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title: "Suites"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 20
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites
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# Chapitre 20 — Suites

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) est une liste de [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) indexés par les entiers naturels. Les [suites](#def-g12-seq-sequence) modélisent des évolutions discrètes — populations comptées année par année, soldes d’un compte bancaire, [approximations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) successives d’un nombre — et leurs limites sont la première rencontre sérieuse avec l’infini. Ce chapitre met en place le vocabulaire, le principe de récurrence, et les théorèmes fondamentaux de convergence.

## 20.1 Raisonnement par récurrence

**Théorème 20.1 (Principe de récurrence).**

Soit $P(n)$ un énoncé dépendant d’un entier $n$, et soit $n_0 \in \N$. Si

1. *(initialisation)* $P(n_0)$ est vrai, et
2. *(hérédité)* pour tout $n \geq n_0$ , $P(n)$ implique $P(n+1)$ ,

alors $P(n)$ est vrai pour tout $n \geq n_0$.

**Démonstration.** Supposons, par l’absurde, que l’ensemble $A$ des entiers $n \geq n_0$ pour lesquels $P(n)$ est faux est non vide. Alors $A$ a un plus petit élément $m$.[1](#fn-1) Comme $P(n_0)$ est vrai, $m > n_0$, donc $m - 1 \geq n_0$ et $m-1 \notin A$, c’est-à-dire $P(m-1)$ est vrai. L’hérédité appliquée à $n = m-1$ montre alors que $P(m)$ est vrai, contredisant $m \in A$. ∎

**Exemple 20.2.**

Prouvons l’*inégalité de Bernoulli* : pour tout réel $a > 0$ et tout $n \in \N$,

$$
(1+a)^n \geq 1 + na.
$$

*Initialisation.* Pour $n = 0$, les deux membres valent $1$. *Hérédité.* Supposons $(1+a)^n \geq 1+na$ pour un certain $n \in \N$. Comme $1 + a > 0$, multiplier les deux membres par $1+a$ préserve l’inégalité :

$$
(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .
$$

Par récurrence, l’inégalité vaut pour tout $n \in \N$.

**Méthode 20.3 (Rédiger une démonstration par récurrence).**

Toujours rendre l’énoncé $P(n)$ explicite avant de commencer. Une démonstration complète a trois parties visibles : l’initialisation, l’hérédité (« supposons $P(n)$ ; prouvons $P(n+1)$ »), et la conclusion invoquant le principe de récurrence. L’erreur la plus courante est de prouver l’hérédité sans jamais utiliser l’hypothèse $P(n)$ : si cela arrive, soit la preuve est fausse, soit la récurrence n’était pas nécessaire.

## 20.2 Vocabulaire des suites

**Définition 20.4 (Suite).**

Une *suite* est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $u \colon \N \to \R$ (ou de $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ vers $\R$). L’[image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) de $n$ s’écrit $u_n$, et la suite elle-même $(u_n)_{n\in\N}$ ou simplement $(u_n)$.

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) peut être définie *explicitement*, par une formule $u_n = f(n)$, ou par *récurrence*, par son premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$.

**Définition 20.5 (Monotonie).**

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ est *croissante* si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, *[décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)* si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$, et *[monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)* si elle est croissante ou [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations). Elle est *strictement* croissante (resp. [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations)) lorsque les inégalités sont strictes.

**Méthode 20.6 (Étudier la monotonie d’une suite).**

Trois techniques standard :

1. étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ;
2. si tous les termes sont positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ ;
3. si $u_n = f(n)$ avec $f$ définie sur $\intco{0}{+\infty}$ , utiliser les variations de $f$ .

**Définition 20.7 (Suite bornée).**

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ est *majorée* s’il existe $M \in \R$ avec $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; *minorée* s’il existe $m \in \R$ avec $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; et *bornée* si les deux valent.

### 20.2.1 Suites arithmétiques et géométriques

**Définition 20.8 (Suites arithmétiques et géométriques).**

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ est *arithmétique* de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$, et *géométrique* de raison $q$ si $u_{n+1} = q\,u_n$ pour tout $n$.

**Proposition 20.9 (Forme explicite et sommes).**

Soit $n \in \N$.

