---
title: "Limites et continuité"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 21
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite
---

# Chapitre 21 — Limites et continuité

Ce chapitre étend la notion de limite des [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) aux [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) d’une variable réelle, et introduit la [continuité](#def-g12-limcont-continuity). Le résultat central est le théorème des valeurs intermédiaires, qui transforme une information qualitative (« $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) et change de signe ») en l’existence de solutions d’[équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation).

## 21.1 Limites de fonctions

Tout au long, $f$ est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ou une [réunion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interunion) d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $D \subseteq \R$.

**Définition 21.1 (Limite à l’infini).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $\intco{a}{+\infty}$ et $\ell \in \R$. On dit que $f$ *tend vers $\ell$ en $+\infty$*, noté $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, si tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $A$ tel que pour tout $x \geq A$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si pour tout $M \in \R$ il existe $A$ tel que $f(x) \geq M$ pour tout $x \geq A$. Les limites en $-\infty$ et les limites égales à $-\infty$ se définissent de façon analogue.

**Définition 21.2 (Limite en un point).**

Soit $a \in \R$ et soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$). On dit que $f$ tend vers $\ell \in \R$ en $a$, noté $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$, si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D$ avec $\abs{x - a} \leq \delta$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si pour tout $M$ il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) \geq M$ dès que $x \in D$ et $\abs{x - a} \leq \delta$. Les limites à droite et à gauche ($x \to a^+$, $x \to a^-$) restreignent $x$ à $x > a$ ou $x < a$.

**Exemple 21.3.**

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $x \mapsto \frac1x$ n’a pas de limite (bilatérale) en $0$.

**Définition 21.4 (Asymptotes).**

La droite $y = \ell$ est une *asymptote horizontale* de la courbe de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. en $-\infty$). La droite $x = a$ est une *asymptote verticale* si $f$ a une limite infinie unilatérale en $a$.

![La courbe de f(x) = 2 + 1/x-1 avec son asymptote horizontale y = 2 (en ±∈fty) et son asymptote verticale x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-80a817492b00.svg)

*La courbe de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ avec son [asymptote horizontale](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 2$ (en $\pm\infty$) et son [asymptote verticale](#def-g12-limcont-asymptote) $x = 1$.*

**Proposition 21.5 (Opérations sur les limites).**

Les règles de la [Proposition 20.14](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#prop-g12-seq-operations) (sommes, produits, quotients) valent verbatim pour les limites de [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function), en un point ou à l’infini, avec les mêmes quatre formes indéterminées $(+\infty)+(-\infty)$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.

**Démonstration.** Les démonstrations sont identiques au cas des [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence), en remplaçant « pour $n \geq N$ » par « pour $x \geq A$ » ou « pour $\abs{x-a} \leq \delta$ ». ∎

**Théorème 21.6 (Limite d’une composition).**

Soient $f, g$ des [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) et $a, b, c$ des [nombres réels](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-sets) ou $\pm\infty$. Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ et $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$, alors

$$
\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .
$$

Le même énoncé vaut avec une [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) à la place de $f$ : si $u_n \to b$ et $\lim_{y\to b} g(y) = c$, alors $g(u_n) \to c$.

**Démonstration.** Prendre $b, c$ finis (les autres cas sont analogues). Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{y - b} \leq \delta$ implique $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; et il existe $\delta' > 0$ tel que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implique $\abs{f(x) - b} \leq \delta$. En enchaînant les deux, $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ pour $\abs{x - a} \leq \delta'$. ∎

**Théorème 21.7 (Comparaison et gendarmes).**

Soient $f, g, h$ des [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) et $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$.

1. Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to a$ , alors $g(x) \to +\infty$ .
2. Si $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$ et $f, h$ tendent vers la même limite finie $\ell$ en $a$ , alors $g(x) \to \ell$ lorsque $x \to a$ .

**Démonstration.** Même argument que pour les [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) ([Théorème 20.16](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#thm-g12-seq-squeeze)). ∎

**Méthode 21.8 (Calculer des limites en pratique).**

- Polynômes et [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) rationnelles en $\pm\infty$ : [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) la plus haute puissance de $x$ ; la limite est celle du rapport des termes dominants.
- $\frac{0}{0}$ en un point $a$ : [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur, ou reconnaître une [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#def-g11-deriv-derivative) $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ ( [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ch-g12-deriv) ).
- Racines carrées : multiplier par l’expression conjuguée.
- Facteurs oscillants ( $\cos$ , $\sin$ ) : utiliser le théorème des gendarmes.

