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title: "Vecteurs et droites dans le plan"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 15
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan
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# Chapitre 15 — Vecteurs et droites dans le plan

Les [vecteurs](#def-g11-vect-vector) encodent des déplacements ; les droites sont leurs trajectoires. Le nouvel outil clé de ce chapitre est le *[déterminant](#def-g11-vect-det)*, un seul nombre qui décide si deux [vecteurs](#def-g11-vect-vector) sont [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) — et, de là, produit des [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de droites et tranche les questions d’alignement et de parallélisme par pure computation. Les mêmes idées s’étendent à l’espace dans le [Chapitre 31](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/31-vecteurs-droites-et-plans-de-lespace#ch-g12-space).

## 15.1 Vecteurs : un rappel

**Définition 15.1 (Vecteur, coordonnées).**

Un *vecteur* $\vec u$ représente un déplacement : toutes les flèches de même direction, même sens et même longueur représentent le même vecteur. Dans un [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), $\vec u\,(x, y)$ enregistre le déplacement ($x$ horizontalement, $y$ verticalement) ; pour des points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$,

$$
\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).
$$

Les vecteurs s’additionnent coordonnée par coordonnée, et $\lambda\vec u$ a pour [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $(\lambda x, \lambda y)$.

**Proposition 15.2 (Milieu).**

Le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) $M$ du segment $[AB]$ a pour [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

**Démonstration.** $M$ est caractérisé par $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : coordonnée par coordonnée, $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$, donc $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, et de même pour $y_M$. ∎

## 15.2 Colinéarité et déterminant

**Définition 15.3 (Vecteurs colinéaires).**

Deux [vecteurs](#def-g11-vect-vector) sont *colinéaires* si l’un est un multiple scalaire de l’autre : $\vec v = \lambda \vec u$ pour un certain $\lambda \in \R$ (ou $\vec u = \vec 0$). Géométriquement : ils ont la même direction, ou l’un d’eux est nul.

**Définition 15.4 (Déterminant).**

Le *déterminant* de $\vec u\,(x, y)$ et $\vec v\,(x', y')$ est

$$
\det(\vec u, \vec v) =
\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}
= x y' - x' y .
$$

**Théorème 15.5 (Critère de colinéarité).**

Deux [vecteurs](#def-g11-vect-vector) $\vec u$ et $\vec v$ sont [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) si et seulement si $\det(\vec u, \vec v) = 0$.

**Démonstration.** ($\Rightarrow$) Si $\vec v = \lambda\vec u$, alors $x' = \lambda x$ et $y' = \lambda y$, donc $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ; si $\vec u = \vec 0$, le [déterminant](#def-g11-vect-det) est trivialement $0$.

($\Leftarrow$) Supposons $xy' - x'y = 0$ et $\vec u \neq \vec 0$, disons $x \neq 0$ (le cas $y \neq 0$ est symétrique). Poser $\lambda = \frac{x'}{x}$. Alors $x' = \lambda x$ par construction, et la relation $xy' = x'y = \lambda x y$ donne, après division par $x \neq 0$, $y' = \lambda y$. D’où $\vec v = \lambda \vec u$. ∎

**Exemple 15.6.**

$\vec u\,(3, -2)$ et $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$, [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) (en effet $\vec v = -2\vec u$). $\vec u\,(3, -2)$ et $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$, non [colinéaires](#def-g11-vect-collinear).

**Méthode 15.7 (Alignement de trois points).**

$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) : calculer les deux [vecteurs](#def-g11-vect-vector) et vérifier $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$.

## 15.3 Équations cartésiennes de droites

**Définition 15.8 (Vecteur directeur).**

Un *vecteur directeur* d’une droite $d$ est tout [vecteur](#def-g11-vect-vector) non nul $\vec u$ tel que $\vect{AB}$ est [colinéaire](#def-g11-vect-collinear) à $\vec u$ pour tous points $A, B$ de $d$.

**Théorème 15.9 (Équation cartésienne).**

Une droite de [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$ admet une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la forme

$$
ax + by + c = 0
\qquad (a, b) \neq (0, 0).
$$

Réciproquement, toute telle [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) décrit une droite de [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(-b, a)$.

