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title: "Le produit scalaire dans le plan"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 16
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/16-le-produit-scalaire-dans-le-plan
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# Chapitre 16 — Le produit scalaire dans le plan

Le [produit scalaire](#def-g11-scal-dot) attache un *nombre* à une paire de [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector), et ce nombre voit la géométrie : il s’annule exactement pour des directions perpendiculaires, et il mesure angles et longueurs. C’est le moteur derrière la loi des cosinus, les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de cercles, et les calculs de perpendicularité. Le même outil, dans l’espace, est le sujet du [Chapitre 31](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/31-vecteurs-droites-et-plans-de-lespace#ch-g12-space).

## 16.1 Définition et premiers calculs

**Définition 16.1 (Produit scalaire).**

Le *produit scalaire* de deux [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vec u$ et $\vec v$ est le nombre

$$
\vec u \cdot \vec v
= \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2
- \norm{\vec v}^2\right),
$$

où $\norm{\vec u}$ désigne la longueur (*norme*) de $\vec u$.

**Théorème 16.2 (Les quatre faces du produit scalaire).**

Soient $\vec u\,(x, y)$ et $\vec v\,(x', y')$ des [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) non nuls, et $\theta$ l’angle entre eux. Alors

1. *([coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system))* $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ;
2. *([cosinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin))* $\vec u \cdot \vec v =  \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ ;
3. *(projection)* $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v'$ , où $\vec v'$ est la projection [orthogonale](#def-g11-scal-orthogonal) de $\vec v$ sur la direction de $\vec u$ ; si $\vec u = \vect{OA}$ et $\vec v = \vect{OB}$ , alors $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}$ , un produit de longueurs algébriques, où $H$ est le pied de la perpendiculaire issue de $B$ à la droite $(OA)$ ;
4. *([normes](#def-g11-scal-dot))* la formule définissante de la [Définition 16.1](#def-g11-scal-dot) .

**Démonstration de 1 et 2.** *1.* En [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2$ (Pythagore) et $\vec u + \vec v$ a pour [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $(x + x', y + y')$, donc

$$
\begin{align*}
2\,\vec u \cdot \vec v
&= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\
&= 2xx' + 2yy',
\end{align*}
$$

après développement des carrés et annulations.

*2.* Choisir le [repère](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) pour que $\vec u$ pointe le long de l’axe des $x$ positifs :

$$
\vec u\,(\norm{\vec u}, 0)
\quad\text{et}\quad
\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)
$$

([Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#ch-g11-trigo)). La formule 1 donne alors $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0$. La formule 3 lit le même calcul : la projection de $\vec v$ sur l’axe des $x$ a pour longueur algébrique $\norm{\vec v}\cos\theta =
\overline{OH}$. ∎

![La vue en projection : u v = OA × OH, où H est le pied de la perpendiculaire depuis l’extrémité de v. Le segment orange OH a pour longueur algébrique v.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c5a833d29518.svg)

*La vue en projection : $\vec u \cdot \vec v = \overline{OA}
\times \overline{OH}$, où $H$ est le pied de la perpendiculaire depuis l’extrémité de $\vec v$. Le segment orange $OH$ a pour longueur algébrique $\norm{\vec v}\cos\theta$.*

**Exemple 16.3.**

$\vec u\,(3, 1)$ et $\vec v\,(2, -4)$ : $\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2$. Les [normes](#def-g11-scal-dot) sont $\norm{\vec u} = \sqrt{10}$ et $\norm{\vec v} = \sqrt{20}$, donc $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{10}$ : l’angle est un peu inférieur à $82^\circ$.

**Proposition 16.4 (Règles algébriques).**

Pour tous [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) et tout $\lambda \in \R$ :

$$
\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad
\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot
\vec w, \qquad
(\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
$$

$$
\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2,
\qquad
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2 .
$$

**Démonstration.** Tout suit de la formule en [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) : par exemple $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') =
(xx' + yy') + (xx'' + yy'')$. La dernière identité développe $\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v)$ en utilisant les trois premières règles — le [produit scalaire](#def-g11-scal-dot) se comporte exactement comme un produit ordinaire, donc les identités algébriques usuelles s’appliquent aux [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector). ∎

## 16.2 Orthogonalité

**Définition 16.5 (Vecteurs orthogonaux).**

Deux [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) sont *orthogonaux*, noté $\vec u \perp \vec v$, si $\vec u \cdot \vec v = 0$.

