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title: "Fonctions trigonométriques"
book: "Mathématiques du lycée"
subject: math
language: fr
chapter: 24
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/24-fonctions-trigonometriques
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# Chapitre 24 — Fonctions trigonométriques

Les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $\cos$ et $\sin$ transforment la géométrie du cercle en analyse. Définies en enroulant la droite réelle autour du cercle trigonométrique, elles sont l’archétype des [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) périodiques, et leurs [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) en font des solutions de l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) des oscillations $y'' = -y$.

## 24.1 Le cercle trigonométrique

**Définition 24.1 (Cosinus et sinus).**

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de rayon $1$ centré à l’origine d’un [repère orthonormal](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system). À chaque réel $t$, associer le point $M(t)$ obtenu en enroulant une longueur $\abs{t}$ le long de $\mathcal{C}$ depuis le point $I(1,0)$, dans le sens trigonométrique si $t \geq 0$ et dans le sens horaire sinon. Alors *$\cos t$ et $\sin t$ sont les coordonnées de $M(t)$* :

$$
M(t) = (\cos t, \sin t).
$$

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-600a6e9a7eb2.svg)

Comme le cercle a pour circonférence $2\pi$, le point $M(t)$ est inchangé lorsque $t$ augmente de $2\pi$ ; et comme $M(t)$ est sur le cercle unité :

**Proposition 24.2 (Identités fondamentales).**

Pour tout $t \in \R$ et $k \in \Z$ :

$$
\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad
\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad
\sin(t + 2k\pi) = \sin t,
$$

$$
\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
$$

$$
\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad
\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad
\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .
$$

**Démonstration.** La première identité est l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du cercle unité ; les autres expriment les symétries du cercle : $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$, $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$, et $M(\frac\pi2 - t)$ par rapport à la droite $y = x$. ∎

Les valeurs à connaître par cœur :

| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [6pt] $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | $0$ |
| [6pt] $\sin t$ | $0$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |

**Proposition 24.3 (Formules d’addition).**

Pour tous $a, b \in \R$ :

$$
\begin{align*}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, &
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, &
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align*}
$$

En particulier $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$.

**Démonstration.** Les [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) $\vect{u} = (\cos a, \sin a)$ et $\vect{v} = (\cos b, \sin b)$ sont des [vecteurs](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/15-vecteurs-et-droites-dans-le-plan#def-g11-vect-vector) unitaires faisant un angle $a - b$ ; leur [produit scalaire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/16-le-produit-scalaire-dans-le-plan#def-g11-scal-dot) égale à la fois $\cos a\cos b + \sin a \sin b$ ([coordonnées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/5-geometrie-reperee#def-g10-coordgeom-system)) et $\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b)$ (géométrie), ce qui est la troisième formule. Remplacer $b$ par $-b$ donne la première ; les formules de [sinus](#def-g12-trigo-cossin) suivent en utilisant $\sin x = \cos(\frac\pi2 - x)$. Les formules de duplication sont le cas $b = a$ combiné avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$. ∎

## 24.2 Étude analytique

**Lemme 24.4 (Limite fondamentale).**

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .
$$

**Démonstration.** Pour $0 < t < \frac{\pi}{2}$, comparer trois aires dans le cercle unité : le triangle $OIM(t)$, le secteur circulaire $OIM(t)$, et le triangle rectangle de base $OI$ et de hauteur $\tan t$ :

$$
\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
$$

![Les trois aires emboîtées : le triangle OIM (bleu, aire t/2), le secteur circulaire (borné par l’arc rouge, aire t/2), et le triangle rectangle de hauteur t (orange, aire t/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-58dd2424af55.svg)

*Les trois aires emboîtées : le triangle $OIM$ (bleu, aire $\frac{\sin t}{2}$), le secteur circulaire (borné par l’arc rouge, aire $\frac{t}{2}$), et le triangle rectangle de hauteur $\tan t$ (orange, aire $\frac{\tan t}{2}$).*

La première inégalité donne $\frac{\sin t}{t} \leq 1$ ; la seconde donne $\cos t \leq \frac{\sin t}{t}$. Lorsque $t \to 0^+$, $\cos t \to 1$ ([continuité](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/21-limites-et-continuite#def-g12-limcont-continuity)), et le théorème des gendarmes donne $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ; la parité étend cela à $t \to 0$. Pour la seconde limite,

$$
\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)}
= -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1}
\xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere
$$