1. Si $(u_n)$ est [arithmétique](#def-g12-seq-arith-geom) de raison $r$, alors $u_n = u_0 + nr$ et $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$$
2. Si $(u_n)$ est [géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) de raison $q \neq 1$, alors $u_n = u_0\, q^n$ et $$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$$

**Démonstration.** Les formes explicites suivent par des récurrences immédiates. Pour la somme [arithmétique](#def-g12-seq-arith-geom), écrire $S = u_0 + \dots + u_n$ et ajouter la même somme écrite à l’envers : chacune des $n+1$ sommes de colonnes égale $u_0 + u_n$, donc $2S = (n+1)(u_0+u_n)$. Pour la somme [géométrique](#def-g12-seq-arith-geom), calculer $S - qS$ : tous les termes s’annulent par paires sauf le premier et le dernier, donc $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$. ∎

## 20.3 Limite d’une suite

**Définition 20.10 (Suite convergente).**

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *converge* vers le [nombre réel](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) $\ell$ si tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d’un certain rang. On écrit alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$.

De façon équivalente : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \N$ tel que pour tout $n \geq N$, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$.

![Convergence de u_n = 2 + (-1)n/n vers = 2 : pour > 0 donné, tous les termes à partir de l’indice N sont dans la bande ( - , + ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-8991cce01fa0.svg)

*Convergence de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ vers $\ell = 2$ : pour $\varepsilon > 0$ donné, tous les termes à partir de l’indice $N$ sont dans la bande $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$.*

**Définition 20.11 (Divergence vers l’infini).**

La [suite](#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$ *tend vers $+\infty$* si pour tout $A \in \R$, il existe $N \in \N$ tel que $u_n \geq A$ pour tout $n \geq N$. On écrit $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; la définition de $\lim u_n = -\infty$ est analogue. Une [suite](#def-g12-seq-sequence) qui ne [converge](#def-g12-seq-limit) pas est dite *divergente*.

**Remarque 20.12.**

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) peut diverger sans tendre vers $\pm\infty$ : la [suite](#def-g12-seq-sequence) $u_n = (-1)^n$ ne prend que les valeurs $1$ et $-1$ et n’a pas de limite.

**Proposition 20.13 (Unicité de la limite).**

Si $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit), sa limite est unique.

**Démonstration.** Supposons $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell'$ avec $\ell \neq \ell'$, disons $\ell < \ell'$. Poser $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$. À partir d’un certain rang, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ et $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$, d’où

$$
\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell}
\leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,
$$

une contradiction. ∎

**Proposition 20.14 (Opérations sur les limites).**

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des [suites](#def-g12-seq-sequence) de limites $\ell$ et $\ell'$ (finies ou infinies). Alors, chaque fois que le second membre n’est pas une forme indéterminée,

$$
\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad
\lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad
\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.
$$

Les formes indéterminées sont $(+\infty) + (-\infty)$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$.

**Démonstration.** On prouve la règle de la somme pour des limites finies ; les autres cas sont analogues et laissés en exercice. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N_1, N_2$ tels que $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ pour $n \geq N_1$ et $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ pour $n \geq N_2$. Pour $n \geq \max(N_1, N_2)$, l’inégalité triangulaire donne

$$
\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')}
\leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere
$$

∎

**Méthode 20.15 (Lever une forme indéterminée).**

Face à une forme indéterminée, [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) le terme dominant. Par exemple

$$
n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
\qquad
\frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .
$$

## 20.4 Théorèmes de convergence

**Théorème 20.16 (Comparaison et théorème des gendarmes).**

Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ des [suites](#def-g12-seq-sequence).

1. Si $u_n \leq v_n$ à partir d’un certain rang et $u_n \to +\infty$ , alors $v_n \to +\infty$ .
2. *(Théorème des gendarmes)* Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ à partir d’un certain rang et $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent toutes deux vers la même limite $\ell$ , alors $(v_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) vers $\ell$ .

**Démonstration.** *1.* Soit $A \in \R$. Comme $u_n \to +\infty$, il existe $N$ avec $u_n \geq A$ pour $n \geq N$ ; en élargissant $N$ si besoin, $v_n \geq u_n \geq A$ pour $n \geq N$.

*2.* Soit $\varepsilon > 0$. À partir d’un certain rang, à la fois $\ell - \varepsilon \leq u_n$ et $w_n \leq \ell + \varepsilon$ valent, d’où $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$, c’est-à-dire $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$. ∎

**Exemple 20.17.**

Pour tout $n \geq 1$, $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$, et les deux bornes tendent vers $0$ ; d’où $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$.