**Remarque 16.6.**

Pour des [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) non nuls, la formule 2 du [Théorème 16.2](#thm-g11-scal-faces) montre $\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff$ les directions sont perpendiculaires. Le [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) nul est [orthogonal](#def-g11-scal-orthogonal) à tout.

**Exemple 16.7.**

$\vec u\,(3, 2)$ et $\vec v\,(-4, 6)$ : $\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 =
0$ : [orthogonaux](#def-g11-scal-orthogonal). En général, $\vec u\,(a, b)$ est toujours [orthogonal](#def-g11-scal-orthogonal) à $\vec v\,(-b, a)$ — une rotation d’un quart de tour.

## 16.3 La loi des cosinus

**Théorème 16.8 (Loi des cosinus).**

Dans un triangle $ABC$ de côtés $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ et d’angle $\widehat A$ au sommet $A$ :

$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .
$$

**Démonstration.** Écrire $\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}$ et [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) avec la [Proposition 16.4](#prop-g11-scal-rules) :

$$
a^2 = \norm{\vect{BC}}^2
= \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2
= b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.
$$

Par la formule du [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin), $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A$. ∎

**Remarque 16.9.**

Lorsque $\widehat A$ est un angle droit, $\cos\widehat A = 0$ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore $a^2 = b^2 + c^2$ : c’est Pythagore avec un terme correctif pour les angles non droits.

![La loi des cosinus : connaître deux côtés b, c et l’angle entre eux détermine le troisième côté a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-scal/fig-c3343d6ea45e.svg)

*La loi des cosinus : connaître deux côtés $b$, $c$ et l’angle entre eux détermine le troisième côté $a$.*

**Exemple 16.10.**

Deux côtés d’un triangle mesurent $b = 5$ et $c = 8$, enfermant un angle $\widehat A = \frac\pi3$. Alors

$$
a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,
$$

donc $a = 7$.

## 16.4 Applications : cercles et droites perpendiculaires

**Proposition 16.11 (Cercle de diamètre donné).**

Un point $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si

$$
\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .
$$

**Démonstration.** Si $M \neq A, B$, la condition dit que l’angle en $M$ dans le triangle $AMB$ est droit, et les points qui voient un segment sous un angle droit sont exactement ceux du cercle de ce diamètre. Voici une preuve directe : soit $O$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ et $r = \frac{AB}{2}$. Alors $\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA}$ et $\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}$, donc

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,
$$

qui s’annule exactement lorsque $MO = r$, c’est-à-dire lorsque $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$. ∎

**Proposition 16.12 (Vecteur normal d’une droite).**

Le [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vec n\,(a, b)$ est [orthogonal](#def-g11-scal-orthogonal) à tout [vecteur directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-direction) de la droite $d : ax + by + c = 0$ ; on dit que $\vec n$ est un *vecteur normal* de $d$. Deux droites sont perpendiculaires exactement lorsque leurs [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) normaux (ou directeurs) sont [orthogonaux](#def-g11-scal-orthogonal).

**Démonstration.** Un [vecteur directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-direction) de $d$ est $\vec u\,(-b, a)$ ([Théorème 15.9](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#thm-g11-vect-cartesian)), et $\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0$. ∎

**Méthode 16.13 (Utiliser les vecteurs normaux).**

- Droite par $A$ de normale $\vec n\,(a,b)$ : écrire $\vect{AM} \cdot \vec n = 0$ , qui se développe en $ax + by + c = 0$ avec $c$ déterminé par $A$ .
- Perpendicularité de $d: ax+by+c = 0$ et $d': a'x+b'y+c' = 0$ : vérifier $aa' + bb' = 0$ .

**Exemple 16.14.**

La droite par $P(2, -1)$ perpendiculaire à $d : 3x - y + 4 = 0$ : un [vecteur directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-direction) de $d$ est $(1, 3)$, qui sert de [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) *normal* de la perpendiculaire. [Équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) : $x + 3y + c = 0$ avec $2 - 3 + c = 0$, donc $c = 1$ : la droite est $x + 3y + 1 = 0$.

