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title: "Dérivation et convexité"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 22
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite
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# Chapitre 22 — Dérivation et convexité

La [dérivée](#def-g12-deriv-derivative) mesure le taux de variation instantané d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) ; c’est le [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) de la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) à son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph). Ce chapitre revoit et étend les règles de dérivation, relie le signe de $f'$ aux variations de $f$, et introduit la [convexité](#def-g12-deriv-convex), gouvernée par la [dérivée](#def-g12-deriv-derivative) seconde.

## 22.1 La dérivée

**Définition 22.1 (Dérivée en un point).**

Soit $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ et $a \in I$. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f$ est *dérivable en $a$* si le taux d’accroissement

$$
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
$$

a une limite finie lorsque $h \to 0$. Cette limite s’appelle la *dérivée de $f$ en $a$* et se note $f'(a)$. Si $f$ est dérivable en tout point de $I$, la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f' \colon x \mapsto f'(x)$ est la *dérivée* de $f$.

**Définition 22.2 (Tangente).**

Si $f$ est [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) en $a$, la *tangente* à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est la droite d’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation)

$$
y = f(a) + f'(a)(x - a).
$$

![Lorsque h diminue, la sécante par A = (a, f(a)) et (a+h, f(a+h)) (orange) tourne vers la tangente en A (rouge) : son coefficient directeur f(a+h)-f(a)/h tend vers f'(a).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-0dc6b0817a56.svg)

*Lorsque $h$ diminue, la [sécante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#def-g11-deriv-rate) par $A = (a, f(a))$ et $(a+h, f(a+h))$ (orange) tourne vers la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $A$ (rouge) : son [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$.*

**Proposition 22.3.**

Une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) en $a$ est [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) en $a$. La réciproque est fausse.

**Démonstration.** Pour $h \neq 0$ petit, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Lorsque $h \to 0$, le second membre tend vers $0 \times f'(a) = 0$, donc $f(a+h) \to f(a)$. Pour la réciproque, $x \mapsto \abs{x}$ est [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) en $0$, mais son taux d’accroissement en $0$ égale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ selon le signe de $h$, et n’a pas de limite. ∎

### 22.1.1 Règles de dérivation

**Proposition 22.4 (Opérations).**

Soient $u, v$ [dérivables](#def-g12-deriv-derivative) sur $I$ et $\lambda \in \R$. Alors $u + v$, $\lambda u$, $uv$ sont [dérivables](#def-g12-deriv-derivative) sur $I$, de même que $\frac{u}{v}$ où $v \neq 0$, et

$$
(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad
(uv)' = u'v + uv', \quad
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
$$

**Démonstration de la règle du produit.** Écrire le taux d’accroissement de $uv$ en $a$ comme

$$
\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
= \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.
$$

Lorsque $h \to 0$, $v(a+h) \to v(a)$ par [continuité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) ([Proposition 22.3](#prop-g12-deriv-diffcont)), donc le second membre tend vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$. Les autres règles se démontrent de même. ∎

**Théorème 22.5 (Règle de la chaîne).**

Soit $u$ [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur $I$ à valeurs dans $J$, et $g$ [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur $J$. Alors $g \circ u$ est [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur $I$ et

$$
(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .
$$

En particulier, pour $u$ [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) :

$$
(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad
\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad
\left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.
$$

**Esquisse de démonstration.** Lorsque $u(a+h) \neq u(a)$ pour $h$ petit, écrire

$$
\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h}
= \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.
$$

Lorsque $h \to 0$, $u(a+h) \to u(a)$, donc le premier facteur tend vers $g'(u(a))$ et le second vers $u'(a)$. (Une démonstration complète doit traiter le cas où $u(a+h) = u(a)$ pour $h$ arbitrairement petit ; ce point technique est traité à l’université.) ∎

**Exemple 22.6.**

Les [dérivées](#def-g12-deriv-derivative) usuelles, valables sur les domaines naturels :

$$
(x^n)' = nx^{n-1}, \quad
\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad
(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad
(\cos x)' = -\sin x, \quad
(\sin x)' = \cos x .
$$

La première se prouve par récurrence à partir de la règle du produit, et les deux dernières dans le [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques#ch-g12-trigo).

## 22.2 Variations et extrema

**Théorème 22.7 (Signe de la dérivée et variations).**

Soit $f$ [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$.

