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title: "Algèbre : équations et inéquations"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 2
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations
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# Chapitre 2 — Algèbre : équations et inéquations

L’algèbre est l’art de calculer avec des lettres. Ce chapitre revoit et affine les deux gestes de base — [développer](#def-g10-algebra-expand) et [factoriser](#def-g10-algebra-expand) — et les utilise pour résoudre systématiquement des [équations](#def-g10-algebra-equation) et des inéquations, avec le [tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable) comme outil central.

## 2.1 Développer et factoriser

**Définition 2.1 (Développement, factorisation).**

*Développer* une expression, c’est transformer des produits en sommes ; *factoriser*, c’est l’opération inverse, transformer une somme en un produit. La règle de base est la distributivité :

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Exemple 2.2.**

Développer $(2x + 3)(x - 5)$ étape par étape :

$$
\begin{align*}
(2x + 3)(x - 5)
&= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\
&= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\
&= 2x^2 - 7x - 15 .
\end{align*}
$$

**Théorème 2.3 (Identités remarquables).**

Pour tous [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) $a$ et $b$ :

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Démonstration.** Chacune est un développement direct. Pour la première :

$$
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .
$$

La deuxième s’obtient en remplaçant $b$ par $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Pour la troisième : $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. ∎

![Pourquoi (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 : un carré de côté a + b se découpe en un carré de côté a, un carré de côté b, et deux rectangles a × b.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-578dad376d43.svg)

*Pourquoi $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : un carré de côté $a + b$ se découpe en un carré de côté $a$, un carré de côté $b$, et deux rectangles $a \times b$.*

**Exemple 2.4.**

Utilisées dans le sens direct ([développer](#def-g10-algebra-expand)) et inverse ([factoriser](#def-g10-algebra-expand)) :

$$
\begin{align*}
(3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4,
& x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\
(x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16,
& 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 .
\end{align*}
$$

Le calcul mental en profite aussi : $101 \times 99 = (100+1)(100-1) =
10000 - 1 = 9999$.

**Méthode 2.5 (Factoriser une expression).**

Essayer, dans cet ordre :

1. *Facteur commun :* repérer un facteur présent dans chaque terme et le sortir, par exemple $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . Le facteur commun peut être une parenthèse entière : $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
2. *Identité remarquable :* reconnaître $a^2 - b^2$ , ou $a^2 \pm 2ab + b^2$ , par exemple $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 =  (3x+4)(3x-4)$ .
3. Combiner les deux, et vérifier le résultat en le redéveloppant.

**Exemple 2.6.**

Factoriser $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$. C’est une différence de deux carrés $a^2 - b^2$ avec $a = 2x+1$ et $b = x-3$ :

$$
\begin{align*}
E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\
  &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\
  &= (3x - 2)(x + 4).
\end{align*}
$$

Attention à la seconde parenthèse : soustraire $x - 3$, c’est soustraire $x$ *et* ajouter $3$.

## 2.2 Équations

**Définition 2.7 (Équation, solution).**

Une *équation* est une égalité contenant un nombre inconnu $x$ ; une *solution* est une valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver *toutes* ses solutions.

Deux [équations](#def-g10-algebra-equation) sont *équivalentes* lorsqu’elles ont exactement les mêmes solutions. Ajouter le même nombre aux deux membres, ou multiplier les deux membres par le même nombre *non nul*, produit une [équation](#def-g10-algebra-equation) équivalente.

**Exemple 2.8 (Équation du premier degré).**

Résoudre $5x - 7 = 2x + 8$, une opération à la fois :

$$
\begin{align*}
5x - 7 &= 2x + 8 \\
5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(ajouter $7 - 2x$ aux deux membres)} \\
3x &= 15 \\
x &= 5 && \text{(diviser les deux membres par $3$).}
\end{align*}
$$

L’unique solution est $5$. Vérification : $5 \times 5 - 7 = 18$ et $2 \times 5 + 8 = 18$.

