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title: "Exponentielle et logarithme"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 23
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme
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# Chapitre 23 — Exponentielle et logarithme

La [fonction exponentielle](#thm-g12-exp-existence) est l’unique [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) égale à sa propre [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) et valant $1$ en $0$. Elle convertit les sommes en produits ; son inverse, le [logarithme népérien](#def-g12-exp-ln), convertit les produits en sommes. Ensemble, ils décrivent tout phénomène dont le taux de variation est proportionnel à sa taille : désintégration radioactive, croissance de population, intérêts composés.

## 23.1 La fonction exponentielle

**Théorème 23.1 (Existence et unicité).**

Il existe une unique [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) [dérivable](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) $f \colon \R \to \R$ telle que

$$
f' = f \qquad\text{et}\qquad f(0) = 1 .
$$

On l’appelle la *fonction exponentielle* et on l’écrit $\exp$, ou $x \mapsto \eu^x$.

**Démonstration de l’unicité.** D’abord, une telle [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) ne s’annule jamais. En effet, soit $g(x) = f(x)f(-x)$ ; alors

$$
g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,
$$

donc $g$ est constante égale à $g(0) = 1$ : pour tout $x$, $f(x)f(-x) = 1$, et en particulier $f(x) \neq 0$.

Soient maintenant $f_1, f_2$ deux solutions et $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (légitime car $f_2$ ne s’annule jamais). Alors

$$
h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,
$$

donc $h$ est constante égale à $h(0) = 1$, *c’est-à-dire* $f_1 = f_2$.

L’*existence* est admise à ce niveau (on peut l’obtenir via la [suite](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-sequence) de l’[Exercice 20.10](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#exo-g12-seq-10), ou comme inverse du [logarithme](#def-g12-exp-ln) construit par intégration dans le [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/25-integration#ch-g12-integ)). ∎

**Proposition 23.2 (Équation fonctionnelle).**

Pour tous $x, y \in \R$ et $n \in \Z$ :

$$
\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad
\eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad
\eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad
\bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.
$$

De plus $\eu^x > 0$ pour tout $x$.

**Démonstration.** Fixer $y$ et considérer $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$. Son numérateur et son dénominateur, comme [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de $x$, sont tous deux des solutions de $f' = f$ à la constante $\exp(y)$ près ; en dérivant $\varphi$ directement (règle du quotient) on obtient $\varphi' = 0$, donc $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$, prouvant la première identité. Prendre $y = -x$ donne la deuxième (avec la valeur $\eu^0 = 1$), et la troisième suit. La quatrième est une récurrence à partir de la première pour $n \geq 0$, étendue à $n < 0$ par la deuxième.

Positivité : $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ et $\eu^x \neq 0$ (montré dans le [Théorème 23.1](#thm-g12-exp-existence)), donc $\eu^x > 0$. ∎

**Proposition 23.3 (Variations et limites).**

L’exponentielle est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), [convexe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-convex), et

$$
\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .
$$

**Démonstration.** $(\exp)' = \exp > 0$ donne la croissance stricte ; $(\exp)'' = \exp > 0$ donne la [convexité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-convex). Par [convexité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-convex), $\eu^x \geq 1 + x$ ([tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) en $0$, voir l’[Exemple 22.15](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#ex-g12-deriv-ineq)), donc $\eu^x \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ par comparaison. Puis $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ lorsque $x \to -\infty$. ∎

![L’exponentielle : strictement croissante, convexe, avec _-∈fty x = 0. Elle est au-dessus de sa tangente en 0 : x ≥ 1 + x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-4d7aa83a2aa6.svg)

*L’exponentielle : strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), [convexe](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-convex), avec $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$. Elle est au-dessus de sa [tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) en $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$.*

**Théorème 23.4 (Comparaison de croissances).**

Pour tout entier $n \geq 1$,

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty,
\qquad
\lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .
$$

En d’autres termes : l’exponentielle bat toute puissance de $x$.

