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title: "Statistique descriptive"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 17
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive
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# Chapitre 17 — Statistique descriptive

La statistique comprime une liste de nombres en quelques résumés signifiants : où se situent les données ([moyenne](#def-g11-stat-mean), [médiane](#def-g11-stat-median)), et comment elles sont dispersées ([quartiles](#def-g11-stat-quartiles), [variance](#def-g11-stat-variance), [écart type](#def-g11-stat-variance)). Ce chapitre calcule tout sur un exemple fil rouge. Les mêmes résumés réapparaissent pour les variables aléatoires dans le [Chapitre 18](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#ch-g11-prob), et leurs lois probabilistes dans le [Chapitre 34](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#ch-g12-sums).

Tout au long du chapitre, notre jeu de données fil rouge est les notes (sur $20$) d’une classe de $12$ élèves :

$$
8,\ 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17 .
$$

## 17.1 Moyenne et médiane

**Définition 17.1 (Moyenne).**

La *moyenne* des valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ est

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.
$$

Si la valeur $x_i$ apparaît avec l’effectif $n_i$ (avec $n_1 + \dots + n_k = n$), alors $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$.

**Définition 17.2 (Médiane).**

Une *médiane* d’un jeu de données trié est une valeur qui le partage en deux : au moins la moitié des valeurs sont $\leq$ à elle, et au moins la moitié sont $\geq$ à elle. En pratique, trier les $n$ valeurs ; si $n$ est impair, la médiane est la valeur du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) ; si $n$ est pair, prendre le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) des deux valeurs centrales.

**Exemple 17.3.**

Pour le jeu fil rouge, la somme est $144$, donc $\bar x = \frac{144}{12}
= 12$. Les deux valeurs centrales ($6$-ième et $7$-ième de la liste triée) sont toutes deux $12$, donc la [médiane](#def-g11-stat-median) est $12$ aussi. [Moyenne](#def-g11-stat-mean) et [médiane](#def-g11-stat-median) n’ont pas besoin de coïncider : la [médiane](#def-g11-stat-median) ignore *à quel point* les valeurs extrêmes sont éloignées, la [moyenne](#def-g11-stat-mean) non. Remplacer la note haute $17$ par $20$ déplace la [moyenne](#def-g11-stat-mean) à $12.25$ mais laisse la [médiane](#def-g11-stat-median) à $12$.

## 17.2 Quartiles

**Définition 17.4 (Quartiles, écart interquartile).**

Le *premier quartile* $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu’au moins un quart des données est $\leq Q_1$ ; le *troisième quartile* $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu’au moins les trois quarts des données sont $\leq Q_3$. L’*écart interquartile* est $Q_3 - Q_1$ : la largeur de la moitié centrale des données.

**Exemple 17.5.**

$n = 12$ : un quart vaut $3$, donc $Q_1$ est la $3$-ième valeur triée : $Q_1 = 10$. Trois quarts valent $9$, donc $Q_3$ est la $9$-ième valeur : $Q_3 = 13$. L’[écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) est $3$ : la moitié centrale de la classe se trouve dans un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de $3$ points.

![Le jeu fil rouge en diagramme en points, sa moyenne (rouge), et le résumé en cinq nombres au-dessus (orange) : minimum, Q_1, médiane, Q_3, maximum. La boîte contient la moitié centrale des données.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-stat/fig-0df6a37bb0dd.svg)

*Le jeu fil rouge en diagramme en points, sa [moyenne](#def-g11-stat-mean) (rouge), et le résumé en cinq nombres au-dessus (orange) : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema), $Q_1$, [médiane](#def-g11-stat-median), $Q_3$, [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema). La boîte contient la moitié centrale des données.*

## 17.3 Variance et écart type

**Définition 17.6 (Variance, écart type).**

La *variance* du jeu de données est la [moyenne](#def-g11-stat-mean) des écarts au carré à la [moyenne](#def-g11-stat-mean) :

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2,
$$

et l’*écart type* est $\sigma = \sqrt{V}$, exprimé dans la même unité que les données.

