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title: "Probabilités et variables aléatoires"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires
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# Chapitre 18 — Probabilités et variables aléatoires

La [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) modélise des expériences dont le résultat est incertain : un lancer de dé, une carte tirée, un jeu joué. Ce chapitre met en place le vocabulaire sur des ensembles finis, puis introduit le personnage central de toute la théorie des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) : la *[variable aléatoire](#def-g11-prob-rv)* et son *[espérance](#def-g11-prob-expectation)*. Ces notions sont reprises et approfondies dans le [Chapitre 33](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/33-variables-aleatoires-et-loi-binomiale#ch-g12-randvar), et les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) conditionnelles suivent dans le [Chapitre 32](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/32-probabilites-conditionnelles-et-independance#ch-g12-condprob).

## 18.1 Probabilité sur un ensemble fini

**Définition 18.1 (Modèle probabiliste).**

Une expérience à un nombre fini d’issues est modélisée par son *univers* $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (l’ensemble des issues) muni d’une *[probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution)* $\P$ attribuant à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i \geq 0$, avec $p_1 + \dots + p_n = 1$. Un *événement* est une partie $A \subseteq \Omega$, et

$$
\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .
$$

Lorsque toutes les issues sont équiprobables ($p_i = \frac1n$ : le *modèle uniforme*),

$$
\P(A) = \frac{\text{nombre d'issues dans } A}
{\text{nombre d'issues dans } \Omega}.
$$

**Exemple 18.2.**

Lancer deux dés distincts : $\Omega$ est l’ensemble des $36$ couples ordonnés $(i, j)$ avec $1 \leq i, j \leq 6$, tous équiprobables. L’[événement](#def-g11-prob-model) $S$ = « la somme est $7$ » contient les $6$ couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$, donc $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$. L’[événement](#def-g11-prob-model) « la somme est $12$ » contient seulement $(6,6)$ : [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac{1}{36}$. Choisir le *bon* [univers](#def-g11-prob-model) — couples ordonnés, pas non ordonnés — est ce qui rend le [modèle uniforme](#def-g11-prob-model) applicable.

**Proposition 18.3 (Règles de la probabilité).**

Pour des [événements](#def-g11-prob-model) $A, B \subseteq \Omega$ :

$$
\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad
\P(\bar A) = 1 - \P(A),
$$

$$
\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),
$$

où $\bar A$ est le *[complémentaire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-operations)* de $A$ (toutes les issues hors de $A$). En particulier, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ lorsque $A$ et $B$ sont *[incompatibles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-operations)* ($A \cap B = \emptyset$).

**Démonstration.** L’[événement](#def-g11-prob-model) vide ne contient aucune issue (somme vide), et $\Omega$ les contient toutes (somme totale $1$). Chaque issue est dans exactement l’un de $A$, $\bar A$, donc $\P(A) + \P(\bar A) = 1$. Pour la [réunion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) : sommer les $p_i$ sur $A$ puis sur $B$ compte deux fois les issues de $A \cap B$ ; soustraire $\P(A \cap B)$ corrige le double comptage. ∎

**Exemple 18.4.**

Dans une classe, $60\,\%$ étudient la musique ($M$), $45\,\%$ font un sport ($S$), et $25\,\%$ font les deux. La proportion qui fait au moins l’un des deux est $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$, donc $20\,\%$ ne font ni l’un ni l’autre ([complémentaire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-operations)).

## 18.2 Variables aléatoires

**Définition 18.5 (Variable aléatoire, loi).**

Une *variable aléatoire* sur $\Omega$ est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $X$ attribuant un nombre à chaque issue. Sa *loi* est le tableau de ses valeurs possibles $x_1, \dots, x_k$ avec leurs [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution)

$$
\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr),
\qquad
\sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .
$$

**Exemple 18.6.**

Un jeu : payer $2$ euros, lancer un dé équilibré, recevoir la valeur affichée si elle est au moins $5$, rien sinon. Soit $G$ le *gain* (reçu moins payé). Les issues $1, 2, 3, 4$ donnent $G = -2$ ; l’issue $5$ donne $G = 3$ ; l’issue $6$ donne $G = 4$. La [loi](#def-g11-prob-rv) de $G$ :

| $g$ | $-2$ | $3$ | $4$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G = g)$ | $\dfrac46$ | $\dfrac16$ | $\dfrac16$ |

**Méthode 18.7 (Construire un tableau de loi).**

Lister les valeurs possibles de $X$ ; pour chaque valeur, rassembler les issues qui la produisent et additionner leurs [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) ; vérifier que la ligne des [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) somme à $1$.