**Théorème 2.9 (Règle du produit nul).**

Un produit de [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .
$$

**Démonstration.** Si $A = 0$ ou $B = 0$, le produit est clairement $0$. Réciproquement, supposons $AB = 0$ et $A \neq 0$. Diviser les deux membres par $A$ donne $B = 0$. ∎

**Méthode 2.10 (Résoudre par factorisation).**

Pour résoudre une [équation](#def-g10-algebra-equation) dont le second membre est $0$ et dont le premier membre peut se [factoriser](#def-g10-algebra-expand) :

1. tout ramener à gauche pour que l’ [équation](#def-g10-algebra-equation) s’écrive $E = 0$ ;
2. [factoriser](#def-g10-algebra-expand) $E$ en un produit de facteurs du premier degré ;
3. appliquer la règle du produit nul et résoudre chaque petite [équation](#def-g10-algebra-equation) ;
4. rassembler toutes les solutions trouvées.

**Exemple 2.11.**

Résoudre $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : soit $x - 2 = 0$, d’où $x = 2$, soit $3x + 6 = 0$, d’où $x = -2$. Solutions : $-2$ et $2$.

Résoudre $x^2 = 9x$. *Ne pas* diviser par $x$ (il pourrait être nul !) ; tout ramener d’un côté et [factoriser](#def-g10-algebra-expand) :

$$
x^2 - 9x = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x(x - 9) = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x = 0 \ \text{ ou } \ x = 9 .
$$

**Exemple 2.12 (Équation quotient).**

Résoudre $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$. Un quotient est nul exactement lorsque son numérateur est nul *et* son dénominateur ne l’est pas. Ici $x - 1 = 0$ donne $x = 1$, et $1 + 2 = 3 \neq 0$ : l’unique solution est $1$. La valeur $x = -2$ est *interdite* (division par zéro) et doit toujours être exclue en premier.

## 2.3 Inéquations et tableaux de signes

**Proposition 2.13 (Règles pour les inégalités).**

Soit $a \leq b$.

1. Pour tout $c$ : $a + c \leq b + c$ (ajouter préserve l’ordre).
2. Si $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplier par un nombre positif préserve l’ordre).
3. Si $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplier par un nombre négatif *inverse* l’ordre).

**Démonstration.** 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$. 2. $bc - ac = (b-a)c$ est le produit de deux nombres positifs ou nuls, donc $bc \geq ac$. 3. À présent $(b-a)c \leq 0$ comme produit d’un nombre positif ou nul et d’un nombre négatif, donc $bc \leq ac$. ∎

**Exemple 2.14.**

Résoudre $-2x + 3 > 9$ :

$$
\begin{align*}
-2x + 3 &> 9 \\
-2x &> 6 && \text{(soustraire $3$)} \\
x &< -3 && \text{(diviser par $-2 < 0$~: inverser l'inégalité).}
\end{align*}
$$

L’ensemble des solutions est $\intoo{-\infty}{-3}$.

**Définition 2.15 (Tableau de signes).**

Un *tableau de signes* enregistre, une ligne par facteur, le signe ($+$ ou $-$) de chaque facteur d’une expression lorsque $x$ parcourt $\R$, avec un $0$ à chaque valeur où le facteur s’annule ; une dernière ligne donne le signe du produit, en appliquant la règle des signes colonne par colonne.

**Exemple 2.16.**

Signe de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$. Le facteur $x - 2$ s’annule en $2$ et est positif après ; le facteur $3 - x$ s’annule en $3$ et est positif avant :

| $x$ | $-\infty$ | $2$ |  | $3$ | $+\infty$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x - 2$ | $-$ | $0$ | $+$ |  | $+$ |
| $3 - x$ | $+$ |  | $+$ | $0$ | $-$ |
| $P(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |

Donc $P(x) > 0$ exactement sur $\intoo{2}{3}$, et $P(x) \leq 0$ sur $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$.

![Le graphique de P(x) = (x-2)(3-x) confirme le tableau de signes : positif entre les racines 2 et 3, négatif à l’extérieur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-algebra/fig-5304e5f43271.svg)

*Le graphique de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirme le [tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable) : positif entre les racines $2$ et $3$, négatif à l’extérieur.*

**Méthode 2.17 (Résoudre une inéquation avec un tableau de signes).**

Pour résoudre une inéquation du type $E(x) \geq 0$ ou $E(x) < 0$ :

1. tout ramener au premier membre, pour que le second membre soit $0$ (ne jamais multiplier les deux membres par une expression dont le signe est inconnu) ;
2. [factoriser](#def-g10-algebra-expand) le premier membre, ou le mettre sur un dénominateur commun s’il s’agit d’un quotient ;
3. construire le [tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable) avec une ligne par facteur (pour un quotient, marquer les valeurs interdites d’une double barre dans la dernière ligne) ;
4. lire les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) où le signe demandé est réalisé, en vérifiant si chaque borne est incluse.