1. $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $I$ si et seulement si $f' \geq 0$ sur $I$ .
2. $f$ est [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) sur $I$ si et seulement si $f' \leq 0$ sur $I$ .
3. Si $f' > 0$ sur $I$ sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $I$ .

**Démonstration partielle.** Si $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), tout taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est $\geq 0$, et en passant à la limite on obtient $f'(a) \geq 0$. Les implications réciproques reposent sur le théorème des accroissements finis, prouvé à l’université ; elles sont *admises à ce niveau*. ∎

**Définition 22.8 (Extremum local).**

$f$ a un *maximum local* en $a$ si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ voisin de $a$ ; les minima locaux se définissent de façon symétrique.

**Proposition 22.9 (Condition du premier ordre).**

Si $f$ est [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) *ouvert* $I$ et a un [extremum](#def-g12-deriv-extremum) local en $a \in I$, alors $f'(a) = 0$. La réciproque est fausse ($f(x) = x^3$ en $a = 0$).

**Démonstration.** Disons que $a$ est un [maximum local](#def-g12-deriv-extremum). Pour $h > 0$ petit, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$, donc en faisant $h \to 0^+$ on obtient $f'(a) \leq 0$ ; pour $h < 0$ le quotient est $\geq 0$, d’où $f'(a) \geq 0$. Donc $f'(a) = 0$. ∎

![En un extremum local à l’intérieur d’un intervalle ouvert, la tangente (orange) est horizontale : f'(a) = 0. Ici f(x) = x3 - 3x, avec un maximum local en -1 et un minimum local en 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-407cf2af40d9.svg)

*En un [extremum](#def-g12-deriv-extremum) local à l’intérieur d’un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ouvert, la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (orange) est horizontale : $f'(a) = 0$. Ici $f(x) = x^3 - 3x$, avec un [maximum local](#def-g12-deriv-extremum) en $-1$ et un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local en $1$.*

**Méthode 22.10 (Tableau de variations).**

Pour étudier une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f$ : déterminer son [ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) et les limites au bord ; calculer $f'$ et la [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) ; déterminer le signe de $f'$ sur chaque [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) ; tout enregistrer dans un [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table), en marquant les extrema ; en déduire le nombre de solutions de $f(x) = k$ à l’aide du théorème de la bijection ([Théorème 21.15](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#thm-g12-limcont-bijection)).

## 22.3 Convexité

**Définition 22.11 (Fonction convexe).**

Une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f$ définie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$ est *convexe* sur $I$ si toute corde de son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) est au-dessus du [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) : pour tous $a, b \in I$ et $t \in \intcc{0}{1}$,

$$
f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).
$$

Elle est *concave* si l’inégalité inverse vaut ($-f$ convexe).

![Une fonction convexe : toute corde (rouge) est au-dessus du graphique, et le graphique est au-dessus de chacune de ses tangentes (orange). Le segment en pointillés montre l’écart entre f ((1-t)a+tb ) et (1-t)f(a)+tf(b).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-36bc86c25e1b.svg)

*Une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [convexe](#def-g12-deriv-convex) : toute corde (rouge) est au-dessus du [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph), et le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) est au-dessus de chacune de ses [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) (orange). Le segment en pointillés montre l’écart entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ et $(1-t)f(a)+tf(b)$.*

**Théorème 22.12 (Convexité et dérivées).**

Soit $f$ [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) $I$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est [convexe](#def-g12-deriv-convex) sur $I$ ;
2. $f'$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $I$ ;
3. le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) de $f$ est au-dessus de chacune de ses [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) .

Si $f$ est deux fois [dérivable](#def-g12-deriv-derivative), elles sont aussi équivalentes à $f'' \geq 0$ sur $I$.

**Démonstration de (2) $\Rightarrow$ (3).** Fixer $a \in I$ et poser $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$, l’écart entre la courbe et la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $a$. Alors $g$ est [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$. Si $f'$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), $g' \leq 0$ sur $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ et $g' \geq 0$ sur $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ décroît avant $a$ et croît après, donc $g$ atteint son [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $g(a) = 0$, d’où $g \geq 0$. Les autres implications sont admises à ce niveau ; l’équivalence avec $f'' \geq 0$ suit du [Théorème 22.7](#thm-g12-deriv-variations) appliqué à $f'$. ∎

**Définition 22.13 (Point d’inflexion).**

Un point où la courbe de $f$ traverse sa [tangente](#def-g12-deriv-tangent) est un *point d’inflexion*. Pour $f$ deux fois [dérivable](#def-g12-deriv-derivative), les points d’inflexion sont les points où $f''$ change de signe.