**Proposition 17.7 (Formule de König–Huygens).**

La [variance](#def-g11-stat-variance) est la [moyenne](#def-g11-stat-mean) des carrés moins le carré de la [moyenne](#def-g11-stat-mean) :

$$
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \;-\; \bar x^{\,2}.
$$

**Démonstration.** Développer chaque écart au carré : $(x_i - \bar x)^2 = x_i^2 - 2\bar x\, x_i + \bar x^2$. En sommant et en divisant par $n$ :

$$
V = \frac1n \sum x_i^2 - 2\bar x \cdot \underbrace{\frac1n \sum
x_i}_{=\ \bar x} + \frac1n \cdot n\bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - 2\bar x^2 + \bar x^2
= \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2 .
$$

La même identité, pour les variables aléatoires, est la [Proposition 18.13](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#prop-g11-prob-konig). ∎

**Exemple 17.8.**

Pour le jeu fil rouge, les écarts à $\bar x = 12$ sont $-4$, $-3$, $-2$, $-2$, $-1$, $0$, $0$, $0$, $1$, $2$, $4$, $5$ ; leurs carrés somment à

$$
16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .
$$

D’où

$$
V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67,
\qquad
\sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ points}.
$$

En gros, une note typique se situe à environ $2.6$ points de la [moyenne](#def-g11-stat-mean).

**Proposition 17.9 (Changement d’unités).**

Si chaque valeur est transformée par $y_i = a x_i + b$, alors

$$
\bar y = a \bar x + b,
\qquad
V_y = a^2\, V_x,
\qquad
\sigma_y = \abs{a}\,\sigma_x .
$$

**Démonstration.** $\bar y = \frac1n \sum (a x_i + b) = a\left(\frac1n\sum x_i\right) +
\frac1n \cdot nb = a\bar x + b$. Puis $y_i - \bar y = a(x_i - \bar x)$ : chaque écart est multiplié par $a$ (le décalage $b$ s’annule), donc chaque écart au carré est multiplié par $a^2$, et sa [moyenne](#def-g11-stat-mean) aussi. En prenant les racines carrées, $\sigma_y = \abs a\,\sigma_x$. ∎

**Exemple 17.10.**

Des températures enregistrées en degrés Celsius de [moyenne](#def-g11-stat-mean) $20$ et d’[écart type](#def-g11-stat-variance) $3$ se convertissent en Fahrenheit par $F = 1.8\,C + 32$ : la [moyenne](#def-g11-stat-mean) devient $1.8 \times 20 + 32 = 68$, l’[écart type](#def-g11-stat-variance) $1.8 \times 3 = 5.4$. Décaler un jeu de données ne change pas sa dispersion ; le redimensionner redimensionne la dispersion.

**Méthode 17.11 (Résumer et comparer des jeux de données).**

Pour comparer deux jeux de données, mettre côte à côte : [moyenne](#def-g11-stat-mean) (ou [médiane](#def-g11-stat-median)) pour la *position*, [écart type](#def-g11-stat-variance) (ou [écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles)) pour la *dispersion*. Le couple ([médiane](#def-g11-stat-median), [écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles)) est robuste aux valeurs extrêmes ; le couple ([moyenne](#def-g11-stat-mean), [écart type](#def-g11-stat-variance)) utilise chaque valeur et alimente la théorie des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution).

**Exemple 17.12.**

Deux archers tirent chacun $10$ flèches ; les scores moyennent $8.5$ pour les deux, mais les [écarts types](#def-g11-stat-variance) sont $0.5$ et $2.1$. Même niveau en [moyenne](#def-g11-stat-mean) — mais le premier archer est bien plus régulier.