**Démonstration.** Soit $d$ passant par $A(x_A, y_A)$ de direction $\vec u\,(-b, a)$. Un point $M(x, y)$ est sur $d$ exactement lorsque $\vect{AM}$ est [colinéaire](#def-g11-vect-collinear) à $\vec u$, c’est-à-dire ([Théorème 15.5](#thm-g11-vect-collinearity))

$$
0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr)
= (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A)
= ax + by - (a x_A + b y_A),
$$

une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la forme annoncée avec $c = -(a x_A + b y_A)$. Réciproquement, les solutions de $ax + by + c = 0$ avec, disons, $b \neq 0$ sont les points $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : en soustrayant deux d’entre eux, toute corde est [colinéaire](#def-g11-vect-collinear) à $(-b, a)$, et une solution existe toujours — c’est la droite passant par elle de direction $(-b, a)$. ∎

**Méthode 15.10 (Droite par deux points).**

Pour trouver une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la droite $(AB)$ : calculer le [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ; l’identifier à $(-b, a)$, c’est-à-dire prendre $a = y_B - y_A$ et $b = -(x_B - x_A)$ ; déterminer $c$ en injectant les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $A$.

**Exemple 15.11.**

Droite par $A(1, 2)$ et $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$, donc $a = 1$, $b = -3$, et l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) est $x - 3y + c = 0$. En injectant $A$ : $1 - 6 + c = 0$, donc $c = 5$. [Équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : $x - 3y + 5 = 0$. Vérification avec $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$.

**Remarque 15.12.**

Lorsque $b \neq 0$, l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) peut se résoudre en $y$ : $y = mx + p$ avec [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $m = -\frac ab$. La forme cartésienne $ax + by + c = 0$ est plus générale : elle couvre aussi les droites verticales ($b = 0$), qui n’ont pas de [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine).

![La droite x - 3y + 5 = 0 de l’, son vecteur directeur u = AB (rouge, ici réduit de moitié), et les deux points utilisés pour construire l’équation.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-vect/fig-0c3d7a0cf8c8.svg)

*La droite $x - 3y + 5 = 0$ de l’[Exemple 15.11](#ex-g11-vect-twopoints), son [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) $\vec u = \vect{AB}$ (rouge, ici réduit de moitié), et les deux points utilisés pour construire l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation).*

## 15.4 Représentation paramétrique

**Définition 15.13 (Représentation paramétrique).**

La droite passant par $A(x_A, y_A)$ de direction $\vec u\,(\alpha, \beta)$ est l’ensemble des points

$$
M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .
$$

Le nombre $t$ est le *paramètre* : chaque valeur de $t$ produit un point de la droite, comme si l’on se déplaçait le long d’elle à vitesse constante $\vec u$.

**Exemple 15.14.**

La droite de l’[Exemple 15.11](#ex-g11-vect-twopoints) est aussi $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne $B$. En éliminant $t$ ($t = y - 2$, donc $x = 1 + 3(y-2)$) on retrouve $x - 3y + 5 = 0$.

## 15.5 Positions relatives de deux droites

**Proposition 15.15 (Parallèles ou sécantes).**

Deux droites de [vecteurs directeurs](#def-g11-vect-direction) $\vec u$ et $\vec v$ sont parallèles si et seulement si $\det(\vec u, \vec v) = 0$. Sous forme d’[équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : $d : ax + by + c = 0$ et $d' : a'x + b'y + c' = 0$ sont parallèles si et seulement si $ab' - a'b = 0$. Des droites non parallèles se coupent en exactement un point.

**Démonstration.** Le parallélisme signifie des directions [colinéaires](#def-g11-vect-collinear), ce qui est le [Théorème 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ; avec $\vec u\,(-b, a)$ et $\vec v\,(-b', a')$, le [déterminant](#def-g11-vect-det) est $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$. Si les droites ne sont pas parallèles, résoudre les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) simultanément (par substitution ou combinaison) conduit à une unique solution : le système se comporte comme un système $2 \times 2$ à [déterminant](#def-g11-vect-det) non nul. ∎

**Méthode 15.16 (Intersection de deux droites).**

Résoudre le système des deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : isoler une inconnue dans une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) et substituer dans l’autre, ou combiner les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) pour éliminer une inconnue. Toujours vérifier le point obtenu dans *les deux* [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation).

**Exemple 15.17.**

Intersecter $d: x - 3y + 5 = 0$ et $d': 2x + y - 4 = 0$. De $d'$ : $y = 4 - 2x$. En substituant dans $d$ :

$$
x - 3(4 - 2x) + 5 = 0
\iff x - 12 + 6x + 5 = 0
\iff 7x = 7
\iff x = 1,
$$

puis $y = 2$. Les droites se coupent en $(1, 2)$. Vérification dans $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$.