**Exemple 22.14.**

$f(x) = x^3$ a $f''(x) = 6x$ : $f$ est [concave](#def-g12-deriv-convex) sur $\intoc{-\infty}{0}$, [convexe](#def-g12-deriv-convex) sur $\intco{0}{+\infty}$, avec un [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) à l’origine, où la courbe traverse sa [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (l’axe des $x$).

![Le point d’inflexion de x x3 à l’origine : la courbe traverse sa tangente (orange), concave à gauche, convexe à droite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-deriv/fig-27eb7149d20e.svg)

*Le [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) de $x \mapsto x^3$ à l’origine : la courbe traverse sa [tangente](#def-g12-deriv-tangent) (orange), [concave](#def-g12-deriv-convex) à gauche, [convexe](#def-g12-deriv-convex) à droite.*

**Exemple 22.15 (Inégalités de convexité).**

L’exponentielle est [convexe](#def-g12-deriv-convex) sur $\R$ (sa [dérivée](#def-g12-deriv-derivative) seconde est elle-même, positive). Sa [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $0$ est $y = 1 + x$, donc

$$
\eu^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \R .
$$

De telles *inégalités de [tangente](#def-g12-deriv-tangent)* sont un produit standard de la [convexité](#def-g12-deriv-convex).

**Méthode 22.16 (Utiliser la convexité).**

- Pour prouver une inégalité $f(x) \geq ax + b$ : identifier la droite comme une [tangente](#def-g12-deriv-tangent) d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [convexe](#def-g12-deriv-convex) $f$ et invoquer le [Théorème 22.12](#thm-g12-deriv-convexity) (3).
- Pour localiser les [points d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) : résoudre $f''(x) = 0$ *et* vérifier que $f''$ change de signe là.
- Dans un [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) , la [convexité](#def-g12-deriv-convex) affine le croquis de la courbe (de quel côté elle s’infléchit).

## 22.4 Exercices

**Exercice 22.1 ★.**

Dériver les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) suivantes sur leurs [ensembles de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) :

$$
f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad
g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad
h(x) = (2x+1)^5, \quad
k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.
$$

**Solution de Exercice 22.1.**

$f'(x) = 3x^2 - 5$.

Règle du quotient : $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

Règle de la chaîne avec $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$.

Règle de la chaîne avec $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

**Exercice 22.2 ★.**

Donner l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) de la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) à la courbe de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ au point d’[abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $a = 2$, et déterminer les positions de la courbe par rapport à cette [tangente](#def-g12-deriv-tangent).

**Solution de Exercice 22.2.**

$f'(x) = 2x - 3$, donc $f(2) = -1$ et $f'(2) = 1$ : la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) est $y = -1 + (x - 2) = x - 3$. L’écart est

$$
f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,
$$

donc la courbe est au-dessus de la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) partout, ne la touchant qu’en $x = 2$ (comme attendu : $f$ est [convexe](#def-g12-deriv-convex)).

**Exercice 22.3 ★.**

En utilisant la définition de la [dérivée](#def-g12-deriv-derivative), calculer

$$
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x}
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
$$

**Solution de Exercice 22.3.**

Ce sont tous deux des taux d’accroissement. Avec $f(x) = (1+x)^{100}$ en $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$, donc la limite est $f'(0) = 100$. Avec $g(x) = \sqrt{x}$ en $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc la limite est $g'(4) = \frac14$.

**Exercice 22.4 ★★.**

Étudier la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ sur son [ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) : limites, [dérivée](#def-g12-deriv-derivative), [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table), extrema locaux.

**Solution de Exercice 22.4.**

[Ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $\R \setminus \{1\}$. Limites : en $\pm\infty$, $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; en $1^\pm$, le numérateur $\to 4 > 0$ et le dénominateur $\to 0^\pm$, donc $f \to \pm\infty$ ; la droite $x = 1$ est une [asymptote verticale](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-asymptote).

$$
f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}
= \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.
$$

D’où $f' > 0$ sur $\intoo{-\infty}{-1}$ et $\intoo{3}{+\infty}$, $f' < 0$ sur $\intoo{-1}{1}$ et $\intoo{1}{3}$. La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) croît jusqu’à un [maximum local](#def-g12-deriv-extremum) $f(-1) = -2$, décroît vers $-\infty$, saute vers $+\infty$ après l’[asymptote](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-asymptote), décroît jusqu’à un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $f(3) = 6$, puis croît.