**Exemple 2.18.**

Résoudre $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$. Le numérateur s’annule en $-1$, le dénominateur en $3$ (valeur interdite). Le quotient est négatif lorsque les deux ont des signes opposés, ce qui arrive pour $x$ entre $-1$ et $3$. En incluant la borne où le *numérateur* s’annule mais en excluant la valeur interdite : l’ensemble des solutions est $\intco{-1}{3}$.

## 2.4 Exercices

**Exercice 2.1 ★.**

Développer et simplifier :

$$
3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad
(x + 4)(2x - 1), \qquad
(3x - 2)^2, \qquad
(5 - x)(5 + x).
$$

**Solution de Exercice 2.1.**

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$.

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$.

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$.

**Exercice 2.2 ★.**

Factoriser :

$$
x^2 - 49, \qquad
x^2 + 10x + 25, \qquad
7x^2 - 14x, \qquad
16x^2 - 8x + 1 .
$$

**Solution de Exercice 2.2.**

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (différence de carrés).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$.

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (facteur commun).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$.

**Exercice 2.3 ★.**

Résoudre :

$$
4x + 9 = x - 3, \qquad
\frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad
2(x - 3) = 2x + 1 .
$$

(L’une d’elles n’a pas de solution — expliquer pourquoi.)

**Solution de Exercice 2.3.**

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$, donc $x = -4$.

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$, donc $x = 8$.

$2(x-3) = 2x + 1$ se développe en $2x - 6 = 2x + 1$, c’est-à-dire $-6 = 1$ : faux pour tout $x$. Aucune solution — les deux membres définissent des droites parallèles qui ne se rencontrent jamais.

**Exercice 2.4 ★.**

Résoudre en utilisant la règle du produit nul :

$$
(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad
x^2 - 16 = 0, \qquad
x^2 + 6x + 9 = 0 .
$$

**Solution de Exercice 2.4.**

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ ou $x = 4$.

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ ou $x = -4$.

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : l’unique solution $x = -3$.

**Exercice 2.5 ★.**

Résoudre les inéquations et écrire les ensembles de solutions comme [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) :

$$
3x - 5 \leq 7, \qquad
-4x + 1 > 9, \qquad
2(x - 1) \geq 5x + 4 .
$$

**Solution de Exercice 2.5.**

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$, donc $x \leq 4$ : ensemble des solutions $\intoc{-\infty}{4}$.

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$, diviser par $-4$ inverse l’inégalité : $x < -2$ : ensemble des solutions $\intoo{-\infty}{-2}$.

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$, donc $-3x \geq 6$, donc $x \leq -2$ : ensemble des solutions $\intoc{-\infty}{-2}$.

**Exercice 2.6 ★★.**

Factoriser $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$, puis résoudre $E = 0$.

**Solution de Exercice 2.6.**

Le facteur commun est $(x-1)$ :

$$
E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5)
= (x-1)(8 - x).
$$

Alors $E = 0$ lorsque $x = 1$ ou $x = 8$ (règle du produit nul).

**Exercice 2.7 ★★.**

Résoudre $x^2 = 5x$, puis $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$. (Pour la seconde, tout ramener à gauche et [factoriser](#def-g10-algebra-expand) la différence de carrés.)

**Solution de Exercice 2.7.**

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 5$ (ne jamais diviser par $x$ : la solution $0$ serait perdue).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : tout ramener à gauche et [factoriser](#def-g10-algebra-expand) la différence de carrés :

$$
(2x+1)^2 - (x-4)^2
= \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr]
= (3x - 3)(x + 5).
$$

Règle du produit nul : $x = 1$ ou $x = -5$.