∎

**Théorème 24.5 (Dérivées du sinus et du cosinus).**

Les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $\sin$ et $\cos$ sont [dérivables](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) sur $\R$, avec

$$
(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .
$$

Plus généralement, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ et $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

**Démonstration.** Par les formules d’addition,

$$
\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}
\xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,
$$

en utilisant le [Lemme 24.4](#lem-g12-trigo-sinxx). Le calcul pour $\cos$ est identique, et la forme générale suit de la règle de la chaîne. ∎

**Proposition 24.6 (Variations).**

Sur $\intcc{0}{\pi}$, $\cos$ décroît de $1$ à $-1$. Sur $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, $\sin$ croît de $-1$ à $1$. Les deux [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) sont $2\pi$-périodiques et ont pour [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) $\intcc{-1}{1}$ ; $\cos$ est paire, $\sin$ est [impaire](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-parity).

**Démonstration.** Sur $\intoo{0}{\pi}$, $(\cos)' = -\sin < 0$ car le point $M(t)$ a une ordonnée positive là ; de même $(\sin)' = \cos > 0$ sur $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$. La périodicité et la parité viennent de la [Proposition 24.2](#prop-g12-trigo-identities). ∎

![Les courbes de (bleu) et (rouge).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-trigo/fig-0ab6284eb634.svg)

*Les courbes de $\cos$ (bleu) et $\sin$ (rouge).*

**Méthode 24.7 (Résoudre cos⁡x=a\cos x = acosx=a et sin⁡x=a\sin x = asinx=a).**

Pour $a \in \intcc{-1}{1}$, trouver une solution particulière $\alpha$ (d’après le tableau de valeurs ou une calculatrice). Alors toutes les solutions sont :

$$
\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z;
$$

$$
\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi,
\quad k \in \Z.
$$

Pour les inégalités, localiser les arcs solutions sur le cercle trigonométrique et lire les [intervalles](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-interval) sur une période.

**Exemple 24.8.**

Résoudre $\cos x = \frac12$ dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : une solution particulière est $\frac\pi3$, donc les solutions sont $x = \frac\pi3$ et $x = -\frac\pi3$. Dans tout $\R$ : $x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$, $k \in \Z$.

## 24.3 Exercices

**Exercice 24.1 ★.**

Calculer $\cos\frac{2\pi}{3}$, $\sin\frac{5\pi}{6}$, $\cos\frac{7\pi}{4}$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ en utilisant les identités de la [Proposition 24.2](#prop-g12-trigo-identities).

**Solution de Exercice 24.1.**

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3
= -\frac12$.

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6
= \frac12$.

$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)
= \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$.

$\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$.

**Exercice 24.2 ★.**

Dériver $f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos(3x) + x\sin x$ et $h(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

**Solution de Exercice 24.2.**

$f'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (règle de la chaîne).

$g'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x$ (règles de la chaîne et du produit).

Règle du quotient :

$$
h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2}
= \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.
$$

**Exercice 24.3 ★.**

Résoudre dans $\intoc{-\pi}{\pi}$, puis dans $\R$ :

$$
\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2};
\qquad
\text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
$$

**Solution de Exercice 24.3.**

*(a)* Une solution particulière de $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ est $\frac\pi3$. Solutions générales : $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}$.

*(b)* $\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4$ donne $2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$, donc $x = \pm\frac\pi8 + k\pi$. Dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ : $x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}$.

**Exercice 24.4 ★★.**

En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$. (Indication : $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.)

**Solution de Exercice 24.4.**

Avec $a = \frac\pi3$, $b = \frac\pi4$ :

$$
\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b
= \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
$$

$$
\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b
= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}
= \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.
$$

**Exercice 24.5 ★★.**

Résoudre dans $\intcc{0}{2\pi}$ l’inéquation $2\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0$. (Indication : [factoriser](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-expand) le trinôme en $\sin x$.)

**Solution de Exercice 24.5.**

Poser $s = \sin x$ : $2s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0$ ssi $s \leq -\frac12$ ou $s = 1$.