**Exercice 22.5 ★★.**

Une boîte sans couvercle est fabriquée à partir d’une feuille de carton carrée de côté $30$ cm en découpant des carrés égaux de côté $x$ aux coins et en relevant les côtés. Déterminer $x$ maximisant le volume de la boîte.

**Solution de Exercice 22.5.**

Pour $x \in \intoo{0}{15}$, la boîte a une base carrée de côté $30 - 2x$ et une hauteur $x$, donc

$$
V(x) = x(30 - 2x)^2 .
$$

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x)
= (30-2x)(30-6x)$. Sur $\intoo{0}{15}$, $30 - 2x > 0$, donc $V'$ a le signe de $30 - 6x$ : positif avant $x = 5$, négatif après. Le volume est maximal pour $x = 5$ cm, donnant $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\
\text{cm}^3$.

**Exercice 22.6 ★★.**

Soit $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. Calculer $f''$ et déterminer les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) de [convexité](#def-g12-deriv-convex) et les [points d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) de $f$ .
2. Montrer que la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) au [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) d’ [abscisse](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) $2$ traverse la courbe là.

**Solution de Exercice 22.6.**

*1.* $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ et $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. Ainsi $f'' > 0$ sur $\intoo{-\infty}{0}$ et sur $\intoo{2}{+\infty}$ ([convexe](#def-g12-deriv-convex)), $f'' < 0$ sur $\intoo{0}{2}$ ([concave](#def-g12-deriv-convex)). $f''$ change de signe en $0$ et en $2$ : ce sont tous deux des [points d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection).

*2.* En $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$, $f'(2) = 32 - 48 =
-16$, [tangente](#def-g12-deriv-tangent) $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$. L’écart est

$$
g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .
$$

Comme $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$, $(x-2)^3$ divise $g$ ; la division donne $g(x) = (x-2)^3(x+2)$. Au voisinage de $x = 2$, $x + 2 > 0$, donc $g$ a le signe de $(x-2)^3$ : négatif avant $2$, positif après. La courbe traverse la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) : $2$ est bien un [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection).

**Exercice 22.7 ★★.**

En utilisant une inégalité de [tangente](#def-g12-deriv-tangent), montrer que pour tout $x > 0$,

$$
\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},
$$

et identifier quand l’égalité a lieu. (Indication : la racine carrée est [concave](#def-g12-deriv-convex).)

**Solution de Exercice 22.7.**

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f(x) = \sqrt{x}$ satisfait $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : elle est [concave](#def-g12-deriv-convex), donc son [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) est *sous* chaque [tangente](#def-g12-deriv-tangent). La [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $a = 1$ est

$$
y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},
$$

d’où $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ pour tout $x > 0$. L’égalité signifie que la courbe touche la [tangente](#def-g12-deriv-tangent), ce qui n’arrive qu’au point de contact $x = 1$. (Équivalent : $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$.)

**Exercice 22.8 ★★★.**

Soit $f$ [convexe](#def-g12-deriv-convex) et [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) sur $\R$, et supposons que $f'$ s’annule en un certain point $a$. Montrer que $f(a)$ est le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) *global* de $f$ sur $\R$.

**Solution de Exercice 22.8.**

Par le [Théorème 22.12](#thm-g12-deriv-convexity), le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [convexe](#def-g12-deriv-convex) [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) est au-dessus de chacune de ses [tangentes](#def-g12-deriv-tangent). La [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $a$ est horizontale ($f'(a) = 0$), d’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y = f(a)$. D’où $f(x) \geq f(a)$ pour tout $x \in \R$ : $f(a)$ est le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) global.

**Exercice 22.9 ★★★.**

Montrer que parmi tous les rectangles de périmètre fixe $p$, le carré a l’aire la plus grande. Puis montrer que parmi tous les rectangles d’aire fixe $A$, le carré a le plus petit périmètre, et expliquer comment les deux énoncés sont liés.

**Solution de Exercice 22.9.**

*Périmètre fixe.* Un rectangle de côtés $x$ et $\frac{p}{2} - x$ ($0 < x < \frac p2$) a pour aire $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$. Alors $S'(x) = \frac p2 - 2x$ s’annule en $x = \frac p4$, positif avant et négatif après : le [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) est en $x = \frac{p}{4}$, où les deux côtés valent $\frac p4$ — un carré.