**Démonstration.** Pour $n = 1$ : en appliquant $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ en $t = x/2$,

$$
\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x}
\geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .
$$

Pour $n$ général, écrire

$$
\frac{\eu^x}{x^n}
= \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n}
\xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty
$$

par le cas $n=1$ et composition. La limite en $-\infty$ suit par le changement $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$. ∎

![L’exponentielle (bleu) finit par battre toute puissance : elle dépasse x2 (rouge) tôt et x3 (orange) en x 4.54.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-2bf938e48637.svg)

*L’exponentielle (bleu) finit par battre toute puissance : elle dépasse $x^2$ (rouge) tôt et $x^3$ (orange) en $x \approx 4.54$.*

## 23.2 Le logarithme népérien

**Définition 23.5 (Logarithme népérien).**

L’exponentielle est [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) et strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) de $\R$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ ; par le théorème de la bijection ([Théorème 21.15](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#thm-g12-limcont-bijection)), pour tout $y > 0$ l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = y$ a une unique solution. Cette solution est le *logarithme népérien* de $y$, noté $\ln y$. Ainsi

$$
\text{pour } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .
$$

En particulier $\ln 1 = 0$, $\ln \eu = 1$, et $\eu^{\ln y} = y$, $\ln(\eu^x) = x$.

![Les courbes de et sont images miroir l’une de l’autre par rapport à la droite y = x : le point (x, x) se reflète en ( x, x).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-exp/fig-a625fce5956d.svg)

*Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont [images](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) miroir l’une de l’autre par rapport à la droite $y = x$ : le point $(x, \eu^x)$ se reflète en $(\eu^x, x)$.*

**Proposition 23.6 (Propriétés algébriques).**

Pour tous $a, b > 0$ et $n \in \Z$ :

$$
\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad
\ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad
\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad
\ln(a^n) = n \ln a, \quad
\ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .
$$

**Démonstration.** $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$, et en prenant $\ln$ des deux membres on obtient la première identité. Les autres suivent par le même mécanisme des identités correspondantes de la [Proposition 23.2](#prop-g12-exp-funceq). ∎

**Proposition 23.7 (Propriétés analytiques).**

La [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $\ln$ est [dérivable](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) sur $\intoo{0}{+\infty}$ avec

$$
(\ln x)' = \frac{1}{x},
$$

strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), [concave](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-convex), et $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$. De plus, pour tout entier $n \geq 1$,

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad
\lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .
$$

**Démonstration.** La dérivabilité de la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) inverse est admise à ce niveau ; en l’accordant, dériver l’identité $\eu^{\ln x} = x$ par la règle de la chaîne : $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$, donc $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$, d’où la croissance stricte, et $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$, d’où la concavité. Les limites en $0^+$ et $+\infty$ reflètent celles de $\exp$ via la bijection. Pour la [comparaison de croissances](#thm-g12-exp-growth), substituer $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ lorsque $t \to +\infty$ par le [Théorème 23.4](#thm-g12-exp-growth), et de même pour les autres limites avec $x = \eu^{-t}$, donnant $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$. ∎

**Méthode 23.8 (Résoudre des équations avec exp⁡\expexp et ln⁡\lnln).**

Les deux [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) sont strictement [croissantes](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic), donc on peut les appliquer à (ou les retirer de) les deux membres d’une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ou d’une inégalité sans changer le sens :

$$
\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad
\eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,
$$

et de même pour $\ln$ sur des quantités positives. *Toujours vérifier les [ensembles de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) d’abord* ($\ln$ exige des arguments positifs). Pour des [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du type $a^x = b$ avec $a>0$, $a \neq 1$, réécrire $a^x = \eu^{x\ln a}$ et résoudre $x = \frac{\ln b}{\ln a}$.

**Exemple 23.9.**

Un [échantillon](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-sample) radioactif se désintègre suivant $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$. Sa *demi-vie* $T$ satisfait $N(T) = N_0/2$, *c’est-à-dire* $\eu^{-\lambda T} = \frac12$, donc $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : la demi-vie ne dépend pas de la quantité initiale.

## 23.3 Exercices

**Exercice 23.1 ★.**

Simplifier $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ et $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$.

**Solution de Exercice 23.1.**

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$.

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)
= 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$.

**Exercice 23.2 ★.**

Résoudre dans $\R$ :

$$
\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0;
\qquad
\text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .
$$

**Solution de Exercice 23.2.**

*(a)* Poser $X = \eu^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = 2$, tous deux positifs, donc $x = 0$ ou $x = \ln 2$.

*(b)* [Ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) : $x - 1 > 0$ et $x + 2 > 0$, donc $x > 1$. L’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) devient $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$, d’où $(x-1)(x+2) = 4$, *c’est-à-dire* $x^2 + x - 6 = 0$, donc $x = 2$ ou $x = -3$. Seul $x = 2$ est dans l’[ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) : $S = \{2\}$.