## 18.3 Espérance

**Définition 18.8 (Espérance).**

L’*espérance* (ou [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean)) de $X$ est la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de ses valeurs pondérées par leurs [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) :

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .
$$

**Remarque 18.9.**

$\E(X)$ est ce que serait la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) d’un grand nombre de répétitions indépendantes de l’expérience — la version précise de cette affirmation est la loi des grands nombres, prouvée dans le [Chapitre 34](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/34-sommes-de-variables-aleatoires-et-loi-des-grands-nombres#ch-g12-sums). Noter l’analogie formelle avec la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) d’un jeu de données avec effectifs ([Définition 17.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean)) : les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) jouent le rôle des [fréquences](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) relatives $\frac{n_i}{n}$.

**Exemple 18.10.**

Pour le jeu de l’[Exemple 18.6](#ex-g11-prob-game) :

$$
\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4
= \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .
$$

En [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) le joueur perd environ $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable. Un jeu est dit *équitable* lorsque le gain espéré est $0$.

**Proposition 18.11 (Linéarité).**

Pour tous réels $a, b$ :

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .
$$

**Démonstration.** La variable $aX + b$ prend la valeur $a x_i + b$ avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\P(X = x_i)$, donc

$$
\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b)
= a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X =
x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .
$$

∎

## 18.4 Variance et écart type

**Définition 18.12 (Variance).**

La *variance* de $X$ mesure la dispersion de ses valeurs autour de l’[espérance](#def-g11-prob-expectation) $m = \E(X)$ :

$$
\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr)
= \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposition 18.13 (Formule de König–Huygens).**

$$
\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

**Démonstration.** Développer $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dans la somme :

$$
\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2
- 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i)
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,
$$

qui est $\E(X^2) - m^2$. C’est la version [variable aléatoire](#def-g11-prob-rv) de l’identité prouvée pour les jeux de données dans la [Proposition 17.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#prop-g11-stat-shortcut). ∎

**Proposition 18.14 (Transformation affine).**

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ et $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$.

**Démonstration.** Par linéarité, $aX + b$ s’écarte de son [espérance](#def-g11-prob-expectation) $a m + b$ de $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : chaque écart est multiplié par $a$, donc chaque écart au carré par $a^2$, et leur [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) pondérée aussi. Le décalage $b$ a disparu — décaler une variable ne change pas sa dispersion. ∎

**Exemple 18.15.**

Pour le jeu de l’[Exemple 18.6](#ex-g11-prob-game) : $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16
= \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$, donc

$$
\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2
= \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad
\sigma(G) \approx 2.6 .
$$

La perte de $0.17$ par partie en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) s’accompagne de fluctuations de taille typique $2.6$ euros — l’[espérance](#def-g11-prob-expectation) sans l’[écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) ne raconte que la moitié de l’histoire.

![La loi du gain G de l’, et son espérance (G) = -1/6 (en pointillés) : le point d’équilibre des masses de probabilité.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g11-prob/fig-10cbaf11787d.svg)

*La [loi](#def-g11-prob-rv) du gain $G$ de l’[Exemple 18.6](#ex-g11-prob-game), et son [espérance](#def-g11-prob-expectation) $\E(G) = -\frac16$ (en pointillés) : le point d’équilibre des masses de [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution).*

## 18.5 Exercices

**Exercice 18.1 ★.**

Une carte est tirée d’un jeu standard de $52$ cartes. Calculer la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de tirer : un cœur ; un roi ; un cœur ou un roi ; ni un cœur ni un roi.