*Aire fixe.* Les côtés $x$ et $\frac Ax$ donnent le périmètre $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$, avec $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$, négatif pour $x < \sqrt A$ et positif après : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) en $x = \sqrt{A}$, un carré encore.

*Lien.* Les deux énoncés sont duaux. Supposons qu’un rectangle non carré minimise le périmètre à aire fixe $A$ ; le carré de même périmètre aurait une aire $> A$ par le premier énoncé, et le rétrécir homothétiquement à l’aire $A$ diminuerait strictement son périmètre — contredisant la minimalité. Chaque énoncé implique donc l’autre.

## 22.5 Problème : le calcul du maître nageur

**Problème 22.1.**

Devoir du week-end — le sauvetage le plus rapide obéit à la loi de Descartes, la convexité certifie tout optimum, et la canette idéale est exactement aussi haute que large

Un maître nageur aperçoit un nageur en difficulté — en diagonale le long de la plage, au large. Courir va plus vite que nager : la ligne droite n’est *pas* le trajet le plus rapide. Le trajet qui minimise le temps se brise au bord de l’eau, et sa [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) de brisure est précisément celle selon laquelle la lumière se réfracte en entrant dans l’eau : la nature aussi dérive. Ce problème entraîne la dérivation des [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) composées ([Théorème 22.5](#thm-g12-deriv-chain)), effectue le sauvetage, moissonne les inégalités de la [convexité](#def-g12-deriv-convex) ([Théorème 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)) et dessine une boîte de conserve.

**Partie I — Aisance avec les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) composées.**

1. Dériver : $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
2. Donner la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) à $y = \sqrt{x^2 + 9}$ en $x = 4$ .
3. Construire le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $\R$ ( [extremums](#def-g12-deriv-extremum) compris).
4. Pour $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) *et* tableau de [convexité](#def-g12-deriv-convex) ( $g''$ ), avec le [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) ( [Définition 22.13](#def-g12-deriv-inflection) ).
5. Calculer la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) à $g$ en son [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) , et montrer que $g(x) - (\text{tangente}) = (x - 1)^3$ : que dit ce changement de signe sur la façon dont la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) rencontre la courbe en un [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) ?

**Partie II — Le sauvetage.** Le rivage suit l’axe des [abscisses](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system) ; le maître nageur se tient sur le sable en $A(0, 30)$, le nageur attend en $B(40, -20)$ (en mètres). Le sauveteur court à $5$ m/s sur le sable, nage à $2$ m/s, et entre dans l’eau en un point $(x, 0)$ de son choix.

6. Modélisation : exprimer le temps total de sauvetage $T(x)$ , et dire pourquoi seuls les $x \in \intcc{0}{40}$ méritent d’être considérés.
7. Dériver $T$ (la dérivation des composées à l’œuvre — deux fois).
8. Soit $\theta_1$ l’angle de la portion courue avec la *perpendiculaire* au rivage, et $\theta_2$ celui de la portion nagée. Montrer que $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ et que la condition $T'(x) = 0$ s’écrit $$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$$ — la *[loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) de la réfraction*, avec les deux vitesses à la place des vitesses de la lumière dans l’air et dans l’eau.
9. Le segment $[AB]$ coupe le rivage en $x = 24$ . Calculer $T(24)$ , $T(40)$ (courir le long de la plage, puis nager droit au large) et $T(0)$ : la ligne droite géométrique est-elle la plus rapide ? L’une des deux stratégies extrêmes l’est-elle ?
10. Localiser le point d’entrée optimal par [dichotomie](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#thm-g12-limcont-ivt) sur $T'$ (il vaut $\approx 33.7$ m) : donner $x^*$ au mètre près et le temps record $T(x^*)$ au dixième de seconde. Combien la brisure optimale fait-elle gagner par rapport à la ligne droite ?
11. Pourquoi le point critique est-il un [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) *global* ? (Chaque terme de $T$ est [convexe](#def-g12-deriv-convex) — on admettra qu’une somme de [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [convexes](#def-g12-deriv-convex) est [convexe](#def-g12-deriv-convex) — puis appliquer l’ [Exercice 22.8](#exo-g12-deriv-8) .)
12. Le principe de Fermat affirme que la lumière emprunte toujours le trajet de *temps* minimal. En déduire pourquoi un rayon lumineux se brise exactement à la surface en entrant dans l’eau (où la lumière est plus lente), et nommer l’observation quotidienne que cela explique à propos d’un crayon plongé dans un verre d’eau.