**Exercice 23.3 ★.**

Calculer les limites :

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad
\lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad
\lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).
$$

**Solution de Exercice 23.3.**

Diviser par $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$, en utilisant $x^2 \eu^{-x} \to 0$ ([Théorème 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ par la [Proposition 23.7](#prop-g12-exp-lnanalytic) (cas $n = 2$).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$.

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ car $\frac{\ln x}{x} \to 0$.

**Exercice 23.4 ★★.**

Étudier la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f(x) = x\,\eu^{-x}$ sur $\R$ : variations, limites, [extremum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-extremum) ; montrer que sa courbe a un [point d’inflexion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-inflection) et donner ses [coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system).

**Solution de Exercice 23.4.**

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$, du signe de $1 - x$ : $f$ croît sur $\intoc{-\infty}{1}$, décroît sur $\intco{1}{+\infty}$, avec un [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) global $f(1) = \eu^{-1}$.

Limites : lorsque $x \to +\infty$, $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ ([Théorème 23.4](#thm-g12-exp-growth)) ; lorsque $x \to -\infty$, $x \to -\infty$ et $\eu^{-x} \to +\infty$, donc $f(x) \to -\infty$.

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$, qui change de signe en $x = 2$ : [point d’inflexion](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-inflection) en $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$.

**Exercice 23.5 ★★.**

Montrer que pour tout $x > -1$, $\ln(1 + x) \leq x$, avec égalité seulement en $x = 0$. En déduire que pour tout $n \geq 1$,

$$
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .
$$

**Solution de Exercice 23.5.**

Soit $g(x) = x - \ln(1+x)$ sur $\intoo{-1}{+\infty}$. Alors $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$, négatif sur $\intoo{-1}{0}$ et positif sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $g$ atteint son [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $g(0) = 0$, donc $g \geq 0$ avec égalité seulement en $0$. D’où $\ln(1+x) \leq x$.

Appliquer avec $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$, donc $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$. Appliquer avec $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$, donc $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ et $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$.

**Exercice 23.6 ★★.**

Un capital $C_0$ est placé au taux annuel de $3\,\%$, intérêts composés chaque année.

1. Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années.
2. Au bout de combien d’années le capital double-t-il ? Donner la réponse exacte avec $\ln$ , puis une valeur numérique.
3. Comparer avec l’ [approximation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-approx) « $70$ divisé par le taux en pourcent » utilisée par les banquiers.

**Solution de Exercice 23.6.**

*1.* Chaque année multiplie le capital par $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$.

*2.* $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : le capital double après $24$ années.

*3.* $\frac{70}{3} \approx 23.3$, proche de l’exact $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$. La règle fonctionne car $\ln(1 + r) \approx r$ pour $r$ petit, donc $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$.

**Exercice 23.7 ★★.**

Résoudre l’inéquation $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$, puis l’inéquation $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$.

**Solution de Exercice 23.7.**

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (l’exponentielle est strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic)) : $S = \intoo{1}{+\infty}$.

[Ensemble de définition](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) de la seconde inégalité : $x^2 - 1 > 0$ et $x + 5 > 0$, *c’est-à-dire* $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$. Sur ce domaine, $\ln$ étant strictement [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic),

$$
\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0
\iff x \in \intcc{-2}{3}.
$$

En intersectant avec le domaine : $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$.

**Exercice 23.8 ★★★.**

Soit $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ pour $x > 0$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ et donner son [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) .
2. Pour quelles valeurs de $k$ l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ a-t-elle $0$ , $1$ ou $2$ solutions dans $\intoo{0}{+\infty}$ ?

**Solution de Exercice 23.8.**

*1.* $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$, négatif sur $\intoo{0}{1}$, positif sur $\intoo{1}{+\infty}$ : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(1) = \eu$. Limites : $f \to +\infty$ en $0^+$ (numérateur $\to 1$, dénominateur $\to 0^+$) et en $+\infty$ ([Théorème 23.4](#thm-g12-exp-growth)).

*2.* Pour $x > 0$, $\eu^x = kx \iff f(x) = k$. D’après le [tableau de variations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-table) ($+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$, [continue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) et strictement [monotone](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-monotone) de chaque côté) : aucune solution pour $k < \eu$ ; exactement une ($x = 1$) pour $k = \eu$ ; exactement deux pour $k > \eu$ (une dans $\intoo{0}{1}$, une dans $\intoo{1}{+\infty}$, par le théorème de la bijection sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval)).

**Exercice 23.9 ★★★.**

Pour $n \geq 1$, soit $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$.