**Théorème 20.18 (Théorème de la convergence monotone).**

Une [suite](#def-g12-seq-sequence) [croissante](#def-g12-seq-monotonic) [majorée](#def-g12-seq-bounded) [converge](#def-g12-seq-limit). Une [suite](#def-g12-seq-sequence) [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) minorée [converge](#def-g12-seq-limit). Une [suite](#def-g12-seq-sequence) [croissante](#def-g12-seq-monotonic) non [majorée](#def-g12-seq-bounded) tend vers $+\infty$.

**Démonstration partielle.** On prouve le troisième énoncé. Soit $(u_n)$ [croissante](#def-g12-seq-monotonic) et non [majorée](#def-g12-seq-bounded), et soit $A \in \R$. Comme $A$ n’est pas un majorant, il existe $N$ avec $u_N \geq A$ ; par monotonie, $u_n \geq u_N \geq A$ pour tout $n \geq N$. D’où $u_n \to +\infty$.

Les deux énoncés de convergence s’appuient sur la propriété de la borne supérieure de $\R$ ; ils sont *admis à ce niveau* (et prouvés en première année d’université). ∎

**Remarque 20.19.**

Le théorème garantit l’*existence* de la limite mais n’en donne pas la valeur. Une [suite](#def-g12-seq-sequence) [croissante](#def-g12-seq-monotonic) [majorée](#def-g12-seq-bounded) par $M$ [converge](#def-g12-seq-limit) vers un certain $\ell \leq M$, pas nécessairement vers $M$.

**Théorème 20.20 (Limite des suites géométriques).**

Soit $q \in \R$.

1. Si $q > 1$ , alors $q^n \to +\infty$ .
2. Si $q = 1$ , alors $q^n \to 1$ .
3. Si $\abs{q} < 1$ , alors $q^n \to 0$ .
4. Si $q \leq -1$ , alors $(q^n)$ diverge et n’a pas de limite.

**Démonstration.** *1.* Écrire $q = 1 + a$ avec $a > 0$. L’inégalité de Bernoulli ([Exemple 20.2](#ex-g12-seq-bernoulli)) donne $q^n \geq 1 + na \to +\infty$, et on conclut par comparaison ([Théorème 20.16](#thm-g12-seq-squeeze)).

*2.* Immédiat.

*3.* Si $q = 0$ l’assertion est claire. Sinon $\abs{q} < 1$ donne $1/\abs{q} > 1$, donc $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ par le point 1, d’où $\abs{q}^n \to 0$, et $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ permet de conclure par le théorème des gendarmes.

*4.* Pour $q \leq -1$, $(q^{2n})$ prend des valeurs $\geq 1$ tandis que $(q^{2n+1})$ prend des valeurs $\leq -1$ : aucune limite unique ne peut attirer les deux [sous-suites](#def-g12-seq-sequence). ∎

![Les trois comportements de (qn) : divergence vers +∈fty pour q > 1 (rouge), convergence vers 0 pour q < 1 (bleu), et oscillation amortie — encore convergence vers 0 — pour -1 < q < 0 (orange).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-d2621466e91a.svg)

*Les trois comportements de $(q^n)$ : divergence vers $+\infty$ pour $q > 1$ (rouge), convergence vers $0$ pour $\abs q < 1$ (bleu), et oscillation amortie — encore convergence vers $0$ — pour $-1 < q < 0$ (orange).*

**Méthode 20.21 (Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)).**

Pour étudier une [suite](#def-g12-seq-sequence) définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ :

1. prouver par récurrence que $(u_n)$ reste dans un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ sur lequel $f$ se comporte bien (et, souvent, que $(u_n)$ est [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) ) ;
2. déduire la convergence du théorème de la convergence [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) ;
3. passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : si $f$ est continue et $u_n \to \ell \in I$ , alors $\ell$ satisfait $f(\ell) = \ell$ (voir le [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#ch-g12-limcont) ) ; résoudre cette [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) et sélectionner la bonne [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) .