**Exemple 16.15 (Équation d’un cercle).**

Le cercle de centre $\Omega(1, 2)$ et de rayon $3$ est l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que $\Omega M^2 = 9$ :

$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .
$$

Réciproquement, $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ se réécrit, en complétant les carrés ([Chapitre 10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#ch-g11-quad)), comme $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ : le même cercle.

## 16.5 Exercices

**Exercice 16.1 ★.**

Calculer $\vec u \cdot \vec v$ pour

$$
\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad
\vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad
\norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
$$

**Solution de Exercice 16.1.**

$(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1$.

$(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0$ ([vecteurs orthogonaux](#def-g11-scal-orthogonal)).

$\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12
= 6$.

**Exercice 16.2 ★.**

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $6$. Calculer $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ et $\vect{AB} \cdot \vect{BC}$.

**Solution de Exercice 16.2.**

$\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18$.

Les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ font un angle de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (les placer bout à bout en $B$), donc $\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18$.

**Exercice 16.3 ★.**

Pour quelle valeur de $t$ les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(3, t)$ et $\vec v\,(t - 8, 1)$ sont-ils [orthogonaux](#def-g11-scal-orthogonal) ? Et pour quelle(s) valeur(s) de $t$ le [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vec u\,(t, 2)$ est-il [orthogonal](#def-g11-scal-orthogonal) à lui-même moins $\vec v\,(4, 2)$, c’est-à-dire $\vec u \perp (\vec u - \vec v)$ ?

**Solution de Exercice 16.3.**

$\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0$ donne $t = 6$.

$\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0)$, donc $\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t$, qui s’annule pour $t = 0$ ou $t = 4$.

**Exercice 16.4 ★.**

Calculer l’angle $\theta$ entre $\vec u\,(1, 2)$ et $\vec v\,(3, 1)$ (donner $\cos\theta$ exactement, puis $\theta$ au degré le plus proche).

**Solution de Exercice 16.4.**

$\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5$, $\norm{\vec u} = \sqrt5$, $\norm{\vec v} = \sqrt{10}$, donc

$$
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2}
= \frac{\sqrt2}{2},
$$

d’où $\theta = 45^\circ$ exactement.

**Exercice 16.5 ★★.**

Un triangle a pour côtés $b = 4$, $c = 6$ et pour angle $\widehat A = \frac{2\pi}{3}$ entre eux. Calculer le troisième côté $a$. Puis, dans un triangle de côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 4$, calculer $\cos\widehat A$ et décider si $\widehat A$ est aigu ou obtus.

**Solution de Exercice 16.5.**

$a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3}
= 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76$, donc $a = \sqrt{76} =
2\sqrt{19} \approx 8.7$.

Pour le second triangle, la loi des cosinus résolue pour l’angle donne

$$
\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
= \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,
$$

négatif : $\widehat A$ est obtus.

**Exercice 16.6 ★★.**

Soient $A(1, 1)$, $B(5, -1)$ et $C(3, 5)$. Calculer $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$ ; l’angle $\widehat A$ est-il droit ? Calculer les trois longueurs de côtés et vérifier avec la loi des cosinus.

**Solution de Exercice 16.6.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ et $\vect{AC}\,(2, 4)$ : $\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0$, donc l’angle en $A$ est droit. Côtés : $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{4 + 16} =
\sqrt{20}$, et $\vect{BC}\,(-2, 6)$ donne $BC = \sqrt{40}$. Cohérence : $BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2$, la loi des cosinus avec $\cos\widehat A = 0$ (Pythagore).

**Exercice 16.7 ★★.**

Donner une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle de centre $\Omega(-2, 3)$ et de rayon $5$. Puis déterminer le centre et le rayon du cercle

$$
x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
$$

**Solution de Exercice 16.7.**

Forme centre–rayon : $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Pour le second cercle, compléter les carrés :

$$
x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6
\iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6
\iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :
$$

centre $(3, -1)$, rayon $4$.

**Exercice 16.8 ★★.**

Soient $A(-3, 0)$ et $B(0, 2)$. En utilisant la [Proposition 16.11](#prop-g11-scal-diameter), trouver une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle de diamètre $[AB]$, et vérifier que l’origine $O(0,0)$ y est.