**Partie III — La moisson de la [convexité](#def-g12-deriv-convex).**

13. Montrer que $x \mapsto x^2$ est [convexe](#def-g12-deriv-convex) , et démontrer deux fois l’inégalité du [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq  \frac{a^2 + b^2}{2}$ : une fois par la [convexité](#def-g12-deriv-convex) , une fois en développant $(a - b)^2 \geq 0$ .
14. En déduire que la *[moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) quadratique* $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domine la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) arithmétique, et assembler la chaîne complète de la série — harmonique $\leq$ géométrique $\leq$ arithmétique $\leq$ quadratique — en vérifiant les quatre pour $a = 2$ et $b = 8$ .
15. [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) sous la courbe : $x \mapsto \frac1x$ est [convexe](#def-g12-deriv-convex) sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; écrire sa [tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $1$ et en déduire l’inégalité $\frac1x \geq 2 - x$ pour tout $x > 0$ . Où y a-t-il égalité ?
16. Une inflexion dans la vie réelle : lors d’une épidémie, le nombre cumulé de cas suit une courbe en S. Que se passe-t-il en son [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection) , et pourquoi les épidémiologistes guettent-ils cette date ? Relier au signe de la [dérivée](#def-g12-deriv-derivative) seconde de part et d’autre.

**Partie IV — La boîte idéale.** Une boîte cylindrique doit contenir $V = 330$ cm$^3$ avec le moins de métal possible : surface $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$, sous la contrainte $\pi r^2 h = V$.

17. Exprimer $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , dériver, et calculer le rayon et la hauteur optimaux pour $V = 330$ (au millimètre près).
18. Démontrer l’élégante [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) générale : à l’optimum, $h = 2r$ — la boîte idéale est exactement aussi haute que large.
19. Vérifier $S''(r) > 0$ et conclure (par l’ [Exercice 22.8](#exo-g12-deriv-8) de nouveau) que l’optimum est global. Les canettes de soda réelles sont visiblement plus hautes que larges : donner une raison non mathématique.
20. Pour finir — la chaîne de l’optimisation : modéliser, interroger la [dérivée](#def-g12-deriv-derivative) , résoudre pour trouver les points critiques, certifier par la [convexité](#def-g12-deriv-convex) ou par un tableau, interpréter. Dérouler cette liste sur le maître nageur, sur la boîte et sur la poutre la plus résistante de l’an dernier ( [Problème 12.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#pb-g11-deriv-1) ) — et dire ce que le principe de Fermat nous apprend sur qui d’autre déroule cette même chaîne.

**Solution de Problème 22.1.**

**1.** $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.

**2.** $y(4) = 5$, [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $\frac45$ : [tangente](#def-g12-deriv-tangent) $y = 5 + \frac45(x - 4)$, c’est-à-dire $y = \frac45 x + \frac95$.

**3.** $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : négative, puis positive, puis négative de part et d’autre de $-1$ et $1$ : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(-1) = -\frac12$, [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \frac12$, avec l’[asymptote horizontale](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-asymptote) $0$ des deux côtés.

**4.** $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations), [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) de part et d’autre de $0$ et $2$ ; [maximum local](#def-g12-deriv-extremum) $g(0) = 4$, [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) local $g(2) = 0$. $g''(x) = 6x - 6$ : [concave](#def-g12-deriv-convex) avant $1$, [convexe](#def-g12-deriv-convex) après : inflexion en $(1, 2)$.

**5.** [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) en $1$ : [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $g'(1) = -3$, d’où $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$. Différence : $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$, qui change de signe en $1$ : la [tangente](#def-g12-deriv-tangent) *traverse* la courbe — le comportement caractéristique d’un [point d’inflexion](#def-g12-deriv-inflection), où la courbe change de côté.

**6.** $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} +
\dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$. Entrer avant $0$ ou au-delà de $40$ rallonge les *deux* portions : c’est sans intérêt.

**7.** $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} -
\dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$.

**8.** Dans le triangle de la course, le côté le long du rivage vaut $x$ et l’hypoténuse $\sqrt{x^2 + 900}$ : le [sinus](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-cossin) de l’angle avec la perpendiculaire est précisément leur quotient (côté opposé sur hypoténuse) ; de même $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$. Alors $T'(x) = 0$ s’écrit $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) de la réfraction, avec les vitesses $5$ et $2$.