**Exercice 2.8 ★★.**

À l’aide d’un [tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable), résoudre

$$
(x + 2)(4 - x) > 0,
\qquad
\frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .
$$

**Solution de Exercice 2.8.**

$(x+2)(4-x) > 0$ : le facteur $x + 2$ s’annule en $-2$ (positif après), $4 - x$ s’annule en $4$ (positif avant). Le produit est positif exactement lorsque les deux facteurs sont positifs, c’est-à-dire sur $\intoo{-2}{4}$.

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : numérateur nul en $3$, dénominateur nul en $-1$ (interdit). [Tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable) : le quotient est positif lorsque les deux parties ont le même signe, c’est-à-dire pour $x < -1$ ou $x > 3$ ; il s’annule en $x = 3$. Ensemble des solutions : $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$.

**Exercice 2.9 ★★.**

Un service de streaming coûte $9$ par mois, plus des frais d’inscription uniques de $15$ ; un concurrent coûte $12$ par mois sans frais. Au bout de combien de mois le premier service devient-il le moins cher au total ? Mettre en [équation](#def-g10-algebra-equation) et résoudre une inéquation.

**Solution de Exercice 2.9.**

Après $x$ mois le premier service coûte $9x + 15$ et le second $12x$. Le premier est moins cher lorsque

$$
9x + 15 < 12x
\ \Longleftrightarrow\
15 < 3x
\ \Longleftrightarrow\
x > 5 .
$$

À partir du $6$-ième mois, le premier service est le choix le moins cher au total.

**Exercice 2.10 ★★.**

Résoudre $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$. (Multiplier les deux membres par $x - 1$ après avoir exclu la valeur interdite, ou tout ramener à gauche sur un dénominateur commun.)

**Solution de Exercice 2.10.**

Valeur interdite : $x = 1$. Pour $x \neq 1$, multiplier les deux membres par $x - 1$ :

$$
x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2
\ \Longleftrightarrow\
x = 5 .
$$

Comme $5 \neq 1$, la solution est $x = 5$. Vérification : $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$.

**Exercice 2.11 ★★★.**

Soit $n$ un entier. Montrer que $(n + 1)^2 - n^2$ est toujours impair, et que la différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$.

**Solution de Exercice 2.11.**

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, qui est impair pour tout entier $n$.

Deux nombres impairs consécutifs s’écrivent $2n - 1$ et $2n + 1$. Alors

$$
(2n+1)^2 - (2n-1)^2
= \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr]
= 4n \times 2 = 8n,
$$

un multiple de $8$.

## 2.5 Problème : de Babylone au nombre d’or

**Problème 2.1.**

Devoir du week-end — problèmes somme-produit, la mise sous forme canonique telle qu’al-Khwarizmi la dessinait, et l’équation $x^2 = x + 1$

Il y a quatre mille ans, les scribes babyloniens résolvaient ceci sur l’argile : *trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit*. Leur astuce — chercher les nombres symétriquement autour de la demi-somme — vient encore aujourd’hui à bout de toute [équation](#def-g10-algebra-equation) du second degré, sous son nom moderne : la *mise sous forme canonique*. Ce problème apprend l’astuce, regarde al-Khwarizmi compléter littéralement un carré, puis met la méthode au travail sur la plus célèbre de toutes les proportions.

**Partie I — Le problème babylonien.**

1. Échauffement ( [Théorème 2.3](#thm-g10-algebra-identities) ) : [factoriser](#def-g10-algebra-expand) $x^2 - 10x + 25$ , puis $9x^2 - 49$ , puis — en combinant une identité et une différence de carrés — $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
2. Résoudre $(x + 1)(x + 5) = 0$ et $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ ( [Théorème 2.9](#thm-g10-algebra-zeroproduct) ).
3. Le problème du scribe : deux nombres ont pour somme $10$ et pour produit $21$ . À la manière de Babylone, les écrire $5 - t$ et $5 + t$ (symétriques autour de la demi-somme) et déterminer $t$ , puis les deux nombres.
4. Même méthode : somme $14$ , produit $33$ .
5. La recette générale : pour une somme $s$ et un produit $p$, montrer que les deux nombres valent $$\frac s2 - t  \quad\text{et}\quad  \frac s2 + t,  \qquad\text{où}\quad  t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$$ et énoncer la condition sur $s$ et $p$ pour que le problème ait une solution.