## 17.4 Exercices

**Exercice 17.1 ★.**

Calculer la [moyenne](#def-g11-stat-mean), la [médiane](#def-g11-stat-median), les [quartiles](#def-g11-stat-quartiles) et l’[écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) du jeu de données

$$
5,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 14 .
$$

**Solution de Exercice 17.1.**

$n = 8$, somme $71$ : [moyenne](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{71}{8} = 8.875$. [Médiane](#def-g11-stat-median) : [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) des $4$-ième et $5$-ième valeurs, $\frac{8 + 9}{2} = 8.5$. [Quartiles](#def-g11-stat-quartiles) : un quart de $8$ est $2$, donc $Q_1$ est la $2$-ième valeur, $7$ ; trois quarts est $6$, donc $Q_3$ est la $6$-ième valeur, $10$. [Écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) : $10 - 7 = 3$.

**Exercice 17.2 ★.**

Calculer la [variance](#def-g11-stat-variance) et l’[écart type](#def-g11-stat-variance) du jeu de données $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ ([moyenne](#def-g11-stat-mean) d’abord, puis la formule de König–Huygens de la [Proposition 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)).

**Solution de Exercice 17.2.**

Somme $40$, donc $\bar x = 5$. Somme des carrés : $4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$. Par la formule de König–Huygens,

$$
V = \frac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4,
\qquad
\sigma = 2 .
$$

**Exercice 17.3 ★.**

Un dé est lancé $50$ fois ; les issues sont résumées par des effectifs :

| issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| effectif | 6 | 9 | 8 | 10 | 9 | 8 |

Calculer la [moyenne](#def-g11-stat-mean) des issues et la [médiane](#def-g11-stat-median).

**Solution de Exercice 17.3.**

[Moyenne](#def-g11-stat-mean) :

$$
\bar x = \frac{1 \times 6 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 10
+ 5 \times 9 + 6 \times 8}{50}
= \frac{181}{50} = 3.62 .
$$

[Médiane](#def-g11-stat-median) : les effectifs cumulés sont $6, 15, 23, 33, \dots$, donc les $25$-ième et $26$-ième issues triées sont toutes deux $4$ : la [médiane](#def-g11-stat-median) est $4$.

**Exercice 17.4 ★★.**

Une classe de $15$ élèves a une [moyenne](#def-g11-stat-mean) de $11.2$. Un $16$-ième élève arrive et obtient $18$. Quelle est la nouvelle [moyenne](#def-g11-stat-mean) de la classe ?

**Solution de Exercice 17.4.**

Le total des $15$ notes est $15 \times 11.2 = 168$ ; avec le nouvel arrivant, $\frac{168 + 18}{16} = \frac{186}{16} = 11.625$.

**Exercice 17.5 ★★.**

La [moyenne](#def-g11-stat-mean) du jeu de données $6, 8, x, 12, 14$ est $10$. Trouver $x$, puis calculer l’[écart type](#def-g11-stat-variance) du jeu complété.

**Solution de Exercice 17.5.**

$\frac{6 + 8 + x + 12 + 14}{5} = 10$ donne $40 + x = 50$, donc $x = 10$. Les écarts de $6, 8, 10, 12, 14$ à la [moyenne](#def-g11-stat-mean) $10$ sont $-4, -2, 0, 2, 4$, de carrés sommant à $40$ : $V = \frac{40}{5} = 8$ et $\sigma = 2\sqrt2 \approx 2.83$.

**Exercice 17.6 ★.**

Des notes de [moyenne](#def-g11-stat-mean) $12.4$ et d’[écart type](#def-g11-stat-variance) $2.5$ sont redimensionnées par $y = \frac{x}{2} + 4$. Donner la nouvelle [moyenne](#def-g11-stat-mean) et le nouvel [écart type](#def-g11-stat-variance).