$\sin x = 1$ donne $x = \frac\pi2$. $\sin x \leq -\frac12$ : sur le cercle, l’arc sous la droite horizontale $y = -\frac12$, qui dans $\intcc{0}{2\pi}$ est $x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}$. D’où

$$
S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup
\intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .
$$

**Exercice 24.6 ★★.**

Calculer les limites

$$
\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad
\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad
\lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
$$

**Solution de Exercice 24.6.**

$\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$ (composition avec $u = 3x \to 0$).

En utilisant $1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$ :

$$
\frac{1 - \cos x}{x^2}
= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x}
\xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .
$$

En substituant $u = \frac1x \to 0^+$ : $x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1$.

**Exercice 24.7 ★★.**

Étudier la [fonction](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) $f(x) = x + \cos x$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ : variations et extrema. Montrer que $f$ est [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) sur $\R$ bien que $f'$ s’annule en une infinité de points.

**Solution de Exercice 24.7.**

$f'(x) = 1 - \sin x \geq 0$ pour tout $x$, avec égalité exactement lorsque $\sin x = 1$, *c’est-à-dire* $x = \frac\pi2 + 2k\pi$. Sur $\intcc{0}{2\pi}$, $f$ croît de $f(0) = 1$ à $f(2\pi) = 2\pi + 1$ (le zéro de $f'$ en $\frac{\pi}{2}$ est isolé, donc la croissance est même stricte) ; [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $1$ en $0$, [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $2\pi + 1$ en $2\pi$. Sur $\R$, $f' \geq 0$ partout avec seulement des zéros isolés, donc $f$ est (strictement) [croissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#def-g12-seq-monotonic) par le [Théorème 22.7](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#thm-g12-deriv-variations), bien que $f'$ s’annule en chaque $\frac\pi2 + 2k\pi$.

**Exercice 24.8 ★★★.**

Soit $f(x) = A\cos x + B \sin x$ avec $(A,B) \neq (0,0)$.

1. Montrer que $f$ peut s’écrire $f(x) = R\cos(x - \varphi)$ avec $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ et un $\varphi$ convenable.
2. En déduire le [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) et le [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) de $f$ , et résoudre $\cos x + \sin x = 1$ dans $\intoc{-\pi}{\pi}$ .

**Solution de Exercice 24.8.**

*1.* Soit $R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0$. Le point $\left(\frac AR, \frac BR\right)$ est sur le cercle unité, donc il existe $\varphi$ avec $\cos\varphi = \frac AR$ et $\sin\varphi = \frac BR$. Alors

$$
R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr)
= A\cos x + B\sin x = f(x).
$$

*2.* Comme $\cos$ a pour [image](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-function) $\intcc{-1}{1}$, $f$ a pour [maximum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $R$ et pour [minimum](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-extrema) $-R$. Pour $\cos x + \sin x$ : $A = B = 1$, $R = \sqrt2$, $\varphi = \frac\pi4$, donc l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) devient $\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1$, *c’est-à-dire* $\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}$, donnant $x - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi$ : dans $\intoc{-\pi}{\pi}$, $x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}$.

**Exercice 24.9 ★★★.**

Montrer que $\sin$ et $\cos$ satisfont tous deux l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) différentielle $y'' = -y$. Réciproquement, soit $y$ une solution de $y'' = -y$ avec $y(0) = a$ et $y'(0) = b$ ; montrer que $y = a\cos + b\sin$. (Indication : considérer $g = (y - a\cos - b\sin)$ et « l’énergie » $E = g^2 + (g')^2$.)

**Solution de Exercice 24.9.**

$(\sin)'' = (\cos)' = -\sin$ et $(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos$ : tous deux résolvent $y'' = -y$.

Soit $g = y - a\cos - b\sin$. Alors $g'' = -g$ (linéarité de la dérivation), $g(0) = y(0) - a = 0$ et $g'(0) = y'(0) - b = 0$. Poser $E = g^2 + (g')^2$. Alors

$$
E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,
$$

donc $E$ est constante égale à $E(0) = 0$. Une somme de deux carrés qui s’annule identiquement force $g = 0$, d’où $y = a\cos + b\sin$.