![Construction en escalier pour u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 () : chaque marche verticale lit f(u_n) sur la courbe, chaque marche horizontale la ramène par y = x. La suite monte vers le point fixe = 2, où la courbe rencontre la droite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-seq/fig-fce72bb54caf.svg)

*Construction en escalier pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, $u_0 = 0$ ([Exercice 20.6](#exo-g12-seq-6)) : chaque marche verticale lit $f(u_n)$ sur la courbe, chaque marche horizontale la ramène par $y = x$. La [suite](#def-g12-seq-sequence) monte vers le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) $\ell = 2$, où la courbe rencontre la droite.*

**Exemple 20.22.**

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. On vérifie par récurrence que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n$ (l’inégalité $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ pour $x>0$ équivaut à $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$), puis que $(u_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), car

$$
u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .
$$

[Décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) et minorée, $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) vers un certain $\ell \geq \sqrt{2}$, qui doit satisfaire $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, c’est-à-dire $\ell^2 = 2$. D’où $u_n \to \sqrt{2}$. C’est l’algorithme d’Héron, déjà utilisé par les Babyloniens ; sa convergence est extrêmement rapide ($u_3$ donne déjà $\sqrt 2$ à huit décimales).

## 20.5 Exercices

**Exercice 20.1 ★.**

Prouver par récurrence que pour tout $n \in \N$,

$$
1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$

**Solution de Exercice 20.1.**

Soit $P(n)$ l’énoncé $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. *Initialisation :* pour $n = 0$ les deux membres valent $0$ (somme vide). *Hérédité :* supposons $P(n)$. Alors

$$
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2
= \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6}
= \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.
$$

Comme $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$, c’est $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$, qui est $P(n+1)$. Par récurrence, $P(n)$ vaut pour tout $n$.

**Exercice 20.2 ★.**

Étudier la monotonie des [suites](#def-g12-seq-sequence) définies pour $n \geq 1$ par

$$
a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad
b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad
c_n = n^2 - 10n .
$$

**Solution de Exercice 20.2.**

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}
= \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$ : $(a_n)$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations).

$(b_n)$ a des termes positifs et $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} =
\frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$ : $(b_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic) (strictement pour $n \geq 2$).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$, qui est négatif pour $n \leq 4$ et positif pour $n \geq 5$ : $(c_n)$ décroît jusqu’à $c_5 = -25$, son [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema), puis croît. Elle n’est pas [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone).

**Exercice 20.3 ★.**

Calculer les limites des [suites](#def-g12-seq-sequence) de termes généraux

$$
u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad
v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad
w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.
$$

**Solution de Exercice 20.3.**

Factoriser les termes dominants :

$$
u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.
$$

Multiplier par le conjugué :

$$
v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
$$

Diviser numérateur et dénominateur par $3^n$ :

$$
w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,
$$

en utilisant $\lim q^n = 0$ pour $\abs{q} < 1$.

**Exercice 20.4 ★.**

Soit $(u_n)$ la [suite arithmétique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#def-g11-seq-arithmetic) avec $u_0 = 5$ et raison $r = 3$, et $(v_n)$ la [suite géométrique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#def-g11-seq-geometric) avec $v_0 = 8$ et raison $q = \frac{1}{2}$. Calculer $u_n$, $v_n$, $\sum_{k=0}^{n} u_k$ et $\sum_{k=0}^{n} v_k$, et les limites des quatre expressions lorsque $n \to +\infty$.

**Solution de Exercice 20.4.**

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ et $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$. Les sommes sont

$$
\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2}
\xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,
$$

$$
\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2}
= 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)
\xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .
$$

**Exercice 20.5 ★★.**

En utilisant le théorème des gendarmes, calculer

$$
\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1}
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},
$$

où $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. Pour la seconde limite, borner $\frac{n!}{n^n}$ par un terme d’une [suite géométrique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#def-g11-seq-geometric).

**Solution de Exercice 20.5.**

Comme $-1 \leq \cos n \leq 1$,

$$
\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,
$$

et $\frac{n-1}{n+1} \to 1$, donc la limite est $1$ par le théorème des gendarmes.

Pour la seconde limite, écrire

$$
0 \leq \frac{n!}{n^n}
= \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}
\leq \frac{1}{n},
$$

car chaque facteur $\frac{k}{n}$ avec $2 \leq k \leq n$ est au plus $1$. Comme $\frac1n \to 0$, le théorème des gendarmes donne $\frac{n!}{n^n} \to 0$. (La borne [géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) suggérée fonctionne aussi : chaque facteur avec $k \leq n/2$ est au plus $\frac12$, donnant la borne plus forte $(1/2)^{\floor{n/2}}$.)

**Exercice 20.6 ★★.**

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \N$.

1. Prouver par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ .
2. Montrer que $(u_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic) .
3. En déduire que $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) et déterminer sa limite.

**Solution de Exercice 20.6.**

*1.* $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$. Si $0 \leq u_n \leq 2$, alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, donc $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$ ; en particulier $0 \leq u_{n+1} \leq 2$. Par récurrence la propriété vaut pour tout $n$.

