)
= -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right)
= \sin\frac\pi6 = \frac12$.

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right)
= -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right)
= \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$.

**Exercice 14.4 ★.**

Sachant $\cos t = \frac{5}{13}$ avec $t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$, calculer $\sin t$ exactement.

**Solution de Exercice 14.4.**

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, donc $\sin t = \pm\frac{12}{13}$. Sur $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ (quatrième quadrant) l’ordonnée est négative : $\sin t = -\frac{12}{13}$.

**Exercice 14.5 ★★.**

Simplifier, pour tout réel $x$ :

$$
A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x,
\qquad
B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
$$

**Solution de Exercice 14.5.**

En utilisant la [Proposition 14.9](#prop-g11-trigo-associated) :

$$
A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
$$

$$
B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .
$$

**Exercice 14.6 ★★.**

Résoudre sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

$$
\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\sin t = \frac12, \qquad
\cos t = -1 .
$$

**Solution de Exercice 14.6.**

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : une solution est $\frac\pi6$, donc $t = \pm\frac\pi6$ (les décalages de $2k\pi$ sortent de l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval)).

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ ou $t = \pi - \frac\pi6 =
\frac{5\pi}{6}$.

$\cos t = -1$ : le seul point d’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $-1$ est $M(\pi)$, donc $t = \pi$.

**Exercice 14.7 ★★.**

Résoudre sur $\intco{0}{2\pi}$ :

$$
\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad
\cos t = 0, \qquad
2\sin t + 1 = 0 .
$$

**Solution de Exercice 14.7.**

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : à partir de $a = -\frac\pi3$, les familles sont $-\frac\pi3 + 2k\pi$ et $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ ; dans $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{4\pi}{3}$ et $t = \frac{5\pi}{3}$.

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ et $t = \frac{3\pi}{2}$.

$2\sin t + 1 = 0$ signifie $\sin t = -\frac12$ : à partir de $a = -\frac\pi6$, dans $\intco{0}{2\pi}$ : $t = \frac{7\pi}{6}$ et $t = \frac{11\pi}{6}$.

**Exercice 14.8 ★★.**

Résoudre sur $\R$ l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\cos 2t = \cos t$. (Utiliser le [Théorème 14.11](#thm-g11-trigo-equations) avec $a = t$, et discuter les deux familles de solutions.)

**Solution de Exercice 14.8.**

Par le [Théorème 14.11](#thm-g11-trigo-equations), $\cos 2t = \cos t$ signifie $2t = t + 2k\pi$ ou $2t = -t + 2k\pi$, c’est-à-dire $t = 2k\pi$ ou $t = \frac{2k\pi}{3}$ ($k \in \Z$). La première famille est contenue dans la seconde (prendre $k$ multiple de $3$), donc l’ensemble des solutions est

$$
S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}
$$

— sur le cercle, les trois points $M(0)$, $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$, $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

**Exercice 14.9 ★★.**

Montrer que pour tout réel $x$,

$$
\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
$$

**Solution de Exercice 14.9.**

En développant les deux carrés et en utilisant $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

$$
(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
+ (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x)
= 1 + 1 = 2 .
$$

**Exercice 14.10 ★★.**

Une roue de rayon $30$ cm roule sans glisser. De quel angle (en [radians](#def-g11-trigo-radian), puis en degrés) tourne-t-elle lorsque le vélo avance de $1.5$ m ? Quelle distance le vélo parcourt-il pendant un tour complet de la roue ?

**Solution de Exercice 14.10.**

Rouler sans glisser signifie que la longueur d’arc égale la distance parcourue : $r\theta = 150$ cm donne $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx
286.5^\circ$. Un tour complet fait avancer le vélo de la circonférence $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, environ $1.88$ m.

**Exercice 14.11 ★★★.**

Résoudre sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ l’inéquation $\cos t \leq \frac12$. (Croquer le cercle trigonométrique, marquer la région où l’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) est au plus $\frac12$, et lire l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de valeurs de $t$.)