## 21.2 Continuité

**Définition 21.9 (Continuité).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ et $a \in I$. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f$ est *continue en $a$* si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. Elle est *continue sur $I$* si elle est continue en tout point de $I$.

Intuitivement, le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continue](#def-g12-limcont-continuity) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) peut être tracé sans lever le stylo.

**Proposition 21.10 (Continuité des fonctions usuelles).**

Les polynômes, les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) rationnelles, $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto \abs{x}$, $\cos$, $\sin$, $\exp$ et $\ln$ sont [continues](#def-g12-limcont-continuity) sur tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) contenu dans leur [ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function). Les sommes, produits, quotients (là où ils sont définis) et compositions de [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continues](#def-g12-limcont-continuity) sont [continues](#def-g12-limcont-continuity).

**Démonstration partielle.** La stabilité sous sommes, produits, quotients et composition suit des théorèmes correspondants sur les limites. La [continuité](#def-g12-limcont-continuity) de $x \mapsto x$ et des constantes est immédiate d’après la définition, d’où les polynômes et les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) rationnelles sont [continues](#def-g12-limcont-continuity). La [continuité](#def-g12-limcont-continuity) des autres [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) usuelles est prouvée dans les chapitres où elles sont construites, ou admise. ∎

**Exemple 21.11.**

La *[fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) partie entière* $x \mapsto \floor{x}$ (le plus grand entier $\leq x$) n’est [continue](#def-g12-limcont-continuity) en aucun entier $n$ : sa limite à gauche y est $n - 1$ tandis que $\floor{n} = n$.

![La fonction partie entière saute en chaque entier : la valeur (point plein) diffère de la limite à gauche (point creux).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-436d9712d64c.svg)

*La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) partie entière saute en chaque entier : la valeur (point plein) diffère de la limite à gauche (point creux).*

**Proposition 21.12 (Suites et continuité).**

Si $u_n \to \ell$ et $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) en $\ell$, alors $f(u_n) \to f(\ell)$. En particulier, si une [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ [converge](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-limit) vers $\ell$ et $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.

**Démonstration.** La première assertion est le [Théorème 21.6](#thm-g12-limcont-composition) appliqué avec la [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) $(u_n)$. Pour la seconde, passer à la limite des deux côtés de $u_{n+1} = f(u_n)$ : le membre de gauche tend vers $\ell$, celui de droite vers $f(\ell)$, et les limites sont uniques. ∎

## 21.3 Le théorème des valeurs intermédiaires

**Théorème 21.13 (Théorème des valeurs intermédiaires).**

Soit $f$ [continue](#def-g12-limcont-continuity) sur $\intcc{a}{b}$ et soit $k$ un nombre quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c \in \intcc{a}{b}$ tel que $f(c) = k$.

![Le théorème des valeurs intermédiaires : une courbe continue joignant (a, f(a)) à (b, f(b)) doit croiser toute droite horizontale y = k située entre f(a) et f(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-limcont/fig-04c34a00da51.svg)

*Le théorème des valeurs intermédiaires : une courbe [continue](#def-g12-limcont-continuity) joignant $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$ doit croiser toute droite horizontale $y = k$ située entre $f(a)$ et $f(b)$.*

**Démonstration.** En remplaçant $f$ par $f - k$ (et par $k - f$ si besoin), on peut supposer $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ et chercher un zéro de $f$. On construit deux [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) par *dichotomie* : poser $a_0 = a$, $b_0 = b$ ; étant donnés $a_n \leq b_n$ avec $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, soit $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ et définir

$$
(a_{n+1}, b_{n+1}) =
\begin{cases}
(a_n, m) & \text{si } f(m) \geq 0,\\
(m, b_n) & \text{si } f(m) < 0.
\end{cases}
$$

Dans les deux cas $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$, la [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) $(a_n)$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), $(b_n)$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), et $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : les [suites](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) sont adjacentes (voir l’[Exercice 20.10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#exo-g12-seq-10)) et convergent vers une limite commune $c \in \intcc{a}{b}$. Par [continuité](#def-g12-limcont-continuity), $f(a_n) \to f(c)$ et $f(b_n) \to f(c)$ ; en passant à la limite dans $f(a_n) \leq 0$ et $f(b_n) \geq 0$ on obtient $f(c) \leq 0 \leq f(c)$, donc $f(c) = 0$. ∎

**Remarque 21.14.**

La démonstration par [dichotomie](#thm-g12-limcont-ivt) est un algorithme : elle produit des [approximations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) arbitrairement précises d’une solution, en divisant l’erreur par deux à chaque étape. C’est ainsi qu’un ordinateur peut résoudre $f(x) = 0$ en ne sachant qu’évaluer $f$.