*2.* $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$. Pour $x \in \intcc{0}{2}$, $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff
(2-x)(x+1) \geq 0$, ce qui est vrai. D’où $(u_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic).

*3.* [Croissante](#def-g12-seq-monotonic) et [majorée](#def-g12-seq-bounded) par $2$, $(u_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) vers un certain $\ell \in \intcc{0}{2}$. En passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (l’application $x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue) on obtient $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, donc $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, c’est-à-dire $\ell \in \{-1, 2\}$. Comme $\ell \geq 0$, $\lim u_n = 2$.

**Exercice 20.7 ★★.**

Un patient prend une dose de $1$ unité d’un médicament chaque matin. Pendant chaque période de $24$ heures, le corps élimine $40\,\%$ du médicament présent. Soit $u_n$ la quantité de médicament dans le corps juste après la dose du jour $n$, de sorte que $u_0 = 1$.

1. Justifier que $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
2. Soit $v_n = u_n - 2.5$ . Montrer que $(v_n)$ est [géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) et en déduire une formule explicite pour $u_n$ .
3. Déterminer la quantité de médicament à long terme dans le corps.

**Solution de Exercice 20.7.**

*1.* Entre deux doses, $40\,\%$ du médicament est éliminé, donc la quantité $u_n$ devient $0.6\,u_n$ ; la dose suivante ajoute $1$ unité : $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$.

*2.* $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5)
= 0.6\,v_n$ : $(v_n)$ est [géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) de raison $0.6$ et de premier terme $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$. D’où $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ et

$$
u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .
$$

*3.* Comme $0.6^n \to 0$, $u_n \to 2.5$ : la quantité de médicament se stabilise à $2.5$ unités.

**Exercice 20.8 ★★.**

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$.

1. Montrer par récurrence que $u_n > 1$ pour tout $n \in \N$ .
2. Montrer que $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ définit une [suite arithmétique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/13-suites-un-premier-cours#def-g11-seq-arithmetic) .
3. En déduire des formules explicites pour $v_n$ et $u_n$ , et la limite de $(u_n)$ .

**Solution de Exercice 20.8.**

*1.* $u_0 = 3 > 1$. Si $u_n > 1$, alors $u_n + 2 > 0$ et

$$
u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .
$$

Par récurrence, $u_n > 1$ pour tout $n$ (et en particulier $u_n + 2 \neq 0$, donc la [suite](#def-g12-seq-sequence) est bien définie).

*2.* En utilisant l’identité ci-dessus,

$$
v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)}
= \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .
$$

Donc $(v_n)$ est [arithmétique](#def-g12-seq-arith-geom) de raison $\frac13$ et $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$.

*3.* $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$, d’où $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$. Comme $v_n \to +\infty$, $u_n \to 1$.

**Exercice 20.9 ★★★.**

Pour $n \geq 1$, soit $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$.

1. Montrer que pour tout $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
2. En déduire que $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ pour tout $k \in \N$ , et conclure que $H_n \to +\infty$ .

**Solution de Exercice 20.9.**

*1.* $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ est une somme de $n$ termes, chacun au moins $\frac{1}{2n}$ ; d’où $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$.

*2.* Par récurrence sur $k$ : $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$. Si $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$, alors en appliquant le point 1 avec $n = 2^k$,

$$
H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.
$$

La [suite](#def-g12-seq-sequence) $(H_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic) (chaque pas ajoute $\frac{1}{n+1} > 0$) et la [sous-suite](#def-g12-seq-sequence) $H_{2^k}$ est non [majorée](#def-g12-seq-bounded), donc $(H_n)$ n’est pas [majorée](#def-g12-seq-bounded). [Croissante](#def-g12-seq-monotonic) et non [majorée](#def-g12-seq-bounded), elle tend vers $+\infty$ ([Théorème 20.18](#thm-g12-seq-monotone)).

**Exercice 20.10 ★★★.**

*([Suites](#def-g12-seq-sequence) adjacentes.)* Deux [suites](#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ et $(b_n)$ sont *adjacentes* si $(a_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic), $(b_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), et $b_n - a_n \to 0$.