**Solution de Exercice 14.11.**

Sur le cercle trigonométrique, les points d’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) exactement $\frac12$ sont $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$. Les points d’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) *au plus* $\frac12$ forment l’arc à gauche de la droite verticale $x = \frac12$, parcouru lorsque $t$ va de $\frac\pi3$ jusqu’à $\pi$, ou de $-\pi$ jusqu’à $-\frac\pi3$. Donc, sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ :

$$
S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.
$$

(Les extrémités $\pm\frac\pi3$ sont incluses car l’inégalité est large.)

## 14.6 Problème : la grande roue et la marée

**Problème 14.1.**

Devoir du week-end — le radian comme distance roulée, et le cercle trigonométrique comme horloge maîtresse de tout phénomène périodique

Une grande roue vous promène sur un cercle ; la marée promène l’eau du port de haut en bas sur le même cercle mathématique. Tout phénomène périodique — roues, marées, sons, saisons — lit son horaire sur le cercle trigonométrique de ce chapitre ([Définition 14.5](#def-g11-trigo-cossin)), et les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la [Méthode 14.12](#met-g11-trigo-solve) en donnent les instants exacts. Ce problème convertit, enroule, modélise et résout — et règle en chemin la question de savoir pourquoi les mathématiciens mesurent les angles en [radians](#def-g11-trigo-radian).

**Partie I — Le [radian](#def-g11-trigo-radian), une distance roulée.**

1. Convertir en [radians](#def-g11-trigo-radian) : $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; et en degrés : $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ ( [Méthode 14.2](#met-g11-trigo-convert) ).
2. Tout l’intérêt du [radian](#def-g11-trigo-radian) : un arc d’angle $t$ (en [radians](#def-g11-trigo-radian) ) sur un cercle de rayon $r$ a pour longueur exactement $r\,t$ . Quel arc un angle de $2$ [radians](#def-g11-trigo-radian) découpe-t-il sur un cercle de rayon $3$ m ? (Aucun $\pi$ nulle part — c’est bien là le point.)
3. Une roue de rayon $30$ cm roule sur $1$ km sans glisser. De combien de *[radians](#def-g11-trigo-radian)* a-t-elle tourné, et cela fait combien de tours complets ?
4. Placer sur le cercle trigonométrique et évaluer exactement : $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ et $\cos\frac{19\pi}{6}$ (réduire d’abord modulo $2\pi$ ; [Proposition 14.9](#prop-g11-trigo-associated) ).
5. Un angle $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ vérifie $\sin t = \frac35$ . À l’aide de $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ et du quadrant, déterminer $\cos t$ et $\tan t$ .

**Partie II — La grande roue.** Une grande roue a un rayon de $60$ m, son moyeu est à $65$ m du sol, et elle fait un tour toutes les $30$ minutes. On y monte au point le plus bas à l’instant $t = 0$ (en minutes), de sorte que la hauteur obéit à

$$
h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
$$

6. Justifier la formule : vérifier l’angle parcouru après $t$ minutes, la hauteur en $t = 0$ , et expliquer le signe moins.
7. Calculer la hauteur à $t = 7.5$ , $t = 15$ et $t = 20$ minutes (valeurs exactes).
8. À quel instant est-on *pour la première fois* à $95$ m ? (Résoudre $h(t) = 95$ avec la [Méthode 14.12](#met-g11-trigo-solve) .)
9. Pendant quel [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de temps du tour est-on à au moins $95$ m de hauteur — et pendant combien de temps au total ? (Comparer avec l’ [Exercice 14.11](#exo-g11-trigo-11) .)
10. Où la hauteur varie-t-elle *le plus vite* ? Comparer la montée pendant la première minute ( $h(1) - h(0)$ ) avec celle entre les minutes $7$ et $8$ , et formuler l’observation (l’outil qui la rend exacte — la [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#def-g11-deriv-derivative) de la sinusoïde — arrive l’an prochain).
11. À vous de jouer les ingénieurs : concevoir la formule de hauteur d’une roue de hauteur maximale $40$ m, de hauteur minimale $4$ m et de période $12$ minutes, l’embarquement se faisant en bas à $t = 0$ .