**Solution de Exercice 17.6.**

Par la [Proposition 17.9](#prop-g11-stat-affine) avec $a = \frac12$, $b = 4$ : nouvelle [moyenne](#def-g11-stat-mean) $\frac{12.4}{2} + 4 = 10.2$ ; nouvel [écart type](#def-g11-stat-variance) $\frac{2.5}{2} = 1.25$.

**Exercice 17.7 ★★.**

Le groupe A ($20$ valeurs) a pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $10$ ; le groupe B ($30$ valeurs) a pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $15$. Calculer la [moyenne](#def-g11-stat-mean) des $50$ valeurs mises ensemble. Est-ce le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) $12.5$ ? Pourquoi pas ?

**Solution de Exercice 17.7.**

La [moyenne](#def-g11-stat-mean) regroupée est la [moyenne](#def-g11-stat-mean) *pondérée*

$$
\frac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \frac{650}{50} = 13,
$$

pas $12.5$ : le groupe B contribue plus de valeurs, donc tire la [moyenne](#def-g11-stat-mean) regroupée vers la sienne.

**Exercice 17.8 ★★.**

Deux chaînes de production remplissent des sacs de sucre de $1$ kg. Des [échantillons](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) donnent : chaîne 1 : [moyenne](#def-g11-stat-mean) $1.002$ kg, [écart type](#def-g11-stat-variance) $0.006$ kg ; chaîne 2 : [moyenne](#def-g11-stat-mean) $1.001$ kg, [écart type](#def-g11-stat-variance) $0.019$ kg. Quelle chaîne recalibrer en premier, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 17.8.**

Les deux chaînes sont presque dans la cible en [moyenne](#def-g11-stat-mean) ($1.002$ et $1.001$ kg), mais l’[écart type](#def-g11-stat-variance) de la chaîne 2 est trois fois plus grand : ses sacs varient beaucoup plus, produisant bien plus de sacs manifestement sous- et sur-remplis. La chaîne 2 doit être traitée en premier — c’est la régularité, pas seulement la [moyenne](#def-g11-stat-mean), qu’il faut corriger.

**Exercice 17.9 ★★.**

Un jeu de données de $n = 10$ valeurs a $\sum x_i = 70$ et $\sum x_i^2 = 540$. Calculer sa [moyenne](#def-g11-stat-mean), sa [variance](#def-g11-stat-variance) et son [écart type](#def-g11-stat-variance).

**Solution de Exercice 17.9.**

$\bar x = \frac{70}{10} = 7$ ; $V = \frac{540}{10} - 7^2 = 54 - 49 = 5$ ; $\sigma = \sqrt5 \approx 2.24$.

**Exercice 17.10 ★★★.**

Le jeu de données $1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 23$ contient une *valeur aberrante*.

1. Calculer la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et la [médiane](#def-g11-stat-median) avec et sans la valeur $23$ .
2. Calculer l’ [écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) avec et sans $23$ .
3. Quels résumés sont robustes à la valeur aberrante ? Conclure avec une recommandation.

**Solution de Exercice 17.10.**

*1.* Avec $23$ : somme $50$, [moyenne](#def-g11-stat-mean) $5$ ; [médiane](#def-g11-stat-median) $=$ [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) des $5$-ième et $6$-ième valeurs $= 3$. Sans $23$ : somme $27$, [moyenne](#def-g11-stat-mean) $3$ ; [médiane](#def-g11-stat-median) ($5$-ième sur $9$ valeurs) $= 3$.

*2.* Avec $23$ ($n = 10$) : $Q_1$ est la $3$-ième valeur ($2$), $Q_3$ la $8$-ième ($4$) : [écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) $2$. Sans ($n = 9$) : $Q_1$ est la $3$-ième valeur ($2$), $Q_3$ la $7$-ième ($4$) : encore $2$.