**Théorème 21.15 (Théorème de la bijection).**

Soit $f$ [continue](#def-g12-limcont-continuity) et *strictement [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)* sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$. Alors pour tout $k$ strictement entre les limites de $f$ aux extrémités de $I$, l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $f(x) = k$ a une solution *unique* dans $I$.

**Démonstration.** Existence : choisir $a, b \in I$ avec $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ (possible puisque les valeurs de $f$ approchent ses limites aux extrémités), et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $\intcc{a}{b}$. Unicité : si $x < y$, la monotonie stricte donne $f(x) \neq f(y)$, donc deux points distincts ne peuvent tous deux être solutions. ∎

**Méthode 21.16 (Résoudre f(x)=kf(x) = kf(x)=k avec le théorème de la bijection).**

Pour prouver que $f(x) = k$ a exactement une solution dans un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) :

1. établir un [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) de $f$ (signe de $f'$ , voir le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ch-g12-deriv) ) ;
2. sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) où $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) et strictement [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) , comparer $k$ aux valeurs ou limites aux extrémités ;
3. appliquer le théorème de la bijection sur chaque tel [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) et compter les solutions.

Une calculatrice ou la [dichotomie](#thm-g12-limcont-ivt) localise ensuite chaque solution aussi finement que voulu.

**Exemple 21.17.**

L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 1$ a une unique solution réelle. En effet $f(x) = x^3 + x$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) et strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $\R$ (somme de [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) strictement [croissantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic)), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty$, donc le théorème de la bijection s’applique avec $k = 1$. Comme $f(0.6) = 0.816 < 1$ et $f(0.7) = 1.043 > 1$, la solution est dans $\intoo{0.6}{0.7}$.

## 21.4 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Calculer les limites suivantes :

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad
\lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad
\lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.
$$

**Solution de Exercice 21.1.**

En divisant par $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x}
\to \dfrac{2}{5}$.

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ lorsque $x \to -\infty$, car $x^2 \to +\infty$ et le crochet tend vers $1$.

Lorsque $x \to 2^+$, le numérateur tend vers $3 > 0$ et le dénominateur vers $0^+$, donc $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$.

Pour $x > 0$, $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$, donc la limite est $0$ par le théorème des gendarmes.

**Exercice 21.2 ★.**

Soit $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$, définie pour $x \neq 1$.

1. Montrer que $f(x) = 2x - 1$ pour tout $x \neq 1$ .
2. En déduire $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . Peut-on prolonger $f$ en une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continue](#def-g12-limcont-continuity) en $1$ ?

**Solution de Exercice 21.2.**

*1.* $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (la [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) $x=1$ est apparente d’après $2 - 3 + 1 = 0$). Pour $x \neq 1$, simplifier $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$.

*2.* D’où $\lim_{x\to1} f(x) = 1$. Poser $f(1) = 1$ prolonge $f$ en la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) polynomiale $x \mapsto 2x-1$ sur $\R$, [continue](#def-g12-limcont-continuity) en $1$.

**Exercice 21.3 ★.**

Déterminer les [asymptotes](#def-g12-limcont-asymptote) de la courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ et croquer la courbe.

**Solution de Exercice 21.3.**

Écrire $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2}
= 3 - \dfrac{7}{x+2}$. Lorsque $x \to \pm\infty$, $f(x) \to 3$ : la droite $y = 3$ est une [asymptote horizontale](#def-g12-limcont-asymptote) aux deux infinis. Lorsque $x \to (-2)^\pm$, $f(x) \to \mp\infty$ : la droite $x = -2$ est une [asymptote verticale](#def-g12-limcont-asymptote). La courbe est une [hyperbole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-reference), sous $y=3$ pour $x > -2$ et au-dessus pour $x < -2$.

**Exercice 21.4 ★★.**

Calculer

$$
\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.
$$

**Solution de Exercice 21.4.**

Multiplier par le conjugué :

$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}
= \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.
$$

De même,

$$
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.
$$

**Exercice 21.5 ★★.**

Soit $f(x) = x + \sin x$.