## 24.4 Problème : le secret du pendule

**Problème 24.1.**

Devoir du week-end — une seule limite géométrique alimente les dérivées du sinus et du cosinus, et de là toute l’oscillation : ressorts, pendules, battements, et le mètre qui a failli être

Toute horloge qui ait jamais battu, toute corde qui ait jamais sonné, obéit aux mêmes mathématiques : une force de rappel proportionnelle au déplacement, donc l’[équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $y'' = -\omega^2 y$, donc des [cosinus](#def-g12-trigo-cossin). À la base de tout cela se tient une limite d’air innocent, $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — promise dans le volume précédent, utilisée par le [Théorème 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives), et démontrée ici par un dessin. Ce problème s’élève de cette limite jusqu’au balancement d’un pendule d’un mètre, et explique pourquoi le mètre n’est, à un cheveu près, pas défini par lui.

**Partie I — La limite fondamentale.**

1. Échauffement numérique : calculer $\frac{\sin x}{x}$ pour $x = 0.1$ et $x = 0.01$ (en [radians](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-radian) !).
2. L’encadrement, sur le cercle trigonométrique avec $0 < x < \frac\pi2$ : exprimer par de la géométrie élémentaire les aires (i) du triangle de sommets $O$ , $A(1,0)$ et le point du cercle $M(\cos x, \sin x)$ ; (ii) du secteur circulaire $OAM$ ; (iii) du triangle rectangle $OAT$ , où $T(1, \tan x)$ .
3. De l’encadrement des aires, déduire $\sin x < x < \tan x$ , puis $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ , et conclure par le théorème des gendarmes que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (la parité règle le cas $x < 0$ ).
4. En déduire $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} =  \frac12$ (multiplier par la quantité conjuguée).
5. Expliquer pourquoi cette limite est le moteur du [Théorème 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) (que vaut $\sin'(0)$ ?), et pourquoi elle acquitte aussi une vieille dette : en quel sens le *[radian](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-radian)* est-il la seule unité d’angle pour laquelle $\sin' = \cos$ tient sans constante parasite ?

**Partie II — Le mouvement harmonique.**

6. Vérifier, par dérivation des [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) composées, que $y(t) = R\cos(\omega t - \varphi)$ satisfait $y'' = -\omega^2 y$ .
7. Une masse accrochée à un ressort obéit à $y'' = -4y$ , avec $y(0) = 3$ et $y'(0) = 8$ . En admettant (d’après l’ [Exercice 24.9](#exo-g12-trigo-9) ) que toutes les solutions sont de la forme $A\cos 2t + B\sin 2t$ , déterminer $A$ et $B$ .
8. Réécrire la solution sous la forme $R\cos(2t - \varphi)$ ( [Exercice 24.8](#exo-g12-trigo-8) ) : donner l’amplitude $R$ , la période et la phase $\varphi$ (trois décimales).
9. À quel instant la masse passe-t-elle pour la première fois par la position d’équilibre $y = 0$ ?
10. Le pendule : une masse au bout d’un fil de longueur $L$ obéit *exactement* à $\theta'' = -\frac gL  \sin\theta$ — [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) insoluble par les [fonctions](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/11-fonctions-et-variations#def-g11-func-function) élémentaires. Pour de petites oscillations, remplacer $\sin\theta$ par $\theta$ (la partie I le justifie !) et en déduire la période $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$ . Calculer $T$ pour $L = 1$ m (avec $g = 9.81$ ) : c’est la célèbre découverte de Galilée — de quoi la formule ne dépend-elle *pas* ?
11. Le pendule battant la seconde : quelle longueur donne exactement $T = 2$ s ? L’Académie des sciences, en 1791, hésita entre cette longueur et la dix-millionième partie du quart de méridien pour définir le *mètre* — de combien de millimètres les deux candidats diffèrent-ils ?

**Partie III — Les formules d’addition au travail.**

12. Montrer avec les formules d’addition ( [Proposition 24.3](#prop-g12-trigo-addition) ) que $\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x$ et $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$ : dériver, sur le cercle, c’est tourner d’un quart de tour — vérifier la cohérence avec le [Théorème 24.5](#thm-g12-trigo-derivatives) .
13. Établir l’identité de transformation de produit en somme $\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) +  \cos(a + b)\right)$ et la linéarisation $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (le chapitre sur l’intégration vous en saura gré).
14. Battements : établir $\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2}  \cos\frac{p - q}{2}$ , et l’appliquer à deux diapasons à $440$ et $444$ Hz : quel son l’oreille entend-elle, et combien de pulsations par seconde perçoit-elle ? (C’est ainsi que s’accordent les orchestres.)
15. Établir l’identité de triplication $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ (écrire $3x = 2x + x$ ). En posant $x = 20^\circ$ , quelle [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du troisième degré $\cos 20^\circ$ doit-il vérifier ? (Que cette [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ne se résolve pas à l’aide de seules racines carrées est précisément la raison pour laquelle la trisection de l’angle a résisté deux millénaires à la règle et au compas — l’histoire complète est racontée dans les volumes universitaires.)
16. Un courant alternatif s’écrit $I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t)$ . Le réécrire sous la forme $R\cos(100\pi t - \varphi)$ : intensité de crête et phase ?