**Partie III — La marée et les symétries du cercle.** Dans un port, la hauteur d’eau en mètres, $t$ heures après minuit, vaut

$$
d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
$$

12. Donner les hauteurs d’eau maximale et minimale, les instants où elles se produisent pour la première fois, et la période de la marée.
13. Un cargo a besoin de $8.5$ m d’eau. Résoudre $d(t) \geq 8.5$ sur $\intco{0}{12}$ : pendant quelle fenêtre peut-il entrer, et quelle est sa durée ? Quand s’ouvre la fenêtre suivante ?
14. Retrouver directement, à partir des symétries du cercle, deux identités d’ [angles associés](#prop-g11-trigo-associated) — $\sin(\pi - t) =  \sin t$ (symétrie par rapport à l’axe vertical) et $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (demi-tour) — puis énoncer l’identité des angles [complémentaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-operations) $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ .
15. Parité (vocabulaire du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#pb-g11-func-1) ) : classer $\sin$ , $\cos$ et $t \mapsto \sin t + t^3$ en [fonctions paires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity) ou [impaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity) , avec une démonstration d’une ligne à partir du cercle.
16. Résoudre sur $\intco{0}{2\pi}$ : $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ . (Un trinôme du second degré déguisé : le [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) comme au [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) , puis lire le cercle.)

**Partie IV — L’angle du mathématicien.**

17. Combien de degrés vaut $1$ [radian](#def-g11-trigo-radian) ? Puis un piège de calculatrice : qui est le plus grand, $\sin(1)$ (mode [radian](#def-g11-trigo-radian) ) ou $\sin(1^\circ)$ — et à peu près dans quel rapport ? Morale sur le réglage des calculatrices ?
18. Résoudre $\cos t = \sin t$ sur $\intco{0}{2\pi}$ à l’aide du cercle (où l’ [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) et l’ordonnée sont-elles égales ?).
19. Pour les petits angles, l’arc et son [sinus](#def-g11-trigo-cossin) coïncident presque : comparer $\sin(0.1)$ et $0.1$ (cinq décimales), et donner l’erreur relative. Cette « [approximation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) des petits angles » guide navires et pendules ; le théorème qui la porte ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) est une vedette du chapitre sur les limites de l’an prochain.
20. Pour finir — le cercle trigonométrique comme horloge maîtresse, une phrase par point : le [radian](#def-g11-trigo-radian) transforme les angles en nombres honnêtes (arc $=$ rayon $\times$ angle) ; le [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) et le [sinus](#def-g11-trigo-cossin) sont l’ombre et la hauteur de l’aiguille ; les symétries du cercle sont les identités ; résoudre $\cos t = c$ revient à lire des instants sur l’horloge ; et tout phénomène périodique — roue, marée, son — n’est que cette horloge en costume.

**Solution de Problème 14.1.**

**1.** $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ; $135^\circ =
\frac{3\pi}{4}$ ; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$. Et $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$ ; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$.

**2.** Longueur $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m. Le [radian](#def-g11-trigo-radian) fait de la longueur d’arc un simple produit — les degrés traîneraient un $\frac{\pi}{180}$ dans chaque formule.

**3.** Nombre de [radians](#def-g11-trigo-radian) $= \frac{\text{distance}}
{\text{rayon}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad ; divisé par $2\pi$ : environ $530$ tours complets.

**4.** $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$ ; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$, donc $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**5.** $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; dans le deuxième quadrant le [cosinus](#def-g11-trigo-cossin) est négatif : $\cos t = -\frac45$, et $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$.