1. Montrer que $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ , bien que $f$ ne soit [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) sur aucun [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ .
2. Montrer que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tend vers $1$ en $+\infty$ .

**Solution de Exercice 21.5.**

*1.* Comme $\sin x \geq -1$, $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$, et on conclut par comparaison. Pourtant $f'(x) = 1 + \cos x$ s’annule en tout multiple impair de $\pi$, et sur tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $\intco{A}{+\infty}$ la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) alterne entre des [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de croissance stricte ; elle est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) mais non strictement, et surtout sa croissance n’est pas nécessaire : la comparaison suffit.

*2.* Pour $x > 1$, diviser par $x$ :

$$
g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},
$$

et $\frac{\sin x}{x} \to 0$ par le théorème des gendarmes ($\abs{\sin x} \leq 1$). D’où $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$.

**Exercice 21.6 ★★.**

Montrer que l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x^3 - 3x + 1 = 0$ a exactement trois solutions réelles, et donner pour chacune un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de longueur $1$ la contenant. (Indication : étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; sa [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#def-g11-deriv-derivative) est $3x^2 - 3$.)

**Solution de Exercice 21.6.**

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity), avec $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ croît sur $\intoc{-\infty}{-1}$, décroît sur $\intcc{-1}{1}$, croît sur $\intco{1}{+\infty}$, avec [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(-1) = 3 > 0$ et [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(1) = -1 < 0$, $\lim_{-\infty} f = -\infty$, $\lim_{+\infty} f = +\infty$.

Sur chacun des trois [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de monotonie, $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity), strictement [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone), et $0$ est strictement entre les valeurs/limites aux extrémités, donc le théorème de la bijection donne exactement un zéro par [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) : trois zéros au total. Contrôles de signe : $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$, donc un zéro dans $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$, un zéro dans $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$, un zéro dans $\intoo{1}{2}$.

**Exercice 21.7 ★★.**

Soit $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [continue](#def-g12-limcont-continuity). Montrer que $f$ a un *[point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1)* : il existe $c \in \intcc{0}{1}$ avec $f(c) = c$. (Indication : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $g(x) = f(x) - x$.)

**Solution de Exercice 21.7.**

Soit $g(x) = f(x) - x$, [continue](#def-g12-limcont-continuity) sur $\intcc{0}{1}$. Comme $f(0) \in \intcc{0}{1}$, $g(0) = f(0) \geq 0$ ; comme $f(1) \in \intcc{0}{1}$, $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s’annule en un certain $c \in \intcc{0}{1}$, c’est-à-dire $f(c) = c$.

**Exercice 21.8 ★★★.**

Une randonneuse gravit un sentier de montagne, partant à 8 h et arrivant à 20 h. Le lendemain elle redescend le même sentier, partant à nouveau à 8 h et arrivant à 20 h. Montrer qu’il existe une heure de la journée à laquelle elle est exactement au même point du sentier les deux jours. (Indication : introduire la différence des deux [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de position.)

**Solution de Exercice 21.8.**

Soient $u(t)$ et $d(t)$ les positions (mesurées comme distance depuis le bas du sentier) à l’instant $t \in \intcc{8}{20}$ à la montée et à la descente. Toutes deux sont [continues](#def-g12-limcont-continuity), $u(8) = 0$, $u(20) = L$ (la longueur du sentier), $d(8) = L$, $d(20) = 0$. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $g = u - d$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) avec $g(8) = -L \leq 0$ et $g(20) = L \geq 0$, donc $g(c) = 0$ pour un certain instant $c$ par le théorème des valeurs intermédiaires : à l’instant $c$, les positions des deux jours coïncident.

**Exercice 21.9 ★★★.**

Soit $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$.

1. Montrer que $f$ a un unique zéro réel $\alpha$ , et que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
2. Décrire une procédure de [dichotomie](#thm-g12-limcont-ivt) calculant $\alpha$ à $10^{-6}$ près, et donner le nombre d’itérations nécessaires en partant de $\intcc{0}{1}$ .

**Solution de Exercice 21.9.**

*1.* $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$, donc $f$ est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $\R$ ; avec $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ et la [continuité](#def-g12-limcont-continuity), le théorème de la bijection donne un unique zéro réel $\alpha$. Comme $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 2 > 0$, $\alpha \in \intoo{0}{1}$.