1. En utilisant l’ [Exercice 23.5](#exo-g12-exp-5) , montrer que $(u_n)$ est [majorée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-bounded) par $\eu$ .
2. Montrer que $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , et en déduire que $u_n \to \eu$ . (Indication : reconnaître un taux d’accroissement de $\ln$ en $1$ .)

**Solution de Exercice 23.9.**

*1.* Directement de la première inégalité de l’[Exercice 23.5](#exo-g12-exp-5) : $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$.

*2.* Écrire

$$
\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right)
= \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},
$$

un taux d’accroissement de $\ln$ au point $1$ avec incrément $h = \frac1n \to 0$. Comme $\ln$ est [dérivable](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) en $1$ de [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) $1$, $\ln u_n \to 1$. Par [continuité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity) de $\exp$ ([Proposition 21.12](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#prop-g12-limcont-seqcont)), $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$.

## 23.4 Problème : le logarithme dompte le monde

**Problème 23.1.**

Devoir du week-end — temps de doublement et règle de 72, les échelles des séismes, des acides et des pianos, et la constante $\eu$ qui laisse partout ses empreintes

Tout ce qui croît d’un *pourcentage* fixe croît exponentiellement — l’épargne, les bactéries, les épidémies — et tout ce qui s’étend sur trop de puissances de dix pour être saisi — énergies des séismes, acidités, intensités sonores — se laisse dompter par un [logarithme](#def-g12-exp-ln). Ce problème calcule des temps de doublement et démasque la règle de 72 des banquiers, lit les échelles logarithmiques du monde, et recueille les empreintes que le nombre $\eu$ laisse sur toutes les scènes de crime ([Proposition 23.2](#prop-g12-exp-funceq), [Théorème 23.4](#thm-g12-exp-growth), [Méthode 23.8](#met-g12-exp-equations)).

**Partie I — Aisance.**

1. Résoudre : $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (un trinôme déguisé).
2. Simplifier : $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
3. Démontrer l’inégalité mère : $\eu^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ (étudier $f(x) = \eu^x - 1 - x$ ), et en déduire $\ln(1 + u) \leq u$ pour $u > -1$ .
4. Calculer $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ ( [Théorème 23.4](#thm-g12-exp-growth) ), et $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (y reconnaître une [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) ).
5. Étudier $f(x) = x \ln x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : variations, [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) , et limite en $0^+$ (on admet que $x \ln x \to 0$ ). Cette petite [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) mesure l’information et l’entropie tout au long des volumes universitaires.

**Partie II — Temps de doublement et règle de 72.**

6. Une épargne croît de $3\,\%$ par an. Résoudre $1.03^n = 2$ : en combien de temps le capital double-t-il ?
7. Les banquiers estiment le temps de doublement par $\frac{72}{\text{taux en }\%}$ . Tester la règle à $3\,\%$ , $6\,\%$ et $9\,\%$ face à la valeur exacte $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ , puis l’expliquer : pour $r$ petit, $\ln(1 + r) \approx r$ (l’inégalité de la question 3 en donne la moitié), si bien que la constante exacte est $100 \ln 2 \approx 69.3$ — pourquoi les banquiers préfèrent-ils $72$ ?
8. Une bactérie se divise toutes les $20$ minutes : $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ en minutes). La réécrire sous la forme $\eu^{\lambda t}$ , puis calculer $p$ au bout de $24$ heures. Que prouve la réponse (plus de $10^{21}$ ) sur le modèle — et qu’est-ce qui arrête les colonies réelles ?
9. La caféine quitte l’organisme avec une demi-vie d’environ $5$ heures. Après un café de $100$ mg pris à 15 h, combien en reste-t-il à 23 h ? À quelle heure passe-t-on sous $10$ mg ? (L’insomnie a un [logarithme](#def-g12-exp-ln) .)
10. Un euro à $100\,\%$ d’intérêt annuel : calculer le capital en fin d’année pour une capitalisation annuelle, mensuelle puis quotidienne, et donner le plafond que l’ [Exercice 23.9](#exo-g12-exp-9) a démontré infranchissable. Quelle constante célèbre est la limite de la pure cupidité ?
11. Pourquoi les scientifiques tracent-ils $\ln(\text{nombre de cas})$ en [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) du temps lors de la phase initiale d’une épidémie ? Que révèle une droite sur ce [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) , et que mesure son [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) ?

**Partie III — Les échelles logarithmiques du monde.** (On écrit $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$.)