**Solution de Exercice 16.8.**

$M(x,y)$ est sur le cercle lorsque $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0$ avec $\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y)$ et $\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y)$ :

$$
(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .
$$

Pour l’origine : $0 + 0 + 0 - 0 = 0$, donc $O$ est sur le cercle — géométriquement, $\vect{OA}\,(-3,0)$ et $\vect{OB}\,(0,2)$ sont [orthogonaux](#def-g11-scal-orthogonal), donc $O$ voit $[AB]$ sous un angle droit. (En complétant les carrés : centre $\left(-\frac32, 1\right)$, rayon $\frac{\sqrt{13}}{2}$.)

**Exercice 16.9 ★★.**

Trouver une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la droite passant par $P(1, 3)$ perpendiculaire à $d : 2x + y - 7 = 0$, et les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) du pied $H$ de la perpendiculaire (l’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) des deux droites). En déduire la distance de $P$ à $d$.

**Solution de Exercice 16.9.**

La perpendiculaire par $P$ a le [vecteur directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-direction) de $d$, à savoir $(-1, 2)$, comme [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) normal : [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $-x + 2y + c = 0$ ; par $P(1,3)$ : $-1 + 6 + c = 0$, $c = -5$, donc $x - 2y + 5 = 0$.

[Intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) avec $d$ : de $2x + y = 7$, $y = 7 - 2x$ ; en substituant, $x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0$, donc $x = \frac95$, $y = \frac{17}5$ : $H\left(\frac95, \frac{17}5\right)$. Alors $\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right)$ et

$$
PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5}
= \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .
$$

**Exercice 16.10 ★★.**

En utilisant $\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 +
2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2$ et son analogue pour $\vec u - \vec v$, prouver l’*identité du parallélogramme* :

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2
= 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,
$$

et l’interpréter dans un parallélogramme (diagonales contre côtés).

**Solution de Exercice 16.10.**

En additionnant

$$
\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2
\quad\text{et}\quad
\norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v +
\norm{\vec v}^2,
$$

les termes croisés s’annulent et $\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 +
2\norm{\vec v}^2$. Dans un parallélogramme de côtés $\vec u$ et $\vec v$, les diagonales sont $\vec u + \vec v$ et $\vec u - \vec v$ : la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.

**Exercice 16.11 ★★★.**

Soient $A$ et $B$ deux points avec $AB = 4$, et $I$ le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$.

1. Montrer que pour tout point $M$ : $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4$ . (Insérer $I$ : $\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}$ .)
2. En déduire l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ .

**Solution de Exercice 16.11.**

*1.* Comme $I$ est le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint), $\vect{IB} = -\vect{IA}$ et $IA = 2$. Alors

$$
\vect{MA}\cdot\vect{MB}
= (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA})
= \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2
= MI^2 - 4 .
$$

*2.* La condition $\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12$ devient $MI^2 = 16$, c’est-à-dire $MI = 4$ : l’ensemble est le cercle de centre $I$ et de rayon $4$.

## 16.6 Problème : les deux cadeaux du produit scalaire

**Problème 16.1.**

Devoir du week-end — les formules d’addition tombent d’un produit scalaire, la distance à une droite d’un autre, et les trois hauteurs se rencontrent en prime

Le [produit scalaire](#def-g11-scal-dot) a des airs de comptabilité — on multiplie, on additionne — et pourtant il livre, presque gratuitement, deux trésors qui ont résisté à des siècles de chasse aux angles : les *formules d’addition* de la trigonométrie (calculer $\cos 15^\circ$ exactement !) et la *distance d’un point à une droite* en une seule fraction bien nette. En cadeau d’adieu, il démontre que les trois hauteurs de tout triangle passent par un même point. Les quatre visages du [Théorème 16.2](#thm-g11-scal-faces) seront tous appelés au service.