*2.* Maintenir un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $\intcc{a_n}{b_n}$ avec $f(a_n) < 0 < f(b_n)$, en partant de $\intcc{0}{1}$ ; à chaque étape évaluer $f$ au [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) $m$ et garder le [demi-intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) où le changement de signe persiste. Après $n$ étapes l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) a pour longueur $2^{-n}$, donc le [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) approxime $\alpha$ à $2^{-(n+1)}$ près. Il faut $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$, c’est-à-dire $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ itérations suffisent.

## 21.5 Problème : on ne traverse pas une rivière sans se mouiller

**Problème 21.1.**

Devoir du week-end — le théorème des valeurs intermédiaires impose des points fixes, des antipodes à même température et des tables stables : trois théorèmes à l’air impossible, sortis d’une seule idée

Froissez la carte d’un pays et laissez-la tomber n’importe où sur le sol de ce pays : un point de la carte se trouve *exactement* au-dessus du lieu qu’il représente. À chaque instant, deux points diamétralement opposés de l’équateur ont *exactement* la même température. Et une table carrée bancale posée sur un sol bosselé peut toujours être stabilisée en la *faisant tourner*. Trois tours de société, un seul théorème : une grandeur [continue](#def-g12-limcont-continuity) ne peut passer du négatif au positif sans s’annuler ([Théorème 21.13](#thm-g12-limcont-ivt)). Ce problème entraîne d’abord les limites, puis construit les trois merveilles — et sait exactement ce que le théorème ne promet pas.

**Partie I — Aisance avec les limites.**

1. Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , et $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ ( [Méthode 21.8](#met-g12-limcont-limits) ).
2. Donner les [asymptotes](#def-g12-limcont-asymptote) de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ( [Définition 21.4](#def-g12-limcont-asymptote) ), en calculant les limites utiles.
3. Calculer $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (par factorisation) et $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (par la quantité conjuguée).
4. Par le théorème des gendarmes ( [Théorème 21.7](#thm-g12-limcont-squeeze) ) : calculer $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
5. Par composition et termes dominants : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

**Partie II — Des [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) certifiées.**

6. Montrer que l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $x^3 + x = 5$ admet au moins une solution dans $\intcc{1}{2}$ .
7. Montrer que cette solution est unique sur $\R$ ( [Théorème 21.15](#thm-g12-limcont-bijection) ).
8. Démontrer le résultat classique : *tout polynôme de degré impair admet au moins une [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) réelle* . (Rédiger l’argument pour $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calculer les deux limites infinies par le terme dominant, puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un grand [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) .)
9. Localiser la [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) de la question 6 par [dichotomie](#thm-g12-limcont-ivt) : combien de partages en deux de $\intcc{1}{2}$ garantissent une erreur inférieure à $10^{-6}$ ( [Exercice 21.9](#exo-g12-limcont-9) ) ? Comparer avec le doublement des décimales de la méthode de Newton ( [Problème 12.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#pb-g11-deriv-1) ) : combien de pas lui faudrait-il, en gros ?
10. Le contre-exemple qui garde le théorème : $g(x) = \frac1x$ vérifie $g(-1) = -1 < 0$ et $g(1) = 1 > 0$ , et pourtant ne s’annule jamais. Quelle hypothèse du théorème des valeurs intermédiaires est en défaut — et que nous apprend cet exemple sur la vérification des hypothèses ?