**Solution de Exercice 18.1.**

[Modèle uniforme](#def-g11-prob-model) sur $52$ cartes. Cœurs : $\frac{13}{52} = \frac14$. Rois : $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$. Cœur ou roi : $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (le roi de cœur est compté une fois). Ni l’un ni l’autre : $1 - \frac{4}{13} =
\frac{9}{13}$.

**Exercice 18.2 ★.**

Deux dés équilibrés sont lancés et leur somme $S$ est enregistrée. En utilisant le modèle à $36$ issues de l’[Exemple 18.2](#ex-g11-prob-twodice), calculer $\P(S = 6)$, $\P(S \geq 10)$ et $\P(S \text{ est pair})$.

**Solution de Exercice 18.2.**

$S = 6$ : les couples $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$, donc $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$.

$S \geq 10$ : trois couples pour $10$, deux pour $11$, un pour $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$.

$S$ pair : les sommes $2, 4, 6, 8, 10, 12$ ont $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ couples : [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{36} = \frac12$.

**Exercice 18.3 ★.**

Une [variable aléatoire](#def-g11-prob-rv) a pour [loi](#def-g11-prob-rv)

| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(X=x)$ | $0.3$ | $0.2$ | $0.4$ | $p$ |

Trouver $p$, puis calculer $\E(X)$.

**Solution de Exercice 18.3.**

Les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) somment à $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$. Puis

$$
\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5
= -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .
$$

**Exercice 18.4 ★.**

$X$ satisfait $\E(X) = 3$ et $\V(X) = 4$. Donner l’[espérance](#def-g11-prob-expectation), la [variance](#def-g11-prob-variance) et l’[écart type](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-variance) de $Y = 2X - 5$.

**Solution de Exercice 18.4.**

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$.

**Exercice 18.5 ★★.**

Une roue de la fortune a $10$ secteurs égaux : $5$ affichent $0$ euro, $3$ affichent $2$ euros, $2$ affichent $5$ euros. Jouer coûte $2$ euros. Donner la [loi](#def-g11-prob-rv) du gain $G$ (gains moins mise), calculer $\E(G)$, et décider si le jeu est favorable.

**Solution de Exercice 18.5.**

Les gains sont $0$, $2$, $5$ euros avec [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.5$, $0.3$, $0.2$ ; en soustrayant la mise de $2$ euros, $G$ prend les valeurs $-2, 0, 3$ :

| $g$ | $-2$ | $0$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $0.5$ | $0.3$ | $0.2$ |

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : le joueur perd $40$ centimes par partie en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) — défavorable.

**Exercice 18.6 ★★.**

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues ; deux boules sont tirées *sans* remise. Soit $X$ le nombre de boules rouges tirées. Construire la [loi](#def-g11-prob-rv) de $X$ (énumérer les $20$ tirages ordonnés, ou utiliser un [arbre](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#met-g10-proba-tree)), et calculer $\E(X)$.

**Solution de Exercice 18.6.**

Tirage ordonné : $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (rouge puis rouge) ; $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 =
\frac{1}{10}$ (bleu puis bleu) ; d’où $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$. Puis

$$
\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10}
= \frac{12}{10} = 1.2 ,
$$

cohérent avec l’intuition : $\frac35$ des deux tirages sont rouges en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean).

**Exercice 18.7 ★★.**

Pour la roue de l’[Exercice 18.5](#exo-g11-prob-5), calculer $\V(G)$ et $\sigma(G)$.

**Solution de Exercice 18.7.**

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$, donc par la formule de König–Huygens $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ et $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

**Exercice 18.8 ★★.**

Une compagnie d’assurance vend une police pour $80$ euros. Avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.05$ le client réclame $1000$ euros, avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.01$ il réclame $5000$ euros, sinon rien. Soit $B$ le bénéfice de la compagnie sur une police. Donner la [loi](#def-g11-prob-rv) de $B$, calculer $\E(B)$, et interpréter.

**Solution de Exercice 18.8.**

Le bénéfice est $80$ moins la réclamation :

| $b$ | $80$ | $-920$ | $-4920$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\P(B=b)$ | $0.94$ | $0.05$ | $0.01$ |

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : à ce prix la compagnie *perd* $20$ euros par police en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean). La prime est trop basse pour les risques couverts (il faudrait qu’elle dépasse $100$ euros pour un bénéfice espéré positif).