**Partie I — Aisance.**

1. Pour $\vec u(3, 4)$ et $\vec v(-1, 2)$ : calculer $\vec u \cdot \vec v$ , les deux [normes](#def-g11-scal-dot) et l’angle entre les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) (au dixième de degré).
2. Déterminer $k$ pour que $(2, k)$ et $(3, -4)$ soient [orthogonaux](#def-g11-scal-orthogonal) ( [Définition 16.5](#def-g11-scal-orthogonal) ).
3. Visage physique : on tire une luge sur $10$ m avec une force de $50$ N faisant un angle de $60^\circ$ avec le sol. Calculer le travail $W = \vec F \cdot \vec d$ .
4. Loi des [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin) ( [Théorème 16.8](#thm-g11-scal-cosines) ) : deux côtés de longueurs $5$ et $7$ encadrent un angle de $60^\circ$ ; déterminer exactement le troisième côté.
5. Réciproquement : un triangle a pour côtés $4$ , $6$ , $8$ . Calculer le [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin) de l’angle opposé au côté de longueur $8$ , classer cet angle, et le donner au dixième de degré.

**Partie II — Premier cadeau : les formules d’addition.** Soient $\vec u = (\cos a, \sin a)$ et $\vec v = (\cos b, \sin b)$ : deux [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) unitaires d’angles $a$ et $b$.

6. Calculer $\vec u \cdot \vec v$ de deux manières — une fois avec les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system), une fois avec les [normes](#def-g11-scal-dot) et l’angle entre les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) — et en déduire la formule mère : $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .$$
7. Remplacer $b$ par $-b$ (parités du [sinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin) et du [cosinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin) !) pour obtenir $\cos(a + b)$ .
8. Obtenir $\sin(a + b)$ à partir de l’identité des angles [complémentaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-operations) $\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right)$ appliquée à $x = a + b$ .
9. Enfin des valeurs exactes : calculer $\cos 15^\circ$ (sous la forme $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ ) et $\sin 75^\circ$ . Vérifier les deux numériquement.
10. Poser $b = a$ pour établir les formules de duplication : $\cos 2a$ (sous ses trois formes) et $\sin 2a$ .
11. À partir de $\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a$ , calculer $\sin^2 15^\circ$ , puis $\sin 15^\circ$ sous forme de radical emboîté — et vérifier que son carré s’accorde avec la valeur $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ que donne la méthode de la question 9.

**Partie III — Deuxième cadeau : la distance à une droite.**

12. Soit $d$ la droite $ax + by + c = 0$, de [vecteur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) normal $\vec n(a, b)$ ([Proposition 16.12](#prop-g11-scal-normal)), et soit $P(x_0, y_0)$ un point. En prenant un point $A$ quelconque de $d$, expliquer pourquoi la distance de $P$ à $d$ vaut $\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}}$, et en déduire la formule $$\operatorname{dist}(P, d)  = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .$$ Calculer la distance de $P(5, 6)$ à $3x + 4y - 12 = 0$.
13. Écrire l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle de centre $(5, 6)$ tangent à cette droite.
14. Recouper la formule : calculer la distance de l’origine à $3x + 4y - 12 = 0$ , puis la vérifier en calculant explicitement le pied de la perpendiculaire issue de l’origine.
15. Triangle $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(2,5)$ : calculer son aire en prenant $[AB]$ pour base ; puis calculer la distance de $B$ à la droite $(AC)$ et vérifier qu’elle redonne la même aire.
16. Le cercle de centre $(2, 1)$ et de rayon $2$ , face à la droite $x + y - 6 = 0$ : calculer la distance du centre à la droite et classer leur position relative (deux points communs, un seul, ou aucun).

**Partie IV — La prime : les hauteurs sont concourantes.**

17. Généraliser l’[Exercice 16.11](#exo-g11-scal-11) : pour deux points $A$ et $B$ de [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$, démontrer que $$\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}  \quad\text{pour tout point } M .$$
18. En déduire la [Proposition 16.11](#prop-g11-scal-diameter) en une ligne : l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ .
19. Les hauteurs : soit $H$ le point d’[intersection](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) des hauteurs issues de $A$ et de $B$ dans un triangle $ABC$ (de sorte que $\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0$ et $\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0$). Démontrer l’identité $$\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA}  + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$$ — tout [développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) à partir de $H$ avec Chasles — et en conclure que $H$ appartient aussi à la hauteur issue de $C$ : les trois hauteurs sont concourantes (en l’*orthocentre*).
20. Pour finir : quatre visages, trois trophées. Quel visage du [Théorème 16.2](#thm-g11-scal-faces) a porté les formules d’addition, lequel la formule de distance, lequel l’ [orthocentre](#pb-g11-scal-1) — et pourquoi « calculer deux fois la même quantité » est-elle la devise de tout le chapitre ?