**Partie III — Trois théorèmes à l’air impossible.**

11. Le théorème du [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) sur un segment : si $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) , démontrer qu’il existe $c$ tel que $f(c) = c$ . (Étudier $g(x) = f(x) - x$ aux deux extrémités.)
12. Traduire la question 11 en termes de carte froissée : qui joue le rôle de $f$ , pourquoi arrive-t-on dans $\intcc{0}{1}$ (au figuré : à l’intérieur du pays), et quel est le point situé exactement au-dessus de son propre emplacement ? (Une dimension est passée sous silence — l’énoncé honnête en dimension deux est le théorème de Brouwer, dans les volumes universitaires.)
13. L’équateur : soit $T$ une température [continue](#def-g12-limcont-continuity) sur un cercle, vue comme une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $2\pi$ -périodique vérifiant $T(0) = T(2\pi)$ . Posons $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calculer $g(0) + g(\pi)$ , en déduire que $g$ s’annule quelque part sur $\intcc{0}{\pi}$ , et énoncer le théorème sur les points antipodaux.
14. La table bancale : une table carrée parfaitement rigide est posée sur un sol bosselé mais continu (sans marche !) ; trois pieds touchent toujours le sol, le quatrième plane à une hauteur $h(\theta)$ qui dépend continûment de l’angle de rotation $\theta$ de la table. Expliquer pourquoi une rotation d’un quart de tour force l’écart du pied en l’air à changer de signe — et en conclure qu’un certain angle $\theta^*$ stabilise les quatre pieds. (Cet argument a été publié comme un véritable théorème en 2005 ; les cafetiers connaissaient l’astuce bien avant.)
15. Le randonneur de l’ [Exercice 21.8](#exo-g12-limcont-8) employait le même schéma. Énoncer en trois lignes le patron commun aux questions 11, 13, 14 et au randonneur — construire quelle [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) , vérifier quoi aux extrémités, invoquer quoi.
16. Ce que le théorème des valeurs intermédiaires ne donne *pas* : l’existence était gratuite, mais quelles deux questions laisse-t-il ouvertes, et quels outils de ce problème y répondent (questions 7 et 9) ?

**Partie IV — Portraits avec [asymptotes](#def-g12-limcont-asymptote).**

17. Réécrire $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sous la forme $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ et s’en servir pour décrire complètement la courbe : [asymptotes](#def-g12-limcont-asymptote) , variations de part et d’autre, allure. (Une [hyperbole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-reference) translatée — la courbe du coût moyen du [Problème 4.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#pb-g10-reffunc-1) en était une aussi.)
18. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n’est pas définie en $1$ . Quelle valeur attribuée à $f(1)$ la rend [continue](#def-g12-limcont-continuity) en ce point — et pourquoi les analystes appellent-ils un tel point une discontinuité *éliminable* ?
19. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (le plus grand entier $\leq x$ ) : où est-elle [continue](#def-g12-limcont-continuity) , où saute-t-elle, et pourquoi la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires lui fait-elle défaut (trouver $a < b$ tels que $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ sans qu’il existe de solution de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ ) ?
20. Pour finir — les deux visages de la [continuité](#def-g12-limcont-continuity) : la promesse locale (valeur $=$ limite : pas de téléportation) et la puissance globale (valeurs intermédiaires : toute valeur intermédiaire est atteinte). Classer les quatre merveilles de la partie III sous le bon visage, et donner au slogan de la traversée de rivière son nom mathématique précis.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** Termes dominants : $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$.

**2.** $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : [asymptote horizontale](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : [asymptote verticale](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$.

**3.** $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$. Et $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} =
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$.

**4.** $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, donc la limite vaut $0$. Et $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : limite $0$.

**5.** $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} =
\sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ ([continuité](#def-g12-limcont-continuity) de la racine carrée, composition).

**6.** $f(x) = x^3 + x$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) et vérifie $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, $f(c) = 5$ pour un certain $c \in \intoo{1}{2}$.

**7.** $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) et strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $\R$, de limites $\mp\infty$ : par le théorème de la bijection, toute valeur — en particulier $5$ — est atteinte exactement une fois.

**8.** $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} +
\frac{c}{x^3}\right)$ : quand $x \to +\infty$, $p \to +\infty$ ; quand $x \to -\infty$, $p \to -\infty$. Donc sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $\intcc{-M}{M}$ assez grand, $p(-M) < 0 < p(M)$ : le théorème des valeurs intermédiaires livre une [racine](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant). Le même argument de terme dominant vaut mot pour mot pour tout degré impair — les puissances [impaires](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity) gardent des signes opposés aux deux infinis.

**9.** Après $n$ partages en deux, il reste un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de longueur $2^{-n}$ ; or $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} <
10^{-6}$ : vingt pas. Newton double les décimales exactes à chaque pas : en partant d’une décimale exacte, environ $3$ ou $4$ pas suffisent pour en atteindre six — la tortue et le lévrier de la recherche de [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant).

**10.** $g$ n’est pas [continue](#def-g12-limcont-continuity) sur $\intcc{-1}{1}$ : elle explose en $0$, que l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) contient. La conclusion du théorème s’évapore avec son hypothèse — toujours vérifier la [continuité](#def-g12-limcont-continuity) *sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) tout entier*, et pas seulement aux extrémités.