**6.** En $t$ minutes, la roue tourne de $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$. En $t = 0$ : $h = 65 - 60 = 5$ m — le quai d’embarquement, en bas (hauteur du moyeu moins le rayon). Le signe moins vous place *au-dessous* du moyeu lorsque l’angle parcouru est nul.

**7.** $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (hauteur du moyeu) ; $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (le sommet) ; $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m.

**8.** $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ donne $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$ : première solution $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$, c’est-à-dire $t = 10$ minutes.

**9.** $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ pour $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$, c’est-à-dire $t \in \intcc{10}{20}$ : dix minutes du tour au-dessus de $95$ m, symétriques autour du sommet atteint à $t = 15$.

**10.** Première minute :

$$
h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right)
\approx 1.3 \text{ m}.
$$

Entre les minutes $7$ et $8$ :

$$
60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right)
\approx 12.5 \text{ m}
$$

— près de dix fois plus. La hauteur varie le plus vite au passage du niveau du moyeu et stagne près du bas et du haut : la sinusoïde est raide en son [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) et plate à ses extrêmes.

**11.** Rayon $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, moyeu à $4 + 18 = 22$ m, période $12$ min : $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$.

**12.** [Maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $7 + 3 = 10$ m lorsque $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$ : pour la première fois à $t = 3$ (3 h) ; [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $4$ m pour la première fois à $t = 9$ (9 h) ; période $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ heures.

**13.** $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ pour $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$ : $t \in \intcc{1}{5}$ — une fenêtre de quatre heures, de 1 h à 5 h, qui se rouvre une période plus tard, $t \in \intcc{13}{17}$ (de 13 h à 17 h).

**14.** La symétrie par rapport à l’axe vertical envoie le point d’angle $t$ sur le point d’angle $\pi - t$ en conservant l’ordonnée : $\sin(\pi - t) = \sin t$. Le demi-tour de centre l’origine envoie $t$ sur $\pi + t$ et change les deux [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de signe : $\cos(\pi + t) = -\cos t$. Et la symétrie par rapport à la diagonale échange [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) et ordonnée : $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — le « co » des angles [complémentaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-operations).

**15.** $\sin(-t) = -\sin t$ : [impaire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity) (symétrie de sa courbe par demi-tour) ; $\cos(-t) = \cos t$ : paire (miroir). Et $\sin t + t^3$ est une somme de deux [fonctions impaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity) : [impaire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity).

**16.** Factorisation : $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$ : $\sin t = 1$ donne $t = \frac\pi2$ ; $\sin t = -\frac12$ donne $t = \frac{7\pi}{6}$ et $t = \frac{11\pi}{6}$. Trois solutions sur le cercle.

**17.** $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$. Donc $\sin(1) \approx 0.841$ tandis que $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$ : un facteur de près de $50$. Morale : vérifier le mode affiché avant de croire le moindre résultat trigonométrique.

**18.** L’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) égale l’ordonnée sur la diagonale : $t = \frac\pi4$ et $t = \frac{5\pi}{4}$.

**19.** $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ contre $0.1$ : erreur relative d’environ $0.17\,\%$. Pour les petits angles, la corde épouse l’arc — et la limite $\frac{\sin t}{t} \to 1$ de l’an prochain n’est autre que cette observation érigée en théorème.

**20.** Le [radian](#def-g11-trigo-radian) : l’angle est l’arc sur le cercle unité, si bien que les angles se calculent comme des longueurs. [Cosinus](#def-g11-trigo-cossin) et [sinus](#def-g11-trigo-cossin) : les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de l’aiguille — son ombre au sol, sa hauteur au mur. Symétries du cercle : tout le catalogue des identités, lu sur des miroirs et des demi-tours. [Équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\cos t = c$ : l’horaire de l’horloge, le cercle montrant toutes les solutions d’un coup. Costumes : la roue portait $65 - 60\cos$, la marée portait $7 + 3\sin$ — même horloge, mêmes mathématiques.