**Partie II — La mise sous forme canonique.**

6. Développer $(x - a)(x - b)$ et conclure : les solutions de $x^2 - sx + p = 0$ sont exactement les couples de nombres de somme $s$ et de produit $p$ . (Les scribes résolvaient des [équations](#def-g10-algebra-equation) du second degré sans le savoir.)
7. Vérifier que $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ , puis résoudre $x^2 - 10x + 21 = 0$ en factorisant le membre de droite comme une différence de carrés. Comparer avec la question 3.
8. Résoudre $x^2 + 6x - 7 = 0$ par mise sous forme canonique.
9. Mettre $x^2 + 4x + 5$ sous forme canonique, et expliquer pourquoi l’ [équation](#def-g10-algebra-equation) $x^2 + 4x + 5 = 0$ n’a *aucune* solution réelle. Énoncer le critère général : une fois écrite $(x + h)^2 + k$ , quand une expression du second degré s’annule-t-elle ?
10. Le nom est à prendre au pied de la lettre. À Bagdad, au neuvième siècle, al-Khwarizmi dessinait $x^2 + 6x = 7$ comme un carré de côté $x$ auquel on colle sur deux côtés deux rectangles $3 \times x$ , puis il *complétait le carré* par le coin $3 \times 3$ manquant. Faire la figure et expliquer comment elle transforme l’ [équation](#def-g10-algebra-equation) en $(x + 3)^2 = 16$ — puis résoudre.

**Partie III — Signes, tableaux et deux vieilles promesses.**

11. Construire le [tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable) de $(x - 3)(x + 2)$ ( [Définition 2.15](#def-g10-algebra-signtable) ) et résoudre $(x - 3)(x + 2) < 0$ .
12. Résoudre $x^2 \leq 10x - 21$ (tout ramener dans un même membre et réutiliser la question 7).
13. Résoudre $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ à l’aide d’un [tableau de signes](#def-g10-algebra-signtable) , sans oublier la valeur interdite.
14. Une vieille promesse tenue : pour l’agriculteur du problème de la clôture de la reine Didon, dans le volume précédent, avec $20$ m de clôture, l’aire d’un enclos $x \times (10 - x)$ vérifie $$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$$ Vérifier l’identité et y lire une *démonstration* de ce que l’on ne pouvait alors que conjecturer : l’aire maximale, et l’unique $x$ qui la réalise.
15. Une autre : démontrer que $x + \dfrac1x \geq 2$ pour tout $x > 0$ , avec égalité seulement en $x = 1$ . (Multiplier par $x$ , regrouper, reconnaître un carré — l’inégalité arithmético-géométrique du devoir du week-end sur les relations d’Euclide, du volume précédent, en habit neuf.)

**Partie IV — La section dorée.** Découper un segment de longueur $1$ en une grande partie $x$ et une petite partie $1 - x$ de sorte que *le tout soit à la grande partie ce que la grande partie est à la petite* : $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$.

16. Montrer que la condition s’écrit $x^2 + x - 1 = 0$ .
17. Résoudre par mise sous forme canonique, et conserver la racine qui est une longueur : $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
18. Le *nombre d’or* est $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Rendre le dénominateur rationnel (multiplier haut et bas par $\sqrt5 + 1$ : une identité à l’œuvre) et montrer que $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
19. Vérifier *exactement* les deux identités magiques de $\varphi$ : $$\varphi^2 = \varphi + 1,  \qquad  \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$$
20. Pour finir : expliquer pourquoi $\varphi$ est irrationnel (le devoir du week-end sur l’irrationalité, du volume précédent, fournit le fait clé sur $\sqrt5$ ), puis calculer à trois décimales les rapports $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ de nombres de Hemachandra–Fibonacci consécutifs (devoir du week-end sur le décompte des rythmes, du volume précédent). Que semblent-ils poursuivre ? (La démonstration qu’ils l’atteignent relève des chapitres sur les suites.)