*3.* L’unique valeur aberrante tire la [moyenne](#def-g11-stat-mean) de $3$ à $5$ mais laisse la [médiane](#def-g11-stat-median) et l’[écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) inchangés : ces deux-là sont *robustes*. Lorsqu’un jeu de données peut contenir des valeurs aberrantes, rapporter la [médiane](#def-g11-stat-median) et l’[écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) plutôt que la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et l’[écart type](#def-g11-stat-variance).

## 17.5 Problème : la cote z, une règle universelle

**Problème 17.1.**

Devoir du week-end — les écarts types comparent les pommes et les oranges, l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev transforme $\sigma$ en garantie, et la moyenne gagne sa propre médaille

Un $15/20$ à un contrôle difficile vaut-il mieux qu’un $13/20$ à un contrôle facile ? Un $23$ perdu dans une liste de petits nombres est-il un accident ou une valeur aberrante ? Les nombres bruts ne savent pas le dire — mais divisés par le bon [écart type](#def-g11-stat-variance), ils parlent tous une même langue : la *[cote z](#pb-g11-stat-1)*. Ce problème maîtrise la mécanique de la [variance](#def-g11-stat-variance) ([Définition 17.6](#def-g11-stat-variance), [Proposition 17.7](#prop-g11-stat-shortcut)), construit la règle universelle, et démontre la remarquable inégalité qui fait de $\sigma$, de simple nombre descriptif, une garantie.

**Partie I — Mécanique de la [variance](#def-g11-stat-variance).**

1. Pour la série $4, 8, 6, 5, 2$ : calculer la [moyenne](#def-g11-stat-mean) , puis la [variance](#def-g11-stat-variance) directement à partir de la définition, puis $\sigma$ .
2. Recalculer la [variance](#def-g11-stat-variance) avec la formule raccourcie ( [Proposition 17.7](#prop-g11-stat-shortcut) ) — [moyenne](#def-g11-stat-mean) des carrés moins carré de la [moyenne](#def-g11-stat-mean) — et vérifier l’accord.
3. Avec des effectifs : les notes $8$ , $10$ , $14$ obtenues par $3$ , $5$ , $2$ élèves. Calculer [moyenne](#def-g11-stat-mean) , [variance](#def-g11-stat-variance) et $\sigma$ (deux décimales).
4. Des températures ont pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $20$ et pour [écart type](#def-g11-stat-variance) $\sigma = 3$ (en degrés Celsius). Donner la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et $\sigma$ en degrés Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ ; [Proposition 17.9](#prop-g11-stat-affine) ).
5. Démontrer les deux règles qui viennent de servir : ajouter une constante $b$ à toutes les valeurs translate la [moyenne](#def-g11-stat-mean) de $b$ et laisse $\sigma$ inchangé ; multiplier par $a$ multiplie la [moyenne](#def-g11-stat-mean) par $a$ et $\sigma$ par $\abs a$ .

**Partie II — La règle universelle.** La *cote z* d’une valeur $x$ dans une série de [moyenne](#def-g11-stat-mean) $\bar x$ et d’[écart type](#def-g11-stat-variance) $\sigma$ est $z = \dfrac{x - \bar x}{\sigma}$ : le nombre d’[écarts types](#def-g11-stat-variance) qui séparent $x$ de la [moyenne](#def-g11-stat-mean).