1. Montrer que pour tout $n$ , $a_n \leq b_n$ . (Indication : étudier la monotonie de $(b_n - a_n)$ .)
2. Montrer que des [suites](#def-g12-seq-sequence) adjacentes convergent toutes deux vers la même limite.
3. Application : montrer que les [suites](#def-g12-seq-sequence) $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ et $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) sont adjacentes. (Leur limite commune est le nombre $\eu$ , étudié dans le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#ch-g12-exp) .)

**Solution de Exercice 20.10.**

*1.* La [suite](#def-g12-seq-sequence) $d_n = b_n - a_n$ satisfait $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$, donc $(d_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) ; comme $d_n \to 0$, on obtient $d_n \geq 0$ pour tout $n$ (une [suite](#def-g12-seq-sequence) [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) avec un terme négatif resterait en dessous pour toujours, empêchant la limite $0$). D’où $a_n \leq b_n$.

*2.* De $a_n \leq b_n \leq b_0$, la [suite](#def-g12-seq-sequence) [croissante](#def-g12-seq-monotonic) $(a_n)$ est [majorée](#def-g12-seq-bounded), donc elle [converge](#def-g12-seq-limit) vers un certain $\ell$. De même $(b_n)$, [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) et minorée par $a_0$, [converge](#def-g12-seq-limit) vers un certain $\ell'$. Alors $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$, donc $\ell = \ell'$.

*3.* $(a_n)$ est (strictement) [croissante](#def-g12-seq-monotonic) car $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$. Pour $(b_n)$,

$$
b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!}
= \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}
= \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,
$$

donc $(b_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations). Enfin $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$. Les deux [suites](#def-g12-seq-sequence) sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune.

## 20.6 Problème : la suite de Héron, enfin jugée

**Problème 20.1.**

Devoir du week-end — la récurrence certifie, la convergence monotone tranche, et la recette de $\sqrt2$ vieille de deux mille ans obtient enfin sa démonstration (avec, pour dessert, la merveilleuse moyenne de Gauss)

Trois fois déjà cette série a croisé la recette de Héron — moyenner l’estimation avec $2/\text{estimation}$ — et trois fois elle n’a pu qu’*observer* que la recette fonctionne. Ce chapitre possède enfin les instruments du jugement : la récurrence ([Théorème 20.1](#thm-g12-seq-induction)), le théorème de convergence [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) ([Théorème 20.18](#thm-g12-seq-monotone)) et les limites de [suites](#def-g12-seq-sequence) récurrentes. Le verdict, et la vitesse certifiée, occupent le cœur de ce problème ; autour de lui, les pièges classiques de la récurrence, la divergence la plus lente des mathématiques, et la convergence la plus rapide que Gauss ait jamais rencontrée.

**Partie I — Échauffements par récurrence.**

1. Démontrer par récurrence que $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (l’escalier des nombres impairs, dessiné dans le volume précédent, à présent certifié).
2. Démontrer par récurrence que $2^n > n$ pour tout $n \in \N$ .
3. Démontrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli : pour $x \geq 0$ et $n \in \N$ , $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
4. Le piège classique : « toutes les billes sont de la même couleur — c’est vrai pour une bille ; et si $n$ billes quelconques sont toujours d’une seule couleur, alors parmi $n + 1$ billes les $n$ premières partagent une couleur, les $n$ dernières aussi, donc les $n + 1$ également ». Tout enfant sait que la conclusion est absurde : trouver l’étape exacte où la récurrence se rompt.
5. Démontrer par récurrence que $4^n - 1$ est divisible par $3$ pour tout $n \in \N$ .

**Partie II — Le procès de Héron.** On pose $x_0 = 2$ et $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n +
\dfrac{2}{x_n}\right)$.

6. Calculer $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ sous forme de fractions exactes (de vieilles connaissances).
7. Démontrer l’identité clé $$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2}  \geq 0,$$ et en déduire par récurrence que $x_n > 0$ et $x_n^2 > 2$ pour tout $n$.
8. Montrer que $(x_n)$ est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) (calculer $x_{n+1} - x_n$ et utiliser la question 7).
9. Invoquer le théorème de convergence [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) : pourquoi $(x_n)$ converge-t-elle vers une limite $L \geq 1$ ?
10. Identifier la limite : passer la relation de récurrence à la limite ( [Proposition 20.14](#prop-g12-seq-operations) ) et conclure $L = \sqrt2$ . Énoncer le verdict historique : après deux mille ans de loyaux services, la recette de Héron est *démontrée* convergente.
11. La vitesse certifiée : avec $e_n = x_n - \sqrt2$, démontrer que $$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$$ et en déduire $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ : l’erreur est élevée au carré à chaque pas — le doublement des décimales observé depuis le volume précédent, désormais théorème.
12. Confirmer numériquement : calculer $e_0, e_1, e_2, e_3$ (à partir de la question 6) et vérifier que chaque $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ est proche de $\frac{1}{2x_n}$ .