**Exercice 18.9 ★★.**

Une question à choix multiples a $4$ réponses, une seule correcte. Une réponse correcte rapporte $+1$ ; pour décourager le hasard, une réponse fausse rapporte $x < 0$. Un élève répond au hasard. Pour quelle valeur de $x$ le score espéré de l’élève est-il nul ?

**Solution de Exercice 18.9.**

Le score aléatoire est $+1$ avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ et $x$ avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac34$ :

$$
\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .
$$

Avec la pénalité $-\frac13$, le hasard ne rapporte rien en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean).

**Exercice 18.10 ★★.**

Deux pièces équilibrées sont lancées. Anne propose : « si les deux pièces coïncident, je vous paie $1$ euro ; si elles diffèrent, vous me payez $1$ euro. » Calculer le gain espéré de chaque joueur. Le jeu est-il équitable ? Même question avec trois pièces, où Anne paie $2$ euros si les trois coïncident.

**Solution de Exercice 18.10.**

Deux pièces : elles coïncident (FF ou PP) avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac24 \times 2 = \frac12$. Le gain du joueur est $+1$ ou $-1$ avec [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) égales : [espérance](#def-g11-prob-expectation) $0$ pour les deux joueurs — le jeu est équitable.

Trois pièces : toutes coïncident (FFF ou PPP) avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac{2}{8} = \frac14$. Le joueur reçoit $2$ avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac14$ et paie $1$ avec [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$. Le jeu favorise Anne de $25$ centimes par manche ; il serait équitable si elle payait $3$ euros pour un triple match.

**Exercice 18.11 ★★★.**

Une loterie vend $1000$ billets à $5$ euros chacun. Un billet gagne $2000$ euros, cinq billets gagnent $200$ euros, vingt billets gagnent $25$ euros.

1. Donner la [loi](#def-g11-prob-rv) du revenu total de l’organisateur moins les lots, et du gain $G$ d’un seul joueur.
2. Calculer $\E(G)$ et le profit total espéré de l’organisateur. Vérifier que les deux réponses sont cohérentes.

**Solution de Exercice 18.11.**

*1.* L’organisateur reçoit $1000 \times 5 = 5000$ euros et verse $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros au total : le profit est la *constante* $1500$ (pas de hasard une fois tous les billets vendus). Le gain $G$ d’un seul joueur (lot moins le billet à $5$ euros) :

| $g$ | $1995$ | $195$ | $20$ | $-5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\P(G=g)$ | $\dfrac{1}{1000}$ | $\dfrac{5}{1000}$ | $\dfrac{20}{1000}$ | $\dfrac{974}{1000}$ |

*2.*

$$
\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000}
= \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .
$$

Chaque joueur s’attend à perdre $1.50$ euro ; sur $1000$ joueurs c’est $1500$ euros — exactement le profit de l’organisateur. Les comptes s’équilibrent : ce que les joueurs perdent en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) est précisément ce que l’organisateur encaisse.

## 18.6 Problème : la partie interrompue

**Problème 18.1.**

Devoir du week-end — Pascal, Fermat et le partage équitable d’un pari interrompu : la naissance de l’espérance, la magie de la linéarité, et ce que l’espérance ne voit pas

En 1654, le chevalier de Méré — le même joueur dont les paris aux dés ouvraient le problème de [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) du volume précédent — posa à Blaise Pascal une question plus profonde : deux joueurs de force égale doivent interrompre leur série au score de $5$ à $3$, six victoires emportant les $64$ pistoles de l’enjeu. *Comment partager équitablement l’enjeu ?* Les lettres échangées entre Pascal et Fermat pour y répondre ont fondé la notion au cœur de ce chapitre : l’[espérance](#def-g11-prob-expectation) ([Définition 18.8](#def-g11-prob-expectation)). Vous retrouverez leur réponse par les deux voies, puis rencontrerez le tour de passe-passe de la linéarité et l’unique angle mort de l’[espérance](#def-g11-prob-expectation).