6. Le contrôle A a pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $12$ et $\sigma = 2$ ; le contrôle B a pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $8$ et $\sigma = 4$ . Alice a obtenu $15$ en A, Bob $13$ en B. Calculer les deux cotes $z$ : quelle performance se détache le plus du groupe ?
7. Calculer les cinq [cotes z](#pb-g11-stat-1) de la série de la question 1, et vérifier qu’elles ont pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $0$ et pour [écart type](#def-g11-stat-variance) $1$ . Expliquer, à partir de la question 5, pourquoi la standardisation produit *toujours* une [moyenne](#def-g11-stat-mean) $0$ et un $\sigma = 1$ .
8. Un test d’aptitude a pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $100$ et $\sigma = 15$ . Quel score brut correspond à $z = 2$ ? Quelle est la cote $z$ de $76$ ?
9. Un pédiatre note le poids d’un bébé sous la forme « $z = -2.5$ ». Dire ce que cela signifie, et pourquoi la croissance se suit en [cotes z](#pb-g11-stat-1) plutôt qu’en kilogrammes à mesure que l’enfant grandit.
10. La valeur aberrante de l’ [Exercice 17.10](#exo-g11-stat-10) (série $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 23$ ) : calculer la [moyenne](#def-g11-stat-mean) , $\sigma$ , et la [cote z](#pb-g11-stat-1) de $23$ . Le seuil d’alerte classique est $\abs z \geq 3$ : verdict ?
11. Recalculer $\sigma$ *sans* la valeur $23$ , puis la cote $z$ qu’aurait $23$ face à la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et à l’ [écart type](#def-g11-stat-variance) des données assainies. Qu’a fait la valeur aberrante à la règle même censée la mesurer, et quelle parade l’ [Exercice 17.10](#exo-g11-stat-10) suggère-t-elle ?

**Partie III — La garantie de Tchebychev.**

12. Démontrer l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev pour une [série statistique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) : si une proportion $p$ des valeurs vérifie $\abs{x - \bar x} \geq k\sigma$, alors, en ne gardant que ces termes dans la somme définissant la [variance](#def-g11-stat-variance), $$\sigma^2 \geq p \cdot (k\sigma)^2,  \qquad\text{d'où}\qquad  p \leq \frac{1}{k^2} .$$
13. Que garantit l’inégalité sur la proportion d’une série quelconque située au-delà de $2\sigma$ de sa [moyenne](#def-g11-stat-mean) ? Au-delà de $3\sigma$ ? Vérifier l’énoncé à $2\sigma$ sur la série de la question 1.
14. Une usine produit des boulons de longueur [moyenne](#def-g11-stat-mean) $50$ mm avec $\sigma = 0.1$ mm. Que garantit Tchebychev sur la proportion de boulons hors de $\intcc{49.7}{50.3}$ ? (La production réelle fait bien mieux — la courbe en cloche de l’an prochain change ce prudent $\frac19$ en une fraction de pourcent.)
15. Deux fonds rapportent tous deux $5\,\%$ par an en [moyenne](#def-g11-stat-mean) , avec $\sigma = 2\,\%$ pour le fonds A et $\sigma = 12\,\%$ pour le fonds B. Pour chacun, que dit Tchebychev de la proportion d’années dont le rendement est inférieur à $-19\,\%$ ? Quel est le nom financier de $\sigma$ ?

**Partie IV — La médaille de la [moyenne](#def-g11-stat-mean), et un avertissement.**

16. Soit $f(c)$ la [moyenne](#def-g11-stat-mean) des carrés des écarts $(x_i - c)^2$ à un centre $c$ quelconque. Démontrer l’identité $$f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2 ,$$ et conclure : la [moyenne](#def-g11-stat-mean) est l’unique centre qui minimise l’écart quadratique moyen — sa médaille, jumelle de la minimisation des écarts absolus par la [médiane](#def-g11-stat-median) au [Problème 8.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#pb-g10-stats-1).
17. Vérifier l’identité sur la série de la question 1 avec $c = 6$ : calculer $f(6)$ directement, puis par la formule.
18. Mêmes résumés, données différentes : vérifier que $P = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ et $Q = \{1, 7, 7, 7, 13\}$ ont la même [moyenne](#def-g11-stat-mean) mais pas la même [variance](#def-g11-stat-variance) ; puis construire une série de la forme $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ ayant exactement la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et la [variance](#def-g11-stat-variance) de $P$ — et pourtant un profil bien à elle.
19. Démontrer que $\sigma = 0$ force toutes les valeurs à être égales. (Que doit valoir chaque terme d’une somme de carrés nulle ?)
20. Pour finir — l’échelle du statisticien, une ligne par barreau : les centres ( [moyenne](#def-g11-stat-mean) , [médiane](#def-g11-stat-median) ), les dispersions ( $\sigma$ , [écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles) ), la règle universelle ( $z$ ), la garantie (Tchebychev), et l’avertissement de la question 18 : les résumés compriment, et comprimer fait perdre — avec la courbe en cloche de l’an prochain qui n’attend que de transformer les [cotes z](#pb-g11-stat-1) en [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) exactes.