**Partie III — La divergence la plus lente.**

13. L’ [Exercice 20.9](#exo-g12-seq-9) a démontré $H_{2^k} \geq 1 +  \frac k2$ pour les sommes harmoniques. Combien de termes garantissent $H_n > 10$ ? (Une puissance de deux fera l’affaire ; s’émerveiller de sa taille.)
14. Par contraste, les sommes [géométriques](#def-g12-seq-arith-geom) $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} =  2 - \frac{1}{2^n}$ convergent vers $2$ ( [Théorème 20.20](#thm-g12-seq-geometric) ) : l’intuition de la tablette de chocolat du volume précédent, enfin devenue un énoncé sur les limites. En écrire la démonstration en deux lignes.
15. Entre les deux : montrer que les sommes $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots +  \frac{1}{n^2}$ convergent, en majorant $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} =  \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (pour $k \geq 2$ ), en télescopant, puis en appliquant la convergence [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) . (La limite, $\frac{\pi^2}{6}$ , est l’un des miracles d’Euler, démontré dans les volumes universitaires.)
16. Énoncer en deux phrases la morale des questions 13 à 15 : que décide « les termes tendent vers $0$ » quant à la convergence des sommes — et que ne décide-t-elle pas ?

**Partie IV — La [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) [arithmético-géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) de Gauss.** On pose $a_0 = 1$, $b_0 = 2$, et

$$
a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},
\qquad
b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .
$$

17. Calculer $a_1, b_1, a_2, b_2$ (cinq décimales). Que remarque-t-on sur la vitesse ?
18. Montrer que $a_n \leq b_n$ pour tout $n$ (l’inégalité [arithmético-géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) , croisée tout au long de cette série), que $(a_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic) et $(b_n)$ [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) .
19. Montrer que $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ ( [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) $b_{n+1} - a_{n+1} =  \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ puis comparer), et conclure avec l’ [Exercice 20.10](#exo-g12-seq-10) que les deux [suites](#def-g12-seq-sequence) sont adjacentes : elles partagent une limite commune $M(1, 2)$ , la *[moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) [arithmético-géométrique](#def-g12-seq-arith-geom)* .
20. Calculer $M(1, 2)$ à six décimales (combien d’itérations a-t-il fallu ?). Le 30 mai 1799, Gauss calcula $M(1, \sqrt2)$ à onze décimales, reconnut $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ dans une intégrale connue, et écrivit qu’un « nouveau champ de l’analyse » venait de s’ouvrir — c’était le cas : les intégrales elliptiques, racontées dans les volumes universitaires. Terminer par le classement des vitesses de convergence observées dans ce problème, de la plus lente à la plus rapide.

**Solution de Problème 20.1.**

**1.** Vrai pour $n = 1$ ($1 = 1^2$). Si $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$, alors en ajoutant l’impair suivant : $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$ : hérédité. Par récurrence, c’est vrai pour tout $n \geq 1$.

**2.** $2^0 = 1 > 0$. Si $2^n > n$, alors $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ pour $n \geq 1$ (et le cas $n = 0$ se vérifie directement) : hérédité, c’est fait.

**3.** $n = 0$ : $1 \geq 1$. Si $(1 + x)^n \geq 1 + nx$, multiplions par $1 + x \geq 1 > 0$ : $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2
\geq 1 + (n + 1)x$.

**4.** C’est le passage de $n = 1$ à $n = 2$ : parmi deux billes, « les $n$ premières » et « les $n$ dernières » sont deux billes uniques *disjointes* — aucune bille commune ne fait le pont entre les deux groupes, donc rien n’oblige leurs couleurs à coïncider. L’argument d’hérédité exige en silence que les deux groupes se chevauchent, ce qui n’est vrai qu’à partir de $n \geq 2$ ; avec l’initialisation en $n = 1$, la chaîne ne démarre jamais.

**5.** $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$. Si $4^n - 1 = 3k$, alors $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$ : hérédité.