**11.** $g(x) = f(x) - x$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) ; $g(0) = f(0) \geq 0$ (les valeurs sont dans $\intcc{0}{1}$) et $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g(c) = 0$ pour un certain $c$, c’est-à-dire $f(c) = c$.

**12.** En idéalisant le pays par le segment $\intcc{0}{1}$ : $f$ envoie chaque lieu sur le lieu figuré juste au-dessous de lui sur la carte froissée ; froisser garde la carte au-dessus du pays, donc $f$ arrive dans $\intcc{0}{1}$, et $f$ est [continue](#def-g12-limcont-continuity) (le papier ne se déchire pas). Le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1) $c$ est l’endroit situé précisément au-dessus de sa propre [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) — le théorème de Brouwer traite honnêtement la carte en dimension deux.

**13.** $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) +
\left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$. Donc $g(0)$ et $g(\pi)$ sont opposés (ou tous deux nuls) : dans les deux cas $g$, [continue](#def-g12-limcont-continuity), s’annule en un $t^* \in \intcc{0}{\pi}$, c’est-à-dire $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — quelque part sur l’équateur, deux points antipodaux s’accordent sur la température, et cela à chaque instant.

**14.** Faire tourner la table d’un quart de tour échange les rôles des deux diagonales : la paire de pieds qui appuyait sur le sol et celle dont un pied planait échangent leurs situations, si bien que la hauteur du pied en l’air — comptée avec son signe comme « écart de la diagonale distinguée » — prend des signes opposés en $\theta$ et en $\theta + \frac\pi2$. Un sol continu rend $h$ [continue](#def-g12-limcont-continuity), et le théorème des valeurs intermédiaires fournit un angle $\theta^*$ tel que $h(\theta^*) = 0$ : les quatre pieds à terre. (Aucune chance de ce genre avec une table rectangulaire ou un sol à marches.)

**15.** Patron : construire la *différence* des deux grandeurs que l’on veut faire coïncider ($f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; position à la montée moins position à la descente pour le randonneur ; l’écart signé pour la table) ; vérifier qu’elle prend des valeurs des deux signes (souvent grâce à une symétrie des extrémités) ; invoquer le théorème des valeurs intermédiaires sur une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continue](#def-g12-limcont-continuity). La coïncidence est forcée.

**16.** Questions laissées ouvertes : *combien* de solutions (réglé par la stricte monotonie et le théorème de la bijection, question 7) et *où* elles se trouvent (réglé par la [dichotomie](#thm-g12-limcont-ivt) ou par Newton, question 9). Le théorème des valeurs intermédiaires est un pur oracle d’existence.

**17.** $3 - \frac{7}{x + 2}$ : [asymptote verticale](#def-g12-limcont-asymptote) $x = -2$, [asymptote horizontale](#def-g12-limcont-asymptote) $y = 3$ ; de part et d’autre de $-2$ la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) ($-\frac{7}{x+2}$ croît là où elle est définie) ; la courbe est l’[hyperbole](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-reference) de référence $-\frac7x$ translatée de $2$ vers la gauche et de $3$ vers le haut — deux branches serrant le croisement des [asymptotes](#def-g12-limcont-asymptote).

**18.** Pour $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$, donc $\lim_{x \to 1} f = 2$ : poser $f(1) = 2$ rétablit la [continuité](#def-g12-limcont-continuity). La discontinuité était une piqûre, non un saut — on comble le point manquant et la courbe se referme : elle est *éliminable*.

**19.** [Continue](#def-g12-limcont-continuity) sur tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) compris entre deux entiers consécutifs ; en chaque entier $n$ elle saute de $n - 1$ à $n$. Avec $a = 0.9$ et $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 <
1 = \lfloor b \rfloor$, et pourtant $\lfloor x \rfloor = \frac12$ n’a aucune solution — le saut téléporte par-dessus $\frac12$, ce que le théorème des valeurs intermédiaires interdit précisément aux [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [continues](#def-g12-limcont-continuity).

**20.** Visage local : valeur $=$ limite en chaque point — la piqûre éliminable (question 18) le violait de façon guérissable, les sauts de la partie entière (question 19) de façon incurable. Visage global : sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval), toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes — les certificats de [racines](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/10-fonctions-et-equations-du-second-degre#def-g11-quad-discriminant) (questions 6 à 8), le [point fixe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#pb-g10-functions-1), l’équateur, la table et le randonneur vivent tous ici. Le nom officiel du slogan : le *théorème des valeurs intermédiaires*.