**Partie IV — Le monde oscillant.**

17. Périodes : quelle est la (plus petite) période de $\sin^2 t$ (utiliser la question 13) ? Et celle de $\sin(2t) + \sin(3t)$ ?
18. Un pendule réel s’amortit : $y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)$ . Décrire le mouvement, calculer la valeur de l’enveloppe en $t = 10$ (une vieille connaissance apparaît, [Problème 23.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#pb-g12-exp-1) ), et nommer le chapitre où l’on résout les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ayant de telles solutions.
19. Pourquoi les [sinus](#def-g12-trigo-cossin) et les [cosinus](#def-g12-trigo-cossin) règnent-ils sur toute vibration ? Donner en deux phrases le dictionnaire physique-mathématiques (force de rappel proportionnelle au déplacement $\rightarrow$ quelle [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) $\rightarrow$ quelles solutions), et dire ce que l’ [Exercice 24.9](#exo-g12-trigo-9) apporte à cette affirmation.
20. Pour finir : l’arc du chapitre en quatre pas — une limite géométrique, deux [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) , une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) différentielle, toute l’oscillation. Et l’astérisque honnête : pour de grandes oscillations, la vraie période du pendule fait intervenir une intégrale elliptique, calculée à la vitesse de l’éclair par … la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) arithmético-géométrique de Gauss, le dessert du [Problème 20.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#pb-g12-seq-1) . Les fils de la série se nouent d’eux-mêmes.

**Solution de Problème 24.1.**

**1.** $0.99833\ldots$ et $0.99998\ldots$ : on se glisse vers $1$.

**2.** Triangle $OAM$ : base $1$, hauteur $\sin x$, donc aire $\frac{\sin x}{2}$. Secteur $OAM$ : la fraction $\frac{x}{2\pi}$ du disque unité, donc aire $\frac x2$. Triangle $OAT$ : base $1$, hauteur $\tan x$, donc aire $\frac{\tan x}{2}$.

**3.** Le triangle est contenu dans le secteur, lui-même contenu dans le grand triangle : $\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}$, c’est-à-dire $\sin x < x < \tan x$. De $\sin x < x$ on tire $\frac{\sin x}{x} < 1$ ; et de $x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, en multipliant par $\frac{\cos x}{x} > 0$ : $\cos x < \frac{\sin x}{x}$. Quand $x \to 0^+$, $\cos x \to 1$ : encadrée, la quantité $\frac{\sin x}{x}$ tend vers $1$ ; et $\frac{\sin x}{x}$ est paire, donc la limite bilatère vaut $1$.

**4.** $\frac{1 - \cos x}{x^2} =
\frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} =
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x}
\to 1 \times \frac12$.

**5.** $\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1$ : toute la dérivation du [sinus](#def-g12-trigo-cossin) et du [cosinus](#def-g12-trigo-cossin) découle de cette seule limite. Mesurée en degrés, la limite vaudrait $\frac{\pi}{180}$, et chaque [dérivée](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) traînerait cette constante : le [radian](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/14-trigonometrie-le-cercle-trigonometrique#def-g11-trigo-radian) est exactement l’unité qui rend propre le calcul de l’oscillation.

**6.** $y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)$, puis $y'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y$.

**7.** $\omega = 2$. $y(0) = A = 3$ ; $y'(0) = 2B = 8$, donc $B = 4$ : $y = 3\cos 2t + 4\sin 2t$.

**8.** $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; période $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; phase $\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927$ : $y = 5\cos(2t - 0.927)$.

**9.** $5\cos(2t - \varphi) = 0$ pour la première fois lorsque $2t - \varphi = \frac\pi2$ : $t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25$ s.