**Solution de Problème 2.1.**

**1.** $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$.

**2.** $x = -1$ ou $x = -5$ ; $x = \frac73$ ou $x = -\frac73$.

**3.** $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ donne $t^2 = 4$, soit $t = 2$ : les nombres sont $3$ et $7$ (somme $10$, produit $21$ : vérification faite).

**4.** $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$, nombres $3$ et $11$.

**5.** $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right)
= \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ impose $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. Une solution existe exactement lorsque cette quantité est $\geq 0$, c’est-à-dire lorsque $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — le produit de deux nombres de somme donnée ne peut jamais dépasser le carré de la demi-somme (le problème de la clôture de la reine Didon, dans le volume précédent, le savait déjà).

**6.** $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : l’[équation](#def-g10-algebra-equation) $x^2 - sx + p = 0$ dit précisément « $x$ est l’un de deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ ».

**7.** $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$. Différence de carrés : $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : solutions $3$ et $7$ — les nombres du scribe de la question 3.

**8.** $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ donne $(x + 3)^2 = 16$, $x + 3 = \pm 4$ : $x = 1$ ou $x = -7$.

**9.** $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ pour tout $x$ : aucune solution réelle. Sous la forme $(x + h)^2 + k$, il y a des solutions exactement lorsque $k \leq 0$ (alors $(x+h)^2 = -k$ a les deux racines $-h \pm \sqrt{-k}$) ; lorsque $k > 0$, l’expression reste strictement positive.

**10.** Le carré de côté $x$ (aire $x^2$) et les deux rectangles $3 \times x$ (soit $6x$ en tout) forment un L d’aire $x^2 + 6x = 7$ ; le coin $3 \times 3$ manquant (aire $9$) complète un grand carré de côté $x + 3$. En ajoutant $9$ aux deux membres : $(x + 3)^2 = 16$, donc $x + 3 = 4$ (les longueurs sont positives) et $x = 1$. L’algèbre et le dessin sont un seul et même geste.

**11.** $(x-3)(x+2)$ est négatif entre les racines. Solution de $< 0$ : $x \in \intoo{-2}{3}$.

**12.** $x^2 - 10x + 21 \leq 0$, c’est-à-dire $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : entre les racines, bornes comprises : $x \in \intcc{3}{7}$.

**13.** Numérateur nul en $x = 1$, valeur interdite en $x = -2$ ; le quotient est positif hors des racines : $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$.

**14.** $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : identité vérifiée. Comme $(x-5)^2 \geq 0$ toujours, on a $A(x) \leq 25$, avec égalité exactement pour $x = 5$ : l’enclos carré $5 \times 5$, d’aire maximale $25$ m$^2$ — le tableau de valeurs d’autrefois, devenu démonstration en deux lignes.

**15.** Pour $x > 0$, multiplions l’inégalité par $x$ : $x^2 + 1 \geq 2x$, c’est-à-dire $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — ce qui est vrai, avec égalité seulement en $x = 1$. Rediviser par $x > 0$ conserve tout ([Proposition 2.13](#prop-g10-algebra-ineqrules)).

**16.** Le produit en croix dans $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (toutes les longueurs sont positives) donne $x^2 = 1 - x$, c’est-à-dire $x^2 + x - 1 = 0$.

**17.** $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ donne $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$. La racine positive : $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$.

**18.** $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} =
\frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)}
= \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2}
\approx 1.618$.

**19.** $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} =
\frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$, et $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : les deux sont égaux. Et $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (c’est ainsi que $\varphi$ a été défini). Le nombre d’or est le nombre dont le carré ajoute un et dont l’inverse retranche un.

**20.** $\sqrt5$ est irrationnel (devoir du week-end sur l’irrationalité, du volume précédent : $5$ n’est pas un carré parfait), et ajouter $1$ puis diviser par $2$ conserve l’irrationalité (opérations rationnelles, [Problème 1.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#pb-g10-numbers-1)). Rapports : $\frac53 \approx 1.667$, $\frac85 = 1.600$, $\frac{13}{8} = 1.625$, $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : alternativement au-dessus et au-dessous, ils se resserrent autour de $\varphi = 1.618\ldots$ — les nombres qui comptaient les rythmes (devoir du week-end correspondant du volume précédent) poursuivent secrètement la section dorée ; les chapitres sur les suites les prendront sur le fait.