## 15.6 Exercices

**Exercice 15.1 ★.**

Étant donnés $A(2, -1)$, $B(5, 3)$ et $C(-1, 1)$, calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$, $\vect{AC}$, $\vect{AB} + \vect{AC}$ et $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$, et le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$.

**Solution de Exercice 15.1.**

$\vect{AB}\,(3, 4)$, $\vect{AC}\,(-3, 2)$, $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$, $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$. Le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ est $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

**Exercice 15.2 ★.**

Les [vecteurs](#def-g11-vect-vector) sont-ils [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) ?

$$
\vec u\,(4, -6) \text{ et } \vec v\,(-2, 3); \qquad
\vec u\,(2, 5) \text{ et } \vec v\,(3, 7); \qquad
\vec u\,(0, 3) \text{ et } \vec v\,(0, -8).
$$

**Solution de Exercice 15.2.**

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) (en effet $\vec v = -\frac12 \vec u$).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : non [colinéaires](#def-g11-vect-collinear).

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) (tous deux verticaux).

**Exercice 15.3 ★.**

Trouver une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésienne de la droite passant par $A(2, 1)$ de [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) $\vec u\,(3, -1)$, puis de la droite passant par $B(0, 4)$ et $C(2, 0)$.

**Solution de Exercice 15.3.**

Par $A(2,1)$, direction $(3, -1)$ : identifier $(-b, a) = (3, -1)$ donne $a = -1$, $b = -3$, donc $-x - 3y + c = 0$ ; en injectant $A$ : $-2 - 3 + c = 0$, $c = 5$. En multipliant par $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$.

Par $B(0,4)$ et $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$, donc $a = -4$, $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ; en injectant $B$ : $-8 + c = 0$, $c = 8$. En simplifiant par $-2$ : $2x + y - 4 = 0$. Vérification avec $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$.

**Exercice 15.4 ★.**

Pour la droite $d: 3x - 2y + 6 = 0$, donner un [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction), les [intersections](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) avec les deux axes de [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), et décider si les points $P(2, 6)$ et $Q(1, 4)$ appartiennent à $d$.

**Solution de Exercice 15.4.**

Un [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) est $(-b, a) = (2, 3)$. [Intersections](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) : $x = 0$ donne $y = 3$, point $(0, 3)$ ; $y = 0$ donne $x = -2$, point $(-2, 0)$. Pour $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$, donc $P \in d$. Pour $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$, donc $Q \notin d$.

**Exercice 15.5 ★★.**

Les points $A(1, 2)$, $B(4, 8)$, $C(-2, -4)$ sont-ils alignés ? Même question pour $D(0, 1)$, $E(2, 4)$, $F(5, 9)$.

**Solution de Exercice 15.5.**

$\vect{AB}\,(3, 6)$ et $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ et $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : $D$, $E$, $F$ ne sont pas alignés.

**Exercice 15.6 ★★.**

Déterminer le point d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion), s’il existe :

$$
d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ et }\ d': x - y + 1 = 0;
\qquad
e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ et }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .
$$

**Solution de Exercice 15.6.**

Premier couple : en additionnant les deux [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation), $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$, donc $x = 2$, puis $y = x + 1 = 3$ : elles se coupent en $(2, 3)$ (vérification : $4 + 3 - 7 = 0$).

Second couple : $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$, donc les droites sont parallèles ; multiplier $e$ par $-2$ donne $-2x + 4y - 6 = 0$, qui diffère de $e'$ ($-6 \neq 1$) : strictement parallèles, pas d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion).

**Exercice 15.7 ★★.**

Donner une représentation paramétrique de la droite $d: 2x - y + 3 = 0$, et une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésienne de la droite $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$.

**Solution de Exercice 15.7.**

Pour $d: 2x - y + 3 = 0$ : direction $(-b, a) = (1, 2)$ et le point $(0, 3)$ est sur $d$, donc $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$.

Pour la droite paramétrique par $(1, -3)$ de direction $(2, 1)$ : $a = 1$, $b = -2$, donc $x - 2y + c = 0$ ; en injectant $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$, $c = -7$. [Équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : $x - 2y - 7 = 0$ (vérification $t = 1$, point $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$).

**Exercice 15.8 ★★.**

Trouver l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la droite passant par $P(1, -2)$ parallèle à $d: 4x - 3y + 2 = 0$, et la valeur de $m$ pour laquelle la droite $mx + 2y - 5 = 0$ est parallèle à $d$.