**Partie I — Aisance avec l’[espérance](#def-g11-prob-expectation).**

1. On lance un dé équilibré ; le gain est de (face $- 3$ ) euros. Dresser le tableau de la [loi](#def-g11-prob-rv) du gain $G$ ( [Méthode 18.7](#met-g11-prob-table) ) et calculer $\E(G)$ .
2. Calculer $V(G)$ avec la formule raccourcie ( [Proposition 18.13](#prop-g11-prob-konig) ) puis $\sigma(G)$ (deux décimales).
3. Sans dresser de nouveau tableau, donner $\E(2G - 1)$ et $V(2G - 1)$ ( [Proposition 18.14](#prop-g11-prob-affine) ).
4. Un stand fait payer $m$ euros pour lancer deux dés et vous verse la somme obtenue en euros. Quel est le prix *équitable* $m$ ? Le stand fait payer $8$ : quelle est votre perte espérée par partie ?
5. Un ordinateur portable de $800$ euros a $5\,\%$ de risque de destruction par an. Calculer la prime d’assurance équitable, ainsi que le bénéfice espéré de l’assureur par contrat s’il fait payer $60$ euros.

**Partie II — Le partage de l’enjeu.** Score $5$–$3$, le premier à $6$ emporte les $64$ pistoles, chaque manche étant un lancer de pièce équilibrée.

6. Deux réponses fausses mais tentantes : partager selon $5 : 3$ (proportionnellement aux manches gagnées), ou tout donner à celui qui mène. Dire en une phrase pour chacune ce qu’elle a d’inéquitable.
7. La méthode de Fermat : le joueur A a besoin d’ $1$ victoire de plus, B de $3$ ; imaginons que l’on joue exactement $3$ manches supplémentaires quoi qu’il arrive. Énumérer les $8$ issues équiprobables, marquer qui remporte la série dans chacune, et en déduire le partage équitable des $64$ pistoles.
8. Le point délicat que Fermat a dû défendre : la partie réelle pourrait s’arrêter après une seule manche — pourquoi est-il malgré tout légitime de raisonner sur les $3$ manches imaginaires ?
9. La méthode de Pascal, à rebours depuis la fin : calculer la part équitable de A aux scores (hypothétiques) $5$ – $5$ , puis $5$ – $4$ , puis $5$ – $3$ , en moyennant chaque fois les deux futurs équiprobables. Comparer avec la question 7.
10. Même question au score $4$ – $3$ : combien de manches imaginaires, quelles issues donnent la série à B, et quel est le partage équitable ?
11. Énoncer le principe commun aux deux méthodes — la valeur équitable d’un avenir incertain est son *[espérance](#def-g11-prob-expectation)* — et nommer deux industries modernes qui vivent entièrement de ce principe (la question 5 en montre une).
12. Un contrôle de cohérence valable à tout score : expliquer, à l’aide de la linéarité de l’ [espérance](#def-g11-prob-expectation) ( [Proposition 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), pourquoi les parts équitables des deux joueurs doivent toujours totaliser exactement les $64$ pistoles.

**Partie III — Le tour de passe-passe de la linéarité.**

13. Retrouver $\E(\text{somme de deux dés}) = 7$ en une ligne par la linéarité ( [Proposition 18.11](#prop-g11-prob-linearity) ), sans le tableau à $36$ cases. Pour la *[variance](#def-g11-prob-variance)* de la somme, la règle $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ exige que les dés soient indépendants (admis) : la calculer.
14. La soirée aux chapeaux : $n$ invités jettent leur chapeau en tas et chacun en reprend un au hasard. Soit $X$ le nombre d’invités qui récupèrent leur propre chapeau. Pour un invité fixé, quelle est la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de récupérer son chapeau ? En sommant ces $n$ chances (linéarité !), calculer $\E(X)$ . La réponse devrait vous surprendre : elle ne dépend pas de $n$ .
15. Vérifier $\E(X) = 1$ par force brute pour $n = 2$ et $n = 3$ (énumérer les $2$ puis les $6$ distributions de chapeaux équiprobables et moyenner les comptages).
16. Les récupérations des invités sont loin d’être indépendantes (si $n - 1$ invités ont retrouvé leur chapeau, le dernier aussi). Où exactement le calcul de la question 14 n’a-t-il *pas* eu besoin de l’indépendance ? Énoncer le superpouvoir de la linéarité.