**10.** Avec $\sin\theta \approx \theta$ : $\theta'' = -\frac gL \theta$, mouvement harmonique de pulsation $\omega = \sqrt{\frac gL}$ et de période $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. Pour $L = 1$ : $T \approx 2.006$ s. La période ne dépend pas de l’amplitude (pour de petites oscillations) — c’est l’isochronisme de Galilée, le fait qui rend possibles les horloges à balancier.

**11.** $L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 =
\frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994$ m : le pendule battant la seconde est plus court d’environ $6$ mm que le mètre du méridien. L’Académie a choisi le méridien (la pesanteur varie d’un lieu à l’autre, ce qui trahit le pendule) ; si $g$ avait été à un cheveu plus grand, notre mètre battrait la seconde.

**12.** $\cos\left(x + \frac\pi2\right) =
\cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x$ ; $\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x$. Dériver le [sinus](#def-g12-trigo-cossin) donne donc le [sinus](#def-g12-trigo-cossin) décalé d’un quart de tour ($\cos$), puis encore ($-\sin$), puis encore, et l’on est de retour en quatre pas : dériver fait tourner le cercle.

**13.** En additionnant les deux développements de $\cos(a \mp b)$ : $\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b$. Avec $a = b = x$ : $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, c’est-à-dire $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

**14.** Avec $p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}$ et $q$ son symétrique, en développant puis en additionnant : $\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$. Pour $440$ et $444$ Hz : un son à $442$ Hz dont l’intensité est modulée par $\cos(2\pi \cdot 2t)$ — l’intensité culmine $4$ fois par seconde ([valeur absolue](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/1-nombres-et-ensembles-de-nombres#def-g10-numbers-abs) de l’enveloppe) : quatre battements par seconde, qui s’évanouissent quand les diapasons s’accordent.

**15.** $\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x =
(2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$. En $x = 20^\circ$ : $\cos 60^\circ = \frac12$, donc $c = \cos 20^\circ$ vérifie $8c^3 - 6c - 1 = 0$ — une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) du troisième degré sans solution par racines carrées : construire $20^\circ$, c’est-à-dire trisecter $60^\circ$, dépasse la règle et le compas.

**16.** $R = \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3$, donc $\varphi = \frac\pi3$ : $I(t) = 6\cos\left(100\pi t -
\frac\pi3\right)$ : crête de $6$ ampères, déphasage de $60^\circ$.

**17.** $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ : période $\pi$. $\sin 2t$ a pour période $\pi$, $\sin 3t$ a pour période $\frac{2\pi}{3}$ : la somme se répète après le plus petit multiple commun, soit $2\pi$.

**18.** Une oscillation de période $1$ à l’intérieur de l’enveloppe [décroissante](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/3-fonctions#def-g10-functions-variations) $\pm\eu^{-t/10}$ : chaque balancement est environ $10\,\%$ plus bas que le précédent. En $t = 10$, l’enveloppe vaut $\eu^{-1} \approx 0.368$ — encore la constante du [Problème 23.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/23-exponentielle-et-logarithme#pb-g12-exp-1). Les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) à solutions amorties de ce type ($y'' + a y' + b y = 0$) se résolvent au chapitre sur les [équations](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) différentielles.

**19.** Une force qui rappelle proportionnellement au déplacement donne $y'' = -\omega^2 y$ ; et l’[Exercice 24.9](#exo-g12-trigo-9) montre que les solutions de cette [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) sont *exactement* les combinaisons de $\cos$ et de $\sin$ — existence par exhibition, unicité par l’exercice : la vibration n’a pas d’autre choix que d’être sinusoïdale.

**20.** Une limite ($\frac{\sin x}{x} \to 1$, par encadrement d’aires), deux [dérivées](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/22-derivation-et-convexite#def-g12-deriv-derivative) ($\sin' = \cos$, $\cos' = -\sin$), une [équation](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/2-algebre-equations-et-inequations#def-g10-algebra-equation) ($y'' = -\omega^2 y$), et tout un monde d’horloges, de cordes, de courants et de marées. Astérisque : pour de grandes oscillations, $T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot
\frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))}$ — la [moyenne](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/17-statistique-descriptive#def-g11-stat-mean) arithmético-géométrique du [Problème 20.1](https://one-course.com/books/math/2/fr/chapter/20-suites#pb-g12-seq-1) calcule l’intégrale elliptique en une poignée d’itérations : la page de journal de Gauss et le pendule de Galilée, à une formule l’une de l’autre.