**Solution de Exercice 15.8.**

Une droite parallèle a le même $(a, b)$ : $4x - 3y + c = 0$ ; par $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$, donc $c = -10$ et la droite est $4x - 3y - 10 = 0$.

Le parallélisme de $mx + 2y - 5 = 0$ avec $d$ exige $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$, donc $m = -\frac83$.

**Exercice 15.9 ★★.**

Soient $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ et $C(1, -4)$. Trouver une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésienne de la *[médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-median)* du triangle $ABC$ issue de $C$ (la droite joignant $C$ au [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$).

**Solution de Exercice 15.9.**

Le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ est $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right)
= (1, 1)$. La [médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-median) est la droite $(CM)$ avec $C(1, -4)$ : les deux points ont pour [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $1$, donc la [médiane](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-median) est la droite verticale

$$
x - 1 = 0 .
$$

**Exercice 15.10 ★★.**

Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ les [vecteurs](#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(m, 2)$ et $\vec v\,(3, m - 1)$ sont-ils [colinéaires](#def-g11-vect-collinear) ?

**Solution de Exercice 15.10.**

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$. Il s’annule lorsque $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$, [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) $m = \frac{1 \pm 5}{2}$, c’est-à-dire $m = 3$ ou $m = -2$.

**Exercice 15.11 ★★★.**

Soit $ABCD$ un parallélogramme, $I$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$, et $J$ le point défini par $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$. En travaillant dans le [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) où $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$ (donc $C(1,1)$) :

1. Calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de $I$ et $J$ .
2. Montrer que $A$ , $J$ et $C$ sont alignés. (Un joli fait : la droite $(DI)$ coupe la diagonale $(AC)$ au tiers de sa longueur depuis $A$ .)

**Solution de Exercice 15.11.**

*1.* $I = \left(\frac12, 0\right)$. Alors $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ et $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$, donc

$$
J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).
$$

*2.* $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ et $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$, donc $A$, $J$, $C$ sont alignés — en fait $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : la droite $(DI)$ coupe la diagonale $(AC)$ à exactement un tiers de sa longueur depuis $A$.

## 15.7 Problème : routes de collision et coordonnées bien choisies

**Problème 15.1.**

Devoir du week-end — se croiser n’est pas entrer en collision : distance minimale d’approche en mer, et des théorèmes démontrés en choisissant le bon repère

Les routes rectilignes de deux navires se croisent — les navires doivent-ils pour autant entrer en collision ? Non, sauf s’ils atteignent le point de croisement *au même instant* : une trajectoire est un ensemble de points, un mouvement est paramétré, et confondre les deux a coulé de vrais navires. Ce problème fait tourner un petit service de trafic maritime sur des droites paramétrées ([Définition 15.13](#def-g11-vect-parametric)), puis passe à la géométrie pure avec l’autre superpouvoir des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) : *les choisir* habilement, comme à l’[Exercice 15.11](#exo-g11-vect-11), pour que les théorèmes classiques se démontrent tout seuls.

**Partie I — La droite, de trois façons.**

1. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1, 2)$ et de [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) $\vec u(3, -1)$ , puis éliminer le paramètre pour obtenir une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésienne.
2. Pour la droite $2x - 5y + 3 = 0$ : lire un [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) ( [Théorème 15.9](#thm-g11-vect-cartesian) ), trouver un point, et écrire une représentation paramétrique.
3. Calculer le point d’ [intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) des deux droites des questions 1 et 2 ( [Méthode 15.16](#met-g11-vect-intersection) ).
4. Confirmer à l’aide du [déterminant](#def-g11-vect-det) ( [Théorème 15.5](#thm-g11-vect-collinearity) ) que ces deux droites devaient se couper ; puis montrer que $2x - 5y + 3 = 0$ et $-4x + 10y + 1 = 0$ sont strictement parallèles.
5. Les points $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(11, 7)$ sont-ils alignés ( [Méthode 15.7](#met-g11-vect-alignment) ) ?

**Partie II — Le service de trafic maritime.** À l’instant $t$ (en heures), le navire $P$ est en $(2t,\ 3 + t)$ et le navire $Q$ en $(10 - t,\ 2t - 1)$ (distances en milles marins).