**Partie IV — Ce que l’[espérance](#def-g11-prob-expectation) ne voit pas.**

17. Deux tickets à gratter à $5$ euros : le ticket A fait gagner $10$ euros avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac12$ ; le ticket B fait gagner $1\,000$ euros avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $0.005$ . Vérifier que les deux gains ont la même [espérance](#def-g11-prob-expectation) , puis calculer les deux [variances](#def-g11-prob-variance) . Quel ticket les gens achètent-ils réellement, et qu’achètent-ils au juste ?
18. Le jeu de Saint-Pétersbourg : on lance une pièce jusqu’au premier face ; si ce premier face survient au lancer $n$ , on reçoit $2^n$ euros. Calculer la contribution de chaque $n$ à l’ [espérance](#def-g11-prob-expectation) , puis l’ [espérance](#def-g11-prob-expectation) elle-même. Paieriez-vous $1\,000$ euros pour jouer une seule fois ? Que ce heurt enseigne-t-il sur l’ [espérance](#def-g11-prob-expectation) ?
19. L’assurance vue du côté du client : payer $20$ euros, ou affronter un risque de $1\,\%$ de perdre $1\,000$ ? Comparer les deux [espérances](#def-g11-prob-expectation) , et expliquer pourquoi souscrire l’assurance peut malgré tout être rationnel (sur quoi une famille seule ne peut-elle pas « faire la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) » ?).
20. Pour finir — la biographie de l’ [espérance](#def-g11-prob-expectation) , une phrase par chapitre : née en 1654 pour partager un enjeu ; son superpouvoir, la linéarité, qui additionne les [espérances](#def-g11-prob-expectation) sans jamais demander l’indépendance (les chapeaux) ; son angle mort, le risque, que mesure la [variance](#def-g11-prob-variance) (les tickets, Saint-Pétersbourg, l’assurance) ; et son couronnement l’an prochain, quand la loi des grands nombres expliquera exactement pourquoi la banque finit toujours par gagner.

**Solution de Problème 18.1.**

**1.** $G$ prend les valeurs $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, chacune avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 +
3}{6} = \frac12$ euro.

**2.** $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} =
\frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12}
\approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$.

**3.** $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$.

**4.** $\E(\text{somme}) = 7$ : le prix équitable est de $7$ euros. À $8$ euros, la perte espérée est de $1$ euro par partie.

**5.** Prime équitable : $0.05 \times 800 = 40$ euros. En faisant payer $60$ : bénéfice espéré de $20$ euros par contrat.

**6.** Partager selon $5:3$ récompense le *passé* — alors que l’enjeu appartient à qui gagnera l’*avenir*, et B peut encore l’emporter. Tout donner à A traite une victoire probable comme certaine — la petite chance de B vaut quelque chose.

**7.** Manches à jouer : $3$ ; issues (victoire de A ou de B à chaque manche) : AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Le joueur B ne remporte la série qu’en gagnant les trois manches : la seule issue BBB. A remporte la série dans $7$ cas sur $8$ : partage équitable $64 \times \frac78 = 56$ pistoles pour A et $8$ pour B.

**8.** Jouer les manches supplémentaires, devenues inutiles, ne change la victoire de personne : une fois que A a sa sixième victoire, les manches suivantes ne sont que cérémonie. Mais fixer l’horizon à exactement $3$ manches rend les $8$ issues équiprobables — un dénombrement honnête réclame des histoires de même longueur, et les rallonger ne coûte rien.

**9.** À $5$–$5$ : une manche décisive, $32$ pour chacun. À $5$–$4$ : A obtient $\frac{64 + 32}{2} = 48$. À $5$–$3$ : la manche suivante mène soit à $64$ (si A la gagne), soit à la position $5$–$4$ qui vaut $48$ : la part de A est $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — le $56 : 8$ de Fermat, retrouvé en remontant depuis la fin.