12. Niveau sonore en décibels : $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . Une conversation mesure $60$ dB, un concert de rock $120$ dB : par quel facteur les intensités sonores diffèrent-elles ?
13. Les magnitudes des séismes augmentent de $1$ lorsque l’amplitude sismique est multipliée par $10$ , et l’énergie libérée varie comme amplitude $^{3/2}$ . Comparer un séisme de magnitude $5$ et un de magnitude $7$ : rapport des amplitudes, puis rapport des énergies.
14. Chimie : $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . Le jus de citron a un pH de $2$ , le lait un pH de $6.5$ : quel est le rapport de leurs concentrations en acide ?
15. Musique : chaque octave double la [fréquence](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/8-statistique-descriptive#def-g10-stats-series) . Du la le plus grave du piano ( $27.5$ Hz) à son do le plus aigu ( $4\,186$ Hz), combien d’octaves le clavier couvre-t-il ? Et pourquoi nos sens — ouïe, vue, perception des secousses — préfèrent-ils les échelles logarithmiques ? (Une phrase.)
16. La règle à calcul, calculatrice des ingénieurs pendant $350$ ans : deux réglettes graduées de sorte que la *longueur* jusqu’au trait $x$ soit proportionnelle à $\ln x$ . Expliquer comment le glissement d’une réglette le long de l’autre multiplie les nombres, et nommer l’identité de la [Proposition 23.6](#prop-g12-exp-lnalg) qui fait le travail.

**Partie IV — Les empreintes de $\eu$.**

17. D’après l’ [Exercice 23.8](#exo-g12-exp-8) : l’ [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) a $0$ , $1$ ou $2$ solutions selon la position de $k$ par rapport à un seuil. Réénoncer le résultat — et vérifier le fait géométrique qui le sous-tend : la droite $y = \eu x$ est exactement la [tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) à l’exponentielle passant par l’origine.
18. La constante du presque-raté : avec $n$ billets de loterie gagnants avec la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) $\frac1n$ chacun, $\P(\text{aucun gain}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . Calculer sa limite en passant par $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (utiliser la limite usuelle $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ ), et faire le lien avec le mystérieux $0.368$ du [Problème 19.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/19-la-loi-binomiale#pb-g11-binom-1) .
19. La règle des $37\,\%$ : pour choisir le meilleur parmi $n$ candidats reçus dans un ordre aléatoire (sans retour en arrière), la stratégie optimale consiste à écarter les $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ premiers, puis à retenir le premier candidat meilleur que tous les précédents — ce qui réussit avec une [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) voisine de $\frac1\eu$ . D’où viennent les deux $\frac1\eu$ des questions 18 et 19 — énoncer le mécanisme commun (de nombreux [événements](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) indépendants, chacun peu probable) — et calculer $\frac1\eu$ à trois décimales.
20. Pour finir — le portrait de $\eu$ : le plafond de la capitalisation (question 10) ; la base dont la [tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) en $0$ a un [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) exactement égal à $1$ (questions 3 et 4) ; la croissance qu’aucun polynôme ne rattrape (question 4) ; la constante des presque-ratés et de l’arrêt optimal (questions 18 et 19) ; et son inverse, $\ln$ , qui change les produits en sommes (question 16) et les décennies de puissances en centimètres (partie III). Une phrase pour chacun.

**Solution de Problème 23.1.**

**1.** $x = \frac{\ln 5}{2}$. $3x - 1 = \eu^2$, donc $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$. Avec $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = \ln 2$.

**2.** $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$.

**3.** $f'(x) = \eu^x - 1$ : négative avant $0$, positive après : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f(0) = 0$, donc $f \geq 0$ partout, c’est-à-dire $\eu^x \geq 1 + x$. En substituant $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$, c’est-à-dire $\ln(1 + u) \leq u$.

**4.** $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ et $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : les exponentielles écrasent les puissances, les puissances écrasent les [logarithmes](#def-g12-exp-ln). Et $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) =
1$.

**5.** $f'(x) = \ln x + 1$ : nulle en $\eu^{-1}$, négative avant, positive après : [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; et $x \ln x \to 0$ en $0^+$ : la courbe part de l’origine, plonge jusqu’à $-\frac1\eu$, puis s’élève.

**6.** $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ ans.

**7.** Valeurs exactes : $23.4$, $11.9$, $8.0$ ans ; règle de 72 : $24$, $12$, $8$. Comme $\ln(1+r) \approx r$, on a $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$, c’est-à-dire $\frac{69.3}{\text{taux en }\%}$ ; les banquiers arrondissent à $72$ parce qu’il se divise magnifiquement par $2, 3, 4, 6, 8, 9,
12$ — le calcul mental vaut mieux qu’une décimale de précision.