6. Déterminer les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésiennes des deux *trajectoires* , et calculer leur point de croisement.
7. À quel instant chaque navire passe-t-il au point de croisement ? Y a-t-il collision ? Énoncer en une phrase l’avertissement général : trajectoires qui se croisent contre mouvements qui se rencontrent.
8. Calculer le carré de la distance $D^2(t)$ entre les navires à l’instant $t$ , et le réduire à un trinôme du second degré en $t$ . À quel instant les navires sont-ils au plus près, et à quelle distance passent-ils l’un de l’autre (technique du sommet, [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#pb-g11-quad-1) ) ?
9. Le règlement impose une séparation d’au moins $1$ mille. Est-elle violée ? Si oui, résoudre $D^2(t) < 1$ et donner la durée de l’infraction.
10. Expliquer pourquoi, pour *deux* navires quelconques suivant des routes rectilignes à vitesse constante, $D^2(t)$ est toujours une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) polynôme du second degré de $t$ — de sorte que la « distance minimale d’approche » est toujours un calcul de sommet.
11. Interception : une vedette part de l’origine à $t = 0$ avec le [vecteur](#def-g11-vect-vector) vitesse constant $(a, b)$ et doit rejoindre le navire $P$ exactement à $t = 3$ . Calculer le couple $(a, b)$ nécessaire et la vitesse de la vedette.

**Partie III — Des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) bien choisies.** On travaille dans le [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) de l’[Exercice 15.11](#exo-g11-vect-11) : le parallélogramme $ABCD$ devient $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ ; on note $I$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ et $K$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[CD]$.

12. Calculer une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésienne de la droite $(DI)$ .
13. Couper $(DI)$ par la diagonale $(AC)$ : on retrouve le fait de l’ [Exercice 15.11](#exo-g11-vect-11) — la coupure se situe exactement au tiers de la diagonale.
14. Passons à la droite $(BK)$ : déterminer son [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) , la couper par $(AC)$ , et conclure le théorème classique complet : *les céviennes $(DI)$ et $(BK)$ partagent la diagonale $(AC)$ en trois parts égales* .
15. Pourquoi était-il légitime de démontrer le théorème dans ce seul [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) particulier ? (Que conserve le choix des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) , et de quoi l’énoncé parle-t-il ?) Répondre en deux ou trois phrases.
16. Encore un partage en trois, pour s’exercer : soit $E$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ . En quel point la droite $(AE)$ coupe-t-elle l’ *autre* diagonale $(DB)$ ?

**Partie IV — Énigmes de position.**

17. Les trois droites $x + y = 4$ , $2x - y = 2$ , $x - 2y = -2$ sont-elles concourantes ? (En couper deux, tester la troisième.)
18. Pour tout réel $m$ , on note $d_m$ la droite $mx - y + 2 - 3m = 0$ . Montrer que *toutes* les $d_m$ passent par un même [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) . (Regrouper les termes en $m$ .)
19. Dans la famille $(d_m)$ : quel membre est parallèle à $y = 2x + 7$ ? Lequel passe par l’origine ?
20. Pour finir — les trois costumes d’une droite : cartésien (test d’appartenance en une substitution), réduit ( [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) et courbe à vue), paramétrique (mouvement, horaires, interception) ; le [déterminant](#def-g11-vect-det) comme oracle du parallélisme ; et le [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) bien choisi comme fabrique à théorèmes. Une phrase pour chacun.

**Solution de Problème 15.1.**

**1.** $x = 1 + 3t$, $y = 2 - t$. De la seconde on tire $t = 2 - y$ ; en substituant : $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$, d’où l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) cartésienne $x + 3y - 7 = 0$.

**2.** Pour $ax + by + c = 0$, un [vecteur directeur](#def-g11-vect-direction) est $(-b, a)$ : ici $(5, 2)$. Un point : $y = 1$ donne $x = 1$, soit $(1, 1)$. Représentation paramétrique : $x = 1 + 5t$, $y = 1 + 2t$.

**3.** En reportant $x = 7 - 3y$ dans $2x - 5y + 3 = 0$ : $14 - 6y - 5y + 3 = 0$, donc $y = \frac{17}{11}$ et $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : le point $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$.

**4.** Directions $(5, 2)$ et $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : les droites se coupent, comme on l’a vu. Pour le second couple : les directions $(5, 2)$ et $(10, 4)$ ont $\det = 0$ (parallèles), et doubler $2x - 5y + 3 = 0$ donne $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1
= 0$ : strictement parallèles.

**5.** $\vect{AB}(3, 2)$, $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : les points sont alignés.

**6.** $P$ : de $x = 2t$ et $y = 3 + t$ on tire $y = 3 + \frac x2$. $Q$ : de $x = 10 - t$ on tire $t = 10 - x$, donc $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$. Croisement : $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ donne $x = 6.4$ et $y = 6.2$ : les trajectoires se croisent en $(6.4,\ 6.2)$.