**Solution de Problème 17.1.**

**1.** [Moyenne](#def-g11-stat-mean) $\bar x = \frac{25}{5} = 5$. Carrés des écarts : $1, 9, 1, 0, 9$ : [variance](#def-g11-stat-variance) $\frac{20}{5} = 4$, donc $\sigma = 2$.

**2.** [Moyenne](#def-g11-stat-mean) des carrés : $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$ ; moins $\bar x^2 = 25$ : [variance](#def-g11-stat-variance) $4$. Même réponse, moitié moins de travail.

**3.** [Moyenne](#def-g11-stat-mean) $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times
14}{10} = 10.2$ ; [variance](#def-g11-stat-variance) $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 +
2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$ ; $\sigma \approx 2.09$.

**4.** [Moyenne](#def-g11-stat-mean) : $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F ; $\sigma$ : $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — la translation de $+32$ n’étale rien du tout.

**5.** En ajoutant $b$ : chaque écart $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ est inchangé, donc la [variance](#def-g11-stat-variance) aussi. En multipliant par $a$ : les écarts sont multipliés par $a$, leurs carrés par $a^2$, la [variance](#def-g11-stat-variance) par $a^2$, et $\sigma$ par $\sqrt{a^2} = \abs a$.

**6.** $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$ ; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$. Alice se détache davantage de son groupe : le $15$ du contrôle difficile bat le $13$ du contrôle facile.

**7.** Cotes $z$ : $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$ : [moyenne](#def-g11-stat-mean) $0$, [écart type](#def-g11-stat-variance) $1$. En général, standardiser revient à retrancher $\bar x$ (ce qui annule la [moyenne](#def-g11-stat-mean) sans toucher à $\sigma$) puis à diviser par $\sigma$ (ce qui ramène le nouvel [écart type](#def-g11-stat-variance) à $1$) : la question 5, appliquée deux fois.

**8.** $z = 2$ : $100 + 2 \times 15 = 130$. Et $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$.

**9.** Le bébé se situe $2.5$ [écarts types](#def-g11-stat-variance) au-dessous du poids moyen *des bébés de son âge* — inquiétant pour sa cohorte. Les kilogrammes bruts ne se comparent pas d’un âge à l’autre (tous les bébés grossissent) ; les [cotes z](#pb-g11-stat-1) mesurent chaque enfant face à sa propre classe d’âge, une seule règle pour tous les âges.

**10.** [Moyenne](#def-g11-stat-mean) $5$ ; [moyenne](#def-g11-stat-mean) des carrés $\frac{622}{10} = 62.2$, [variance](#def-g11-stat-variance) $37.2$, $\sigma \approx 6.10$ ; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$ : juste sous le seuil d’alerte — le test cille à peine.

**11.** Sans le $23$ : [moyenne](#def-g11-stat-mean) $3$, [variance](#def-g11-stat-variance) $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$ ; face à cette règle assainie, $23$ obtient $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ : un monstre. La valeur aberrante avait gonflé à la fois la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et $\sigma$, se camouflant ainsi elle-même — c’est pourquoi l’[Exercice 17.10](#exo-g11-stat-10) recommande des résumés robustes ([médiane](#def-g11-stat-median), [écart interquartile](#def-g11-stat-quartiles)) lorsque la contamination menace.