**8.** $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ par minute. Au bout de $24 \times 60 = 1440$ minutes : $2^{72} \approx 4.7 \times
10^{21}$ bactéries — plus que les grains de sable de la Terre, à partir d’une seule cellule et en un jour. Le modèle n’est honnête que tant que durent la nourriture et l’espace : la croissance réelle s’infléchit en courbe logistique en S (la courbe de l’épidémiologiste du [Problème 22.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#pb-g12-deriv-1)).

**9.** À 23 h (soit $8$ heures plus tard) : $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. Pour passer sous $10$ mg : $2^{-t/5} < 0.1$ donne $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx
16.6$ h, soit vers 7 h 40 le lendemain matin — l’expresso de quinze heures a une longue traîne.

**10.** Capitalisation annuelle : $2$. Mensuelle : $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$. Quotidienne : environ $2.715$. Le plafond : $\eu = 2.71828\ldots$ ([Exercice 23.9](#exo-g12-exp-9)) — en capitalisant continûment, la cupidité [converge](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-limit).

**11.** Si les cas croissent exponentiellement, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$, alors $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : une droite de [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) $\lambda$ — le taux de croissance. Une portion rectiligne sur le [graphique](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-graph) logarithmique *est* la phase exponentielle, et sa pente est le tempo de l’épidémie.

**12.** $120 - 60 = 60$ dB signifie $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : le concert est $10^6$ fois — un million de fois — plus intense que la conversation.

**13.** Amplitude : $10^{7-5} = 100$. Énergie : $100^{3/2} = 1000$ : deux points de magnitude cachent trois ordres de grandeur en énergie.

**14.** $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : le jus de citron est trente mille fois plus acide que le lait — le pH comprime les abîmes de la chimie sur une échelle de poche.

**15.** $\log_2\!\frac{4186}{27.5} =
\frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : un piano couvre un peu plus de sept octaves. Nos sens réagissent aux *rapports* de stimulus — doubler l’intensité se ressent comme un pas, quel que soit le niveau de départ — si bien que la perception est bâtie sur une échelle logarithmique, comme les unités que nous avons inventées pour elle.

**16.** Placer la réglette de $a$ bout à bout avec la position de $b$ additionne les longueurs $\ln a + \ln b$, et la graduation située à cette longueur totale se lit $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : la règle à calcul calcule des produits en additionnant des [logarithmes](#def-g12-exp-ln) — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ([Proposition 23.6](#prop-g12-exp-lnalg)) gravé dans le buis.

**17.** Le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) de $\frac{\eu^x}{x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ vaut $\eu$, atteint en $x = 1$ : aucune solution pour $k < \eu$, exactement une pour $k = \eu$, deux pour $k > \eu$. Vérification de la [tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) : en $a = 1$, la [tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) à $\eu^x$ est $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : elle passe par l’origine — la droite seuil, qui effleure la courbe en $(1, \eu)$.

**18.** $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) =
\frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$, donc $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : le $0.999^{1000} \approx 0.368$ du [Problème 19.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/19-la-loi-binomiale#pb-g11-binom-1), enfin expliqué — la constante du presque-raté de la loterie est $\frac1\eu$.

**19.** Les deux sont la forme limite de « beaucoup d’[événements](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/18-probabilites-et-variables-aleatoires#def-g11-prob-model) indépendants, chacun individuellement improbable » : la [probabilité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/9-probabilites-et-echantillonnage#def-g10-proba-distribution) qu’*aucune* des $n$ chances de taille $\frac1n$ ne se réalise tend vers $\eu^{-1}$, et la règle du recrutement règle sa fenêtre de rejet de sorte que le succès se concentre sur cette même constante. $\frac1\eu \approx 0.368$.

**20.** Le plafond de la capitalisation ; l’unique base dont la [tangente](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-tangent) en $0$ a un [coefficient directeur](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/4-fonctions-de-reference#def-g10-reffunc-affine) égal à $1$ (raison pour laquelle l’analyse l’adore) ; la croissance qui distance toutes les puissances ; la constante où se rangent les presque-ratés et l’arrêt optimal ; et son inverse, le [logarithme](#def-g12-exp-ln) — la multiplication devenue addition, les plus folles amplitudes du monde repliées sur une règle graduée.