**9.** $T(24) \approx 20.5$ s ; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s ; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. La ligne droite perd même face à « courir jusqu’au bout, puis nager droit devant » — et les deux perdent face au trajet réfracté.

**10.** La [dichotomie](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#thm-g12-limcont-ivt) sur $T'$ (négative en $24$, positive en $40$) [converge](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-limit) vers $x^* \approx 34$ m, avec $T(x^*) \approx 19.5$ s : environ une seconde de moins que la ligne droite — la différence entre un sauvetage et un drame.

**11.** Chaque durée partielle est une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [convexe](#def-g12-deriv-convex) de $x$ (une branche de $\sqrt{\text{trinôme}}$), donc $T$ est [convexe](#def-g12-deriv-convex), et un point critique d’une [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [convexe](#def-g12-deriv-convex) [dérivable](#def-g12-deriv-derivative) en est le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) global ([Exercice 22.8](#exo-g12-deriv-8)) : $x^*$ n’est pas seulement stationnaire, il est imbattable.

**12.** La lumière est plus lente dans l’eau ; d’après le principe de Fermat, le trajet le plus rapide de l’air vers l’eau se brise à la surface exactement selon la [loi](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-rv) de la réfraction — si bien que les rayons issus d’un crayon immergé parviennent brisés à l’œil, et le cerveau, qui prolonge les lignes droites, voit le crayon cassé au niveau de la surface.

**13.** $(x^2)'' = 2 > 0$ : la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) est [convexe](#def-g12-deriv-convex). [Convexité](#def-g12-deriv-convex) appliquée au [milieu](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#prop-g10-coordgeom-midpoint) : $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq
\frac{f(a) + f(b)}{2}$, ce qui est exactement l’énoncé. À la main : $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =
\frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$.

**14.** En prenant les racines carrées ([fonction croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone)) dans la question 13 : $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$. Chaîne complète sur $2$ et $8$ : harmonique $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; géométrique $\sqrt{16} = 4$ ; arithmétique $5$ ; quadratique $\sqrt{34} \approx 5.83$ : chaque [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) s’incline devant la suivante.

**15.** [Tangente](#def-g12-deriv-tangent) à $\frac1x$ en $1$ : valeur $1$, [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $-1$, d’où $y = 2 - x$. Les courbes [convexes](#def-g12-deriv-convex) se tiennent au-dessus de leurs [tangentes](#def-g12-deriv-tangent) ([Théorème 22.12](#thm-g12-deriv-convexity)) : $\frac1x \geq 2 - x$ pour tout $x > 0$, avec égalité exactement au point de contact $x = 1$.

**16.** À l’inflexion, le nombre *quotidien* de cas (la [dérivée](#def-g12-deriv-derivative)) atteint son [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) : la croissance cesse d’accélérer et commence à ralentir — le premier signal mathématique que la vague se retourne, bien avant que les comptages eux-mêmes ne baissent. Avant ce point, $f'' > 0$ (chaque jour pire que le précédent) ; après, $f'' < 0$ (encore en croissance, mais de plus en plus lentement).

**17.** $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ donne $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : $r \approx 3.74$ cm, et $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

**18.** $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ à l’optimum : la hauteur égale le diamètre, quel que soit le volume.

**19.** $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) est [convexe](#def-g12-deriv-convex), donc le rayon critique donne le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) global. Les canettes réelles sont plus élancées pour la prise en main, pour l’empilement, pour la présence en rayon et à cause du métal plus épais du dessus et du dessous — l’optimisation minimise toujours exactement ce que l’on a écrit, jamais ce que l’on voulait dire.

**20.** Maître nageur : modéliser $T(x)$, dériver, réfraction, [convexité](#def-g12-deriv-convex), une seconde gagnée. Boîte : modéliser $S(r)$, dériver, $h = 2r$, [convexité](#def-g12-deriv-convex), du métal économisé. Poutre ([Problème 12.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/12-derivation-un-premier-cours#pb-g11-deriv-1)) : modéliser $S(w)$, dériver, $d = w\sqrt2$, tableau, de la rigidité gagnée. Et d’après le principe de Fermat, la lumière elle-même déroule cette chaîne à chaque surface qu’elle rencontre — la nature fut le premier optimiseur.