**12.** Dans la somme $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$, ne gardons que les termes vérifiant $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ : il y en a $pN$, chacun valant au moins $(k\sigma)^2$, donc $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 =
p\,k^2\sigma^2$ ; en divisant par $k^2 \sigma^2$ (dispersion non nulle) : $p \leq \frac{1}{k^2}$.

**13.** Au-delà de $2\sigma$ : au plus $\frac14 = 25\,\%$ de n’importe quelle série ; au-delà de $3\sigma$ : au plus $\frac19 \approx 11\,\%$. Pour les données de la question 1 : au-delà de $2\sigma = 4$ de la [moyenne](#def-g11-stat-mean) $5$ signifie $\leq 1$ ou $\geq 9$, c’est-à-dire aucune des cinq valeurs — $0\,\% \leq 25\,\%$, comme promis.

**14.** Être hors de $\intcc{49.7}{50.3}$, c’est être au-delà de $3\sigma$ : au plus $\frac19$ de la production, *quelle que soit* la forme de la distribution — Tchebychev n’exige rien d’autre qu’une [moyenne](#def-g11-stat-mean) et un $\sigma$. Une production en cloche se concentre bien mieux (environ $0.3\,\%$ au-delà de $3\sigma$) : la loi normale, l’an prochain.

**15.** $-19\,\%$ se situe $24$ points sous la [moyenne](#def-g11-stat-mean) $5$. Fonds B : $24 = 2\sigma_B$, donc Tchebychev autorise jusqu’à $\frac14$ des années aussi mauvaises. Fonds A : $24 = 12\sigma_A$, donc au plus $\frac{1}{144}$. Même rendement moyen, dangers sans commune mesure — $\sigma$ est ce que la finance appelle le *risque* (ou la volatilité).

**16.** Développons autour de $\bar x$ : $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2
= (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) +
(\bar x - c)^2$. En moyennant, le terme du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) disparaît (les écarts à la [moyenne](#def-g11-stat-mean) se compensent), et il reste $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ — minimal exactement en $c = \bar x$, avec pour [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $\sigma^2$. La [moyenne](#def-g11-stat-mean) est le centre des moindres carrés, comme la [médiane](#def-g11-stat-median) est le centre des moindres écarts absolus ([Problème 8.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#pb-g10-stats-1)).

**17.** Directement : les écarts à $6$ valent $-2, 2, 0, -1, -4$, de carrés $4, 4, 0, 1, 16$, donc $f(6) = \frac{25}{5} = 5$. Par la formule : $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$. Les deux concordent.

**18.** Les deux séries ont pour [moyenne](#def-g11-stat-mean) $7$ ; [variances](#def-g11-stat-variance) : $P$ : $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$ ; $Q$ : $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$ : deux dispersions derrière une même [moyenne](#def-g11-stat-mean). Pour $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ : la [variance](#def-g11-stat-variance) $\frac{2a^2}{5} = 8$ donne $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ : la série $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ porte exactement la [moyenne](#def-g11-stat-mean) et la [variance](#def-g11-stat-variance) de $P$ avec un profil complètement différent — les résumés compriment, et comprimer fait perdre.

**19.** $\sigma^2 = 0$ signifie qu’une somme de carrés $(x_i - \bar x)^2$ s’annule ; les carrés étant $\geq 0$, une somme nulle force chaque terme à être nul : $x_i = \bar x$ pour tout $i$ — toutes les valeurs sont égales.

**20.** Les centres disent où vivent les données ; les dispersions, avec quel relâchement ; la [cote z](#pb-g11-stat-1) pose une seule règle sur toutes les séries, tous les contrôles, tous les âges et toutes les monnaies ; Tchebychev convertit $\sigma$ en garantie inconditionnelle ; et la question 18 nous garde honnêtes — jamais une poignée de nombres ne contient toute l’histoire. L’an prochain, la courbe en cloche affinera la règle en [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) exactes.