**6.** $x_1 = \frac32$, $x_2 = \frac{17}{12}$, $x_3 = \frac{577}{408}$.

**7.** $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2}
{4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$ : un carré divisé par un nombre positif, donc $\geq 0$, et même $> 0$ dès que $x_n^2 \neq 2$. Récurrence : $x_0 = 2 > 0$ avec $x_0^2 = 4 > 2$ ; si $x_n > 0$ et $x_n^2 > 2$, alors $x_{n+1}$ ([moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) de nombres positifs) est positif et $x_{n+1}^2 - 2 > 0$.

**8.** $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ d’après la question 7 : la [suite](#def-g12-seq-sequence) est strictement [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations).

**9.** [Décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) et minorée (par $1$, puisque $x_n^2 > 2 >
1$ et $x_n > 0$) : par le théorème de convergence [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone), $(x_n)$ [converge](#def-g12-seq-limit) vers une limite $L \geq 1$.

**10.** Les limites respectent l’algèbre : de $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ et $x_n \to L \geq 1 > 0$ on tire $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$, donc $L^2 = 2$ et, $L$ étant positif, $L = \sqrt2$. Verdict : convergence démontrée, limite identifiée — Héron est acquitté avec les honneurs.

**11.** $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n +
2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$ : c’est exactement $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$, et $x_n > \sqrt2$ donne $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$. Erreur élevée au carré : chaque pas double le nombre de décimales exactes, comme on l’observait déjà dans le volume précédent.

**12.** $e_0 \approx 0.5858$, $e_1 \approx 0.0858$, $e_2 \approx 0.00245$, $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$. Rapports : $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$ ; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$ ; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$ : le théorème à l’œuvre.

**13.** $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$ : il faut environ $260\,000$ termes ($2^{18} = 262\,144$) rien que pour dépasser $10$ — une divergence au pas de tortue (et $H_n > 100$ demanderait plus de termes qu’il n’y a d’atomes dans une bibliothèque).

**14.** $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (somme [géométrique](#def-g12-seq-arith-geom)), et $\frac{1}{2^n} \to 0$ ([Théorème 20.20](#thm-g12-seq-geometric)), donc $S_n \to 2$ : la tablette de chocolat indéfiniment croquée tend vers le tout sans jamais l’atteindre — dans la langue officielle des limites, cette fois.

**15.** Pour $k \geq 2$ : $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac1k$, donc $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$ : la [suite](#def-g12-seq-sequence) est [croissante](#def-g12-seq-monotonic) et [majorée](#def-g12-seq-bounded), donc convergente (convergence [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)). Euler a plus tard nommé la limite : $\frac{\pi^2}{6}$.

**16.** Que les termes tendent vers $0$ est *nécessaire* pour que les sommes se stabilisent, mais ne décide de rien : les termes harmoniques $\frac1n \to 0$ et pourtant les sommes explosent ; les termes $\frac{1}{n^2} \to 0$ et les sommes convergent. Toute la question est de savoir à quelle *vitesse* les termes meurent — c’est la théorie des séries, construite dans les volumes universitaires.

**17.** $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$, $b_1 = 1.5$ ; $a_2 \approx 1.45648$, $b_2 \approx 1.45711$ : deux itérations suffisent déjà à faire coïncider trois décimales — une vitesse sidérante.

**18.** $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} -
\sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0$ : les [moyennes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) restent ordonnées. $(a_n)$ est [croissante](#def-g12-seq-monotonic) : $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$ ; et $(b_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) par un argument symétrique.

**19.** $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} =
\frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}
{2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
= \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})}
\leq \frac12$ : l’écart est au moins divisé par deux, donc $b_n - a_n \to 0$ ; avec la question 18, les [suites](#def-g12-seq-sequence) sont adjacentes et partagent une limite $M(1, 2)$.

**20.** La troisième itération donne $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$ : $M(1, 2) \approx 1.456791$ en trois tours de manivelle (l’écart est à peu près *élevé au carré*, comme chez Héron). Classement des vitesses rencontrées dans ce problème, de la plus lente à la plus rapide : les sommes harmoniques (divergence glaciale), les sommes [géométriques](#def-g12-seq-arith-geom) (erreur divisée par deux à chaque pas), Héron et la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) [arithmético-géométrique](#def-g12-seq-arith-geom) (erreur élevée au carré à chaque pas) — et c’est la vitesse surnaturelle de cette dernière qui a dit à Gauss qu’il venait de tomber sur un nouveau filon d’analyse.

1. Toute partie non vide de $\N$ a un plus petit élément ; cette propriété de $\N$ est prise comme axiome. [↩](#fnref-1)