**7.** $P$ y passe lorsque $2t = 6.4$, soit $t = 3.2$ h. $Q$ lorsque $10 - t = 6.4$, soit $t = 3.6$ h. Vingt-quatre minutes d’écart : pas de collision. Avertissement : une carte marine montre des *trajectoires* ; seules les horloges du paramétrage disent si deux mouvements occupent le même point au même instant.

**8.** $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 =
10t^2 - 68t + 116$ : sommet en $t = \frac{68}{20} = 3.4$ h, où $D^2 = 0.4$ : distance minimale d’approche $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ mille à $t = 3.4$.

**9.** Le règlement est violé : $0.63 < 1$. $D^2(t) < 1$ s’écrit $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$, [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : les navires sont trop proches de $t \approx 3.16$ à $t \approx 3.64$ — environ $29$ minutes d’infraction. L’un des deux doit changer de cap.

**10.** Chaque coordonnée de chaque navire est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) *affine* de $t$, donc chaque différence de [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) est affine, et $D^2$ — somme de deux carrés de [fonctions affines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) — est un polynôme du second degré (à coefficient dominant positif ou nul). La distance minimale d’approche se lit donc toujours sur un sommet.

**11.** Rejoindre $P$ à $t = 3$, c’est-à-dire en $(6, 6)$ : $(3a, 3b) = (6, 6)$ donne $(a, b) = (2, 2)$, et une vitesse $\sqrt{8} \approx 2.8$ nœuds.

**12.** $D(0, 1)$, $I\left(\frac12, 0\right)$ : direction $\left(\frac12, -1\right)$, c’est-à-dire $(1, -2)$ : [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 1$.

**13.** $(AC)$ : $y = x$. Alors $2x + x = 1$, donc $x = \frac13$ : le point $\left(\frac13, \frac13\right)$, au tiers du chemin de $A$ vers $C$.

**14.** $B(1, 0)$, $K\left(\frac12, 1\right)$ : direction $\left(-\frac12, 1\right)$, [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $2x + y = 2$. Avec $y = x$ : $x = \frac23$, soit le point $\left(\frac23, \frac23\right)$. Les deux céviennes coupent $(AC)$ en ses deux points de trisection : théorème démontré, deux fois trois lignes de calcul.

**15.** Tout parallélogramme est envoyé sur le carré unité en choisissant $A$ comme origine et $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ comme unités des deux axes. Ce choix conserve tout ce dont parle le théorème — milieux, alignements et rapports le long d’une droite donnée (tout cela s’exprime avec des [vecteurs](#def-g11-vect-vector) et des scalaires) — si bien que démontrer l’énoncé dans le carré le démontre pour tout parallélogramme. (Il ne transporterait en revanche *ni* les longueurs *ni* les angles : ceux-là, le [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) les déforme.)

**16.** $E\left(1, \frac12\right)$ : la droite $(AE)$ a pour [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y = \frac x2$. La diagonale $(DB)$, de $(0,1)$ à $(1,0)$ : $y = 1 - x$. [Intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) : $\frac x2 = 1 - x$, donc $x = \frac23$ : le point $\left(\frac23, \frac13\right)$ — encore un point de trisection, cette fois de l’autre diagonale. Les céviennes des milieux aiment les tiers.

**17.** Les deux premières : $x + y = 4$ et $2x - y = 2$ donnent $3x = 6$, soit $(2, 2)$. La troisième : $2 - 4 = -2$ : vérifiée. Elles sont concourantes en $(2, 2)$.

**18.** $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : pour que l’égalité vaille pour *tout* $m$, il faut $x = 3$ et $y = 2$ — et en effet toute $d_m$ contient $(3, 2)$. C’est un faisceau de droites passant par un même point, une droite par [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $m$.

**19.** Parallèle à $y = 2x + 7$ : [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $m = 2$, soit la droite $2x - y - 4 = 0$. Passant par l’origine : $2 - 3m = 0$, soit $m = \frac23$.

**20.** Cartésienne : on substitue un point et l’appartenance est tranchée. Réduite : [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) et [ordonnée à l’origine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) visibles, courbe immédiate. Paramétrique : l’horloge est incluse — collisions, distance minimale d’approche, interception. Le [déterminant](#def-g11-vect-det) : un produit en croix, et le parallélisme est décidé. Le [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) bien choisi : un parallélogramme devient un carré unité, et un théorème classique de trisection devient trois [intersections](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) de droites.