**10.** A a besoin de $2$ victoires, B de $3$ : on joue $4$ manches imaginaires ($16$ issues). B remporte la série avec $3$ ou $4$ victoires : $4 + 1 = 5$ issues. Partage : B : $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; A : $44$.

**11.** La valeur présente équitable d’un gain futur incertain est son [espérance](#def-g11-prob-expectation) — la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) pondérée par les [probabilités](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) de ce qui peut advenir. L’assurance (question 5) et la finance (valorisation de flux incertains) sont cette phrase transformée en industries ; les casinos aussi, de l’autre côté de la table.

**12.** L’enjeu finit toujours quelque part : les deux parts sont des [variables aléatoires](#def-g11-prob-rv) de somme constante égale à $64$, donc par linéarité $\E_A + \E_B = 64$ — les parts équitables épuisent l’enjeu, à tout score.

**13.** Par linéarité : $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$, sans tableau — et cela reste vrai même pour des dés collés l’un à l’autre. [Variance](#def-g11-prob-variance) d’un dé : $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; pour des dés indépendants, $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$.

**14.** Chaque invité fixé récupère son propre chapeau avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$ (son chapeau est l’un des $n$). En sommant sur les $n$ invités : $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — un invité chanceux en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean), que la soirée compte deux chapeaux ou deux mille.

**15.** $n = 2$ : les deux répartitions donnent soit les deux chapeaux bien rendus ($X = 2$), soit l’échange ($X = 0$) : $\E = 1$. $n = 3$ : les six répartitions donnent $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$.

**16.** Le calcul a additionné les [espérances](#def-g11-prob-expectation) des $n$ indicateurs individuels (« l’invité $i$ a retrouvé son chapeau »), et la linéarité additionne les [espérances](#def-g11-prob-expectation) *sans condition* — la dépendance ruinerait un produit ou une [variance](#def-g11-prob-variance), jamais une somme d’[espérances](#def-g11-prob-expectation). Voilà le superpouvoir de la linéarité : aucune question d’indépendance n’est posée.

**17.** Les deux gains : $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ et $0.005 \times 1000 - 5 = 0$. [Variances](#def-g11-prob-variance) (du gain) : A : $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B : $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ ; donc $\sigma_A = 5$ et $\sigma_B \approx 70.5$. Les gens achètent B : ce qu’ils achètent n’est pas l’[espérance](#def-g11-prob-expectation) (nulle dans les deux cas) mais la *dispersion* — une petite chance de traîne droite qui change une vie.

**18.** Le premier face au lancer $n$ a la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $2^{-n}$ et rapporte $2^n$ : chaque $n$ contribue pour $2^{-n} \times 2^n = 1$ à l’[espérance](#def-g11-prob-expectation), qui vaut donc $1 + 1 + 1 + \dots$ : elle est infinie. Et pourtant personne de sensé ne paie $1\,000$ pour jouer une fois : avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac{15}{16}$, le gain n’excède pas $16$. L’[espérance](#def-g11-prob-expectation) résume le long terme de paris *répétables* ; un jeu unique à traîne sauvage ne se valorise pas par sa [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean).

**19.** [Espérances](#def-g11-prob-expectation) : s’assurer, $-20$ ; rester à découvert, $-0.01 \times 1000 = -10$. La stratégie sans assurance gagne en [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) — pour qui peut absorber la perte et répéter le pari de nombreuses fois. Une famille qui ne survivrait pas au $-1\,000$ n’est pas dans le métier de la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) : elle paie $10$ de plus pour effacer la [variance](#def-g11-prob-variance). Les assureurs moyennent ; les ménages achètent de la certitude.

**20.** Née du partage d’un enjeu entre deux joueurs impatients ; dotée du superpouvoir de la linéarité, qui additionne les espoirs sans demander la permission à la dépendance ; aveugle au risque, que la [variance](#def-g11-prob-variance) — les loteries, le jeu de Saint-Pétersbourg, le contrat de la famille — doit mesurer à sa place ; et couronnée l’an prochain par la loi des grands nombres, qui explique pourquoi les [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) finissent toujours par encaisser.