**Solution de Problème 16.1.**

**1.** $\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5$ ; $\norm{\vec u} = 5$, $\norm{\vec v} = \sqrt5$ ; $\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}$, d’où $\theta \approx 63.4^\circ$.

**2.** $6 - 4k = 0$ : $k = \frac32$.

**3.** $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ joules : seule la composante le long du déplacement travaille.

**4.** $c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39$ : $c = \sqrt{39}$.

**5.** $\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4
\times 6} = -\frac14$ : négatif, l’angle est obtus : $\gamma \approx 104.5^\circ$.

**6.** Par les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) : $\vec u \cdot \vec v = \cos a
\cos b + \sin a \sin b$. Par la géométrie : deux [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) unitaires, donc $\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times
\cos(a - b)$. En égalant les deux calculs d’un même nombre : $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

**7.** $\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) +
\sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.

**8.** $\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right)
= \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right)
= \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b +
\sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b
= \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

**9.** $\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ +
\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 =
\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966$. Et $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$ : même valeur.

**10.** En posant $b = a$ dans les questions 7 et 8 : $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ (à l’aide de $\cos^2 + \sin^2 = 1$), et $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**11.** $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}
= \frac{2 - \sqrt3}{4}$, donc $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$. En élevant $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ au carré : $\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} =
\frac{2 - \sqrt3}{4}$ : le même nombre en deux costumes.

**12.** $\vect{AP}$ se décompose en une part le long de $d$ (invisible pour $\vec n$) et une part perpendiculaire à $d$, dont la longueur est la distance cherchée ; multiplier scalairement par la normale unitaire $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ annule la première part et mesure la seconde. Avec $A$ sur $d$ : $\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) =
a x_0 + b y_0 + c$, d’où la formule. Exemple : $\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.

**13.** Rayon $= 5.4$ : $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16$.

**14.** Distance $= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4$. Pied de la perpendiculaire : la perpendiculaire issue de l’origine est $(3t, 4t)$ ; sur la droite : $9t + 16t = 12$, donc $t = \frac{12}{25}$, et le pied est $\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right)$, à la distance $5t = \frac{60}{25} = 2.4$. La formule et le calcul honnête concordent.

**15.** Base $AB = 6$, hauteur $=$ distance de $C$ à $(AB)$ (l’axe $y = 0$), soit $5$ ; aire $15$. Droite $(AC)$ : $5x - 2y = 0$, et $\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}$ ; alors $\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} =
\frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15$ : la même aire, quelle que soit la hauteur choisie.

**16.** $\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}}
{\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2$ : la droite passe au large du cercle — ils sont disjoints.

**17.** En insérant $I$ : $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot
(\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} +
\vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}$. Le terme du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) disparaît ($\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$), et $\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4}$ ([vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) opposés de longueur $\frac{AB}2$).

**18.** $\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 =
\frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}$ : c’est le cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{AB}2$ — le cercle de diamètre $[AB]$.

**19.** En développant chaque couple à partir de $H$ ($\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB}$, etc.) :

$$
\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB}
+ \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC}
+ \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :
$$

tout s’annule deux à deux — l’identité vaut pour *quatre* points quelconques. Pour notre $H$, les deux premiers [produits scalaires](#def-g11-scal-dot) sont nuls par hypothèse, donc $\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0$ : $H$ appartient à la hauteur issue de $C$. Trois hauteurs, un seul point.

**20.** Les formules d’addition sont venues du calcul d’un même [produit scalaire](#def-g11-scal-dot) par le visage des *[coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system)* et par celui des *[normes](#def-g11-scal-dot) et de l’angle* ; la formule de distance, du visage de la *projection* ; l’[orthocentre](#pb-g11-scal-1), du visage de la *bilinéarité* ([développer](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) avec Chasles). Calculer deux fois la même quantité, égaler, et un théorème en tombe — c’est tout le métier du [produit scalaire](#def-g11-scal-dot).